四川省瀘州市天立國(guó)際學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

四川省瀘州市天立國(guó)際學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．定義上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，設(shè)，則下列判斷正確的是（）A． B． C． D．2．設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部等于（）A． B． C． D．3．已知，是雙曲線的上、下兩個(gè)焦點(diǎn)，的直線與雙曲線的上下兩支分別交于點(diǎn)，，若為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．4．獨(dú)立性檢驗(yàn)中,假設(shè):運(yùn)動(dòng)員受傷與不做熱身運(yùn)動(dòng)沒有關(guān)系.在上述假設(shè)成立的情況下,計(jì)算得的觀測(cè)值.下列結(jié)論正確的是（）附：1．111.151.1111.1152.7163.8416.6357.879A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過1.11的前提下,認(rèn)為運(yùn)動(dòng)員受傷與不做熱身運(yùn)動(dòng)有關(guān)B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過1.11的前提下,認(rèn)為運(yùn)動(dòng)員受傷與不做熱身運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過1.115的前提下,認(rèn)為運(yùn)動(dòng)員受傷與不做熱身運(yùn)動(dòng)有關(guān)D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過1.115的前提下,認(rèn)為運(yùn)動(dòng)員受傷與不做熱身運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)5．由曲線xy=1，直線y=x,x=3及x軸所圍成的曲邊四邊形的面積為（）A．116B．92C．16．若y=fx在-∞,+∞可導(dǎo)，且lim△x→0fA．23 B．2 C．3 D．7．在如圖所示的“莖葉圖”表示的數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別（）.A．23與26 B．31與26 C．24與30 D．26與308．函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．9．設(shè)向量，，若向量與同向，則（）A．2 B．-2 C．±2 D．010．函數(shù)y=2x2–e|x|在[–2,2]的圖像大致為（）A． B． C． D．11．已知定義在上的函數(shù)滿足：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且當(dāng)成立(是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)),若，，,則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．12．某機(jī)構(gòu)需掌握55歲人群的睡眠情況，通過隨機(jī)抽查110名性別不同的55歲的人的睡眠質(zhì)量情況，得到如下列聯(lián)表男女總計(jì)好402060不好203050總計(jì)6050110由得，.根據(jù)表0.0500.0100.0013.8416.63510.828得到下列結(jié)論，正確的是（）A．有以下的把握認(rèn)為“睡眠質(zhì)量與性別有關(guān)”B．有以上的把握認(rèn)為“睡眠質(zhì)量與性別無(wú)關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為“睡眠質(zhì)量與性別有關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為“睡眠質(zhì)量與性別無(wú)關(guān)”二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足以下條件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(－x－2)＋f(x)＝0；③當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)＝lg(x＋1).則f()＋lg14＝________.14．若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，是上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，若兩點(diǎn)到直線的距離分別為，則的最大值為__________.15．在區(qū)間上隨機(jī)地取一個(gè)實(shí)數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足的概率為，則_______.16．某單位在周一到周六的六天中安排人值夜班，每人至少值一天，至多值兩天，值兩天的必須是相鄰的兩天，則不同的值班安排種數(shù)為______.（用數(shù)字作答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）最新研究發(fā)現(xiàn)，花太多時(shí)間玩手機(jī)游戲的兒童，患多動(dòng)癥的風(fēng)險(xiǎn)會(huì)加倍．青少年的大腦會(huì)很快習(xí)慣閃爍的屏幕、變幻莫測(cè)的手機(jī)游戲，一旦如此，他們?cè)诮淌业纫曈X刺激較少的地方，就很難集中注意力．研究人員對(duì)110名年齡在7歲到8歲的兒童隨機(jī)調(diào)查，并在孩子父母的幫助下記錄了他們?cè)?個(gè)月里玩手機(jī)游戲的習(xí)慣．同時(shí)，教師記下這些孩子出現(xiàn)的注意力不集中問題．統(tǒng)計(jì)得到下列數(shù)據(jù)：注意力不集中注意力集中總計(jì)不玩手機(jī)游戲204060玩手機(jī)游戲302050總計(jì)5060110（1）試估計(jì)7歲到8歲不玩手機(jī)游戲的兒童中注意力集中的概率；（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.010的前提下認(rèn)為玩手機(jī)游戲與注意力集中有關(guān)系？附表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8405.0246.6357.87910.828．18．（12分）已知橢圓的離心率為，拋物線與橢圓在第一線象限的交點(diǎn)為．（1）求曲線、的方程；（2）在拋物線上任取一點(diǎn)，在點(diǎn)處作拋物線的切線，若橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，且，，，，，，.（1）證明：平面；（2）求四棱錐的體積.20．（12分）閱讀：已知a、b∈(0,+∞)，a+b=1，求y=1解法如下：y=1當(dāng)且僅當(dāng)ba=2a則y=1a+應(yīng)用上述解法，求解下列問題：（1）已知a,b,c∈(0,+∞)，a+b+c=1，求y=1（2）已知x∈(0,12)（3）已知正數(shù)a1、a2、a3求證：S=a21．（12分）如圖，直角梯形中，，，，，底面，底面且有.（1）求證：；（2）若線段的中點(diǎn)為，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知橢圓：的左焦點(diǎn)左頂點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知，是橢圓上的兩點(diǎn)，，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).若，試問直線的斜率是否為定值？請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

