華東師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)26.2.1二次函數(shù)y=ax2的圖象與性質(zhì)

1匯報(bào)人：AA2024-01-28華東師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)26.2.1二次函數(shù)y=ax2的圖象與性質(zhì)目錄contents二次函數(shù)y=ax2的基本概念二次函數(shù)y=ax2的圖象二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2的應(yīng)用二次函數(shù)y=ax2的拓展與延伸301二次函數(shù)y=ax2的基本概念0102二次函數(shù)的定義當(dāng)$b=0$且$c=0$時(shí)，二次函數(shù)簡化為$y=ax^2$，這是二次函數(shù)的一種特殊形式。二次函數(shù)是一般形式為$y=ax^2+bx+c$（其中$aneq0$）的函數(shù)。二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式為$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$是函數(shù)的頂點(diǎn)。對(duì)于形式$y=ax^2$的二次函數(shù)，其標(biāo)準(zhǔn)形式即為$y=ax^2$，頂點(diǎn)在原點(diǎn)。當(dāng)$a>0$時(shí)，圖象開口向上；當(dāng)$a<0$時(shí)，圖象開口向下。系數(shù)$a$決定了二次函數(shù)圖象的開口方向$|a|$越大，圖象越窄；$|a|$越小，圖象越寬。系數(shù)$a$還決定了二次函數(shù)圖象的寬窄程度二次函數(shù)的系數(shù)a的意義302二次函數(shù)y=ax2的圖象當(dāng)a<0時(shí)，圖象是一個(gè)向下開口的拋物線，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，圖象位于x軸的下方。拋物線的開口大小由|a|決定，|a|越大，開口越??；|a|越小，開口越大。當(dāng)a>0時(shí)，圖象是一個(gè)向上開口的拋物線，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，圖象位于x軸的上方。圖象的形狀與位置二次函數(shù)y=ax2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即對(duì)于任意點(diǎn)(x,y)在圖象上，點(diǎn)(-x,y)也在圖象上。拋物線的對(duì)稱軸是y軸，即x=0。圖象的對(duì)稱性二次函數(shù)y=ax2的圖象與x軸的交點(diǎn)是原點(diǎn)(0,0)。當(dāng)a>0時(shí)，圖象與y軸的交點(diǎn)是(0,0)；當(dāng)a<0時(shí)，圖象與y軸沒有交點(diǎn)。圖象不與其他坐標(biāo)軸有交點(diǎn)。圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)303二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)函數(shù)的增減性當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=ax2在x<0時(shí)單調(diào)遞減，在x>0時(shí)單調(diào)遞增。當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y=ax2在x<0時(shí)單調(diào)遞增，在x>0時(shí)單調(diào)遞減。當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=ax2有極小值點(diǎn)(0,0)，無極大值點(diǎn)。當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y=ax2有極大值點(diǎn)(0,0)，無極小值點(diǎn)。函數(shù)的極值當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=ax2在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增。以上內(nèi)容詳細(xì)闡述了華東師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)26.2.1二次函數(shù)y=ax2的圖象與性質(zhì)中二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)部分，包括函數(shù)的增減性、極值和單調(diào)性。這些內(nèi)容有助于學(xué)生更好地理解和掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用。當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y=ax2在(-∞,0)上單調(diào)遞增，在(0,+∞)上單調(diào)遞減。函數(shù)的單調(diào)性304二次函數(shù)y=ax2的應(yīng)用利用二次函數(shù)y=ax2可以表示某些幾何圖形的面積，如拋物線弓形的面積等，進(jìn)而求解相關(guān)問題。解決面積問題通過二次函數(shù)y=ax2的圖象，可以研究與之相關(guān)的幾何圖形的性質(zhì)，如對(duì)稱性、頂點(diǎn)、開口方向等。研究圖形性質(zhì)在幾何問題中的應(yīng)用在物理學(xué)中，二次函數(shù)y=ax2可以用來描述某些物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，如平拋運(yùn)動(dòng)、豎直上拋運(yùn)動(dòng)等。利用二次函數(shù)y=ax2的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，可以求解某些物理量（如速度、加速度等）的最大值或最小值問題。在物理問題中的應(yīng)用求解極值問題描述運(yùn)動(dòng)軌跡預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)趨勢(shì)二次函數(shù)y=ax2可以用來擬合某些經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，如預(yù)測(cè)銷售額、產(chǎn)量等。決策優(yōu)化問題在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，可以利用二次函數(shù)y=ax2來構(gòu)建某些決策問題的數(shù)學(xué)模型，并通過求解最值來得到最優(yōu)決策方案。同時(shí)，也可以利用二次函數(shù)圖象的直觀性來輔助分析和理解經(jīng)濟(jì)問題。例如，在成本和收益的分析中，可以使用二次函數(shù)來描述總成本或總收益與產(chǎn)量之間的關(guān)系，并通過觀察圖象的開口方向和頂點(diǎn)位置來判斷最優(yōu)產(chǎn)量和最大利潤點(diǎn)。此外，二次函數(shù)還可以用來描述價(jià)格彈性、市場(chǎng)需求等經(jīng)濟(jì)概念，為經(jīng)濟(jì)決策提供有力支持。在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用305二次函數(shù)y=ax2的拓展與延伸

二次函數(shù)的一般形式二次函數(shù)的一般形式為$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$為常數(shù)，且$aneq0$。當(dāng)$b=0$，$c=0$時(shí)，二次函數(shù)退化為$y=ax^2$的形式，稱為二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式。二次函數(shù)的圖象是一個(gè)拋物線，其對(duì)稱軸為$x=-frac{2a}$，頂點(diǎn)坐標(biāo)為$left(-frac{2a},c-frac{b^2}{4a}right)$。伸縮變換通過改變二次函數(shù)中的參數(shù)$a$，可以實(shí)現(xiàn)拋物線的伸縮變換。當(dāng)$|a|>1$時(shí)，拋物線變窄；當(dāng)$0<|a|<1$時(shí)，拋物線變寬。平移變換二次函數(shù)的圖象可以通過平移變換得到。當(dāng)$a>0$時(shí)，拋物線向上平移；當(dāng)$a<0$時(shí)，拋物線向下平移。同時(shí)，拋物線還可以左右平移。對(duì)稱變換二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱。當(dāng)對(duì)稱軸為$y$軸時(shí)，拋物線關(guān)于$y$軸對(duì)稱；當(dāng)對(duì)稱軸不為$y$軸時(shí)，拋物線關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱。二次函數(shù)的圖象變換一元二次方程是形如$ax^2+bx+c=0$的方程，其中$a$、$b$、$c$為常數(shù)且$aneq0$。二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的解有密切關(guān)系。當(dāng)一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)，拋物線與$x$軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)一元二次方程有一個(gè)重