湖北省鄂州市部分高中聯(lián)考協(xié)作體2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

湖北省鄂州市部分高中聯(lián)考協(xié)作體2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．口袋中裝有5個(gè)形狀和大小完全相同的小球，編號分別為1，2，3，4，5，從中任意取出3個(gè)小球，以表示取出球的最大號碼，則()A． B． C． D．2．下列命題中,正確的命題是（）A．若，則B．若，則不成立C．，則或D．，則且3．設(shè)函數(shù)，則（）A．9 B．11 C．13 D．154．在一次投籃訓(xùn)練中，某隊(duì)員連續(xù)投籃兩次.設(shè)命題是“第一次投中”，是“第二次投中”，則命題“兩次都沒有投中目標(biāo)”可表示為A． B． C． D．5．運(yùn)用祖暅原理計(jì)算球的體積時(shí)，構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，與半球（如圖一）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐（如圖二），用任何一個(gè)平行與底面的平面去截它們時(shí)，可證得所截得的兩個(gè)截面面積相等，由此證明該幾何體與半球體積相等.現(xiàn)將橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖三），類比上述方法，運(yùn)用祖暅原理可求得其體積等于（）A． B． C． D．6．函數(shù)f(x)=3A． B． C． D．7．六位同學(xué)排成一排，其中甲和乙兩位同學(xué)相鄰的排法有（）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種8．小明同學(xué)在做市場調(diào)查時(shí)得到如下樣本數(shù)據(jù)13610842他由此得到回歸直線的方程為，則下列說法正確的是()①變量與線性負(fù)相關(guān)②當(dāng)時(shí)可以估計(jì)③④變量與之間是函數(shù)關(guān)系A(chǔ)．① B．①② C．①②③ D．①②③④9．在圓中，弦的長為4，則（）A．8 B．-8 C．4 D．-410．“”是“”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且以2為周期，當(dāng)時(shí)，，則的值為（）A． B． C． D．12．已知，，復(fù)數(shù)，則（）A． B．1 C．0 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)在圓：內(nèi)，過點(diǎn)的直線與圓交于點(diǎn)，.若面積的最大值小于2,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.14．在中，，，，則的面積等于__________.15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且16．若隨機(jī)變量，且，則_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，曲線在點(diǎn)處的切線平分圓C：的周長.（1）求a的值；（2）討論函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).18．（12分）已知復(fù)數(shù)與都是純虛數(shù)，復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位.（1）求復(fù)數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)z滿足，求z.19．（12分）在四棱錐中，，是的中點(diǎn)，面面（1）證明：面；（2）若，求二面角的余弦值．20．（12分）如圖，在正三棱錐中，側(cè)棱長和底邊長均為，點(diǎn)為底面中心.（1）求正三棱錐的體積；（2）求證：.21．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像在區(qū)間上沒有交點(diǎn).22．（10分）已知橢圓左右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上的點(diǎn)到，的距離之和為，求橢圓的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；若、是關(guān)于對稱的兩點(diǎn)，是上任意一點(diǎn)，直線，的斜率都存在，記為，，求證：與之積為定值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

首先計(jì)算各個(gè)情況概率,利用數(shù)學(xué)期望公式得到答案.【題目詳解】故.故本題正確答案為A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了概率的計(jì)算和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、C【解題分析】

A．根據(jù)復(fù)數(shù)虛部相同，實(shí)部不同時(shí)，舉例可判斷結(jié)論是否正確；B．根據(jù)實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)還是其本身判斷是否成立；C．根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則可知是否正確；D．考慮特殊情況：，由此判斷是否正確.【題目詳解】A．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無法比較大小，故錯(cuò)誤；B．當(dāng)時(shí)，，所以，所以此時(shí)成立，故錯(cuò)誤；C．根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則可知：或，故正確；D．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)且，故錯(cuò)誤.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的綜合，難度一般.(1)注意實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的子集，因此實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù)；(2)若，則有.3、B【解題分析】

