2024屆湖南省岳陽縣一中、汨羅市一中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測試題含解析

2024屆湖南省岳陽縣一中、汨羅市一中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，對任意實數(shù)都有，則不等式的解集為（）A． B． C． D．2．圖1和圖2中所有的正方形都全等，將圖1中的正方形放在圖2中的①②③④某一位置，所組成的圖形能圍成正方體的概率是（）A．14 B．C．34 D．3．已知隨機(jī)變量，且，則A． B． C． D．4．曲線在點處的切線的傾斜角為（）A．30° B．60° C．45° D．120°5．已知圓，定點，點為圓上的動點，點在上，點在線段上，且滿足，，則點的軌跡方程是（）A． B．C． D．6．若，且，則“”是“方程表示焦點在y軸上的橢圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知數(shù)列，如果，，，……，，……，是首項為1，公比為的等比數(shù)列，則=A． B． C． D．8．若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（）A．5 B．6 C．7 D．810．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=2x-3A．-1 B．1 C．-2 D．211．若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為，則記為，例如.如圖程序框圖的算法源于我國古代聞名中外的《中國剩余定理》.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于()A．4 B．8 C．16 D．3212．下列命題中正確的個數(shù)()①“?x>0，2x>sinx”的否定是“?x0≤0，2x0≤sinx0”；②用相關(guān)指數(shù)R2可以刻畫回歸的擬合效果，A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．記曲線與直線，所圍成封閉圖形的面積為，則________．14．事件相互獨立，若，，則____.15．某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖所示的6個點A、B、C、A1、、B1、C1上各裝一個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有種（用數(shù)字作答）.16．己知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中國北京世界園藝博覽會期間，某工廠生產(chǎn)、、三種紀(jì)念品，每一種紀(jì)念品均有精品型和普通型兩種，某一天產(chǎn)量如下表：（單位：個）紀(jì)念品紀(jì)念品紀(jì)念品精品型普通型現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的紀(jì)念品中抽取個，其中種紀(jì)念品有個．（1）求的值；（2）從種精品型紀(jì)念品中抽取個，其某種指標(biāo)的數(shù)據(jù)分別如下：、、、、，把這個數(shù)據(jù)看作一個總體，其均值為，方差為，求的值；（3）用分層抽樣的方法在種紀(jì)念品中抽取一個容量為的樣木，從樣本中任取個紀(jì)念品，求至少有個精品型紀(jì)念品的概率．18．（12分）已知函數(shù)，其中為常數(shù)．(1)若，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．19．（12分）如圖,在四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,側(cè)面是等腰直角三角形,且,側(cè)面⊥底面.(1)若分別為棱的中點,求證:∥平面；(2)棱上是否存在一點,使二面角成角，若存在,求出的長；若不存在,請說明理由.20．（12分）袋中裝有黑色球和白色球共個，從中任取個球都是白色球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸出個球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，，摸后均不放回，直到有一個人摸到白色球后終止，每個球在每一次被摸出的機(jī)會都是等可能的，用表示摸球終止時所需摸球的次數(shù).（1）求隨機(jī)變量的分布和均值；（2）求甲摸到白色球的概率.21．（12分）2017年5月14日，第一屆“一帶一路”國際高峰論壇在北京舉行，為了解不同年齡的人對“一帶一路”關(guān)注程度，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在15-75歲之間的100人進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計“青少年”與“中老年”的人數(shù)之比為．關(guān)注不關(guān)注合計青少年15中老年合計5050100（1）根據(jù)已知條件完成上面的列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為關(guān)注“一帶一路”是否和年齡段有關(guān)？（2）現(xiàn)從抽取的青少年中采用分層抽樣的辦法選取9人進(jìn)行問卷調(diào)查．在這9人中再選取3人進(jìn)行面對面詢問，記選取的3人中關(guān)注“一帶一路”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附:參考公式，其中．臨界值表：0.050.0100.0013.8416.63510.82822．（10分）某技術(shù)人員在某基地培育了一種植物,一年后,該技術(shù)人員從中隨機(jī)抽取了部分這種植物的高度(單位:厘米)作為樣本(樣本容量為)進(jìn)行統(tǒng)計,繪制了如下頻率分布直方圖,已知抽取的樣本植物高度在內(nèi)的植物有8株,在內(nèi)的植物有2株.(Ⅰ)求樣本容量和頻率分布直方圖中的,的值;(Ⅱ)在選取的樣本中,從高度在內(nèi)的植物中隨機(jī)抽取3株,設(shè)隨機(jī)變量表示所抽取的3株高度在內(nèi)的株數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望;(Ⅲ)據(jù)市場調(diào)研,高度在內(nèi)的該植物最受市場追捧.老王準(zhǔn)備前往該基地隨機(jī)購買該植物50株.現(xiàn)有兩種購買方案,方案一:按照該植物的不同高度來付費,其中高度在內(nèi)的每株10元,其余高度每株5元;方案二:按照該植物的株數(shù)來付費,每株6元.請你根據(jù)該基地該植物樣本的統(tǒng)計分析結(jié)果為決策依據(jù),預(yù)測老王采取哪種付費方式更便宜?

