2024屆吉林省四平市公主嶺市第五高級中學高二數(shù)學第二學期期末復習檢測試題含解析

2024屆吉林省四平市公主嶺市第五高級中學高二數(shù)學第二學期期末復習檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．的外接圓的圓心為，，，則等于（）A． B． C． D．2．的展開式中有理項系數(shù)之和為（）A． B． C． D．3．某公司從甲、乙、丙、丁四名員工中安排了一名員工出國研學.有人詢問了四名員工，甲說：“好像是乙或丙去了.”乙說：“甲、丙都沒去.”丙說：“是丁去了.”丁說：“丙說的不對.”若四名員工中只有一個人說的對，則出國研學的員工是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4．函數(shù)，則在點處的切線方程為（）A． B． C． D．5．已知定義在上的函數(shù)在上單調遞減，且是偶函數(shù)，不等式對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．6．《九章算術》中有這樣一個問題：今有竹九節(jié)，欲均減容之（其意為：使容量均勻遞減），上三節(jié)容四升，下三節(jié)容二升，中三節(jié)容幾何？（）A．二升 B．三升 C．四升 D．五升7．函數(shù)有()A．最大值為1 B．最小值為1C．最大值為 D．最小值為8．若函數(shù)在上有最大值無最小值，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知扇形的圓心角為弧度，半徑為，則扇形的面積是（）A． B． C． D．10．已知與之間的一組數(shù)據(jù)，則與的線性回歸方程必過點（）A． B． C． D．11．有一項活動,在4名男生和3名女生中選2人參加,必須有男生參加的選法有（）種.A．18 B．20 C．24 D．3012．已知復數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．己知函數(shù)，則不等式的解集是_______.14．冪函數(shù)的圖像過點,則的減區(qū)間為__________.15．已知雙曲線的左右焦點分別為，過點的直線交雙曲線右支于兩點，若是以為直角頂點的等腰三角形，則的面積為__________．16．若圓錐的側面積為，底面積為，則該圓錐的體積為____________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）四個不同的小球放入編號為1,2,3,4的四個盒子中.(1)若每個盒子放一個球,則共有多少種不同的放法?(2)恰有一個空盒的放法共有多少種?18．（12分）已知函數(shù)（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調區(qū)間.19．（12分）如圖,某軍艦艇位于島的的正西方處,且與島的相距12海里.經(jīng)過偵察發(fā)現(xiàn),國際海盜船以10海里/小時的速度從島嶼出發(fā)沿北偏東30°方向逃竄,同時,該軍艦艇從處出發(fā)沿北偏東的方向勻速追趕國際海盜船,恰好用2小時追上.（1）求該軍艦艇的速度.（2）求的值.20．（12分）已知函數(shù)f(x)＝alnx＋(a∈R)．(1)當a＝1時，求f(x)在x∈[1，＋∞)內的最小值；(2)若f(x)存在單調遞減區(qū)間，求a的取值范圍；(3)求證ln(n＋1)>(n∈N*)．21．（12分）如圖，多面體中，兩兩垂直，且，，，.(Ⅰ)若點在線段上，且，求證:平面；(Ⅱ)求直線與平面所成的角的正弦值；(Ⅲ)求銳二面角的余弦值.22．（10分）已知復數(shù)，i為虛數(shù)單位．（1）求；（2）若復數(shù)z滿足，求的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

，選C2、B【解題分析】分析：在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)為整數(shù)，求出r的值，再利用二項式系數(shù)的性質，即可求得展開式中有理項系數(shù)之和．詳解：（1+）6的展開式的通項公式為Tr+1=?，令為整數(shù)，可得r=0，2，4，6，故展開式中有理項系數(shù)之和為+++=25=32，故選：B．點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數(shù)3、A【解題分析】

逐一假設成立，分析，可推出?！绢}目詳解】若乙去，則甲、乙、丁都說的對，不符合題意；若丙去，則甲、丁都說的對，不符合題意；若丁去，則乙、丙都說的對，不符合題意；若甲去，則甲、乙、丙都說的不對，丁說的對，符合題意.故選A.【題目點撥】本題考查合情推理，屬于基礎題。4、A【解題分析】分析：先求導數(shù)，根據(jù)導數(shù)幾何意義得切線斜率，再根據(jù)點斜式求切線方程.詳解：因為，所以所以切線方程為選A.點睛：求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點.5、A【解題分析】

