江蘇省泰興市三中2024屆數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

江蘇省泰興市三中2024屆數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是A．3 B．4 C． D．2．在等差數(shù)列中，，則（）A．45 B．75 C．180 D．3603．已知關(guān)于的方程，，若對任意的，該方程總存在唯一的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知是周期為4的偶函數(shù)，當時，則（）A．0 B．1 C．2 D．35．若能被整除，則的值可能為（）A． B． C．x="5,n=4" D．6．已知與之間的一組數(shù)據(jù)：01231357則與的線性回歸方程必過A． B． C． D．7．同學聚會上，某同學從《愛你一萬年》，《十年》，《父親》，《單身情歌》四首歌中選出兩首歌進行表演，則《愛你一萬年》未選取的概率為（）A．B．C．D．8．在等差數(shù)列中，且，則的最大值等于(）A．3 B．4 C．6 D．99．魏晉時期數(shù)學家劉徽在他的著作九章算術(shù)注中，稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”，劉徽通過計算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為：若正方體的棱長為2，則“牟合方蓋”的體積為A．16 B． C． D．10．某小區(qū)有1000戶居民，各戶每月的用電量近似服從正態(tài)分布，則用電量在320度以上的居民戶數(shù)估計約為（）（參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.）A．17 B．23 C．34 D．4611．已知定義域為的奇函數(shù)，當時，滿足，則（）A． B． C． D．12．設(shè)函數(shù)，若實數(shù)分別是的零點，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在回歸分析中，分析殘差能夠幫助我們解決的問題是：_____________________.(寫出一條即可)14．公元前3世紀，古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在前人的基礎(chǔ)上寫了一部劃時代的著作《圓錐曲線論》，該書給出了當時數(shù)學家們所研究的六大軌跡問題，其中之一便是“到兩個定點的距離之比等于不為1的常數(shù)的軌跡是圓”，簡稱“阿氏圓”．用解析幾何方法解決“到兩個定點，的距離之比為的動點軌跡方程是：”，則該“阿氏圓”的圓心坐標是______，半徑是_____．15．已知的展開式中項的系數(shù)是-35，則________.16．已知是橢圓的左、右焦點，過左焦點的直線與橢圓交于兩點，且，，則橢圓的離心率為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）從5名男生和4名女生中選出4人去參加座談會，問：(1)如果4人中男生和女生各選2人，有多少種選法？(2)如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，有多少種選法？(3)如果4人中必須既有男生又有女生，有多少種選法？18．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)的最大值為.（1）求的值；（2）若，，求的最大值.19．（12分）已知函數(shù)為常數(shù)，且)有極大值，求的值．20．（12分）如圖，直三棱柱中，，，，為的中點，點為線段上的一點.（1）若，求證：；（2）若，異面直線與所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）如圖，在正四棱錐中，為底面的中心，已知，點為棱上一點，以為基底，建立如圖所示的空間直角坐標系．（1）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值；（2）設(shè)二面角的平面角為，且，試判斷點的位置．22．（10分）設(shè)命題函數(shù)在是減函數(shù)；命題，都有成立．（1）若命題為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若為真命題，為假命題，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

解析：考察均值不等式，整理得即，又，2、C【解題分析】

由，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得結(jié)果.【題目詳解】由，得到，則．故選C.【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解與等差數(shù)列有關(guān)的問題時，要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)：若，則.3、B【解題分析】由成立，得，設(shè)，，則則時，，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，函數(shù)單調(diào)遞增；且，使得對于任意，對任意的，方程存在唯一的解，則，即，即，所以，所以實數(shù)得取值范圍是，故選B．點睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用問題，其中解得中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和函數(shù)與方程等知識點的綜合應(yīng)用，試題有一定的難度，屬于難題，解答中把方程存在唯一的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解答的關(guān)鍵．4、D【解題分析】

