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文檔簡介
2024屆四川省遂寧高級實驗學(xué)校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)的零點個數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.32.已知正三棱柱的所有頂點都在球的球面上,且該正三棱柱的底面邊長為,體積為,則球的表面積為()A. B. C. D.3.如圖,一貨輪航行到M處,測得燈塔S在貨輪的北偏東15°,與燈塔S相距20nmile,隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30A.20(2+C.20(6+4.已知關(guān)于的方程為(其中),則此方程實根的個數(shù)為()A.2 B.2或3 C.3 D.3或45.設(shè),隨機(jī)變量的分布列如圖,則當(dāng)在內(nèi)增大時,()A.減小 B.增大C.先減小后增大 D.先增大后減小6.已知,則的值為()A. B. C. D.7.6把椅子擺成一排,3人隨機(jī)就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A.144 B.120 C.72 D.248.將點的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)是(
)A. B. C. D.9.?dāng)?shù)列中,,(),那么()A.1 B.-2 C.3 D.-310.甲、乙兩人獨立地對同一目標(biāo)各射擊一次,其命中率分別為,現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中,則它是被甲擊中的概率是()A. B. C. D.11.設(shè)函數(shù),則滿足的的取值范圍是()A. B.C. D.12.設(shè)F為雙曲線C:(a>0,b>0)的右焦點,O為坐標(biāo)原點,以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為A. B.C.2 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在數(shù)列中,,,則________.14.設(shè),則等于___________.15.已知P是底面為正三角形的直三棱柱的上底面的中心,作平面與棱交于點D.若,則三棱錐的體積為_____.16.若實數(shù),滿足約束條件,則的最大值是_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),數(shù)列的前項和為,點()均在函數(shù)的圖像上.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),是數(shù)列的前項和,求使得對所有都成立的最小正整數(shù).18.(12分)如圖所示,球的表面積為,球心為空間直角坐標(biāo)系的原點,且球分別與軸的正交半軸交于三點,已知球面上一點.(1)求兩點在球上的球面距離;(2)過點作平面的垂線,垂足,求的坐標(biāo),并計算四面體的體積;(3)求平面與平面所成銳二面角的大小.19.(12分)如圖,斜三棱柱中,側(cè)面為菱形,底面是等腰直角三角形,,C.(1)求證:直線直線;(2)若直線與底面ABC成的角為,求二面角的余弦值.20.(12分)已知是等差數(shù)列,滿足,,數(shù)列滿足,,且是等比數(shù)列.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.21.(12分)如圖,已知長方形中,,,M為DC的中點.將沿折起,使得平面⊥平面.(1)求證:;(2)若點是線段上的一動點,問點在何位置時,二面角的余弦值為.22.(10分)已知直線的方程為,圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.(1)求直線與圓的交點的極坐標(biāo);(2)若為圓上的動點,求到直線的距離的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】,如圖,由圖可知,兩個圖象有2個交點,所以原函數(shù)的零點個數(shù)為2個,故選C.2、C【解題分析】
正三棱柱的底面中心的連線的中點就是外接球的球心,求出球的半徑即可求出球的表面積.【題目詳解】由題意可知,正三棱柱的底面中心的連線的中點就是外接球的球心,底面中心到頂點的距離為,設(shè)正三棱柱的高為,由,得,∴外接球的半徑為,∴外接球的表面積為:.故選C.【題目點撥】本題主要考查了正三棱柱的外接球的表面積的求法,找出球的球心是解題的關(guān)鍵,考查空間想象能力與計算能力,是中檔題.3、B【解題分析】由題意可知:SM=20,∠NMS=45°∴SM與正東方向的夾角為75°,MN與正東方向的夾角為60°,∴SNM=105°,∠MSN=30°?MNS中利用正弦定理可得MNMN=∴貨輪的速度v=故選B4、C【解題分析】分析:將原問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點個數(shù)的問題,然后利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求得最終結(jié)果.