根據(jù)自變量所在的范圍代入相應(yīng)的解析式計(jì)算即可得到答案.【題目詳解】∵函數(shù)，∴=2+9=1．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)值的求法，考查指對函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】分析：結(jié)合課本知識點(diǎn)命題的否定和“且”聯(lián)結(jié)的命題表示來解答詳解：命題是“第一次投中”，則命題是“第一次沒投中”同理可得命題是“第二次沒投中”則命題“兩次都沒有投中目標(biāo)”可表示為故選點(diǎn)睛：本題主要考查了，以及的概念，并理解為真時(shí)，，中至少有一個(gè)為真。5、C【解題分析】

根據(jù)橢圓方程,構(gòu)造一個(gè)底面半徑為2,高為3的圓柱,通過計(jì)算可知高相等時(shí)截面面積相等,因而由祖暅原理可得橄欖球幾何體的體積的一半等于圓柱的體積減去圓錐的體積.【題目詳解】由橢圓方程,構(gòu)造一個(gè)底面半徑為2,高為3的圓柱在圓柱中挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)、上底面為底面的圓錐當(dāng)截面與底面距離為時(shí)，截圓錐得到的截面小圓半徑為則，即所以截面面積為把代入橢圓方程，可求得所以橄欖球形狀幾何體的截面面積為由祖暅原理可得橄欖球幾何體的體積為故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查了類比推理的綜合應(yīng)用,空間幾何體體積的求法,屬于中檔題.6、B【解題分析】

取特殊值排除得到答案.【題目詳解】f(x)=3x故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)圖像的判斷，特殊值可以簡化運(yùn)算.7、C【解題分析】分析：直接利用捆綁法求解.詳解：把甲和乙捆綁在一起，有種方法，再把六個(gè)同學(xué)看成5個(gè)整體進(jìn)行排列，有種方法，由乘法分步原理得甲和乙兩位同學(xué)相鄰的排法有種.故答案為：C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查排列組合的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)遇到相鄰問題，常用捆綁法，先把相鄰元素捆綁在一起，再進(jìn)行排列.8、C【解題分析】

根據(jù)數(shù)據(jù)和回歸方程對每一個(gè)選項(xiàng)逐一判斷得到答案.【題目詳解】①變量與線性負(fù)相關(guān),正確②將代入回歸方程，得到，正確③將代入回歸方程，解得，正確④變量與之間是相關(guān)關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系，錯(cuò)誤答案為C【題目點(diǎn)撥】本題考查了回歸方程的相關(guān)知識，其中中心點(diǎn)一定在回歸方程上是同學(xué)容易遺忘的知識點(diǎn).9、A【解題分析】分析：根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義，老鷹圓的垂徑定理，即可求得答案.詳解：如圖所示，在圓中，過點(diǎn)作于，則為的中點(diǎn)，在中，，可得，所以，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中解答中涉及到圓的性質(zhì)，直角三角形中三角函數(shù)的定義和向量的數(shù)量積的公式等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，著重考查了分析問題和解答問題的能力.10、A【解題分析】

利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷【題目詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，即所以“”是“”的充分不必要條件故選：A【題目點(diǎn)撥】此題考查充分條件，必要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題11、A【解題分析】

根據(jù)題意可得：，代入中計(jì)算即可得到答案。【題目詳解】由于；因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且以2為周期；所以又因?yàn)?，所以；故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，奇偶性、周期性，以及對數(shù)的有關(guān)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。12、B【解題分析】分析：先將等式右邊化簡，然后根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件即可.詳解：故選B.點(diǎn)睛：考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：先根據(jù)三角形面積公式確定∠ACB范圍，再根據(jù)垂徑定理圓心到直線距離范圍，最后結(jié)合O在圓內(nèi)求實(shí)數(shù)的取值范圍詳解：因?yàn)槊娣e的最大值小于2,，所以,所以圓心C到直線距離因此點(diǎn)睛：涉及圓中弦長問題，一般利用垂徑定理進(jìn)行解決，具體就是利用半徑的平方等于圓心到直線距離平方與弦長一半平方的和；直線與圓位置關(guān)系，一般利用圓心到直線距離與半徑大小關(guān)系進(jìn)行判斷.14、【解題分析】

