小學六年級奧數(shù)-行程問題

小學六年級奧數(shù)一行程問題

第1節(jié)怎樣學好行程問題？

一、從99.26%至IJ100%!

在各類數(shù)學競賽試卷中，行程問題的考察比例達到了

99.26%,重要性可想而知。而在歷屆某杯賽邀請賽中，無論是初

賽還是決賽，對于行程問題的考察比例為100%!

很顯然，無論是杯賽的初賽還是決賽，行程問題為必考點！

并且在杯賽前三屆決賽中行程問題都作為壓軸題出現(xiàn)！

二、為什么小學生行程問題普遍學不好？

1、行程問題的題型多，綜合變化多。

行程問題涉及的變化較多，有的涉及一個物體的運動，有的

涉及多個物體的運動。涉及兩個物體運動的，又有“相向運動”

（相遇問題）、“同向運動”（追及問題）和“相背運動’’（相離問

題）三種情況。行程問題每一類型題的考察重點都不一樣，往往

將多種題型綜合起來考察。比如遇到相遇問題關(guān)鍵要抓住速度

和，追擊問題則要抓住速度差，流水行船中的相遇追及問題要注

意跟水速無關(guān)等等。

2、行程問題要求學生對動態(tài)過程進行演繹和推理。

奧數(shù)中靜態(tài)的知識學生很容易學會。打個比方，比如數(shù)線段

問題，學生掌握了方法，依葫蘆畫瓢就行。一般情況，靜態(tài)的奧

數(shù)知識，學生只要理解了，就能容易做出來。行程問題難就難在

過程分析是動態(tài)的，甲乙兩個人從開始就在運動，整個過程來回

跑。學生對文字題描述的過程很難還原成對應(yīng)的數(shù)學模型，不畫

圖，習慣性的在腦海里分析運動過程。還有的學生會用手指，用

橡皮模擬，轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去往往把自己都兜暈了還是沒有搞明白這個過

程，更別說找出解題所需要的數(shù)量關(guān)系了。

三、行程問題“九大題型”與“五大方法”。

很多學生對行程問題的題型不太清楚，對行程問題的常用

解法也不了解，那么我給大家歸納一下。

1、九大題型:

⑴簡單相遇追及問題；⑵多人相遇追及問題；⑶多次相遇追

及問題；⑷變速變道問題；⑸火車過橋問題；⑹流水行船問題；

⑺發(fā)車問題；⑻接送問題；⑼時鐘問題。

2、五大方法：

⑴公式法：包括行程基本公式、相遇公式、追及公式、流

水行程公式、火車過橋公式，這種方法看似簡單，其實也有很多

技巧，使用公式不僅包括公式的原形，也包括公式的各種變形形

式，而且有時條件不是直接給出的，這就需要對公式非常熟悉，

可以推知需要的條件。

⑵圖示法：在一些復雜的行程問題中，為了明確過程，常用示

意圖作為輔助工具。示意圖包括線段圖、折線圖，還包括列表。

圖圖示法即畫出行程的大概過程，重點在折返、相遇、追及的地

點。另外在多次相遇、追及問題中，畫圖分析往往也是最有效的

解題方法。

ps：畫圖的習慣一定要培養(yǎng)起來，圖形是最有利于我們分析

運動過程的，可以說圖畫對了，意味著題也差不過做對了30%!