詳解:很明顯不是方程的根,據(jù)此可將方程變形為:,原問題等價于考查函數(shù)與函數(shù)的交點的個數(shù),令,則,列表考查函數(shù)的性質(zhì)如下:++-++單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)在有意義的區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,故的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性一致,且函數(shù)的極值繪制函數(shù)圖像如圖所示,觀察可得,與函數(shù)恒有3個交點,即題中方程實根的個數(shù)為3.本題選擇C選項.點睛:函數(shù)零點的求解與判斷方法:(1)直接求零點:令f(x)=0,如果能求出解,則有幾個解就有幾個零點.(2)零點存在性定理:利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.(3)利用圖象交點的個數(shù):將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差,畫兩個函數(shù)的圖象,看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值,就有幾個不同的零點.5、D【解題分析】
先求數(shù)學(xué)期望,再求方差,最后根據(jù)方差函數(shù)確定單調(diào)性.【題目詳解】,,,∴先增后減,因此選D.【題目點撥】6、B【解題分析】
根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求得,從而得到,代入得到結(jié)果.【題目詳解】由題意:,則解得:本題正確選項:【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)值的求解問題,關(guān)鍵是能夠通過導(dǎo)函數(shù)求得,從而確定導(dǎo)函數(shù)的解析式.7、D【解題分析】試題分析:先排三個空位,形成4個間隔,然后插入3個同學(xué),故有種考點:排列、組合及簡單計數(shù)問題8、A【解題分析】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化由點M的極坐標(biāo),知極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為,所以的直角坐標(biāo)為即故正確答案為A9、A【解題分析】∵,∴,即,∴,∴,∴是以6為周期的周期數(shù)列.∵2019=336×6+3,∴.故選B.10、D【解題分析】分析:根據(jù)題意,記甲擊中目標(biāo)為事件A,乙擊中目標(biāo)為事件B,目標(biāo)被擊中為事件C,由相互獨立事件的概率公式,計算可得目標(biāo)被擊中的概率,進(jìn)而由條件概率的公式,計算可得答案.詳解:根據(jù)題意,記甲擊中目標(biāo)為事件A,乙擊中目標(biāo)為事件B,目標(biāo)被擊中為事件C,則P(C)=1﹣P()P()=1﹣(1﹣0.8)(1﹣0.5)=0.9;則目標(biāo)是被甲擊中的概率為P=.故答案為:D.點睛:(1)本題主要考查獨立事件的概率和條件概率,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)條件概率的公式:,=.條件概率一般有“在已發(fā)生的條件下”這樣的關(guān)鍵詞,表明這個條件已經(jīng)發(fā)生,發(fā)生了才能稱為條件概率.但是有時也沒有,要靠自己利用條件概率的定義識別.11、C【解題分析】
試題分析:令,則,當(dāng)時,,由的導(dǎo)數(shù)為,當(dāng)時,在遞增,即有,則方程無解;當(dāng)時,成立,由,即,解得且;或解得,即為,綜上所述實數(shù)的取值范圍是,故選C.考點:分段函數(shù)的綜合應(yīng)用.【方法點晴】本題主要考查了分段函數(shù)的綜合應(yīng)用,其中解答中涉及到函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值等知識點的綜合考查,注重考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想,以及學(xué)生分析問題和解答問題的能力,試題有一定的難度,屬于難題,本題的解答中構(gòu)造新的函數(shù),利用新函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.12、A【解題分析】
準(zhǔn)確畫圖,由圖形對稱性得出P點坐標(biāo),代入圓的方程得到c與a關(guān)系,可求雙曲線的離心率.【題目詳解】設(shè)與軸交于點,由對稱性可知軸,又,為以為直徑的圓的半徑,為圓心.,又點在圓上,,即.,故選A.【題目點撥】本題為圓錐曲線離心率的求解,難度適中,審題時注意半徑還是直徑,優(yōu)先考慮幾何法,避免代數(shù)法從頭至尾,運(yùn)算繁瑣,準(zhǔn)確率大大降低,雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題,需強(qiáng)化練習(xí),才能在解決此類問題時事半功倍,信手拈來.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】
先根據(jù)分組求和得再求極限得結(jié)果.【題目詳解】因為,所以因此故答案為:【題目點撥】本題考查分組求和以及數(shù)列極限,考查基本分析求解能力,屬中檔題.14、【解題分析】
根據(jù)微積分基本定理可得,再結(jié)合函數(shù)解析式,根據(jù)牛頓萊布尼茨定理計算可得;【題目詳解】解:因為所以故答案為:【題目點撥】本題考查利用定積分求曲邊形的面積,屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】
