黑龍江省哈爾濱市師范大學附屬中學2024屆數(shù)學高二下期末達標檢測試題含解析

黑龍江省哈爾濱市師范大學附屬中學2024屆數(shù)學高二下期末達標檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，函數(shù)的導函數(shù)是，若是偶函數(shù)，則曲線在原點處的切線方程為（）A． B． C． D．2．已知，，則等于()A． B． C． D．3．設集合M={0，1，2}，則（）A．1∈MB．2?MC．3∈MD．{0}∈M4．已知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．和 B．和C．和 D．5．已知、為雙曲線C：的左、右焦點，點P在C上，∠P=，則P到x軸的距離為A． B． C． D．6．已知直線l的參數(shù)方程為x=t+1，y=t-1，（tA．0° B．45° C．907．若復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)，對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知曲線與恰好存在兩條公切線，則實數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．9．某科研機構為了研究中年人禿頭是否與患有心臟病有關，隨機調(diào)查了一些中年人的情況，具體數(shù)據(jù)如下表所示：有心臟病無心臟病禿發(fā)20300不禿發(fā)5450根據(jù)表中數(shù)據(jù)得，由斷定禿發(fā)與患有心臟病有關，那么這種判斷出錯的可能性為（）附表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A．0.1 B．0.05C．0.01 D．0.00110．定義在上的函數(shù)滿足為自然對數(shù)的底數(shù)），其中為的導函數(shù)，若，則的解集為（）A． B． C． D．11．若，且m，n，，則（）A． B． C． D．12．隨著國家二孩政策的全面放開，為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機構用簡單隨機抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女，結果如下表.非一線城市一線城市總計愿生452065不愿生132235總計5842100附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828由算得，，參照附表，得到的正確結論是（）A．在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“生育意愿與城市級別有關”B．在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“生育意愿與城市級別無關”C．有以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關”D．有以上的把握認為“生育意愿與城市級別無關”二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓的焦點坐標是__________.14．（題文）x-1x615．如圖是一個算法流程圖，則輸出的的值為______．16．已知函數(shù)，若有且僅有一個整數(shù)，使，則實數(shù)的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數(shù)，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=1．（1）求y=f（x）的解析式；（2）證明：曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=1和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．18．（12分）已知函數(shù)f(x)＝ex,g(x)＝lnx.(1)設f(x)在x1處的切線為l1,g(x)在x2處的切線為l2,若l1//l2,求x1＋g(x2)的值;(2)若方程af2(x)－f(x)－x＝0有兩個實根,求實數(shù)a的取值范圍；(3)設h(x)＝f(x)(g(x)－b),若h(x)在[ln2,ln3]內(nèi)單調(diào)遞減,求實數(shù)b的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)y＝f（x）圖象的對稱軸和對稱中心；（Ⅱ）若函數(shù)，的零點為x1，x2，求cos（x1﹣x2）的值．20．（12分）已知.（1）求證：恒成立；（2）試求的單調(diào)區(qū)間；（3）若，，且，其中，求證：恒成立.21．（12分）設，其中，，與無關.（1）若，求的值；（2）試用關于的代數(shù)式表示：；（3）設，，試比較與的大小.22．（10分）已知矩陣，.(1)求；(2)在平面直角坐標系中,求直線在對應的變換作用下所得直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先由求導公式求出，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求出，然后利用導函數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進而寫出切線方程．【題目詳解】，因為是偶函數(shù)，所以，即解得，所以，，則，所以切線方程為故選C【題目點撥】本題主要考查利用導函數(shù)求曲線上一點的切線方程，屬于基礎題．2、B【解題分析】

根據(jù)余弦的半角公式化簡、運算，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，可知，則，又由半角公式可得，故選B．【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡、求值問題，其中解答中熟練應用余弦函數(shù)的半角公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．3、A【解題分析】解：由題意，集合M中含有三個元素0，1，1．∴A選項1∈M，正確；B選項1?M，錯誤；C選項3∈M，錯誤，D選項{0}∈M，錯誤；故選：A．【點評】本題考查了元素與集合關系的判定，一個元素要么屬于集合，要么不屬于這個集合，二者必居其一，這就是集合中元素的確定性．4、C【解題分析】

先求出函數(shù)的定義域，再求導，根據(jù)導數(shù)大于0解得x的范圍，繼而得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【題目詳解】函數(shù)f(x)＝x2－5x＋2lnx的定義域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋＝＝＞0，解得0＜x＜或x＞2，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，(2，＋∞)．故選C【題目點撥】本題考查了導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關系，易錯點是注意定義域，屬于基礎題．5、B【解題分析】本小題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)、第二定義、余弦定理，以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，通過本題可以有效地考查考生的綜合運用能力及運算能力.不妨設點P在雙曲線的右支,由雙曲線的第二定義得，.由余弦定理得cos∠P=，即cos，解得，所以，故P到x軸的距離為.6、B【解題分析】