⑶比例法：行程問題中有很多比例關(guān)系，在只知道和差、比例

時，用比例法可求得具體數(shù)值。更重要的是，在一些較復雜的題

目中，有些條件（如路程、速度、時間等）往往是不確定的，在沒有

具體數(shù)值的情況下，只能用比例解題。

ps：運用比例知識解決復雜的行程問題經(jīng)常考，而且要考都

不簡單。

⑷分段法：在非勻速即分段變速的行程問題中，公式不能直接

適用。這時通常把不勻速的運動分為勻速的幾段，在每一段中用

勻速問題的方法去分析，然后再把結(jié)果結(jié)合起來。

⑸方程法：在關(guān)系復雜、條件分散的題目中，直接用公式或比

例都很難求解時，設(shè)條件關(guān)系最多的未知量為未知數(shù)，抓住重要

的等量關(guān)系列方程常?？梢皂樌蠼?。

ps：方程法尤其適用于在重要的考試中，可以節(jié)省很多時

間。

四、怎樣才能學好行程問題？

因為行程問題的復雜，所以很多學生已開始就會有畏難心

理。所以學習行程問題一定要循序漸進，不要貪多，力爭學一個

知識點就要能吃透它。

學習奧數(shù)有四種境界：

第一種：課堂理解。就是說能夠聽懂老師講解的題目。

第二種：能夠解題。就是說學生聽懂了還能做出作業(yè)。

第三種：能夠講題。就是不僅自己會做，還要能夠講給家長聽。

第四種：能夠編題。就是自己領(lǐng)悟這個知識了，自己能夠根

據(jù)例題出題目，并且解出來。

其實大部分學生學習奧數(shù)都只停留在第一種境界（有的甚至

還達不到），能夠達到第三種境界的學生考取重點中學實驗班基

本上沒有什么問題了。而要想在行程上一點問題沒有，則要求學

生達到第四種境界。即系統(tǒng)學習，還要能深刻理解，刻苦鉆研。

而這四種境界則是學習行程的四個階段，或者說是好的方法。

建議一：不論是什么問題，在學習之前有必要對于要學的東

西有個縱向的了解，要系統(tǒng)地梳理一遍，這樣有系統(tǒng)，有方向，

學習的時候也不會迷茫。一般這個步驟需要家長和老師一起幫助

孩子完成。這樣把大的目標分為不同的小的目標，各個擊破，孩

子也會有信心。同時發(fā)現(xiàn)問題時，也可以有針對性的進行解決。

建議二：需要強調(diào)一點，就是在學習過程中不能撿芝麻丟西

瓜，簡言之就是要在每學一個知識的時候，都要對學過的知識進

行練習。一定要重視總結(jié)，把行程問題進行分類比較，這樣孩子

對于行程問題的理解會上升一個新的高度。

建議三：在學習過程中，可以積累孩子的錯題，以便日后觀

察孩子在此部分知識點學習過程中的薄弱環(huán)節(jié)，這樣我們以后的

計劃會更有針對性。在制定計劃時慢慢的達到量身定做的效果。

第2節(jié)行程問題分析總結(jié)

一、基本行程問題

P初等行程問題

相遇問題

行程問題p追及問題

行船問題

行程問題的三個基本量是距離、速度、時間。其互逆關(guān)系可用乘、除法計

算，方法簡單，但應(yīng)注意行駛方向的變化，按所行方向的不同可分為三種:

(1)相遇問題；

(2)相離問題；

(3)追及問題。

行程問題的主要數(shù)量關(guān)系是：距離=速度x時間。它大致分為以下三種情況：

(1)相向而行：

相遇時間=距離+速度和

(2)相背而行:

相背距離=速度和X時間

（3）同向而行：

追及時間=追及距離+速度差

追及距離=速度差X時間

解決行程問題時，要注意充分利用圖示把題中的情節(jié)形象地表示出來，有助于分析

數(shù)量關(guān)系，有助于迅速地找到解題思路。

二、相遇問題

行程問題是研究相向運動中的速度、時間和路程三者之間關(guān)系的問題，（涉

及兩個或兩個以上物體運動的問題）指兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，

在途中相遇，這類應(yīng)用題叫做相遇問題。

初等行程問題

_其相遇回魚

行程問題追及問題

<_____________________」---------------------

行船問題

數(shù)量關(guān)系：

路程+速度和=相遇時間

路程+相遇時間=速度和

速度和X相遇時間=路程

【溫馨提示】

（1）在處理相遇問題時.，一定要注意公式的使用時二者發(fā)生關(guān)系那一時刻所處的

狀態(tài)；

（2）在行程問題里所用的時間都是時間段，而不是時間點（非常重要）；

（3）無論是在哪類行程問題里，只要是相遇，就與速度和有關(guān)。

【解題秘訣】

（1）必須弄清物體運動的具體情況：運動方向（相向），出發(fā)地點（兩地），出

發(fā)時間（同時、先后），運動路徑（封閉、不封閉），運動結(jié)果（相遇）等。

（2）要充分運用圖示、列表等方法，正確反映出數(shù)量之間的關(guān)系，幫助我們理解

題意，迅速的找到解題思路。

三、追及問題

初等行程問題

相遇問題

行程問題卜「追及問題

彳蹩回題

追及問題也是行程問題中的一種情況。這類應(yīng)用題的特點是：

①兩個物體同時同一方向運動；

②出發(fā)的地點不同（或從同一地點不同時出發(fā)，向同一方向運動）；

追及路程=路程差=兩個物體之間相距的路程

追及速度=速度差=快的速度-慢的速度

快的物體追上慢的物體所用的時間為追及時間

③慢者在前，快者在后，因而快者離慢者越來越近，最后終于可以追上。

相關(guān)的關(guān)系式：

追及路程=速度差X追及時間

速度差=追及路程+追及時間

追及時間=追及路程+速度差

四、相遇追及綜合

直線一次相遇問題

直線相遇問題

直線多次相遇問題

?相遇問題環(huán)線一次相遇問題

環(huán)線相遇問題

環(huán)線多次相遇問題

直線一次追及問題

直線追及問題

直線多次追及問題

?追及問題環(huán)線一次追及問題

環(huán)線追及問題

環(huán)線多次追及問題

L公式及公式變形

基本行程公式：

S（路程）=V（速度）XT（時間）

相遇下的變形：

路程和=速度和x相遇時間

追及下的變形：

路程差=速度差x追及時間

2.單位的統(tǒng)一和判斷

“米/秒”可以寫成“m/s”但不要寫成“m/秒”

利用公式可以判斷單位的寫法：v=s+t；所以速度的單位就是米小秒，即米/秒

3.關(guān)鍵詞

每到行程問題，不論怎么出題，總會提到以下幾個情況：同時，同地，同向，相

向，背向

這幾個就是關(guān)鍵詞了！

是否同時同地，如果不是同時，相差幾小時，誰先誰后？如果不是同地，相差多少

千米，位置如何？

這是每個行程問題的初始情形，基本條件，必須優(yōu)先讀出來。

同向，相向（背向）分別是判斷追及和相遇的關(guān)鍵信息。千萬不要盲目的看到“幾

小時后兩人相遇”就認定這是相遇問題！

4.數(shù)形結(jié)合

顧名思義：數(shù)字與圖形相結(jié)合的思想，因此，行程問題，一定離不開畫圖。而圖的

畫法，將會在之后的多人行程中有更加明顯的體現(xiàn)。

5.一題多解

在最開始接觸相遇和追及的時候，我們就會發(fā)現(xiàn)，一旦出現(xiàn)“問：幾小時后，相距

XX千米”這樣的句子，答案總是會有兩種可能。

這就一定要求同學們對題目考慮要足夠嚴密；換言之，同學們一定要注意行程問題

當中的多解情況。

那么，除了上面的多解情況，還會有哪些呢？例如：在環(huán)形跑道上不說明方向的相

遇和追及問題。

6.方程思想

方程，我們已經(jīng)不再陌生，但是，仍然有些抗拒。不過沒關(guān)系，熟能生巧。

這個是我們必須攻克的難關(guān)。為什么呢？因為到了高年級，我們逐漸發(fā)現(xiàn)，學會了

方程，就相當于學會了應(yīng)用題。因為幾乎所有的應(yīng)用題，都可以通過列方程求解輕

松攻克。行程這個難題，也不例外。所以，我們要從現(xiàn)在開始，嘗試用方程的方法

來解決一些看上去“很難”的行程問題。

多人相遇和追及問題

多人相遇追及問題，即在同一直線上，3個或3個以上的對象之間的相遇追及問

題。

所有行程問題都是圍繞“S（路程）=V（速度）xT（時間）”這一條基本關(guān)系式展開

的，比如我們遇到的兩大典型行程題相遇問題和追及問題的本質(zhì)也是這三個量之間

的關(guān)系轉(zhuǎn)化.由此還可以得到如下兩條關(guān)系式：

路程和=速度和x相遇時間；

路程差=速度差x追及時間；

多人相遇與追及問題雖然較復雜，但只要抓住這兩條公式，逐步表征題目中所涉及

的數(shù)量，問題即可迎刃而解。

多次相遇和追及問題

一、由簡單行程問題拓展出的多次相遇問題

所有行程問題都是圍繞

"距離=速度x時間”