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】令,,所以函數(shù)是減函數(shù)，又，所以不等式的解集為本題選擇B選項.2、C【解題分析】分析：將圖1的正方形放在圖2中①的位置出現(xiàn)重疊的面，不能圍成正方體，再根據(jù)概率公式求解可得.詳解：由圖共有4種等可能結(jié)果，其中將圖1的正方形放在圖2中①的位置出現(xiàn)重疊的面，不能圍成正方體，則所組成的圖形能圍成正方體的概率是34故選：C.點睛：本題考查了概率公式和展開圖折疊成幾何體，解題時勿忘記四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情形，注意：只要有“田”字格的展開圖都不是正方體的表面展開圖.3、B【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可得到答案.【題目詳解】由于，故選B.【題目點撥】本題主要考查正態(tài)分布中概率的計算，難度不大.4、C【解題分析】

求導(dǎo)得：在點處的切線斜率即為導(dǎo)數(shù)值1.所以傾斜角為45°.故選C.5、A【解題分析】試題分析：由，可知，直線為線段的中垂線，所以有，所以有，所以點的軌跡是以點為焦點的橢圓，且，即，所以橢圓方程為,故選A．考點：1．向量運算的幾何意義；2．橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程．【名師點睛】本題主要考查向量運算的幾何意義、橢圓的定義與橢圓方程的求法，屬中檔題．求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程常用方法有：1．定義法，即根據(jù)題意得到所求點的軌跡是橢圓，并求出的值；2．選定系數(shù)法：根據(jù)題意先判斷焦點在哪個坐標(biāo)軸上，設(shè)出其標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)已知條件建立關(guān)系的方程組，解之即可．6、B【解題分析】

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得；由橢圓方程可得，再由充分必要條件的定義，即可得到所求結(jié)論．【題目詳解】解：若，則，若方程表示焦點在y軸上的橢圓，則，即“”是“方程表示焦點在y軸上的橢圓”的必要不充分條件.故選：【題目點撥】本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及橢圓方程，考查充分必要條件的定義，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解題分析】分析：累加法求解。詳解：，，解得點睛：形如的模型，求通項公式，用累加法。8、B【解題分析】分析：求出導(dǎo)函數(shù)，求得極值點，函數(shù)在含有極值點的區(qū)間內(nèi)不單調(diào)．詳解：，此函數(shù)在上是增函數(shù)，又，因此是的極值點，它在含有的區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，此區(qū)間為B．故選B．點睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，函數(shù)在不含極值點的區(qū)間內(nèi)一定是單調(diào)函數(shù)，因此此只要求出極值點，含有極值點的區(qū)間就是正確的選項．9、A【解題分析】，故輸出.10、A【解題分析】

