直線與圓的位置關(guān)系-2022年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)幫(浙江專用)（解析版）

考點20直線與圓的位置關(guān)系

【命題趨勢】

直線與圓的位置關(guān)系中，必考考點是切線。所以，準(zhǔn)確掌握切線的概念，以及切線的

性質(zhì)、切線的構(gòu)造等，是解決中考中這類問題的關(guān)鍵.而此考點中，考題類型常出成解答題,

并且切線的判定常作為解答題的第一問，其他有關(guān)切線的應(yīng)用也常出成選擇或填空題的壓軸

題，需要考生加以重視。

【中考考查重點】

一、直線與圓的位置關(guān)系

二、切線的性質(zhì)與判定

三、三角形的內(nèi)切圓

考向一：直線與圓的位置關(guān)系

直線寫圓的位置關(guān)系

設(shè)。。的半徑為r,直線/與?o相交oJ<r

圓心。到直線/的直線/與?。相切Qd=r

距離為d

直線/與?o相離od>r

【同步練習(xí)】

I.己知平面內(nèi)有和點A,B,若的半徑為2C/M,線段。A=3cm,OB=2cm,則直

線AB與OO的位置關(guān)系為（）

A.相交B.相切C.相交或相切D.相離

【分析】根據(jù)直線上點與圓的位置關(guān)系的判定得出直線與圓的位置關(guān)系.

【解答】解：的半徑為2。”，線段。A=3cro,OB=2cm,

即點A到圓心O的距離大于圓的半徑，點B到圓心O的距離等于圓的半徑，

二點A在。。外，點B在。。上，

直線AB與。。的位置關(guān)系為相交或相切，

故選：C.

2.如圖，直角坐標(biāo)系中，以5為半徑的動圓的圓心A沿x軸移動，當(dāng)。A與直線/：y=-^-x

只有一個公共點時，點A的坐標(biāo)為（）

A.(-12,0)B.(-13,0)C.(±12,0)D.(±13,0)

【分析】由題意可知：直線/與OA相切，設(shè)切點為B,過點B作BE1OA于點E,利用

直線/的解析式設(shè)出點8的坐標(biāo)，可得線段8E,08的長，由直角三角形的邊角關(guān)系可

得tan/AOB=W：解直角三角形A3?？傻肙B的長，利用勾股定理可求OA的長，點

12

4坐標(biāo)可得，同理可求當(dāng)A在x軸的正半軸上的坐標(biāo)為(13,0).

【解答】解：當(dāng)與直線/：'=&只有一個公共點時，直線/與OA相切，

12

設(shè)切點為8,過點8作于點E,如圖，

設(shè)8(僧，

12

：.OE=-m,BE=--L/n.

12

在RtZ^OEB中，tan/A03=巫

0E12

?.?直線/與04相切，

C.ABLBO.

在RtZ\0A8中，tan/A08=坐上.

OB12

\'AB=5,

：.OB=12.

OA^VAB2-K)B2=VB2+122=13-

AA(-13,0).

同理，在x軸的正半軸上存在點（13,0）.

綜上所述，點A的坐標(biāo)為（±13,0）.

故選：D.

考向二：切線的性質(zhì)與判定

定義當(dāng)直線與圓有且僅有一個公共點時，這條直線叫做圓的切線

判定圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

性質(zhì)講過切點的半徑垂直于圓的切線

切線長定理：過圓外一點所作的圓的兩條切線長相等

【方法提煉】

1.切線的判定：常用方法一|?有切點，連半徑，證垂直！

'無切點，作垂直，證半徑！

☆特別地：

題目中所需證的垂直，一般是由已知垂直轉(zhuǎn)化而來的，故有“想證_L,先找J_"

2.切線的性質(zhì)：常用方法一見切點，連半徑，得垂直！

因切線所得結(jié)論必為，，故常以直角三角形來展開后續(xù)問題

【同步練習(xí)】

1.?下列說法中，正確的是（）

A.過圓心的線段叫直徑B.長度相等的兩條弧是等弧

C.與半徑垂直的直線是圓的切線D.圓既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形

【分析】根據(jù)直徑的定義對A進行判斷；根據(jù)等弧的定義對8進行判斷：根據(jù)切線的判

定定理對C進行判斷；根據(jù)圓的性質(zhì)對D進行判斷.

【解答】解：A、過圓心的弦叫直徑，所以4選項錯誤；

8、在同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧，所以8選項錯誤；

C、過半徑的外端，與半徑垂直的直線是圓的切線，所以C選項錯誤；

。、圓既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，所以。選項正確.

故選：D.

2.如圖為△A8C和一圓的重疊情形,此圓與直線BC相切于C點，且與AC交于另一點D.若

/A=75°,NB=55°,則令的度數(shù)為（）

A

BC

A.90°B.100°C.110°D.120°

【分析】首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得NAC8的度數(shù)，再根據(jù)切線的性質(zhì)求出/DOC

可求解.

【解答】解：連接OC,OD,

BC

VZA=75°,ZB=55°,

：.ZACB=50°.