這一條基本關(guān)系式展開的，多人相遇與追及問題雖然較復雜，但只要抓住這個公

式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問題即可迎刃而解。

二、多次相遇與全程的關(guān)系

1.兩地相向出發(fā)：

第1次相遇，共走1個全程；

第2次相遇，共走3個全程；

第3次相遇，共走5個全程;

第N次相遇，共走2N-1個全程;

注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個全程。即甲第1次如果走了N

米，以后每次都走2N米。

2.同地同向出發(fā)：

第1次相遇，共走2個全程；

第2次相遇，共走4個全程；

第3次相遇，共走6個全程；

第N次相遇，共走2N個全程；

3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵

多次相遇追及的解題關(guān)鍵幾個全程

多人相遇追及的解題關(guān)鍵路程差

三、解多次相遇問題的工具——柳卡

柳卡圖，不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時間-距離圖，再畫上密密麻麻

的交叉線，按要求數(shù)交點個數(shù)即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運動過程

中“相遇的次數(shù)”，“相遇的地點”，以及“由相遇的地點求出全程“，使用折線示意圖

法一般需要我們知道每個物體走完一個全程時所用的時間是多少。如果不畫圖，單

憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說不容易。

五、分類詳解

［1］火車行程問題

有關(guān)火車過橋、火車過隧道、兩列火車車頭相遇到車尾相離等問題，也是一種行程

問題。在考慮速度、時間和路程三種數(shù)量關(guān)系時，必須考慮到火車本身的長度。如

果有些問題不容易一下子看出運動過程中的數(shù)量關(guān)系，可以利用作圖或演示的方法

來幫助解題。

解答火車行程問題可記住以下幾點：

1、火車過橋（或隧道）所用的時間=［橋（隧道長）+火車車長上火車的速度；

2、兩列火車相向而行，從相遇到相離所用的時間=兩火車車身長度和+兩車速度

和；

3、兩車同向而行，快車從追上到超過慢車所用的時間=兩車車身長度和+兩車速度

差。

火車行程及過橋問題：

（1）確定兩列火車追及路程分三種情況：

①車頭遇上車尾：兩列火車間的距離

②車頭追上車頭：兩列火車間距離+被追列車長

③車尾追上車尾：兩列火車間距離+追及列車車長

（2）確定兩列火車相遇路程分三種情況：

①車頭遇上車頭：兩列火車間距離

②車頭遇到車尾：兩列火車間距離+其中一列火車長

③車尾遇見車尾：兩列火車間距離+兩列火車長

（3）火車過橋行駛的總路程是火車車身長與橋長之和，數(shù)量關(guān)系：

（列車長+橋長）+列車速度=通過時間，

（橋長+車長）+速度=時間，

（橋長+車長）+時間=速度，

速度x時間=橋長+車長

[2]流水行程問題

初等行程問題

相遇回回一

行程問題追及問題

P行船問題

流水問題是研究船在流水中的行程問題，因此，又叫行船問題。在小學數(shù)學中涉及

到的題目，一般是勻速運動的問題。這類問題的主要特點是，水速在船逆行和順行

中的作用不同。

流水問題有如下兩個基本公式:

順水速度=船速+水速（1）

逆水速度=船速-水速（2）

這里，順水速度是指船順水航行時單位時間里所行的路程；船速是指船本身的速

度，也就是船在靜水中單位時間里所行的路程；水速是指水在單位時間里流過的路

程。

公式（1）表明，船順水航行時的速度等于它在靜水中的速度與水流速度之和。這

是因為順水時，船一方面按自己在靜水中的速度在水面上行進，同時這艘船又在按

著水的流動速度前進，因此船相對地面的實際速度等于船速與水速之和。

公式（2）表明，船逆水航行時的速度等于船在靜水中的速度與水流速度之差。

根據(jù)加減互為逆運算的原理，由公式（1）可得：

水速=順水速度-船速（3）

船速=順水速度-水速（4）

由公式（2）可得：

水速=船速-逆水速度（5）

船速=逆水速度+水速（6）

這就是說，只要知道了船在靜水中的速度、船的實際速度和水速這三者中的任意兩

個，就可以求出第三個。另外，已知某船的逆水速度和順水速度，還可以求出船速

和水速。因為順水速度就是船速與水速之和，逆水速度就是船速與水速之差，根據(jù)