利用函數(shù)的周期性，化簡所求函數(shù)值的自變量為已知函數(shù)的定義域中，代入求解即可．【題目詳解】f（x）是周期為4的偶函數(shù)，當x∈[0，2]時f（x）=，則f（2014）+f（2015）=f（2012+2）+f（2016﹣1）=f（2）+f（﹣1）=log22+1+12=1．故選：D．【題目點撥】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的周期性以及函數(shù)值的求法，考查計算能力．5、C【解題分析】

所以當時，能被整除，選C.6、B【解題分析】

先求出x的平均值，y的平均值，回歸直線方程一定過樣本的中心點（，），代入可得答案．【題目詳解】解：回歸直線方程一定過樣本的中心點（，），，∴樣本中心點是（1.5，4），則y與x的線性回歸方程y＝bx+a必過點（1.5，4），故選B．【題目點撥】本題考查平均值的計算方法，回歸直線的性質(zhì)：回歸直線方程一定過樣本的中心點（，）．7、B【解題分析】,所以選B.8、B【解題分析】

先由等差數(shù)列的求和公式，得到，再由基本不等式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因為在等差數(shù)列中，所以，即，又，所以，當且僅當時，的最大值為4.故選B?！绢}目點撥】本題主要考查基本不等式求積的最大值，熟記等差數(shù)列的求和公式以及基本不等式即可，屬于?？碱}型.9、C【解題分析】

由已知求出正方體內(nèi)切球的體積，再由已知體積比求得“牟合方蓋”的體積．【題目詳解】正方體的棱長為2，則其內(nèi)切球的半徑，正方體的內(nèi)切球的體積，又由已知，．故選C．【題目點撥】本題考查球的體積的求法，理解題意是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】分析：先求用電量在320度以上的概率，再求用電量在320度以上的居民戶數(shù).詳解：由題得所以，所以，所以求用電量在320度以上的居民戶數(shù)為1000×0.023=23.故答案為B.點睛：（1）本題主要考查正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的掌握水平和數(shù)形結(jié)合的思想方法.(2)對于正態(tài)分布曲線的概率的計算，不要死記硬背，要結(jié)合其圖像分析求解.11、D【解題分析】分析：通過計算前幾項，可得n=3，4，…，2018，數(shù)列以3為周期的數(shù)列，計算可得所求和．詳解：定義域為R的奇函數(shù)f（x），可得f（﹣x）=﹣f（x），當x＞0時，滿足，可得x＞時，f（x）=f（x﹣3），則f（1）=﹣log25，f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=log25，f（3）=f（0）=0，f（4）=f（1）=﹣log25，f（5）=f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=log25，f（6）=f（3）=f（0）=0，f（7）=f（4）=f（1）=﹣log25，f（8）=f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=log25，…f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）=﹣log25+log25+（0﹣log25+log25）×672=0，故選：D．點睛：歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系，同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.12、A【解題分析】由題意得，函數(shù)在各自的定義域上分別為增函數(shù)，∵，又實數(shù)分別是的零點∴，∴，故．選A．點睛：解答本題時，先根據(jù)所給的函數(shù)的解析式判斷單調(diào)性，然后利用判斷零點所在的范圍，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍，其中借助0將與聯(lián)系在一起是關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、尋找異常點，考查相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)是否有錯【解題分析】

分析殘差是回歸診斷的一部分，可以幫助我們發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)中的錯誤，分析模型選擇是否合適．【題目詳解】分析殘差能夠幫助我們解決的問題是：尋找異常點，考查相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)是否有錯；故答案為：尋找異常點，考查相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)是否有錯．【題目點撥】本題考查線性回歸方程中殘差的作用，是基礎(chǔ)題．14、2【解題分析】

將圓化為標準方程即可求得結(jié)果.【題目詳解】由得：圓心坐標為：，半徑為：本題正確結(jié)果：；【題目點撥】本題考查根據(jù)圓的方程求解圓心和半徑的問題，屬于基礎(chǔ)題.15、1【解題分析】

試題分析：∵，∴．又展開式中的系數(shù)是－35，可得，∴m=1．∴．在①，令x=1，m=1時，由①可得，即考點：二項式系數(shù)的性質(zhì)16、【解題分析】

