小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)-行程問題

小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)一行程問題

第1節(jié)怎樣學(xué)好行程問題？

一、從99.26%至IJ100%!

在各類數(shù)學(xué)競賽試卷中，行程問題的考察比例達(dá)到了

99.26%,重要性可想而知。而在歷屆某杯賽邀請(qǐng)賽中，無論是初

賽還是決賽，對(duì)于行程問題的考察比例為100%!

很顯然，無論是杯賽的初賽還是決賽，行程問題為必考點(diǎn)！

并且在杯賽前三屆決賽中行程問題都作為壓軸題出現(xiàn)！

二、為什么小學(xué)生行程問題普遍學(xué)不好？

1、行程問題的題型多，綜合變化多。

行程問題涉及的變化較多，有的涉及一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，有的

涉及多個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)。涉及兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的，又有“相向運(yùn)動(dòng)”

（相遇問題）、“同向運(yùn)動(dòng)”（追及問題）和“相背運(yùn)動(dòng)’’（相離問

題）三種情況。行程問題每一類型題的考察重點(diǎn)都不一樣，往往

將多種題型綜合起來考察。比如遇到相遇問題關(guān)鍵要抓住速度

和，追擊問題則要抓住速度差，流水行船中的相遇追及問題要注

意跟水速無關(guān)等等。

2、行程問題要求學(xué)生對(duì)動(dòng)態(tài)過程進(jìn)行演繹和推理。

奧數(shù)中靜態(tài)的知識(shí)學(xué)生很容易學(xué)會(huì)。打個(gè)比方，比如數(shù)線段

問題，學(xué)生掌握了方法，依葫蘆畫瓢就行。一般情況，靜態(tài)的奧

數(shù)知識(shí)，學(xué)生只要理解了，就能容易做出來。行程問題難就難在

過程分析是動(dòng)態(tài)的，甲乙兩個(gè)人從開始就在運(yùn)動(dòng)，整個(gè)過程來回

跑。學(xué)生對(duì)文字題描述的過程很難還原成對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，不畫

圖，習(xí)慣性的在腦海里分析運(yùn)動(dòng)過程。還有的學(xué)生會(huì)用手指，用

橡皮模擬，轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去往往把自己都兜暈了還是沒有搞明白這個(gè)過

程，更別說找出解題所需要的數(shù)量關(guān)系了。

三、行程問題“九大題型”與“五大方法”。

很多學(xué)生對(duì)行程問題的題型不太清楚，對(duì)行程問題的常用

解法也不了解，那么我給大家歸納一下。

1、九大題型:

⑴簡單相遇追及問題；⑵多人相遇追及問題；⑶多次相遇追

及問題；⑷變速變道問題；⑸火車過橋問題；⑹流水行船問題；

⑺發(fā)車問題；⑻接送問題；⑼時(shí)鐘問題。

2、五大方法：

⑴公式法：包括行程基本公式、相遇公式、追及公式、流

水行程公式、火車過橋公式，這種方法看似簡單，其實(shí)也有很多

技巧，使用公式不僅包括公式的原形，也包括公式的各種變形形

式，而且有時(shí)條件不是直接給出的，這就需要對(duì)公式非常熟悉，

可以推知需要的條件。

⑵圖示法：在一些復(fù)雜的行程問題中，為了明確過程，常用示

意圖作為輔助工具。示意圖包括線段圖、折線圖，還包括列表。

圖圖示法即畫出行程的大概過程，重點(diǎn)在折返、相遇、追及的地

點(diǎn)。另外在多次相遇、追及問題中，畫圖分析往往也是最有效的

解題方法。

ps：畫圖的習(xí)慣一定要培養(yǎng)起來，圖形是最有利于我們分析

運(yùn)動(dòng)過程的，可以說圖畫對(duì)了，意味著題也差不過做對(duì)了30%!

