2023-2024學年湘教版必修第二冊 4-4-1平面與平面平行第2課時平面與平面平行的性質(zhì) 學案

第2課時平面與平面平行的性質(zhì)教材要點要點一平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語言兩個平面平行，如果一個平面與這兩個平面________，那么兩條交線________．符號語言α∥β____________________圖形語言狀元隨筆（1）已知兩個平面平行，雖然一個平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個平面，但是這兩個平面內(nèi)的所有直線并不一定相互平行，它們可能是平行直線，也可能是異面直線，但不可能是相交直線．（2）該定理提供了證明線線平行的另一種方法，應(yīng)用時要緊扣與兩個平行平面都相交的第三個平面．要點二兩平行平面間的距離如果平面α平行于平面β，則稱平面α上任意一點到平面β的距離為平面α到平面β的距離．基礎(chǔ)自測1.思考辨析（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）一個平面與兩個平面相交，交線平行．（）（2）若平面α∥平面β，l?平面β，m?平面α，則l∥m.（）（3）已知兩個平面平行，若第三個平面與其中的一個平面平行，則也與另一個平面平行．（）（4）夾在兩平行平面間的平行線段相等．（）2.已知長方體ABCD-A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，則EF與E′F′的位置關(guān)系是（）A．平行B．相交C．異面D．不確定3.平面α∥平面β，直線a∥平面α，則（）A．a(chǎn)∥βB．a(chǎn)在平面β上C．a(chǎn)與β相交D．a(chǎn)∥β或a?β4.如圖所示，平面四邊形ABCD所在的平面與平面α平行，且四邊形ABCD在平面α內(nèi)的平行投影A1B1C1D1是一個平行四邊形，則四邊形ABCD的形狀一定是Ｗ．題型1利用面面平行的性質(zhì)定理證明線線平行例1如圖所示，平面四邊形ABCD的四個頂點A，B，C，D均在平行四邊形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．方法歸納證明直線與直線平行的方法（1）平面幾何中證明直線平行的方法．如同位角相等，兩直線平行；三角形中位線的性質(zhì)；平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行等；（2）基本事實4；（3）線面平行的性質(zhì)定理；（4）面面平行的性質(zhì)定理．跟蹤訓練1如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點，M是AB上一點，連接MC，N是PM與DE的交點，連接NF，求證：NF∥CM.題型2利用面面平行的性質(zhì)定理求線段長例2如圖，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直線AB與CD交于點S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求SC的長．方法歸納由面面平行，得到線線平行，然后利用平行線分線段成比例性質(zhì)就可解決問題．跟蹤訓練2如圖，已知在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點D，D1分別為AC，A1C1上的點．若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．題型3平行關(guān)系的綜合問題例3在三棱柱ABC-A1B1C1中，點D為AC的中點，點D1是A1C1上的一點．（1）當eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時，BC1∥平面AB1D1.（2）當BC1∥平面AB1D1時，求證：平面BC1D∥平面AB1D1.方法歸納（1）注意三種平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化．判定某一平行的過程就是從一平行關(guān)系出發(fā)不斷轉(zhuǎn)化的過程，在證明問題時要切實把握這一點，靈活地確定轉(zhuǎn)化思路和方向．（2）“平行關(guān)系”的應(yīng)用是證明線線、線面、面面平行的依據(jù)．充分理解并掌握三者之間的轉(zhuǎn)化，并進一步理解轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，是解決“平行關(guān)系”問題的關(guān)鍵所在．跟蹤訓練3如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設(shè)Q是CC1上的點，問：當點Q在什么位置時，平面D1BQ與平面PAO平行？課堂十分鐘1.若平面α∥平面β，直線a?α，點M∈β，過點M的所有直線中（）A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數(shù)條與a平行的直線D．有且只有一條與a平行的直線2.