設(shè)，故，函數(shù)單調(diào)遞減，，代入化簡(jiǎn)得到答案.【題目詳解】設(shè)，故，所以在上單調(diào)遞減，故，即，即，故.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.2、D【解題分析】分析：對(duì)所給的復(fù)數(shù)分子、分母同乘以，利用進(jìn)行化簡(jiǎn)，整理出實(shí)部和虛部即可．詳解：∵∴復(fù)數(shù)的虛部為故選D.點(diǎn)睛：本題考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位的冪運(yùn)算性質(zhì)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除時(shí)，一般需要分子和分母同時(shí)除以分母的共軛復(fù)數(shù)，再進(jìn)行化簡(jiǎn)求值．3、D【解題分析】根據(jù)雙曲線的定義，可得是等邊三角形，即∴即

即又

0°即解得由此可得雙曲線的漸近線方程為.故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查雙曲線的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)條件求出a，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．4、A【解題分析】

根據(jù)臨界值表找到犯錯(cuò)誤的概率，即可對(duì)各選項(xiàng)結(jié)論的正誤進(jìn)行判斷．【題目詳解】，因此，在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為運(yùn)動(dòng)員受傷與不做熱身運(yùn)動(dòng)有關(guān)，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，解題的關(guān)鍵就是利用臨界值表找出犯錯(cuò)誤的概率，考查分析能力，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解題分析】試題分析：由題意得，由xy=1和y=x，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，所以圍成的封閉圖形的面積S==(1考點(diǎn)：定積分求解曲邊形的面積．6、D【解題分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行求解即可．【題目詳解】∵lim△x→0∴23即23則f'故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的極限定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．7、B【解題分析】

根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)，結(jié)合眾數(shù)與中位數(shù)的概念，即可求解，得到答案.【題目詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，可得眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，即眾數(shù)為，又由中位數(shù)的定義，可得數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了莖葉圖的應(yīng)用，其中解答中正確讀取莖葉圖的數(shù)據(jù)，以及熟記眾數(shù)、中位數(shù)的概念是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】,如圖所示可知,,因此最小值為2,故選C.點(diǎn)睛:解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)零點(diǎn)分段去掉絕對(duì)值,將函數(shù)表達(dá)式寫成分段函數(shù)的形式,并畫出圖像求出最小值.恒成立問題的解決方法(1)f(x)<m恒成立，須有[f(x)]max<m；(2)f(x)>m恒成立，須有[f(x)]min>m；(3)不等式的解集為R，即不等式恒成立；(4)不等式的解集為?，即不等式無(wú)解．9、A【解題分析】

由與平行，利用向量平行的公式求得x,驗(yàn)證與同向即可得解【題目詳解】由與平行得，所以，又因?yàn)橥蚱叫?，所?故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查向量共線（平行）的概念，考查計(jì)算求解的能力，屬基礎(chǔ)題．10、D【解題分析】試題分析：函數(shù)f（x）=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，因?yàn)閒(2)=8-e2,0<8-e2<1，所以排除A,B選項(xiàng)；當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，y'=4x-ex有一零點(diǎn)，設(shè)為11、A【解題分析】

由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出當(dāng)x∈（﹣∞，0）或x∈（0，+∞）時(shí)，函數(shù)y=xf（x）單調(diào)遞減．由此能求出結(jié)果．【題目詳解】∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，∴關(guān)于軸對(duì)稱，∴函數(shù)為奇函數(shù).因?yàn)?，∴?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.，，，，故選A【題目點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對(duì)應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等12、C【解題分析】

根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想判斷得解.【題目詳解】因?yàn)椋鶕?jù)表可知；選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1.【解題分析】分析：由①②知函數(shù)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，由此即可求出答案.詳解：由①②知函數(shù)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，于是f()＝f＝f＝－f，又當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)＝lg(x＋1)，f()＝－f＝－lg＝lg，故f()＋lg14＝lg＋lg14＝lg10＝1.故答案為：1.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)周期性的使用，函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)．對(duì)函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值．14、【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性先求解出的值，然后根據(jù)判斷出中點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)轉(zhuǎn)化關(guān)系將的最大值轉(zhuǎn)化為圓上點(diǎn)到直線的距離最大值，由此求解出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以是偶函?shù)，又因?yàn)橛形ㄒ涣泓c(diǎn)，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，設(shè)的中點(diǎn)為，，如下圖所示：所以，又因?yàn)?，所以，所以的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，所以當(dāng)取最大值時(shí)，為過垂直于的線段與的交點(diǎn)，所以，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)奇偶性、圓中的軌跡方程、圓上點(diǎn)到直線的距離最值，屬于綜合型題型，難度較難.圓上點(diǎn)到一條與圓相離直線的距離最值求解方法：先計(jì)算出圓心到直線的距離，則距離最大值為，距離最小值為.15、2【解題分析】