⑶比例法：行程問題中有很多比例關(guān)系，在只知道和差、比例

時(shí)，用比例法可求得具體數(shù)值。更重要的是，在一些較復(fù)雜的題

目中，有些條件（如路程、速度、時(shí)間等）往往是不確定的，在沒有

具體數(shù)值的情況下，只能用比例解題。

ps：運(yùn)用比例知識(shí)解決復(fù)雜的行程問題經(jīng)?？迹乙级?/p>

不簡單。

⑷分段法：在非勻速即分段變速的行程問題中，公式不能直接

適用。這時(shí)通常把不勻速的運(yùn)動(dòng)分為勻速的幾段，在每一段中用

勻速問題的方法去分析，然后再把結(jié)果結(jié)合起來。

⑸方程法：在關(guān)系復(fù)雜、條件分散的題目中，直接用公式或比

例都很難求解時(shí)，設(shè)條件關(guān)系最多的未知量為未知數(shù)，抓住重要

的等量關(guān)系列方程常?？梢皂樌蠼狻?/p>

ps：方程法尤其適用于在重要的考試中，可以節(jié)省很多時(shí)

間。

四、怎樣才能學(xué)好行程問題？

因?yàn)樾谐虇栴}的復(fù)雜，所以很多學(xué)生已開始就會(huì)有畏難心

理。所以學(xué)習(xí)行程問題一定要循序漸進(jìn)，不要貪多，力爭學(xué)一個(gè)

知識(shí)點(diǎn)就要能吃透它。

學(xué)習(xí)奧數(shù)有四種境界：

第一種：課堂理解。就是說能夠聽懂老師講解的題目。

第二種：能夠解題。就是說學(xué)生聽懂了還能做出作業(yè)。

第三種：能夠講題。就是不僅自己會(huì)做，還要能夠講給家長聽。

第四種：能夠編題。就是自己領(lǐng)悟這個(gè)知識(shí)了，自己能夠根

據(jù)例題出題目，并且解出來。

其實(shí)大部分學(xué)生學(xué)習(xí)奧數(shù)都只停留在第一種境界（有的甚至

還達(dá)不到），能夠達(dá)到第三種境界的學(xué)生考取重點(diǎn)中學(xué)實(shí)驗(yàn)班基

本上沒有什么問題了。而要想在行程上一點(diǎn)問題沒有，則要求學(xué)

生達(dá)到第四種境界。即系統(tǒng)學(xué)習(xí)，還要能深刻理解，刻苦鉆研。

而這四種境界則是學(xué)習(xí)行程的四個(gè)階段，或者說是好的方法。

建議一：不論是什么問題，在學(xué)習(xí)之前有必要對(duì)于要學(xué)的東

西有個(gè)縱向的了解，要系統(tǒng)地梳理一遍，這樣有系統(tǒng)，有方向，

學(xué)習(xí)的時(shí)候也不會(huì)迷茫。一般這個(gè)步驟需要家長和老師一起幫助

孩子完成。這樣把大的目標(biāo)分為不同的小的目標(biāo)，各個(gè)擊破，孩

子也會(huì)有信心。同時(shí)發(fā)現(xiàn)問題時(shí)，也可以有針對(duì)性的進(jìn)行解決。

建議二：需要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，就是在學(xué)習(xí)過程中不能撿芝麻丟西

瓜，簡言之就是要在每學(xué)一個(gè)知識(shí)的時(shí)候，都要對(duì)學(xué)過的知識(shí)進(jìn)

行練習(xí)。一定要重視總結(jié)，把行程問題進(jìn)行分類比較，這樣孩子

對(duì)于行程問題的理解會(huì)上升一個(gè)新的高度。

建議三：在學(xué)習(xí)過程中，可以積累孩子的錯(cuò)題，以便日后觀

察孩子在此部分知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)過程中的薄弱環(huán)節(jié)，這樣我們以后的

計(jì)劃會(huì)更有針對(duì)性。在制定計(jì)劃時(shí)慢慢的達(dá)到量身定做的效果。

第2節(jié)行程問題分析總結(jié)

一、基本行程問題

P初等行程問題

相遇問題

行程問題p追及問題

行船問題

行程問題的三個(gè)基本量是距離、速度、時(shí)間。其互逆關(guān)系可用乘、除法計(jì)

算，方法簡單，但應(yīng)注意行駛方向的變化，按所行方向的不同可分為三種:

(1)相遇問題；

(2)相離問題；

(3)追及問題。

行程問題的主要數(shù)量關(guān)系是：距離=速度x時(shí)間。它大致分為以下三種情況：

(1)相向而行：

相遇時(shí)間=距離+速度和

(2)相背而行:

相背距離=速度和X時(shí)間

（3）同向而行：

追及時(shí)間=追及距離+速度差

追及距離=速度差X時(shí)間

解決行程問題時(shí)，要注意充分利用圖示把題中的情節(jié)形象地表示出來，有助于分析

數(shù)量關(guān)系，有助于迅速地找到解題思路。

二、相遇問題

行程問題是研究相向運(yùn)動(dòng)中的速度、時(shí)間和路程三者之間關(guān)系的問題，（涉

及兩個(gè)或兩個(gè)以上物體運(yùn)動(dòng)的問題）指兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，

在途中相遇，這類應(yīng)用題叫做相遇問題。

初等行程問題

_其相遇回魚

行程問題追及問題

<_____________________」---------------------

行船問題

數(shù)量關(guān)系：

路程+速度和=相遇時(shí)間

路程+相遇時(shí)間=速度和

速度和X相遇時(shí)間=路程

【溫馨提示】

（1）在處理相遇問題時(shí).，一定要注意公式的使用時(shí)二者發(fā)生關(guān)系那一時(shí)刻所處的

狀態(tài)；

（2）在行程問題里所用的時(shí)間都是時(shí)間段，而不是時(shí)間點(diǎn)（非常重要）；

（3）無論是在哪類行程問題里，只要是相遇，就與速度和有關(guān)。

【解題秘訣】

（1）必須弄清物體運(yùn)動(dòng)的具體情況：運(yùn)動(dòng)方向（相向），出發(fā)地點(diǎn)（兩地），出

發(fā)時(shí)間（同時(shí)、先后），運(yùn)動(dòng)路徑（封閉、不封閉），運(yùn)動(dòng)結(jié)果（相遇）等。

（2）要充分運(yùn)用圖示、列表等方法，正確反映出數(shù)量之間的關(guān)系，幫助我們理解

題意，迅速的找到解題思路。

三、追及問題

初等行程問題

相遇問題

行程問題卜「追及問題

彳蹩回題

追及問題也是行程問題中的一種情況。這類應(yīng)用題的特點(diǎn)是：

①兩個(gè)物體同時(shí)同一方向運(yùn)動(dòng)；

②出發(fā)的地點(diǎn)不同（或從同一地點(diǎn)不同時(shí)出發(fā)，向同一方向運(yùn)動(dòng)）；

追及路程=路程差=兩個(gè)物體之間相距的路程

追及速度=速度差=快的速度-慢的速度

快的物體追上慢的物體所用的時(shí)間為追及時(shí)間

③慢者在前，快者在后，因而快者離慢者越來越近，最后終于可以追上。

相關(guān)的關(guān)系式：

追及路程=速度差X追及時(shí)間

速度差=追及路程+追及時(shí)間

追及時(shí)間=追及路程+速度差

四、相遇追及綜合

直線一次相遇問題

直線相遇問題

直線多次相遇問題

?相遇問題環(huán)線一次相遇問題

環(huán)線相遇問題

環(huán)線多次相遇問題

直線一次追及問題

直線追及問題

直線多次追及問題

?追及問題環(huán)線一次追及問題

環(huán)線追及問題

環(huán)線多次追及問題

L公式及公式變形

基本行程公式：

S（路程）=V（速度）XT（時(shí)間）

相遇下的變形：

路程和=速度和x相遇時(shí)間

追及下的變形：

路程差=速度差x追及時(shí)間

2.單位的統(tǒng)一和判斷

“米/秒”可以寫成“m/s”但不要寫成“m/秒”

利用公式可以判斷單位的寫法：v=s+t；所以速度的單位就是米小秒，即米/秒

3.關(guān)鍵詞

每到行程問題，不論怎么出題，總會(huì)提到以下幾個(gè)情況：同時(shí)，同地，同向，相

向，背向

這幾個(gè)就是關(guān)鍵詞了！

是否同時(shí)同地，如果不是同時(shí)，相差幾小時(shí)，誰先誰后？如果不是同地，相差多少

千米，位置如何？

這是每個(gè)行程問題的初始情形，基本條件，必須優(yōu)先讀出來。

同向，相向（背向）分別是判斷追及和相遇的關(guān)鍵信息。千萬不要盲目的看到“幾

小時(shí)后兩人相遇”就認(rèn)定這是相遇問題！

4.數(shù)形結(jié)合

顧名思義：數(shù)字與圖形相結(jié)合的思想，因此，行程問題，一定離不開畫圖。而圖的

畫法，將會(huì)在之后的多人行程中有更加明顯的體現(xiàn)。

5.一題多解

在最開始接觸相遇和追及的時(shí)候，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，一旦出現(xiàn)“問：幾小時(shí)后，相距