連接,設(shè),利用橢圓性質(zhì),得到長度,分別在△和中利用余弦定理,得到c的長度，根據(jù)離心率的定義計算得到答案.【題目詳解】設(shè)，則，，由，得，，在△中，，又在中，，得故離心率【題目點撥】本題考察了離心率的計算,涉及到橢圓的性質(zhì),正余弦定理,綜合性強,屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）30；（2）91種；（3）120種.【解題分析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，分別計算“從5名男生中選出2人”和“從4名女生中選出2人”的選法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案；

（2）用間接法分析：先計算在9人中任選4人的選法數(shù)目，再排除其中“甲乙都沒有入選”的選法數(shù)目，即可得答案；

（3）用間接法分析：先計算在9人中任選4人的選法數(shù)目，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的選法數(shù)目，即可得答案．試題解析：(1)；(2)方法1：(間接法)在9人選4人的選法中，把男甲和女乙都不在內(nèi)的去掉，就得到符合條件的選法數(shù)為：(種)；方法2：(直接法)甲在內(nèi)乙不在內(nèi)有種，乙在內(nèi)甲不在內(nèi)有種，甲、乙都在內(nèi)有種，所以男生中的甲與女生中的乙至少有1人在內(nèi)的選法共有：(種).(3)方法1：(間接法)在9人選4人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選法總數(shù)為：(種)；方法2：(直接法)分別按含男1，2，3人分類，得到符合條件的選法總數(shù)為：(種).點睛：（1）解排列組合問題要遵循兩個原則：①按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類；②按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組．注意各種分組類型中，不同分組方法的求解．18、（1）2（2）2【解題分析】

試題分析：（1）根據(jù)絕對值定義，將函數(shù)化為分段函數(shù)形式，分別求各段最大值，最后取各段最大值的最大者為的值；（2）利用基本不等式得，即得的最大值.試題解析：（1）由于當時，，當時，，當時，所以.（2）由已知,有，因為(當時取等號)，(當時取等號)，所以，即，故的最大值為2.19、【解題分析】

求導(dǎo)，解出導(dǎo)數(shù)方程的兩根，討論導(dǎo)數(shù)在這兩個點左右兩邊導(dǎo)數(shù)的符號，確定極大值點，再將極大值點代入函數(shù)解析式，可求出實數(shù)的值．【題目詳解】，則，令，得，，，，列表如下：極大值極小值所以，函數(shù)在處取得極大值，即，解得．【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，基本步驟如下：（1）求函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)；（3）求極值點并判斷導(dǎo)數(shù)在極值點附近的符號，確定極值點的屬性；（4）將極值點代入函數(shù)解析式可求出極值．20、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

(1)根據(jù)三棱柱是直三棱柱的特征，又，可作中點，連接DM,通過線面垂直證明平面，可推出，又，可證(2)通過作圖，分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角體系，先通過幾何法求出長度，分別表示出線面角各點對應(yīng)的坐標，再用向量公式算出直線與平面所成角的正弦值【題目詳解】證明：（1）取中點，連接，，有，因為，所以，又因為三棱柱為直三棱柱，所以平面平面，又因為平面平面，所以平面，又因為平面，所以又因為，，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，所以.（2）設(shè)，如圖以為坐標原點，分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角體系，由（1）可知，，所以，故，，，，，對平面，，，所以其法向量可表示為.又，所以直線與平面成角的正弦值.【題目點撥】證線線垂直一般是通過線面垂直進行證明，本題其實還可以采用射影逆定理進行證明，通過證明與斜線垂直即，推出與射影垂直，，不妨一試；對于像本題中第二問不太好確定線面關(guān)系而又發(fā)覺立體圖形比較規(guī)整的，比如說正方體、長方體、正三棱錐，直棱柱等，都可直接考慮建立空間直角坐標系來進行求解21、（1）；（2）點位于棱的三等分點處.【解題分析】

先由題意，得到，，，的坐標，以及向量，的坐標；（1）根據(jù)題中條件，得到，求出平面的一個法向量