通過余弦定理求出AB的長，然后利用三角形的面積公式求解即可．【題目詳解】設(shè)AB=c，在△ABC中，由余弦定理知AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosB，即7=c2+4﹣2×2×c×cos60°，c2﹣2c﹣1=0，又c＞0，∴c=1．S△ABC=AB?BCsinB=BC?h，可知S△ABC=×1×2×=．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形的面積求法，余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．15、π【解題分析】依題意，由正弦定理得sinAcosB-sinBcosA=1216、【解題分析】

由，得，兩個(gè)式子相加，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性和概率和為1即可得到答案．【題目詳解】由隨機(jī)變量，且，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性得且正態(tài)分布的概率和為1，得.故答案為0.15【題目點(diǎn)撥】本題考查了正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【解題分析】

（1）求得曲線在點(diǎn)處的切線，根據(jù)題意可知圓C的圓心在此切線上，可得a的值.（2）根據(jù)得出極值，結(jié)合單調(diào)區(qū)間和函數(shù)圖像，分類討論的值和交點(diǎn)個(gè)數(shù)?！绢}目詳解】（1），∴，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為由切線平分圓C：的周長可知圓心在切線上，∴，∴（2）由（1）知，，令，解得或當(dāng)或時(shí)，，故在，上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù).由此可知，在處取得極大值在處取得極小值大致圖像如圖：當(dāng)或時(shí)，的圖象與直線有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng)或時(shí)，的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn).【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線，研究單調(diào)區(qū)間，考查數(shù)形結(jié)合思想求解交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用純虛數(shù)的定義設(shè)出并表示即可求解.（2）代入和，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可.【題目詳解】（1）設(shè)，則由題意得.∴∴（2）∵∴【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)四則運(yùn)算，純虛數(shù)的概念等知識，是基礎(chǔ)題19、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】試題分析：（Ⅰ）取PB的中點(diǎn)F，連接AF，EF，由三角形的中位線定理可得四邊形ADEF是平行四邊形．得到DE∥AF，再由線面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，由題意證得A在以BC為直徑的圓上，可得AB⊥AC，找出二面角A-PC-D的平面角．求解三角形可得二面角A-PC-D的余弦值．試題解析：（Ⅰ）證明：取PB的中點(diǎn)F，連接AF，EF．∵EF是△PBC的中位線，∴EF∥BC，且EF=．又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，則四邊形ADEF是平行四邊形．∴DE∥AF，又DE?面ABP，AF?面ABP，∴ED∥面PAB（Ⅱ）法一、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，則AD∥MC且AD=MC，∴四邊形ADCM是平行四邊形，∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上．∴AB⊥AC，可得．過D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，則DG⊥PC．過G作GH⊥PC于H，則PC⊥面GHD，連接DH，則PC⊥DH，∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．在△ADC中，，連接AE，．在Rt△GDH中，，∴，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值法二、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，則AD∥MC，且AD=MC．∴四邊形ADCM是平行四邊形，∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上，∴AB⊥AC．∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．如圖以A為原點(diǎn)，方向分別為x軸正方向，y軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．可得，．設(shè)P（x，0，z），（z＞0），依題意有，，解得．則，，．設(shè)面PDC的一個(gè)法向量為，由，取x0=1，得．為面PAC的一個(gè)法向量，且，設(shè)二面角A﹣PC﹣D的大小為θ，則有，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．20、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）連接，根據(jù)題意得到底面，，求出，再由三棱錐的體積公式，即可求出結(jié)果；（2）取的中點(diǎn)為，連接，，得到，，根據(jù)線面垂直的判定定理，得到平面，進(jìn)而可得出結(jié)果.【題目詳解】（1）連接，因?yàn)樵谡忮F中，側(cè)棱長和底邊長均為，點(diǎn)為底面中心，所以底面，，因此；所以正三棱錐的體積；（2）取的中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)樵谡忮F中，側(cè)棱長和底邊長均為，所以，，又，平面，平面，所以平面；又平面，因此.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求三棱錐的體積，以及證明線線垂直，熟記棱錐的體積公式，以及線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可，屬于常考題型.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.【解題分析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率，利用直線的點(diǎn)斜式