由題意畫出圖形,求出AD的長度,代入棱錐體積公式求解.【題目詳解】如圖,∵P為上底面△A1B1C1的中心,∴A1P,∴tan.設(shè)平面BCD交AP于F,連接DF并延長,交BC于E,可得∠DEA=∠PAA1,則tan∠DEA.∵AE,∴AD.∴三棱錐D﹣ABC的體積為V.故答案為.【題目點撥】本題考查多面體體積的求法,考查空間想象能力與思維能力,考查計算能力,是中檔題.16、8【解題分析】
畫出可行域,將基準(zhǔn)直線向下平移到可行域邊界位置,由此求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【題目詳解】畫出可行域如下圖所示,由圖可知,目標(biāo)函數(shù)在點處取得最大值,且最大值為.【題目點撥】本小題主要考查利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最大值的方法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)1.【解題分析】分析:(1)由已知條件推導(dǎo)出,由此能求出;(2)由,利用裂項求和法求出,由此能求出滿足要求的最小整數(shù).詳解:(1)當(dāng)時,當(dāng)時,符合上式綜上,(2)所以由對所有都成立,所以,得,故最小正整數(shù)的值為.點睛:利用裂項相消法求和時,應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項,也有可能前面剩兩項,后面也剩兩項,再就是將通項公式裂項后,有時候需要調(diào)整前面的系數(shù),使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等.18、(1);(2);(3).【解題分析】分析:(1)根據(jù)題意求出,即可得到兩點在球上的球面距離;(2)根據(jù)題意,可證與重合,利用向量可求,求出的面積,即可得到四面體的體積;(3)利用空間向量可求面與平面所成銳二面角的大小..詳解:(1),,,∴∴,∴,兩點在球上的球面距離;(2),面,,,∴,∴,∴與重合,∴,的面積,則四面體的體積.(3)設(shè)平面的法向量,得得平面的法向量,設(shè)兩法向量夾角,,所以所成銳二面角的大小為.點睛:本題考查球面距離,幾何體的體積,利用空間向量求二面角的大小,屬中檔題.19、(1)見解析;(2)【解題分析】
(1)先證平面,再證平面,可證直線直線(2)由作AB的垂線,垂足為D,則平面ABC,過A作的平行線,交于E點,則平面ABC,以AB,AC,AE分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,由空間向量法可求得二面角.【題目詳解】證明:連接,側(cè)面為菱形,,又C,,平面,,又,,平面,平面,直線直線;解:由知,平面平面,由作AB的垂線,垂足為D,則平面ABC,,得D為AB的中點,過A作的平行線,交于E點,則平面ABC,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則為平面的一個法向量,則0,,2,,,設(shè)平面的法向量,由,取,得,,故二面角的余弦值為.【題目點撥】利用向量法求二面角的注意事項:(1)兩平面的法向量的夾角不一定就是所求的二面角,有可能是兩法向量夾角的補(bǔ)角為所求;(2)求平面的法向量的方法有,①待定系數(shù)法,設(shè)出法向量坐標(biāo),利用垂直關(guān)系建立坐標(biāo)的方程,解之即可得法向量;②先確定平面的垂線,然后取相關(guān)線段對應(yīng)的向量,即確定了平面的法向量.20、(1),;(2)【解題分析】試題分析:(1)利用等差數(shù)列,等比數(shù)列的通項公式先求得公差和公比,即得到結(jié)論;(2)利用分組求和法,由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項和公式即可求得數(shù)列前n項和.試題解析:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意得d===1.∴an=a1+(n﹣1)d=1n設(shè)等比數(shù)列{bn﹣an}的公比為q,則q1===8,∴q=2,∴bn﹣an=(b1﹣a1)qn﹣1=2n﹣1,∴bn=1n+2n﹣1(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn=1n+2n﹣1,∵數(shù)列{1n}的前n項和為n(n+1),數(shù)列{2n﹣1}的前n項和為1×=2n﹣1,∴數(shù)列{bn}的前n項和為;考點:1.等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用;2.等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用;1.數(shù)列求和.21、(1)見解析;(2)為中點.【解題分析】
(1)證明:∵長方形ABCD中,AB=,AD=,M為DC的中點,∴AM=BM=2,∴BM⊥AM.∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,BM?平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD?平面ADM∴AD⊥BM.(2)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系設(shè),則平面AMD的一個法向量,,設(shè)平面
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