XX千米”這樣的句子，答案總是會(huì)有兩種可能。

這就一定要求同學(xué)們對(duì)題目考慮要足夠嚴(yán)密；換言之，同學(xué)們一定要注意行程問題

當(dāng)中的多解情況。

那么，除了上面的多解情況，還會(huì)有哪些呢？例如：在環(huán)形跑道上不說明方向的相

遇和追及問題。

6.方程思想

方程，我們已經(jīng)不再陌生，但是，仍然有些抗拒。不過沒關(guān)系，熟能生巧。

這個(gè)是我們必須攻克的難關(guān)。為什么呢？因?yàn)榈搅烁吣昙?jí)，我們逐漸發(fā)現(xiàn)，學(xué)會(huì)了

方程，就相當(dāng)于學(xué)會(huì)了應(yīng)用題。因?yàn)閹缀跛械膽?yīng)用題，都可以通過列方程求解輕

松攻克。行程這個(gè)難題，也不例外。所以，我們要從現(xiàn)在開始，嘗試用方程的方法

來解決一些看上去“很難”的行程問題。

多人相遇和追及問題

多人相遇追及問題，即在同一直線上，3個(gè)或3個(gè)以上的對(duì)象之間的相遇追及問

題。

所有行程問題都是圍繞“S（路程）=V（速度）xT（時(shí)間）”這一條基本關(guān)系式展開

的，比如我們遇到的兩大典型行程題相遇問題和追及問題的本質(zhì)也是這三個(gè)量之間

的關(guān)系轉(zhuǎn)化.由此還可以得到如下兩條關(guān)系式：

路程和=速度和x相遇時(shí)間；

路程差=速度差x追及時(shí)間；

多人相遇與追及問題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這兩條公式，逐步表征題目中所涉及

的數(shù)量，問題即可迎刃而解。

多次相遇和追及問題

一、由簡單行程問題拓展出的多次相遇問題

所有行程問題都是圍繞

"距離=速度x時(shí)間”

這一條基本關(guān)系式展開的，多人相遇與追及問題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這個(gè)公

式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問題即可迎刃而解。

二、多次相遇與全程的關(guān)系

1.兩地相向出發(fā)：

第1次相遇，共走1個(gè)全程；

第2次相遇，共走3個(gè)全程；

第3次相遇，共走5個(gè)全程;

第N次相遇，共走2N-1個(gè)全程;