平面α∥平面β，點A，C∈α，B，D∈β，則直線AC∥直線BD的充要條件是（）A．AB∥CDB．AD∥CBC．AB與CD相交D．A，B，C，D四點共面3.如圖，不同在一個平面內(nèi)的三條平行直線和兩個平行平面相交，則兩個平行平面內(nèi)以交點為頂點的兩個三角形是（）A．相似但不全等的三角形B．全等三角形C．面積相等的不全等三角形D．以上結(jié)論都不對4.如圖，已知平面α∥β∥γ，兩條相交直線l，m分別與平面α，β，γ相交于A，B，C與D，E，F(xiàn)，若AB＝6，DE∶DF＝2∶5，則AC＝Ｗ．5.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)面對角線AB1，BC1上分別有兩點E，F(xiàn)，且B1E＝C1F.求證：EF∥平面ABCD.第2課時平面與平面平行的性質(zhì)新知初探·課前預習要點一相交平行α∩γ＝aβ∩γ[基礎(chǔ)自測]1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．解析：由面面平行的性質(zhì)定理易得．答案：A3．解析：如圖1滿足a∥α，α∥β，此時a∥β；如圖2滿足a∥α，α∥β，此時a?β，故選D.答案：D4．解析：由夾在兩平行平面間的平行線段相等可得．答案：平行四邊形題型探究·課堂解透例1證明：∵四邊形A′B′C′D′是平行四邊形，∴A′D′∥B′C′.∵A′D′?平面BB′C′C，B′C′?平面BB′C′C，∴A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C.∵A′D′?平面AA′D′D，AA′?平面AA′D′D，且A′D′∩AA'＝∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，平面ABCD∩平面BB′C′C＝BC，∴AD∥BC.同理可證AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形．跟蹤訓練1證明：因為D，E分別是PA，PB的中點，所以DE∥AB.又DE?平面ABC，AB?平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF?平面DEF所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.例2解析：設(shè)AB，CD共面γ，因為γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥所以AC∥BD，所以△SAC∽△SBD，所以SCSC+CD＝SASB，即SCSC+34所以SC＝17.跟蹤訓練2解析：連接A1B，設(shè)A1B∩AB1＝O，連接OD由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.知BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.所以A1D1D1又因為A1OOB＝1，所以DC例3解析：(1)A1D1D1C1＝1時，BC如圖，此時D1為線段A1C1的中點，連接A1B交AB1于O，連接OD1.由棱柱的定義知四邊形A1ABB1為平行四邊形，所以點O為A1B的中點．在△A1BC1中，點O，D1分別為A1B，A1C1的中點，所以O(shè)D1∥BC1.又因為OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1.所以當A1D1D1C1＝1時，BC(2)證明：由(1)知，當BC1∥平面AB1D1時，點D1是線段A1C1的中點，則有AD∥D1C1，且AD＝D1C1，所以四邊形ADC1D1是平行四邊形．所以AD1∥DC1.又因為DC1?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，所以DC1∥平面AB1D1.又因為BC1∥平面AB1D1，BC1?平面BC1D，DC1?平面BC1D，DC1∩BC1＝C所以平面BC1D∥平面AB1D1.跟蹤訓練3解析：如圖，設(shè)平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，點M在AA1上，平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性質(zhì)定理可得BQ∥D1M.假設(shè)平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥D1M∥AP.因為P為DD1的中點，所以M為AA1的中點，Q為CC1的中點，故當Q為CC1的中點時，平面D1BQ∥平面PAO.[課堂十分鐘]1．解析：由于α∥β，a?α，M∈β，過M有且只有一條直線與a平行，故D項正確．答案：D2．解析：充分性：A，B，C，D四點共面，由平面與平面平行的性質(zhì)知AC∥BD.必要性顯然成立．答案：D3．解析：由面面平行的性質(zhì)定理，得AC∥A′C′，則四邊形ACC′A′為平行四邊形，∴AC＝A′C′.同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′.答案：B4．解析：由面面