和差問題的算法，可知：

船速=(順水速度+逆水速度)+2(7)

水速=(順水速度-逆水速度)+2(8)

[3]扶梯問題

扶梯問題類似流水行船問題，只不過扶梯問題中的距離一般表示為扶梯的級數(shù)，速

度也是用級數(shù)/時間來表示，其實質(zhì)是完全一樣的。

基本公式：

走過的總級數(shù)=行走速度x行走時間

同向：走過的總級數(shù)=靜止時能看到的級數(shù)-扶梯運動縮進的級數(shù)

逆向：走過的總級數(shù)=靜止時能看到的級數(shù)+扶梯運動伸長的級數(shù)

學習要領(lǐng)

完全搞懂上面上個公式，知道人走過的級數(shù)跟扶梯的運動與否和速度無關(guān)，就是人

的速度乘以行走的時間；

搞清楚人走過的級數(shù)等于扶梯靜止時的級數(shù)加上因為扶梯運動而伸長或縮短的級

數(shù)，而扶梯伸長或縮短的級數(shù)等于扶梯速度乘以行走時間；

[4]環(huán)形跑道

環(huán)形跑道問題，從同一地點出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果

是同向而行，則每追上一圈相遇一次.這個等量關(guān)系往往成為我們解決問題的關(guān)