注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個(gè)全程。即甲第1次如果走了N

米，以后每次都走2N米。

2.同地同向出發(fā)：

第1次相遇，共走2個(gè)全程；

第2次相遇，共走4個(gè)全程；

第3次相遇，共走6個(gè)全程；

第N次相遇，共走2N個(gè)全程；

3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵

多次相遇追及的解題關(guān)鍵幾個(gè)全程

多人相遇追及的解題關(guān)鍵路程差

三、解多次相遇問題的工具——柳卡

柳卡圖，不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時(shí)間-距離圖，再畫上密密麻麻

的交叉線，按要求數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)過程

中“相遇的次數(shù)”，“相遇的地點(diǎn)”，以及“由相遇的地點(diǎn)求出全程“，使用折線示意圖

法一般需要我們知道每個(gè)物體走完一個(gè)全程時(shí)所用的時(shí)間是多少。如果不畫圖，單

憑想象似乎對(duì)于像我這樣的一般人兒來說不容易。

五、分類詳解

［1］火車行程問題

有關(guān)火車過橋、火車過隧道、兩列火車車頭相遇到車尾相離等問題，也是一種行程

問題。在考慮速度、時(shí)間和路程三種數(shù)量關(guān)系時(shí)，必須考慮到火車本身的長度。如

果有些問題不容易一下子看出運(yùn)動(dòng)過程中的數(shù)量關(guān)系，可以利用作圖或演示的方法

來幫助解題。

解答火車行程問題可記住以下幾點(diǎn)：

1、火車過橋（或隧道）所用的時(shí)間=［橋（隧道長）+火車車長上火車的速度；

2、兩列火車相向而行，從相遇到相離所用的時(shí)間=兩火車車身長度和+兩車速度

和；

3、兩車同向而行，快車從追上到超過慢車所用的時(shí)間=兩車車身長度和+兩車速度

差。

火車行程及過橋問題：

（1）確定兩列火車追及路程分三種情況：

①車頭遇上車尾：兩列火車間的距離

②車頭追上車頭：兩列火車間距離+被追列車長

③車尾追上車尾：兩列火車間距離+追及列車車長

（2）確定兩列火車相遇路程分三種情況：

①車頭遇上車頭：兩列火車間距離

②車頭遇到車尾：兩列火車間距離+其中一列火車長

③車尾遇見車尾：兩列火車間距離+兩列火車長

（3）火車過橋行駛的總路程是火車車身長與橋長之和，數(shù)量關(guān)系：

（列車長+橋長）+列車速度=通過時(shí)間，

（橋長+車長）+速度=時(shí)間，

（橋長+車長）+時(shí)間=速度，

速度x時(shí)間=橋長+車長

[2]流水行程問題

初等行程問題

相遇回回一

行程問題追及問題

P行船問題

流水問題是研究船在流水中的行程問題，因此，又叫行船問題。在小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及

到的題目，一般是勻速運(yùn)動(dòng)的問題。這類問題的主要特點(diǎn)是，水速在船逆行和順行

中的作用不同。

流水問題有如下兩個(gè)基本公式:

順?biāo)俣?船速+水速（1）

逆水速度=船速-水速（2）

這里，順?biāo)俣仁侵复標(biāo)叫袝r(shí)單位時(shí)間里所行的路程；船速是指船本身的速

度，也就是船在靜水中單位時(shí)間里所行的路程；水速是指水在單位時(shí)間里流過的路

程。

公式（1）表明，船順?biāo)叫袝r(shí)的速度等于它在靜水中的速度與水流速度之和。這

是因?yàn)轫標(biāo)畷r(shí)，船一方面按自己在靜水中的速度在水面上行進(jìn)，同時(shí)這艘船又在按

著水的流動(dòng)速度前進(jìn)，因此船相對(duì)地面的實(shí)際速度等于船速與水速之和。

公式（2）表明，船逆水航行時(shí)的速度等于船在靜水中的速度與水流速度之差。

根據(jù)加減互為逆運(yùn)算的原理，由公式（1）可得：

水速=順?biāo)俣?船速（3）

船速=順?biāo)俣?水速（4）

由公式（2）可得：

水速=船速-逆水速度（5）

船速=逆水速度+水速（6）

這就是說，只要知道了船在靜水中的速度、船的實(shí)際速度和水速這三者中的任意兩

個(gè)，就可以求出第三個(gè)。另外，已知某船的逆水速度和順?biāo)俣龋€可以求出船速

和水速。因?yàn)轫標(biāo)俣染褪谴倥c水速之和，逆水速度就是船速與水速之差，根據(jù)

和差問題的算法，可知：

船速=(順?biāo)俣?逆水速度)+2(7)

水速=(順?biāo)俣?逆水速度)+2(8)

[3]扶梯問題

扶梯問題類似流水行船問題，只不過扶梯問題中的距離一般表示為扶梯的級(jí)數(shù)，速

度也是用級(jí)數(shù)/時(shí)間來表示，其實(shí)質(zhì)是完全一樣的。

基本公式：

走過的總級(jí)數(shù)=行走速度x行走時(shí)間

同向：走過的總級(jí)數(shù)=靜止時(shí)能看到的級(jí)數(shù)-扶梯運(yùn)動(dòng)縮進(jìn)的級(jí)數(shù)

逆向：走過的總級(jí)數(shù)=靜止時(shí)能看到的級(jí)數(shù)+扶梯運(yùn)動(dòng)伸長的級(jí)數(shù)