畫出數(shù)軸，利用滿足的概率，可以求出的值即可.【題目詳解】如圖所示，區(qū)間的長(zhǎng)度是6，在區(qū)間上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，若滿足的概率為，則有，解得，故答案是：2.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)長(zhǎng)度型幾何概型的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有長(zhǎng)度型幾何概型的概率公式，屬于簡(jiǎn)單題目.16、【解題分析】

依題意，先求出相鄰2天的所有種數(shù)，再選2名值相鄰的2天，剩下2人各值1天利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求得答案．【題目詳解】單位在周一到周六的六天中安排4人值夜班，每人至少值一天，至多值兩天，值兩天的必須是相鄰的兩天．故相鄰的有12，34，5，6和12，3，45，6和12，3，4，56和1，23，45，6和1，23，4，56和1，2，34，56，共6種情形，選2名值相鄰的2天，剩下2人各值1天，故有種，故答案為：144.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了求事件的排列數(shù)，解題關(guān)鍵是理解題意結(jié)合排列數(shù)公式進(jìn)行求解，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.010的前提下認(rèn)為玩手機(jī)游戲與注意力集中有關(guān)系．【解題分析】

（1）利用頻率表示概率即得解；（2）根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)計(jì)算的值，對(duì)照表格中的數(shù)據(jù)，可得出結(jié)論.【題目詳解】（1）根據(jù)題設(shè)數(shù)據(jù)，可得7歲到8歲不玩手機(jī)游戲的兒童中注意力集中的概率為．（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，．可見，，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.010的前提下認(rèn)為玩手機(jī)游戲與注意力集中有關(guān)系．【題目點(diǎn)撥】本題考查了頻率估計(jì)概率以及列聯(lián)表的應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1），（2）【解題分析】

（1）根據(jù)離心率可得，再將點(diǎn)分別代入兩個(gè)曲線，求得曲線方程；（2）首先設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的方程，設(shè)橢圓上關(guān)于l對(duì)稱的兩點(diǎn)為，，那么設(shè)直線的方程，，轉(zhuǎn)化為直線與橢圓有交點(diǎn)，并且的中點(diǎn)落在切線上的問題，最后根據(jù)，求得的范圍.【題目詳解】解：（1）由已知得：，所以．把代入橢圓，解得，所以，得橢圓．把代入拋物線得，所以拋物線．（2）設(shè)點(diǎn)，拋物線，所以，所以切線.設(shè)橢圓上關(guān)于l對(duì)稱的兩點(diǎn)為，.（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)直線.代入橢圓得：．，化簡(jiǎn)得.……（*），所以MN的中點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo).要使M，N關(guān)于直線l對(duì)稱，則點(diǎn)Q在直線l上，即，化簡(jiǎn)得：，代入（*）式解得.（2）當(dāng)時(shí)，顯然滿足要求.綜上所述：，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題考查了求曲線方程，以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸，以及計(jì)算能力，屬于中檔題型.19、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）先證明，，再證明平面；（2）連接，求出AC,CB的長(zhǎng)，再求四棱錐的體積.【題目詳解】（1）證明：因?yàn)?，，所以，即，同理可得，因?yàn)?，所以平?（2）解：連接，，，..【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面垂直關(guān)系的證明，考查錐體的體積是計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.20、（3）3；（2）2；（3）證明見解析.【解題分析】

利用“乘3法”和基本不等式即可得出．【題目詳解】解（3）∵a+b+c＝3，∴y=1a+1b+1c=（a+b+當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c=13時(shí)取等號(hào)．即y=1（2）y=22x+而x∈(0，12)當(dāng)且僅當(dāng)2(1-2x)2x=8?2x1-2x，即x=16∈∴函數(shù)y=1x+（3）∵a3+a2+a3+…+an＝3，∴2S＝（a12a1+a2+a22a2+a3+a32=(a≥(a12+a2當(dāng)且僅當(dāng)a1=a【題目點(diǎn)撥】本題考查了“乘3法”和基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．21、(1)證明見解析；(2).【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)線段長(zhǎng)度的關(guān)系得到，，、是平面內(nèi)的相交直線，平面，進(jìn)而得到線線垂直；（2）常用的方法是建系，建立空間坐標(biāo)系，求得直線的方向向量和面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式得到線面