將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，得出該直線的斜率，即可得出該直線的傾斜角。【題目詳解】直線l的直角坐標方程為x-y-2=0，斜率k=tanα=1,所以α=45【題目點撥】本題考查利用直線的參數(shù)方程求直線的傾斜角，參數(shù)方程化為普通方程是常用方法，而參數(shù)方程化為普通方程有兩種常見的消參方法：①加減消元法；②代入消元法；③平方消元法。7、A【解題分析】

由題先解出，再利用來判斷位置【題目詳解】，在復平面對應的點為，即在第一象限，故選A【題目點撥】本題考查復數(shù)的除法，復數(shù)的概念及幾何意義，是基礎題.8、B【解題分析】

設切點分別為和(s，t)，再由導數(shù)求得斜率相等，得到構造函數(shù)由導數(shù)求得參數(shù)的范圍?！绢}目詳解】的導數(shù)為的導數(shù)為設與曲線相切的切點為與曲線相切的切點為(s，t)，則有公共切線斜率為又，即有，即為，即有則有即為令則，當時，遞減，當時，遞增，即有處取得極大值，也為最大值，且為由恰好存在兩條公切線，即s有兩解，可得a的取值范圍是，故選B．【題目點撥】可導函數(shù)y=f(x)在處的導數(shù)就是曲線y=f(x)在處的切線斜率,這就是導數(shù)的幾何意義,在利用導數(shù)的幾何意義求曲線切線方程時,要注意區(qū)分“在某點處的切線”與“過某點的切線”,已知y=f(x)在處的切線是,若求曲線y=f(x)過點(m,n)的切線,應先設出切點,把(m,n)代入,求出切點，然后再確定切線方程.而對于切線相同，則分別設切點求出切線方程，再兩直線方程系數(shù)成比例。9、D【解題分析】

根據(jù)觀測值K2，對照臨界值得出結論．【題目詳解】由題意，，根據(jù)附表可得判斷禿發(fā)與患有心臟病有關出錯的可能性為.故選D．【題目點撥】本題考查了獨立性檢驗的應用問題，理解臨界值表格是關鍵，是基礎題．10、C【解題分析】

由，以及，聯(lián)想到構造函數(shù)，所以等價為，通過導數(shù)求的單調(diào)性，由單調(diào)性定義即可得出結果?！绢}目詳解】設，等價為，，故在上單調(diào)遞減，所以，解得，故選C。【題目點撥】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的問題，利用單調(diào)性定義解不等式，如何構造函數(shù)是解題關鍵，意在考查學生數(shù)學建模能力。11、D【解題分析】

根據(jù)已知條件，運用組合數(shù)的階乘可得：，再由二項式系數(shù)的性質(zhì)，可得所要求的和.【題目詳解】則故選：D【題目點撥】本題考查了組合數(shù)的計算以及二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于一般題.12、C【解題分析】K2≈9.616>6.635，∴有99%以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關”，本題選擇C選項.點睛：獨立性檢驗得出的結論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結論成立的概率有多大，而不能完全肯定一個結論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時一定要注意這點，不可對某個問題下確定性結論，否則就可能對統(tǒng)計計算的結果作出錯誤的解釋．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

從橢圓方程中得出、的值，可得出的值，可得出橢圓的焦點坐標.【題目詳解】由題意可得，，，因此，橢圓的焦點坐標是，故答案為.【題目點撥】本題考查橢圓焦點坐標的求解，解題時要從橢圓的標準方程中得出、、的值，同時也要確定焦點的位置，考查計算能力，屬于基礎題.14、15【解題分析】試題分析：展開式的通項公式為Tr+1=(-1)r考點：二項式定理15、【解題分析】