學(xué)習(xí)要領(lǐng)

完全搞懂上面上個(gè)公式，知道人走過的級(jí)數(shù)跟扶梯的運(yùn)動(dòng)與否和速度無關(guān)，就是人

的速度乘以行走的時(shí)間；

搞清楚人走過的級(jí)數(shù)等于扶梯靜止時(shí)的級(jí)數(shù)加上因?yàn)榉鎏葸\(yùn)動(dòng)而伸長或縮短的級(jí)

數(shù)，而扶梯伸長或縮短的級(jí)數(shù)等于扶梯速度乘以行走時(shí)間；

[4]環(huán)形跑道

環(huán)形跑道問題，從同一地點(diǎn)出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果

是同向而行，則每追上一圈相遇一次.這個(gè)等量關(guān)系往往成為我們解決問題的關(guān)

鍵。

環(huán)形跑道：

同相向而行的等量關(guān)系：

乙程一甲程=跑道長

背向而行的等量關(guān)系：

乙程+甲程=跑道長

環(huán)線型

同一出發(fā)點(diǎn)/直徑兩端

同向：路程差\tnS\tnS+0.5s

相對(duì)（反向）：路程和\tnS\tnS-0.5s

平均速度

平均速度=總路程+總時(shí)間

總路程=平均速度x總時(shí)間

總時(shí)間=總路程+平均速度

[5]發(fā)車間隔

間隔發(fā)車問題，只靠空間理想象解稍顯困難，證明過程對(duì)快速解題沒有幫助，但是

一旦掌握了3個(gè)基本方法，一般問題都可以迎刃而解。

1.在班車?yán)铩戳▎栴}

不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時(shí)間——距離圖，再畫上密密麻麻的交叉

線，按要求數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。柳卡圖，也稱為折線圖，可以很好的

解決復(fù)雜的行程問題。折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)過程

中“相遇的次數(shù)”，“相遇的地點(diǎn)”，以及“由相遇的地點(diǎn)求出全程”，

使用折線示意圖法一般需要我們知道每個(gè)物體走完一個(gè)全程時(shí)所

用的時(shí)間是多少。其中相遇''兩字廣義上講，只要兩人在同一地點(diǎn)

就算相遇，因此分為兩種情況，一種叫做迎面相遇（即我們平時(shí)

說的相遇問題），一種叫做追及相遇（即我們平時(shí)說的追及問

題），一般題目說的相遇，我們默認(rèn)指的是迎面相遇，若題目說

只要兩人在同一地點(diǎn)算做一次相遇，那么這時(shí)兩種情況都要算。

【例1】甲、乙兩人在一條90米的直路上來回跑步，甲的速度

3米/秒，乙的速度2米/秒。如果他們同時(shí)分別從直路的兩端A、

B兩點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)他們跑12分鐘，共相遇了多少次？（從出發(fā)后兩

人同時(shí)到達(dá)某一點(diǎn)算作一次相遇）

如果不畫圖，單憑想象似乎對(duì)于像我這樣的一般人兒來說不容易。

2.在班車外——聯(lián)立3個(gè)基本公式好使

（1）汽車間距=（汽車速度+行人速度）x相遇事件時(shí)間間隔

（2）汽車間距=（汽車速度-行人速度）x追及事件時(shí)間間隔

（3）汽車間距=汽車速度x汽車發(fā)車時(shí)間間隔

綜上總結(jié)發(fā)車問題可以總結(jié)為如下技巧

（1）、一般間隔發(fā)車問題。用3個(gè)公式迅速作答；

（2）、求到達(dá)目的地后相遇和追及的公共汽車的輛數(shù)。

標(biāo)準(zhǔn)方法是：畫圖——盡可能多的列3個(gè)好使公式——結(jié)合S=VxT,結(jié)合植樹問

題數(shù)數(shù)。

（3）當(dāng)出現(xiàn)多次相遇和追及問題——柳卡圖數(shù)交叉點(diǎn)解決。

下面我們來看用柳卡圖來解決的兩道問題。

【例2】甲、乙兩人在一條90米的直路上來回跑步，甲的速度

3米/秒，乙的速度2米/秒。如果他們同時(shí)分別從直路的兩端A、

B兩點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)他們跑12分鐘，共相遇了多少次？（從出發(fā)后兩

