2024屆遼寧省大連瓦房店市第六高級中學數(shù)學高二下期末綜合測試試題含解析

2024屆遼寧省大連瓦房店市第六高級中學數(shù)學高二下期末綜合測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C．48 D．2．高三畢業(yè)時，甲，乙，丙等五位同學站成一排合影留念，在甲和乙相鄰的條件下，丙和乙也相鄰的概率為（）A． B． C． D．3．已知隨機變量，若，則分別是（）A．6和5.6 B．4和2.4 C．6和2.4 D．4和5.64．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．設P，Q分別是圓和橢圓上的點，則P，Q兩點間的最大距離是()A． B．C． D．6．4名男歌手和2名女歌手聯(lián)合舉行一場音樂會，出場順序要求兩名女歌手之間恰有一名男歌手，共有出場方案的種數(shù)是（）A． B． C． D．7．設，則（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)與的圖象上存在關于軸對稱的點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，則的值為（）A．2B．1C．0D．不能確定10．展開式中的常數(shù)項為A．B．C．D．11．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出容量為的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量（）．A．70 B．90 C．40 D．6012．雙曲線和有（）A．相同焦點 B．相同漸近線 C．相同頂點 D．相等的離心率二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數(shù)列中，，且．（1）求，，的值；（2）猜想數(shù)列的通項公式的表達式，并用數(shù)學歸納法證明你的猜想.14．3名男生和3名女生站成一排照相，若男生甲不站在兩端，3名女生中，有且只有兩個女生相鄰，則不同排法的種數(shù)為___________．15．設、兩隊進行某類知識競賽，競賽為四局，每局比賽沒有平局，前三局勝者均得1分，第四局勝的一隊得2分，各局負者都得0分，假設每局比賽隊獲勝的概率均為，且各局比賽相互獨立，則比賽結束時隊得分比隊高3分的概率為__________．16．用簡單隨機抽樣的方法從含有100個個體的總體中依次抽取一個容量為5的樣本，則個體m被抽到的概率為_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）求證：18．（12分）已知函數(shù)f(x)=x2(x-a)，x∈R（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；（Ⅱ）設f'(x)是f(x)的導函數(shù)，函數(shù)g(x)=f'(x),f(x)≥19．（12分）已知函數(shù)，為實數(shù).（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；（2）當，且恒成立時，求的最大值.20．（12分）某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：年份

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

年份代號t

1

2

3

4

5

6

7

人均純收入y

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9

（1）求y關于t的線性回歸方程；（2）利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，21．（12分）在極坐標系中，極點為0，已知曲線與曲線交于不同的兩點.求：(1)的值；(2)過點且與直線平行的直線的極坐標方程．22．（10分）電視傳媒公司為了解世界杯期間某地區(qū)電視觀眾對《戰(zhàn)斗吧足球》節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查，其中女性有55名．下面是根據(jù)調查結果繪制的觀眾日均收看該節(jié)目時間的頻率分布直方圖：(注：頻率分布直方圖中縱軸表示，例如，收看時間在分鐘的頻率是)將日均收看該足球節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“足球迷”．（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷是否可以認為“足球迷”與性別有關？如果有關，有多大把握？非足球迷足球迷合計男女1055合計（2）將上述調查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“足球迷”人數(shù)為．若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列、均值和方差．附：，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由三視圖可得幾何體是如圖所示四棱錐，根據(jù)三視圖數(shù)據(jù)計算表面積即可.【題目詳解】由三視圖可得幾何體是如圖所示四棱錐，則該幾何體的表面積為：.故選：B【題目點撥】本題主要考查了三視圖，空間幾何體的表面積計算，考查了學生的直觀想象能力.2、B【解題分析】

記事件甲乙相鄰，事件乙丙相鄰，利用排列組合思想以及古典概型的概率公式計算出和，再利用條件概率公式可計算出所求事件的概率．【題目詳解】記事件甲乙相鄰，事件乙丙相鄰，則事件乙和甲丙都相鄰，所求事件為，甲乙相鄰，則將甲乙兩人捆綁，與其他三位同學形成四個元素，排法種數(shù)為，由古典概型的概率公式可得.乙和甲丙都相鄰，則將甲乙丙三人捆綁，且乙位置正中間，與其他兩位同學形成三個元素，排法種數(shù)為，由古典概型的概率公式可得，由條件概率公式可得，故選B.【題目點撥】本題考查條件概率的計算，解這類問題時，要弄清各事件事件的關系，利用排列組合思想以及古典概型的概率公式計算相應事件的概率，并靈活利用條件概率公式計算出所求事件的概率，考查計算能力，屬于中等題．3、B【解題分析】分析：根據(jù)變量ξ～B（10，0.4）可以根據(jù)公式做出這組變量的均值與方差，隨機變量η=8﹣ξ，知道變量η也符合二項分布，故可得結論．詳解：∵ξ～B（10，0.4），∴Eξ=10×0.4=4，Dξ=10×0.4×0.6=2.4，∵η=8﹣ξ，∴Eη=E（8﹣ξ）=4，Dη=D（8﹣ξ）=2.4故選：B．點睛：本題考查變量的均值與方差，均值反映數(shù)據(jù)的平均水平，而方差反映數(shù)據(jù)的波動大小，屬于基礎題．方差能夠說明數(shù)據(jù)的離散程度，期望說明數(shù)據(jù)的平均值，從選手發(fā)揮穩(wěn)定的角度來說，應該選擇方差小的.4、D【解題分析】