鍵。

環(huán)形跑道：

同相向而行的等量關(guān)系：

乙程一甲程=跑道長

背向而行的等量關(guān)系：

乙程+甲程=跑道長

環(huán)線型

同一出發(fā)點/直徑兩端

同向：路程差\tnS\tnS+0.5s

相對（反向）：路程和\tnS\tnS-0.5s

平均速度

平均速度=總路程+總時間

總路程=平均速度x總時間

總時間=總路程+平均速度

[5]發(fā)車間隔

間隔發(fā)車問題，只靠空間理想象解稍顯困難，證明過程對快速解題沒有幫助，但是

一旦掌握了3個基本方法，一般問題都可以迎刃而解。

1.在班車里——即柳卡問題

不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時間——距離圖，再畫上密密麻麻的交叉

線，按要求數(shù)交點個數(shù)即可完成。柳卡圖，也稱為折線圖，可以很好的

解決復雜的行程問題。折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運動過程

中“相遇的次數(shù)”，“相遇的地點”，以及“由相遇的地點求出全程”，

使用折線示意圖法一般需要我們知道每個物體走完一個全程時所

用的時間是多少。其中相遇''兩字廣義上講，只要兩人在同一地點

就算相遇，因此分為兩種情況，一種叫做迎面相遇（即我們平時

說的相遇問題），一種叫做追及相遇（即我們平時說的追及問

題），一般題目說的相遇，我們默認指的是迎面相遇，若題目說

只要兩人在同一地點算做一次相遇，那么這時兩種情況都要算。

【例1】甲、乙兩人在一條90米的直路上來回跑步，甲的速度

3米/秒，乙的速度2米/秒。如果他們同時分別從直路的兩端A、

B兩點出發(fā)，當他們跑12分鐘，共相遇了多少次？（從出發(fā)后兩

人同時到達某一點算作一次相遇）

如果不畫圖，單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說不容易。

2.在班車外——聯(lián)立3個基本公式好使

（1）汽車間距=（汽車速度+行人速度）x相遇事件時間間隔

（2）汽車間距=（汽車速度-行人速度）x追及事件時間間隔

（3）汽車間距=汽車速度x汽車發(fā)車時間間隔

綜上總結(jié)發(fā)車問題可以總結(jié)為如下技巧

（1）、一般間隔發(fā)車問題。用3個公式迅速作答；

（2）、求到達目的地后相遇和追及的公共汽車的輛數(shù)。

標準方法是：畫圖——盡可能多的列3個好使公式——結(jié)合S=VxT,結(jié)合植樹問

題數(shù)數(shù)。

（3）當出現(xiàn)多次相遇和追及問題——柳卡圖數(shù)交叉點解決。

下面我們來看用柳卡圖來解決的兩道問題。

【例2】甲、乙兩人在一條90米的直路上來回跑步，甲的速度

3米/秒，乙的速度2米/秒。如果他們同時分別從直路的兩端A、

B兩點出發(fā)，當他們跑12分鐘，共相遇了多少次？（從出發(fā)后兩

人同時到達某一點算作一次相遇）。

甲匕

3米/秒2米/秒

-------?------

A|一90米

【分析】多次相遇，如圖所示，甲用實線表示，乙用虛線表

在180秒內(nèi)，甲、乙共相遇5次，最后又回到出發(fā)的狀態(tài)。

所以甲、乙共相遇了［12+（180-60）x5=20（次）

【例3】甲、乙兩人在一條長為30米的直路上來回跑步，甲的速

度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米.如果他們同時分別從直

路的兩端出發(fā)，當他們跑了10分鐘后，共相遇幾次?

首先，甲跑一個全程需要30:1=30（秒），乙跑一個全程需要

30-0.6=50（秒）.與上題類似，畫運行圖如下（實線表甲，虛

線表示乙，那么實虛兩線交點就是甲乙相遇的地點）：

從圖中可以看出，當甲跑5個全程時，乙剛好跑3個全程，各自

到了不同兩端又重新開始，這正好是一周期150秒.在這一周期

內(nèi)兩人相遇了5次，所以兩人跑10分鐘，正好是四個周期，也就

相遇5x4=20（次）

備注：一個周期內(nèi)共有5次相遇，其中第1,2,4,5次是迎面

相遇，而第3次是追及相遇。

[6]變速問題

解決行程問題中的變速問題，無論是通過列方程還是算式法

來解，最主要的是要找到題中的等量關(guān)系式。例如這道題，要求

出答案，就得先求出預(yù)定的時間，再求出實際所用的時間，最后

根據(jù)量率對應(yīng)求出72千米所對應(yīng)的分率就可以了。

【例4】

一支解放軍部隊從駐地乘車趕往某地抗洪

搶險，如果行駛1個小時后，將車速提高五

分之一，就可比預(yù)定時間提前20分鐘趕

至I」；如果先按原速度行駛72千米，再將車

速提高三分之一，就可比預(yù)定時間提前30

分鐘趕到，問：這支解放軍部隊一共需要

行多少千米？

【分析】

先求出行駛1個小時后的預(yù)定時間，所用的

時間就是預(yù)定時間的1+(i+1)W，則預(yù)

56

定時間是20+(1-1)二120分鐘，所以全程

6

的預(yù)定時間就是1小時+120分鐘=180分

鐘；再求出所用時間，所用時間就是預(yù)定時

間的人(1+1)即提前180x(1-1)

344

=45分鐘，最后求出72千米所對應(yīng)的分率即

1-契，解答即可.

解:

如果行駛1個小時后，將車速提高五分之一

，則行駛1個小時后所用的時間就是預(yù)定時

間是1+（1+=I則預(yù)定時間是

20+（1-卷）=12吩鐘，所以全程的預(yù)定

時間就是1小時+120分鐘=180分鐘；

如果先按原速度行駛72千米，再將車速提高

三分之一，則所用時間就是預(yù)定時間的

1+（1+~J~即提前

180x（1一9）=4盼鐘，

但實際卻提前了30分鐘，說明有

2

30+45=可的路程提高了速度；

O

72+=216（千米）.

答：這支解放軍部隊一共需要行216千米。

【例5】甲、乙兩人同時從山腳開始爬山，到達山頂后就立即下

山。他們兩人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山頂時

乙距山頂還有400米，甲回到山腳時乙剛好下到半山腰。求從山

腳到山頂?shù)木嚯x。

【分析與解】

本題的難點在于上山與下山的速度不同，如果能在不改變