?此圓與直線BC相切于C點,

：.OCLBC,

：.ZBCO=90Q,

AZOCD=90°-50°=40°,

"：OC=OD,

：.ZOCD=ZODC,

AZDOC=100°,

的度數(shù)=/ooc=ioo".

故選：B.

【分析】連接。￡>，根據(jù)已知條件證得三角形OOC是含30°的直角三角形，得至IJNOO8

=60°,Z￡>OA=120°,然后根據(jù)扇形的面積公式與三角形的面積公式計算即可.

【解答】解：設(shè)圓心為O,連接。，作OML4/),垂足為

??,A8為半圓。的直徑，AB=2,BC=1,

；?AB=2BC=203=20。，

???C。是OO的切線，

.\ZODC=90°

:.OD=BC=BO=1,

：.ZDOB=GO0,

：.ZDOA=12O0,

???NODM=NOAM=30°

U：OM±AD,

：.OM=1.OD=1.1AD=2DM,

22

.\DM=7OD2-OM2=-Jl2-(y)2=~

.?.陰影部分的面積=12°兀:F-工運x2X-=-

36022乙234

故選：B.

4.如圖，AB是。。的直徑，AC是。。的切線，連接。C交。。于點。，連接8D,ZC=

30°,48=6,則BD的長為()

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到04_LAC,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到/AOC=90°-

30°=60°,求得NOA/)=60°,連接AD,根據(jù)圓周角定理得到乙408=90°,根據(jù)三

角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.

【解答】解：?；AC是。。的切線,

：.OA±AC,

，N。4c=90°,

VZC=30°,

/.ZAOC=90°-30°=60°,

/.ZAOC=60°,

"：OA=OD,

.?./O4O=60°,

連接AD,

是。。的直徑，

AZADB=90°,

\'AB=6,

：.BD=AB'sin60°=6X退_=3我,

2

5.如圖，。是△ABC的邊AC上的點，AB=AD,以AB為直徑的。。分別交B。、AO于點

E、F,若/CB￡>=1/CAB.

2

(1)求證：BC是。。的切線;

(2)若。。的半徑為2,AF=3.,求CO的長.

5

【分析】(1)連接由48是。。的直徑得/AE8=90°,由AB=A￡>,AE1BD,得

ZBAE=ZDAE=1.ZCAB,而NCB￡?=_1NC4B,所以NCBO=NBAE,則NABC=/

22

ABE+^CBD^ZABE+ZBAE=90°,即可證明8c是。。的切線；

(2)作OG_LA尸于點G,根據(jù)垂徑定理得AG=FG=LF=』X&=2,因為。。的半

2255

徑為2,所以O(shè)A=2,AD=AB=4,再由旭=3R=cosN8AC求出AC的值，即可由C。

OAAC

=AC-AD求出CD的長.

【解答】(1)證明：如圖，連接4E,

是。。的直徑，

/.ZAEB=90°,

：.AELBD,

\'AB=AD,

：.NBAE=ZDAE=1.ZCAB,

2

VZCBD=AZCAS,

2

：.ZCBD^^BAE,

：.ZABC=NABE+NCBD=NABE+NBAE=90°,

'..OB是。。的半徑，且8CJ_08,

.?.8C是。。的切線.

(2)如圖，作0GJ_A尸于點G,

?.工廠=旦，

5

:.AG=FG=1AF^XX&=_1,

2255

；00的半徑為2,

；.0A=2,AD=AB=4,

VZAGO=ZABC=90°,

...幽=迪=3/84(7,

OAAC

.MC=°A"AB=寫1=io,

AGA

5

，CD=AC-AD=10-4=6,

...CO的長為6.

6.如圖，△ABC內(nèi)接于(DO,JaAB=AC,BZ)_LAC于點。，過點A作AE:〃BC交3D的延

長線于點E.

(1)求證：AE是。。的切線；

(2)若BC=8,tanNE=_l,求。0的半徑.

2

【分析】（1）延長40交8c于點凡由圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)可得4匚LBC,再由平行線

的性質(zhì)及切線的判定定理可得結(jié)論；

（2）由三角形的外角性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可得tan/布C=工，再由三角形外接圓的性質(zhì)

2

及三角函數(shù)可得4尸的長，連接0C,根據(jù)勾股定理可得答案.

【解答】（I）證明：延長40交8c于點尸，

?.,△48C內(nèi)接于。0,

...0是AABC垂直平分線的交點，

：.AF±BC,

"：AE//BC,

：.AF±AE,

'：OA是半徑，

是00的切線;

(2)解：".'AE//BC,

:.NE=NCBE,

'：AFLBC,ACLBE,

.,.ZMC+ZACfi=1800-ZAFC=90°,

在△BCD中,ZCBE+ZACB=\800-ZBDC=90°,

；.NCBE=/fAC=NE,

VtanZE=A,

2

.,.tanZMC=A,

2

?.,△A8C內(nèi)接于。0,

.?.4尸是BC的垂直平分線，

.JC=48C=LX8=4,

/.tanZMC=-^-=-i?

AF2

."F=2CF=2X4=8,

連接OC,

；A尸=40+0/=8,OA=CD,

：.OF+CD=S,

設(shè)OC=r,則。尸=8-r,

在RtZ^OFC中，OF1+CF1=OC1,即(8-r)2+42=?,

r=5,

.??0。的半徑為5.