求出函數(shù)的導數(shù)，由題意可得恒成立，轉化求解函數(shù)的最值即可．【題目詳解】由函數(shù)，得，故據(jù)題意可得問題等價于時，恒成立，即恒成立，函數(shù)單調遞減，故而，故選D.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的單調性以及不等式的解法，函數(shù)恒成立的等價轉化，屬于中檔題.5、C【解題分析】

求出橢圓上的點與圓心的最大距離，加上半徑，即可得出P，Q兩點間的最大距離.【題目詳解】圓的圓心為M(0,6)，半徑為，設，則，即，∴當時，，故的最大值為.故選C.【題目點撥】本題考查了橢圓與圓的綜合，圓外任意一點到圓的最大距離是這個點到圓心的距離與圓的半徑之和，根據(jù)圓外點在橢圓上，即可列出橢圓上一點到圓心的距離的解析式，結合函數(shù)最值，即可求得橢圓上一點到圓上一點的最大值.6、D【解題分析】

利用捆綁法：先從4名男歌手中選一名放在兩名女歌手之間，并把他們捆綁在一起看作一個元素和剩余的3名男歌手進行全排列，利用排列組合的知識和分步計數(shù)原理求解即可.【題目詳解】根據(jù)題意，分兩步進行：先從4名男歌手中選一名放在兩名女歌手之間，同時對兩名女歌手進行全排列有種選擇；再把他們捆綁在一起看作一個元素和剩余的3名男歌手進行全排列有種選擇，由分步計數(shù)原理可得，共有出場方案的種數(shù)為.故選：D【題目點撥】本題考查利用捆綁法和分步乘法計數(shù)原理，結合排列數(shù)公式求解排列組合問題；考查運算求解能力和邏輯推理能力；分清排列和組合和兩個計數(shù)原理是求解本題的關鍵；屬于中檔題、常考題型.7、A【解題分析】

根據(jù)復數(shù)除法運算得到，根據(jù)復數(shù)模長定義可求得結果.【題目詳解】，.故選：.【題目點撥】本題考查復數(shù)模長的求解，涉及到復數(shù)的除法運算，屬于基礎題.8、C【解題分析】

函數(shù)關于軸對稱的解析式為，則它與在有交點，在同一坐標系中分別畫出兩個函數(shù)的圖象，觀察圖象得到.【題目詳解】函數(shù)關于軸對稱的解析式為，函數(shù)，兩個函數(shù)的圖象如圖所示：若過點時，得，但此時兩函數(shù)圖象的交點在軸上，所以要保證在軸的正半軸，兩函數(shù)圖象有交點，則的圖象向右平移均存在交點，所以，故選C.【題目點撥】本題綜合考查函數(shù)的性質及圖象的平移問題，注意利用數(shù)形結合思想進行問題求解，能減少運算量.9、A【解題分析】試題分析：∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴，令代入可得，函數(shù)關于對稱，由函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，函數(shù)關于對稱從而有，故選A．考點：奇偶函數(shù)圖象的對稱性．【思路點睛】利用奇函數(shù)的定義可把已知轉化為，從而可得函數(shù)關于對稱，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，則關于對稱，代入即可求出結果．10、B【解題分析】解：因為則可知展開式中常數(shù)項為,選B11、B【解題分析】

用除以甲的頻率，由此求得樣本容量.【題目詳解】甲的頻率為，故，故選B.【題目點撥】本小題主要考查分層抽樣的知識，考查頻率與樣本容量的計算，屬于基礎題.12、A【解題分析】

對于已知的兩條雙曲線，有，則半焦距相等，且焦點都在軸上，由此可得出結論.【題目詳解】解：對于已知的兩條雙曲線，有，半焦距相等，且焦點都在軸上，它們具有相同焦點.故選：A.【題目點撥】本題考查雙曲線的定義與性質，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1），，（2）（）．證明見解析【解題分析】

（1）利用遞推式直接求：（2）猜想數(shù)列{an}的通項公式為（）用數(shù)學歸納法證明即可．【題目詳解】解：（1）∵，且，∴，，．（2）猜想數(shù)列的通項公式為（）．用數(shù)學歸納法證明如下：①當時，左邊，右邊，因此，左邊=右邊．所以，當時，猜想成立．②假設（，）時，猜想成立，即，那么時，.所以，當時，猜想成立．根據(jù)①和②，可知猜想成立．【題目點撥】本題考查了數(shù)列中的歸納法思想及證明基本步驟，屬于基礎題．14、【解題分析】