先求出f2，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)得f【題目詳解】由題意可得，f2=22-3=1因此，f-2=-f【題目點撥】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求值，解題時要注意結(jié)合自變量選擇解析式求解，另外就是靈活利用奇偶性，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。11、C【解題分析】初如值n=11,i=1,i=2,n=13,不滿足模3余2.i=4,n=17,滿足模3余2,不滿足模5余1.i=8,n=25,不滿足模3余2,i=16,n=41,滿足模3余2,滿足模5余1.輸出i=16.選C．12、C【解題分析】

根據(jù)含量詞命題的否定可知①錯誤；根據(jù)相關(guān)指數(shù)的特點可知R2越接近0，模型擬合度越低，可知②錯誤；根據(jù)四種命題的關(guān)系首先得到逆命題，利用不等式性質(zhì)可知③正確；分別在m=0和m≠0的情況下，根據(jù)解集為R確定不等關(guān)系，從而解得m【題目詳解】①根據(jù)全稱量詞的否定可知“?x>0，2x>sinx”的否定是“?x②相關(guān)指數(shù)R2越接近1，模型擬合度越高，即擬合效果越好；R2越接近③若“a>b>0，則3a>3b>0④當(dāng)m=0時，mx2-2當(dāng)m≠0時，若mx2-2m+1解得：m≥1，則④正確.∴正確的命題為：③④本題正確選項：C【題目點撥】本題考查命題真假性的判斷，涉及到含量詞命題的否定、四種命題的關(guān)系及真假性的判斷、相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用、根據(jù)一元二次不等式解集為R求解參數(shù)范圍的知識.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由曲線與直線聯(lián)立，求出交點，以確定定積分中的取值范圍，最后根據(jù)定積分的幾何意義表示出區(qū)域的面積，根據(jù)定積分公式即可得到答案。【題目詳解】聯(lián)立，得到交點為，故曲線與直線，所圍成封閉圖形的面積；故答案為【題目點撥】本題考查利用定積分求面積，確定被積區(qū)間與被積函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。14、【解題分析】

由于事件為對立事件，故，代入即得解.【題目詳解】由于事件為對立事件，，且，故故答案為：【題目點撥】本題考查了互斥事件的概率求法，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、216【解題分析】

每種顏色的燈泡都至少用一個，即用了四種顏色的燈進(jìn)行安裝，分

3

步進(jìn)行，第一步

,A

、B.

C

三點選三種顏色燈泡共有

種選法；第二步

,

在

A1

、

B1

、

C1

中選一個裝第

4

種顏色的燈泡，有

3

種情況；第三步

,

為剩下的兩個燈選顏色

,

假設(shè)剩下的為

B1

、

C1,

若

B1

與

A

同色

,

則

C1

只能選

B

點顏色；若

B1

與

C

同色

,

則

C1

有A.

B

處兩種顏色可選,故為

B1

、

C1

選燈泡共有

3

種選法，得到剩下的兩個燈有

3

種情況，則共有

×3×3=216

種方法．故答案為

21616、2【解題分析】

先由冪函數(shù)的定義，得到，求出，再由題意，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因為為冪函數(shù)，所以或，又在上單調(diào)遞減，由冪函數(shù)的性質(zhì)，可得：，解得：，所以.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查由冪函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)，熟記冪函數(shù)的定義，以及冪函數(shù)的單調(diào)性即可，屬于?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）．【解題分析】