由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【題目詳解】模擬程序的運行，可得，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，此時，不滿足條件，退出循環(huán)，輸出S的值為1．故答案為1．【題目點撥】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結構流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結構還是循環(huán)結構；(3)注意區(qū)分當型循環(huán)結構和直到型循環(huán)結構；(4)處理循環(huán)結構的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可.16、【解題分析】因，故由題設問題轉(zhuǎn)化為“有且僅有一個整數(shù)使得或”。因為，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，即函數(shù)在處取最大值，由于，因此由題設可知，解之得，應填答案。點睛：解答本題的關鍵是準確理解題設中條件“有且僅有一個整數(shù)，使”。求解時先將問題進行等價轉(zhuǎn)化為“有且僅有一個整數(shù)使得或”。進而將問題轉(zhuǎn)化為斷定函數(shù)圖像的形狀問題，然后先對函數(shù)進行求導，依據(jù)導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關系推斷出該函數(shù)在在處取最大值，從而借助題設條件得到不等式組，通過解不等式組使得問題獲解。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)證明見解析.【解題分析】解：(1)方程7x－4y－12＝1可化為y＝x－3，當x＝2時，y＝．又f′(x)＝a＋，于是，解得故f(x)＝x－．(2)證明：設P(x1，y1)為曲線上任一點，由f′(x)＝1＋知，曲線在點P(x1，y1)處的切線方程為y－y1＝(1＋)·(x－x1)，即y－(x1－)＝(1＋)(x－x1)．令x＝1得，y＝－，從而得切線與直線x＝1，交點坐標為(1，－)．令y＝x，得y＝x＝2x1，從而得切線與直線y＝x的交點坐標為(2x1,2x1)．所以點P(x1，y1)處的切線與直線x＝1，y＝x所圍成的三角形面積為|－||2x1|＝2．曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，此定值為2．18、(1)0.(2)0<a<1.(3)b≥ln2＋.【解題分析】分析：（1）求導，利用l1//l2時k值相等，即可求出答案；（2）參變分離，利用導數(shù)的應用以及數(shù)形結合即可得到答案；（3）由題意h(x)＝f(x)(g(x)－b)＝ex(lnx－b),求導，因為h(x)在[ln2,ln3]內(nèi)單調(diào)遞減，所以在[ln2,ln3]上恒成立，再參變分離，分析討論即可.詳解：(1)f′(x)＝ex,g′(x)＝由題意知：＝故x1＋g(x2)＝x1－ln＝0.(2)方程af2(x)－f(x)－x＝0，ae2x－ex－x＝0，a＝令φ(x)＝,則φ′(x)＝－當x<0時，ex<1,ex－1<0,所以ex＋2x－1<0，所以φ′(x)>0，故φ(x)單調(diào)增；當x>0時，ex>1,ex－1>0,所以ex＋2x－1>0，所以φ′(x)<0，故φ(x)單調(diào)減.從而φ(x)max＝φ(0)＝1又，當x>0時，φ(x)＝>0原方程有兩個實根等價于直線y＝a與φ(x)的圖像有兩個交點，故0<a<1.(3)由題意h(x)＝f(x)(g(x)－b)＝ex(lnx－b),得h′(x)＝ex(lnx＋－b)因為h(x)在[ln2,ln3]內(nèi)單調(diào)遞減，所以h′(x)＝ex(lnx＋－b)≤0在[ln2,ln3]內(nèi)恒成立由于ex>0，故只需lnx＋－b≤0在[ln2,ln3]內(nèi)恒成立即b≥lnx＋在[ln2,ln3]內(nèi)恒成立令t(x)＝lnx＋,t′(x)＝－＝當ln2≤x<1時，t′(x)<0，故t(x)單調(diào)減；當1≤x≤ln3時，t′(x)>0，故t(x)單調(diào)增.下面只要比較t(ln2)與t(ln3)的大小.思路：[詳細過程略]先證明：x1+x2>2又，ln2+ln3=ln6<2故當x1=ln2時，ln3<x2即t(ln3)<t(ln2)所以t(x)max＝t(ln2)＝ln2＋所以b≥ln2＋.點睛：由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法(1)可導函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，實際上就是在該區(qū)間上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)在該區(qū)間的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0)恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，從而獲得參數(shù)的取值范圍；(2)可導函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在該區(qū)間上存在解集，這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成了不等式問題；(3)若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，令I是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而可求出參數(shù)的取值范圍．19、（Ⅰ）對稱軸方程為x，k∈Z，對稱中心為（，0），k∈Z；（Ⅱ）±．【解題分析】

（Ⅰ）先利用三角恒等變換化簡目標函數(shù)，然后求解對稱軸和對稱中心；（Ⅱ）先求出的零點，然后求解cos（x1﹣x2）的值．【題目詳解】函數(shù)sin4xcos4x＝sin（4x），（Ⅰ）由4x，k∈Z，可得f（x）的對稱軸方程為x，k∈Z，令4xkπ，k∈Z，則x，k∈Z，∴f（x）的對稱中心為（，0），k∈Z；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)，可得g（x）＝sin（4x），的零點為x1，x2，∴sin（4x1）0，即sin（4x1），∴2sin（2x1）cos（2x1），∴，∴．由（Ⅰ）知，f（x）在內(nèi)的對稱軸為x，則x1+x2，∴x2x1，∴cos（x1﹣x2）＝cos（x1﹣（x1）＝cos（2x1）＝sin（2x1）＝sin（2x1）＝sin（2x1）＝±．【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及恒等變換，把目標函數(shù)化為標準型函數(shù)是求解的關鍵，零點的轉(zhuǎn)化有一定的技巧，側重考查邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).20、(1)證明見解析；(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間。(3)證明見解析【解題分析】

（1）構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值，利用來證明所證不等式成立；（2）先解等式可得出函數(shù)的定義域，求出該函數(shù)的導數(shù)，利用（1）中的結論得出在定義域內(nèi)恒成立，由此可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）證法一：利用分析法得出要證，即證，利用數(shù)學歸納法和單調(diào)性證明出對任意的恒成立，再利用（1）中的不等式即可得證；證法二：利用數(shù)學歸納法證明，先驗證當時，不等式成立，即，再假設當時不等式成立，即，利用函數(shù)的單調(diào)性得出，由歸納原理證明所證不等式成立.【題目詳解】（1）令，則，由得，由得.函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即恒成立；（2）由得或，函數(shù)的定義域為，因為，由（1）可知當時，恒成立，且，.函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間；（3）證法一：，要證，即證，即證，即證.先證對任意，，即，即.構造