人同時(shí)到達(dá)某一點(diǎn)算作一次相遇）。

甲匕

3米/秒2米/秒

-------?------

A|一90米

【分析】多次相遇，如圖所示，甲用實(shí)線表示，乙用虛線表

在180秒內(nèi)，甲、乙共相遇5次，最后又回到出發(fā)的狀態(tài)。

所以甲、乙共相遇了［12+（180-60）x5=20（次）

【例3】甲、乙兩人在一條長為30米的直路上來回跑步，甲的速

度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米.如果他們同時(shí)分別從直

路的兩端出發(fā)，當(dāng)他們跑了10分鐘后，共相遇幾次?

首先，甲跑一個(gè)全程需要30:1=30（秒），乙跑一個(gè)全程需要

30-0.6=50（秒）.與上題類似，畫運(yùn)行圖如下（實(shí)線表甲，虛

線表示乙，那么實(shí)虛兩線交點(diǎn)就是甲乙相遇的地點(diǎn)）：

從圖中可以看出，當(dāng)甲跑5個(gè)全程時(shí)，乙剛好跑3個(gè)全程，各自

到了不同兩端又重新開始，這正好是一周期150秒.在這一周期

內(nèi)兩人相遇了5次，所以兩人跑10分鐘，正好是四個(gè)周期，也就

相遇5x4=20（次）

備注：一個(gè)周期內(nèi)共有5次相遇，其中第1,2,4,5次是迎面

相遇，而第3次是追及相遇。

[6]變速問題

解決行程問題中的變速問題，無論是通過列方程還是算式法

來解，最主要的是要找到題中的等量關(guān)系式。例如這道題，要求

出答案，就得先求出預(yù)定的時(shí)間，再求出實(shí)際所用的時(shí)間，最后

根據(jù)量率對(duì)應(yīng)求出72千米所對(duì)應(yīng)的分率就可以了。

【例4】

一支解放軍部隊(duì)從駐地乘車趕往某地抗洪

搶險(xiǎn)，如果行駛1個(gè)小時(shí)后，將車速提高五

分之一，就可比預(yù)定時(shí)間提前20分鐘趕

至I」；如果先按原速度行駛72千米，再將車

速提高三分之一，就可比預(yù)定時(shí)間提前30

分鐘趕到，問：這支解放軍部隊(duì)一共需要

行多少千米？

【分析】

先求出行駛1個(gè)小時(shí)后的預(yù)定時(shí)間，所用的

時(shí)間就是預(yù)定時(shí)間的1+(i+1)W，則預(yù)

56

定時(shí)間是20+(1-1)二120分鐘，所以全程

6

的預(yù)定時(shí)間就是1小時(shí)+120分鐘=180分

鐘；再求出所用時(shí)間，所用時(shí)間就是預(yù)定時(shí)

間的人(1+1)即提前180x(1-1)

344

=45分鐘，最后求出72千米所對(duì)應(yīng)的分率即

1-契，解答即可.

解:

如果行駛1個(gè)小時(shí)后，將車速提高五分之一

，則行駛1個(gè)小時(shí)后所用的時(shí)間就是預(yù)定時(shí)

間是1+（1+=I則預(yù)定時(shí)間是

20+（1-卷）=12吩鐘，所以全程的預(yù)定

時(shí)間就是1小時(shí)+120分鐘=180分鐘；

如果先按原速度行駛72千米，再將車速提高

三分之一，則所用時(shí)間就是預(yù)定時(shí)間的

1+（1+~J~即提前

180x（1一9）=4盼鐘，

但實(shí)際卻提前了30分鐘，說明有

2

30+45=可的路程提高了速度；

O

72+=216（千米）.

答：這支解放軍部隊(duì)一共需要行216千米。

【例5】甲、乙兩人同時(shí)從山腳開始爬山，到達(dá)山頂后就立即下

山。他們兩人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山頂時(shí)

乙距山頂還有400米，甲回到山腳時(shí)乙剛好下到半山腰。求從山

腳到山頂?shù)木嚯x。

【分析與解】

本題的難點(diǎn)在于上山與下山的速度不同，如果能在不改變