（1）根據(jù)分層抽樣的原理建立關(guān)于的方程，解出即可；（2）先根據(jù)平均數(shù)建立關(guān)系式，然后根據(jù)方差建立關(guān)于、的等量關(guān)系，然后將用前面的關(guān)系式表示，即可求出的值；（3）設(shè)所抽樣本中有個精品型紀(jì)念品，則，求出，然后利用古典概型的概率公式求出事件“至少有個精品型紀(jì)念品”的概率.【題目詳解】（1）由題意可知，該工廠一天所生產(chǎn)的紀(jì)念品數(shù)為.現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的紀(jì)念品中抽取個，其中種紀(jì)念品有個，則，解得；（2）由題意可得，得.由于總體的方差為，則，可得，所以，；（3）設(shè)所抽取的樣本中有個精品型紀(jì)念品，則，解得，所以，容量為的樣本中，有個精品型紀(jì)念品，個普通型紀(jì)念品.因此，至少有個精品型紀(jì)念品的概率為.【題目點撥】本題考查分層抽樣、平均數(shù)與方差的計算，同時也考查了古典概型概率的計算，考查計算能力，屬于中等題.18、（1）見解析；（2）.【解題分析】分析：求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性可求出函數(shù)的極值；（2）在上單調(diào)遞增等價于在上恒成立，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，討論與極值點的關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性，運用參數(shù)分離和解不等式可得范圍.詳解：（1）當(dāng)時：的定義域為令，得當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，的極大值為，無極小值.（2）在上單調(diào)遞增在上恒成立，只需在上恒成立在上恒成立令則令，則：①若即時在上恒成立在上單調(diào)遞減，這與矛盾，舍去②若即時當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，有極小值，也是最小值，綜上點睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù).本題是利用方法①求得的最大值.19、(1)見解析(2)【解題分析】

分析：（1）取中點,連結(jié),由三角形中位線定理可得,可證明四邊形為平行四邊形,可得,由線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）取中點,連結(jié)、,先證明、、兩兩垂直.以為原點,分別以、、正方向為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組，求出平面的法向量，平面的法向量為，由空間向量夾角余弦公式列方程可得結(jié)果.詳解：(1)取中點,連結(jié),∵分別為、中點，∴//,,又點為中點,∴且,∴四邊形為平行四邊形,∴∥,又平面,平面,∴∥平面.(2)取中點,連結(jié)、,∵是以為直角的等腰直角三角形,又為的中點,∴,又平面⊥平面,由面面垂直的性質(zhì)定理得⊥平面,又平面,∴⊥,由已知易得:、、兩兩垂直.以為原點,分別以、、正方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖示,則,設(shè),則:,.設(shè)平面ABF的法向量為,則,∴,令,則,∴.又平面的法向量為,由二面角成角得:,∴,解得:,或不合題意,舍去.∴,當(dāng)棱上的點滿足時,二面角成角.點睛：利用法向量求解空間角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.20、(1)分布列見解析，E(X)＝2.(2)P(A)＝.【解題分析】分析：（1）由已知先出白子個數(shù)，進(jìn)而可得隨機(jī)變量X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）記事件A為“甲摸到白色球”，則事件A包括以下三個互斥事件：A1＝“甲第1次摸球時摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球時摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球時摸出白色球”，利用互斥事件概率加法公式可得.詳解：設(shè)袋中白色球共有x個，x∈N*且x≥2，則依題意知＝，所以＝，即x2－x－6＝0，解得x＝3(x＝－2舍去)．(1)袋中的7個球，3白4黑，隨機(jī)變量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝.隨機(jī)變量X的分布列為X12345P所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝2.(2)記事件A為“甲摸到白色球”，則事件A包括以下三個互斥事件：A1＝“甲第1次摸球時摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球時摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球時摸出白色球”．依題意知，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，所以甲摸到白色球的概率為P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.點睛：本題考查的知識點是古典概型的概率計算公式，隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，互斥事件概率加法公式.21、(1)有的把握認(rèn)為關(guān)注“一帶一路”和年齡段有關(guān)(2)【解題分析】試題分析：(1)依題意完成列聯(lián)表，計算，對照臨界值得出結(jié)論；(2)根據(jù)分層抽樣法，得出隨機(jī)變量的可能取值，計算對應(yīng)的概率值，寫出的分布列，計算出數(shù)學(xué)期望值.試題解析：(1)依