根據(jù)是偶函數(shù)可以得出函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)函數(shù)在上單調遞減可以得出函數(shù)在上的單調區(qū)間，從而解出不等式對任意的恒成立時的取值范圍．【題目詳解】是偶函數(shù)，所以得出函數(shù)的對稱軸為，又因為函數(shù)在上單調遞減，所以在上單調遞增．因為，所以．因為不等式對任意的恒成立，所以．選擇A【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的對稱軸和奇偶性的綜合問題，在解決此類題目時要搞清楚每一個條件能得出什么結論，把這些結論綜合起來即得出結果．屬于較難的題目．6、B【解題分析】

由題意可得，上、中、下三節(jié)的容量成等差數(shù)列．再利用等差數(shù)列的性質，求出中三節(jié)容量，即可得到答案．【題目詳解】由題意，上、中、下三節(jié)的容量成等差數(shù)列，上三節(jié)容四升，下三節(jié)容二升，則中三節(jié)容量為，故選B．【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列的性質的應用，其中解答中熟記等差數(shù)列的等差中項公式是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．7、A【解題分析】

對函數(shù)進行求導，判斷出函數(shù)的單調性，進而判斷出函數(shù)的最值情況.【題目詳解】解:，當時，，當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，有最大值為，故選A.【題目點撥】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)最值問題，對函數(shù)的導函數(shù)的正負性的判斷是解題的關鍵.8、C【解題分析】

分析：函數(shù)在上有最大值無最小值，則極大值在之間，一階導函數(shù)有根在，且左側函數(shù)值小于1，右側函數(shù)值大于1，列不等式求解詳解：f′（x）＝3ax2+4x+1，x∈（1，2）．a＝1時，f′（x）＝4x+1＞1，函數(shù)f（x）在x∈（1，2）內單調遞增，無極值，舍去．a≠1時，△＝16﹣12a．由△≤1，解得，此時f′（x）≥1，函數(shù)f（x）在x∈（1，2）內單調遞增，無極值，舍去．由△＞1，解得a（a≠1），由f′（x）＝1，解得x1，x2．當時，x1＜1，x2＜1，因此f′（x）≥1，函數(shù)f（x）在x∈（1，2）內單調遞增，無極值，舍去．當a＜1時，x1＞1，x2＜1，∵函數(shù)f（x）＝ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值無最小值，∴必然有f′（x1）＝1，∴12，a＜1．解得：a．綜上可得：a．故選：C．點睛：極值轉化為最值的性質：1、若上有唯一的極小值，且無極大值，那么極小值為的最小值；2、若上有唯一的極大值，且無極小值，那么極大值為的最大值；9、D【解題分析】

利用扇形面積公式（為扇形的圓心角的弧度數(shù)，為扇形的半徑），可計算出扇形的面積.【題目詳解】由題意可知，扇形的面積為，故選D.【題目點撥】本題考查扇形面積的計算，意在考查扇形公式的理解與應用，考查計算能力，屬于基礎題.10、C【解題分析】

計算出和，即可得出回歸直線必過的點的坐標.【題目詳解】由題意可得，，因此，回歸直線必過點，故選：C.【題目點撥】本題考查回歸直線必過的點的坐標，解題時要熟悉“回歸直線過樣本中心點”這一結論的應用，考查結論的應用，屬于基礎題.11、A【解題分析】

分類：（1）人中有人是男生；（2）人都是男生.【題目詳解】若人中有人是男生，則有種；若人都是男生，則有種；則共有種選法.【題目點撥】排列組合中，首先對于兩個基本原理：分類加法、分步乘法，要能充分理解，它是后面解答排列組合綜合問題的基礎.12、C【解題分析】

，，故選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)題意，分析可得函數(shù)f（x）＝x2（2x﹣2﹣x）為奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)，則不等式f（2x+1）+f（1）0可以轉化為2x+1﹣1，解可得x的取值范圍，即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，對于函數(shù)f（x）＝x2（2x﹣2﹣x），有f（﹣x）＝（﹣x）2（2﹣x﹣2x）＝﹣x2（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，函數(shù)f（x）＝x2（2x﹣2﹣x），其導數(shù)f′（x）＝2x（2x﹣2﹣x）+x2?ln2（2x+2﹣x）＞0，則f（x）為增函數(shù)；不等式f（2x+1）+f（1）0?f（2x+1）﹣f（1）?f（2x+1）f（﹣1）?2x+1﹣1，解可得x﹣1；即f（2x+1）+f（1）0的解集是[﹣1,+∞）；故答案為[﹣1,+∞）．【題目點撥】本題主要考查不等式的求解，利用條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調性，以及利用奇偶性和單調性的性質將不等式進行轉化是解決本題的關鍵．14、【解題分析】

