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廣東省興寧一中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為()A.1 B.-1 C. D.2.函數(shù)的最小正周期是()A. B. C. D.3.設(shè)方程的兩個(gè)根為,則()A. B. C. D.4.設(shè),若是的等比中項(xiàng),則的最小值為()A.8 B. C.1 D.45.曾玉、劉云、李夢、張熙四人被北京大學(xué)、清華大學(xué)、武漢大學(xué)和復(fù)旦大學(xué)錄取,他們分別被哪個(gè)學(xué)校錄取,同學(xué)們做了如下的猜想甲同學(xué)猜:曾玉被武漢大學(xué)錄取,李夢被復(fù)旦大學(xué)錄取同學(xué)乙猜:劉云被清華大學(xué)錄取,張熙被北京大學(xué)錄取同學(xué)丙猜:曾玉被復(fù)旦大學(xué)錄取,李夢被清華大學(xué)錄取同學(xué)丁猜:劉云被清華大學(xué)錄取,張熙被武漢大學(xué)錄取結(jié)果,恰好有三位同學(xué)的猜想各對了一半,還有一位同學(xué)的猜想都不對那么曾玉、劉云、李夢、張熙四人被錄取的大小可能是()A.北京大學(xué)、清華大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、武漢大學(xué)B.武漢大學(xué)、清華大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、北京大學(xué)C.清華大學(xué)、北京大學(xué)、武漢大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)D.武漢大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、清華大學(xué)、北京大學(xué)6.復(fù)數(shù)等于()A. B. C.0 D.7.某市踐行“干部村村行”活動,現(xiàn)有3名干部甲、乙、丙可供選派,下鄉(xiāng)到5個(gè)村蹲點(diǎn)指導(dǎo)工作,每個(gè)村至少有1名干部,每個(gè)干部至多住3個(gè)村,則干部甲住3個(gè)村的概率為()A. B. C. D.8.已知向量,,若,則()A.-1 B.1 C.-2或1 D.-2或-19.如果,那么的值是()A. B. C. D.10.在“一帶一路”的知識測試后甲、乙、丙三人對成績進(jìn)行預(yù)測.甲:我的成績最高.乙:我的成績比丙的成績高丙:我的成績不會最差成績公布后,三人的成績互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測正確,那么三人按成績由高到低的次序可能為()A.甲、丙、乙 B.乙、丙、甲C.甲、乙、丙 D.丙、甲、乙11.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則()A. B. C. D.12.如圖,在正方體中,分別是的中點(diǎn),則下列說法錯誤的是()A. B.平面C. D.平面二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.有一個(gè)容器,下部分是高為的圓柱體,上部分是與圓柱共底面且母線長為的圓錐,現(xiàn)不考慮該容器內(nèi)壁的厚度,則該容器的最大容積為___________.14.若是函數(shù)的極值點(diǎn),則在上的最小值為______.15.若二項(xiàng)式(x﹣)n的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為__.16.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)到直線的距離為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)求在點(diǎn)處的切線方程;(2)若存在,滿足成立,求的取值范圍.18.(12分)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn且對任意的正整數(shù)n都有:(1)求S1(2)猜想Sn的表達(dá)式并證明19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),若以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半粙為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.設(shè)點(diǎn)極坐標(biāo)為,且,,.(Ⅰ)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)①求點(diǎn)的直角坐標(biāo);②若直線與曲線交于,兩點(diǎn),求.20.(12分)().(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;(2)若,存在兩個(gè)極值點(diǎn),,試比較與的大??;(3)求證:(,).21.(12分)7名同學(xué),在下列情況下,各有多少種不同安排方法?(答案以數(shù)字呈現(xiàn))(1)7人排成一排,甲不排頭,也不排尾.(2)7人排成一排,甲、乙、丙三人必須在一起.(3)7人排成一排,甲、乙、丙三人兩兩不相鄰.(4)7人排成一排,甲、乙、丙三人按從高到矮,自左向右的順序(不一定相鄰).(5)7人分成2人,2人,3人三個(gè)小組安排到甲、乙、丙三地實(shí)習(xí).22.(10分)已知,.當(dāng)時(shí),求的值;當(dāng)時(shí),是否存在正整數(shù)n,r,使得、、,依次構(gòu)成等差數(shù)列?并說明理由;當(dāng)時(shí),求的值用m表示.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】
先求解出的共軛復(fù)數(shù),然后直接判斷出的虛部即可.【題目詳解】因?yàn)?,所以,所以的虛部?故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的實(shí)虛部的認(rèn)識,難度較易.復(fù)數(shù)的實(shí)部為,虛部為.2、D【解題分析】