先計算有且只有兩個女生相鄰的排列種數(shù)，再計算“在3名女生中，有且只有兩個女生相鄰，且男生甲在兩端的排列”種數(shù)，即可得出結果.【題目詳解】先考慮3名女生中，有且只有兩個女生相鄰的排列，共有種，在3名女生中，有且只有兩個女生相鄰，且男生甲在兩端的排列有種，所以，滿足題意的不同排法的種數(shù)為：種.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查計數(shù)原理的應用，屬于常考題型.15、【解題分析】

比賽結束時隊得分比隊高3分是指前3局比賽中兩勝一負，第4局比賽勝，由此能求出比賽結束時隊得分比隊高3分的概率．【題目詳解】比賽結束時隊得分比隊高3分是指前3局比賽中兩勝一負，第4局比賽勝，比賽結束時隊得分比隊高3分的概率：．故答案為：．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查次獨立重復試驗中事件恰好發(fā)生次的概率計算公式等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．16、【解題分析】

總體含100個個體，從中抽取容量為5的樣本，則每個個體被抽到的概率為.【題目詳解】因為總體含100個個體，所以從中抽取容量為5的樣本，則每個個體被抽到的概率為.【題目點撥】本題考查簡單隨機抽樣的概念，即若總體有個個體，從中抽取個個體做為樣本，則每個個體被抽到的概率均為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、證明見解析．【解題分析】試題分析：此題證明可用分析法，尋找結論成立的條件，由于不等式兩邊均為正，因此只要證，化簡后再一次平方可尋找到?jīng)]有根號，易知顯然成立的式子，從而得證．試題解析：證明：因為都是正數(shù)，所以為了證明只需證明展開得即因為成立，所以成立即證明了【題目點撥】(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結論成立的充分條件.正確把握轉化方向是使問題順利獲解的關鍵.(2)證明較復雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結論等價(或充分)的中間結論，然后通過綜合法證明這個中間結論，從而使原命題得證.18、（Ⅰ）y=x-1（Ⅱ）g【解題分析】

（Ⅰ）求函數(shù)的導數(shù)，當a=1時，利用點斜式可求曲線y=f(x)在點(1，f（1）)處的切線方程；（Ⅱ）分別討論a，利用數(shù)形結合法，求函數(shù)g(x)=f【題目詳解】（Ⅰ）當a=1時，f(x)=x2(x-1)，∴f'(1)=1，又∴曲線(1,f(1))在點(1,f(1))處的切線方程為：y=x-1．（Ⅱ）f(x)=x3-a由f(x)=fx1=a+3-a2-2a+9得當-2≤a≤2，x2a=0時，g(x)=x3，g(x)在-2,2單調遞增，∴g②當-2≤a<0時，可得-2≤a<x1<∴g(x)在-2,x1單調遞增，x1g(x)min③當0<a≤2時，可得0<a∵f(x)∴g(x)=f(x),x∈[-2,0]∴g(x)在-2,0單調遞增，0,a3單調遞減，a3,x∴g(x)綜上，g(x)【題目點撥】本題考查了導數(shù)的綜合應用問題，函數(shù)曲線的切線，函數(shù)的最值，屬于難題．19、(1)(2)【解題分析】分析：（1）當時，，利用導函數(shù)研究切線方程可得函數(shù)在點處的切線方程為.（2）原問題等價于恒成立，二次求導，由導函數(shù)研究的性質可知，滿足，，，，則.據(jù)此討論可得的最大值為.詳解：（1）當時，，∴，所以函數(shù)在點處的切線方程為，即為.（2）恒成立，則恒成立，又，令，所以，所以在為單調遞增函數(shù).又因為，，所以使得，即，，，，所以.又因為，所以，所以，，令，，，所以，即，又，所以，因為，，所以的最大值為.點睛：導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結合思想的應用．20、（1）；（1）在1557至1512年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入在逐年增加，平均每年增加千元；元.【解題分析】試題分析：本題主要考查線性回歸方程、平均數(shù)等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力．第一問，先利用平均數(shù)的計算公式，由所給數(shù)據(jù)計算和，代入公式中求出和，從而得到線性回歸方程；第二問，利用第一問的結論，將代入即可求出所求的收入．試題解析：（1）由所給數(shù)據(jù)計算得＝（1＋1＋2＋3＋4＋6＋7）＝3，＝（1．9＋2．2＋2．6＋3．3＋3．8＋4．1＋4．9）＝3．2，，，所求回歸方程為．（1）由（1）知，，故1559年至1514年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加5．4千元．將1517年的年份代號t＝9，代入（1）中的回歸方程，得，故預測該地區(qū)1517年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6．8千元．考點：線性回歸方程、平均數(shù)．21、（