設冪函數(shù)的解析式為，代入點，得到的值，得到的解析式和定義域，再寫出的解析式，研究其定義域和單調區(qū)間，從而求出的減區(qū)間.【題目詳解】設冪函數(shù)的解析式為代入點，得，所以所以冪函數(shù)為，定義域為，所以，則需要即其定義域為或，而的對稱軸為所以其單調減區(qū)間為所以的減區(qū)間為.【題目點撥】本題考查求冪函數(shù)的解析式，求具體函數(shù)的單調區(qū)間，屬于簡單題.15、【解題分析】設，根據(jù)雙曲線的定義，有，即.，，故三角形面積為.點睛：本題主要考查雙曲線的定義，考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法和化歸與轉化的數(shù)學思想方法.解答直線與圓錐曲線位置關系題目時，首先根據(jù)題意畫出曲線的圖像，然后結合圓錐曲線的定義和題目所給已知條件來求解.利用題目所給等腰直角三角形，結合定義可求得直角三角形的邊長，由此求得面積.16、【解題分析】試題分析：因為，圓錐的側面積為，底面積為，所以，解得，，所以，該圓錐的體積為．考點：圓錐的幾何特征點評：簡單題，圓錐之中，要弄清r,h,l之間的關系，熟練掌握面積、體積計算公式．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)24;(2)144.【解題分析】分析：（1）直接把4個球全排列即得共有多少種不同的放法.(2)利用乘法分步原理解答.詳解：(1)每個盒子放一個球,共有=24種不同的放法.(2)先選后排,分三步完成:第一步:四個盒子中選一只為空盒,有4種選法;第二步:選兩球為一個元素,有種選法;第三步:三個元素放入三個盒中,有種放法.故共有4×6×6=144種放法.點睛：（1）本題主要考查計數(shù)原理和排列組合的綜合應用，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常用解法有一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復雜問題分類法、小數(shù)問題列舉法.18、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）利用解析式求出切點坐標，再利用導數(shù)求出切線斜率，從而得到切線方程；（2）求導后可知導函數(shù)的正負由的符號決定；分別在，和三種情況下討論的正負，從而得到導函數(shù)的正負，進而確定的單調區(qū)間；在討論時要注意的定義域與的根的大小關系.【題目詳解】當時，，則又，所以在處的切線方程為，即（2）由函數(shù)，得：當時，又函數(shù)的定義域為所以的單調遞減區(qū)間為當時，令，即，解得：當時，所以變化情況如下表：極小值所以的單調遞減區(qū)間為，；單調遞增區(qū)間為當時，所以變化情況如下表：極大值所以的單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為，【題目點撥】本題考查利用導數(shù)的幾何意義求解切線方程、討論含參數(shù)函數(shù)的單調性問題；解決含參函數(shù)單調性問題的關鍵是對于影響導函數(shù)符號的式子的討論；本題的易錯點是在討論過程中忽略最高次項系數(shù)為零的情況和函數(shù)的定義域的影響.19、（1）14海里/小時；（2）.【解題分析】分析：（1）由題設可以得到的長，在中利用余弦定理可以得到的長，從而得到艦艇的速度；（2）在中利用正弦定理可得的值.詳解：(1)依題意知，，，在中，由余弦定理得，解得，所以該軍艦艇的速度為海里/小時．(2)在中，由正弦定理，得，即．點睛：與解三角形相關的實際問題中，我們常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它們的差別.另外，把實際問題抽象為解三角形問題時，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，這樣才能確定用什么定理去解決.20、（1）最小值為f(1)＝1.（2）a<.（3）見解析【解題分析】試題分析：（1）可先求f′（x），從而判斷f（x）在x∈[1，+∞）上的單調性，利用其單調性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（2）求h′（x），可得，若f（x）存在單調遞減區(qū)間，需h′（x）＜0有正數(shù)解．從而轉化為：有x＞0的解．通過對a分a=0，a＜0與當a＞0三種情況討論解得a的取值范圍；（3）可用數(shù)學歸納法予以證明．當n=1時，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1?，即時命題成立；設當n=k時，命題成立，即成立，再去證明n=k+1時，成立即可（需用好歸納假設）．試題解析：（1），定義域為．在上是增函數(shù)．．（2）因為因為若存在單調遞減區(qū)間，所以有正數(shù)解．即有的解當時，明顯成立．②當時，開口向下的拋物線，總有的解；③當時，開口向上的拋物線，即方程有正根．因為，所以方程有兩正根．當時，；，解得．綜合①②③知：．或：有的解即有的解，即有的解，的最大值，（3）（法一）根據(jù)（Ⅰ）的結論，當時，，即．令，則有，．，．(法二)當時，．，，即時命題成立．設當時，命題成立，即．時，．根據(jù)（Ⅰ）的結論，當時，，即．令，則有，則有，即時命題也成立．因此，由數(shù)學歸納法可知不等式成立．考點：1．利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；2．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性