根據(jù)正切型函數(shù)的周期公式可求出函數(shù)的最小正周期.【題目詳解】由題意可知,函數(shù)的最小正周期,故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查正切型函數(shù)周期的求解,解題的關(guān)鍵在于利用周期公式進(jìn)行計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】
畫出方程左右兩邊所對應(yīng)的函數(shù)圖像,結(jié)合圖像可知答案?!绢}目詳解】畫出函數(shù)與的圖像,如圖結(jié)合圖像容易知道這兩個(gè)函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的兩個(gè)根,結(jié)合圖像可知,,根據(jù)是減函數(shù)可得,所以有圖像可知所以即,則,所以,而所以故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是畫出圖像,利用圖像解答,屬于一般題。4、D【解題分析】∵是的等比中項(xiàng),∴3=3a?3b=3a+b,∴a+b=1.a(chǎn)>2,b>2.∴==2.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號.故選D.點(diǎn)睛:在利用基本不等式求最值時(shí),要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會出現(xiàn)錯誤5、D【解題分析】
推理得到甲對了前一半,乙對了后一半,丙對了后一半,丁全錯,得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意:甲對了前一半,乙對了后一半,丙對了后一半,丁全錯,曾玉、劉云、李夢、張熙被錄取的大學(xué)為武漢大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、清華大學(xué)、北京大學(xué)(另外武漢大學(xué)、清華大學(xué)、北京大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)也滿足).故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了邏輯推理,意在考查學(xué)生的推理能力.6、A【解題分析】
直接化簡得到答案.【題目詳解】.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡,屬于簡單題.7、A【解題分析】
先利用排列組合思想求出甲干部住個(gè)村的排法種數(shù)以及將三名可供選派的干部下鄉(xiāng)到個(gè)村蹲點(diǎn)的排法種數(shù),最后利用古典概型的概率公式求出所求事件的概率?!绢}目詳解】三名干部全部選派下鄉(xiāng)到個(gè)村蹲點(diǎn),三名干部所住的村的數(shù)目可以分別是、、或、、,排法種數(shù)為,甲住個(gè)村,則乙、丙各住一個(gè)村,排法種數(shù)為,由古典概型的概率公式可知,所求事件的概率為,故選:A?!绢}目點(diǎn)撥】本題考查排列組合應(yīng)用問題以及古典概型概率的計(jì)算,解決本題的關(guān)鍵在于將所有的基本事件數(shù)利用排列組合思想求出來,合理利用分類計(jì)數(shù)和分步計(jì)算原理,考查分析問題和運(yùn)算求解能力,屬于中等題。8、C【解題分析】
根據(jù)題意得到的坐標(biāo),由可得的值.【題目詳解】由題,,,或,故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查利用坐標(biāo)法求向量差及根據(jù)向量垂直的數(shù)量積關(guān)系求參數(shù)9、D【解題分析】
由誘導(dǎo)公式,可求得的值,再根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡即可.【題目詳解】根據(jù)誘導(dǎo)公式,所以而所以選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)式化簡中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】
假設(shè)一個(gè)人預(yù)測正確,然后去推導(dǎo)其他兩個(gè)人的真假,看是否符合題意.【題目詳解】若甲正確,則乙丙錯,乙比丙成績低,丙成績最差,矛盾;若乙正確,則甲丙錯,乙比丙高,甲不是最高,丙最差,則成績由高到低可為乙、甲、丙;若丙正確,則甲乙錯,甲不是最高,乙比丙低,丙不是最差,排序可為丙、甲、乙.A、B、C、D中只有D可能.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查合情推理,抓住只有一個(gè)人預(yù)測正確是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解題分析】
隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,利用概率和為1得到答案.【題目詳解】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,
,
答案為D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正態(tài)分布,利用正態(tài)分布的對稱性是解決問題的關(guān)鍵.12、C【解題分析】
以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出結(jié)果.【題目詳解】∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是BC1,CD1的中點(diǎn),
∴以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為2,
則B(2,2,0),C1(0,2,2),M(1,2,1),D1(0,0,2),C(0,2,0),N(0,1,1),
∴MN⊥CC1,故A正確;∴MN⊥平面ACC1A1,故B成立;
∵∴MN和AB不平行,故C錯誤;
平面ABCD的法向量又MN?平面ABCD,∴MN∥平面ABCD,故D正確.
故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查命題的真假判斷,考空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,是中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】
設(shè)圓柱底面圓的半徑為,分別表示出圓柱和圓錐的體積,利用導(dǎo)數(shù)求得極值點(diǎn),并判斷在極值點(diǎn)左右兩側(cè)的單調(diào)性,即可求得函數(shù)的最大值,即為容器的最大容積.【題目詳解】設(shè)圓柱底面圓的半徑為,圓柱體的高為,則圓柱的體積為;圓錐的高為,則圓錐的體積,所以該容器的容積為則,令,即,化簡可得,解得,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),取得最大值;代入可得,故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)在體積最值問題中的綜合應(yīng)用,圓柱與圓錐的體積公式應(yīng)用,屬于中檔題.14、【解題分析】
先對f(x)求導(dǎo),根據(jù)可解得a的值,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出區(qū)間上的最小值.【題目詳解】,則,解得,所以,則.令,得或;令,得.所以在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增.所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的最小值,解題關(guān)鍵是由求出未知量a.15、1120【解題分析】由題意可得:n=8.∴通項(xiàng)公式,令=2,解得r=4.∴展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為:1120.點(diǎn)睛:求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r+1項(xiàng),再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng),求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng),再由通項(xiàng)寫出第r+1項(xiàng),由特定項(xiàng)得出r值,最后求出其參數(shù).16、3【解題分析】
將A和直線化成直角坐標(biāo)系下點(diǎn)和方程,再利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.【題目詳解】由已知,在直角坐標(biāo)系下,,直線方程為,所以A到直線的距離為.故答案為:3【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程的互化,點(diǎn)到直線的距離,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道容易題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解題分析】
(1)求出,得出切點(diǎn)坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求出,得出切線的斜率,再利用點(diǎn)斜式寫出切線的方程;(2)由,即,將問題轉(zhuǎn)化為,然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值,可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】(1),,在處的切線方程為:,即;(2),即,令,得.時(shí),,時(shí),.在上減,在上增,又時(shí),的最大值在區(qū)間端點(diǎn)處取到.,,,在上最大值為,故的取值范圍是:.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用函數(shù)不等式能成立求參數(shù)的取值范圍,在處理函數(shù)不等式成立的問題時(shí),可利用分類討論或者參變量分離法來求解,在利用參變量分離時(shí)要注意是恒成立還是能成立的問題,以便轉(zhuǎn)化為對象函數(shù)相應(yīng)的最值來處理,考查計(jì)算能力,屬于中等題.18、(1)12,23【解題分析】
(1)分別代入n=1,2,3計(jì)算即可求解;(2)猜想:Sn=【題目詳解】當(dāng)n=1,S當(dāng)n=2,當(dāng)n=3,(2)猜想:Sn證明:①當(dāng)n=1時(shí),顯然成立;②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1且k∈N*)則當(dāng)n=k+1時(shí),由(Sk+1-1)2整理得Sk+1即n=k+1時(shí),猜想也成立.綜合①②得Sn【題目點(diǎn)撥】本題考查遞推數(shù)列求值,數(shù)學(xué)歸納法證明,考查推理計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題19、(Ⅰ)直線,曲線(Ⅱ)①②【解題分析】
(Ⅰ)利用參數(shù)方程化普通方程,利用極坐標(biāo)化普通方程求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)①求出,即得點(diǎn)M的直角坐標(biāo);②利用直線參數(shù)方程t的幾何意義解答.【題目詳解】解(Ⅰ),曲線.(Ⅱ)①,,.②將代入,得,,,.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,考查直線參數(shù)方程t的幾何意義,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)遞減,遞增(2)(3)詳見解析【解題分析】試題分析:(1)求出函數(shù)的定義域,求出導(dǎo)數(shù),求得單調(diào)區(qū)間,即可得到極值;(2)求出導(dǎo)數(shù),求得極值點(diǎn),再求極值之和,構(gòu)造當(dāng)0<t<1時(shí),g(t)=2lnt+-2,運(yùn)用導(dǎo)數(shù),判斷單調(diào)性,即可得到結(jié)論;(3)當(dāng)0<t<1時(shí),g(t)=2lnt+-2>0恒成立,即lnt+-1>0恒成立,設(shè)t=(n≥2,n∈N),即ln+n-1>0,即有n-1
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