考向三：三角形的內(nèi)切圓

三角形外接圓與內(nèi)切圓之間的關(guān)系

三角形的外接圓三角形的內(nèi)切圓

圖形A

圓心O為外心：三邊垂直平分線的交點o為內(nèi)心：三條角平分線的交點

特征三角形各頂點均在圓上三角形各邊均與圓相切

性質(zhì)三角形的外心到三角形三個頂點三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等

的距離相等

常用直角三角形外接圓的圓心為斜邊

S^=~r（。+人+c）（a、b、c為Z\ABC

結(jié)論中點ABC

的三邊長，r為OO的半徑）；ZBOC=90°+

-ZA

2

【同步練習(xí)】

1.如圖，PA.PB切。。于點A、B,直線FG切。。于點E,交用于尸，交PB于點G,

若必=8aw,則aPFG的周長是（）

A.8cmB.12cmC.16cvnD.20cm

【分析】由于以、FG、P8都是。。的切線,可根據(jù)切線長定理，將△ABC的周長轉(zhuǎn)化

為切線長求解.

【解答】解：根據(jù)切線長定理可得：PA=PB,FA=FEfGE=GB；

所以△PPG的周長=P"FG+PG,

=PF+FE+EG+PG,

=PF+FA+GB+PG,

=PA+PB

=16c/n,

故選：C.

2.如圖，點。為△ABC的內(nèi)心，ZA=60°,08=2,0C=4,則△08C的面積是()

A.4yB.2V3c.2D.4

【分析】過點C作C”_LB0的延長線于點”，根據(jù)點。為△A8C的內(nèi)心，24=60°,

可得/8OC=180°-ZOBC-ZOCB=90°+.1^=120°,所以NCO，=60°,利用

含30度角的直角三角形可得CH的長，進而可得AOBC的面積.

【解答】解：如圖，過點C作C”J_8。的延長線丁點"

?點。為△A8C的內(nèi)心，NA=60°，

.?./8OC=180°-NOBC-NOCB=90。+//A=120°,

/.ZCOW=60°,

'：013=2,OC=4,

：.OH=2

：.CH=2y/3,

：./\OBC的面積=工XOB?CH=L乂1乂2M=2如.

22

故選：B.

3.如圖，銳角△ABC內(nèi)接于OO,/為AABC內(nèi)心，已知NOAB=50°,則NA/B的度數(shù)為

()

A.110°B.125°C.130°D.135°

【分析】根據(jù)OA=OB,得NO=80°,則NC=40°,由/為△ABC內(nèi)心，得A/、BI

為ZCAB、NCBA的平分線，則有(NCA8+NCBA)=工(180°-Z

22

C)=70°,即可解決問題.

【解答】解：連接08,

?：OA=OB,

...NOAB=NO8A=50°,

.*.ZO=180°-(/(MB+/08A)=80°,

AZC=40°,

:/為AABC內(nèi)心，

.?.A/、BI為NCAB、NCBA的平分線，

.-.ZMfi=l/CAB，N/BA=//CBA，

AZMB+Z/B4=A(NCA8+NCBA)=2(180°-ZC)=70°,

22

AZA/fi=180°-(NIAB+NIBA)=180°-70°=110°.

故選：A.

4.如圖，切線孫、P8分別與。。相切于點A、B,切線EF與。0相切于點C,且分別交

PA,PB于點、E、F,若△?￡：尸的周長為6,則線段"的長為.

【分析】通過切線長定理將相等的線段進行轉(zhuǎn)換，得出三角形PEF的周長等于用+PB=

6,又因為以=尸8,所以可求出外的長.

【解答】解：EC都是圓。的切線，

.".EC—EA,

同理FC=FB,PA=PB,

：.△PEF的周長=PF+PE+EF=PF+PE+EA+FB=PA+PB=2加=6,

/.B4=3；

故答案為：3.

5.如圖，ZVIBC的內(nèi)切圓。。與BC,CA,4B分別相切于點￡>,E,F,且48=5,BC=

13,CA=n,則陰影部分的面積為(結(jié)果保留1T).

【分析】由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，/A=90°,證出四邊形AEOF

是正方形，得。E=OF=」(AB+AC-BC)=2,正方形4E。尸的面積=2?=4,求出扇

形EOF的面積=n,得扇形OEOF的面積=3IT,求出△ABC的面積=30,進而得出答案.

【解答】解：'：AB=5,BC=i3,CA=12,

：.AB2+AC2=B(^,

...△ABC是直角三角形，/A=90°,

?:△ABC的內(nèi)切圓。。與8C,CA,A8分別相切于點/),E,F,：,OELAC,OF±AB,

ODLBC,OE=OF=OD,

四邊形4EO廠是正方形，

AZ￡OF=90°,OE=OF=1(.AB+AC-fiC)=A(5+12-13)=2,正方形AEO尸的

22

面積=2?=4,

扇形EO尸的面積=工*1!乂22=11,

4

二扇形OEO尸的面積=TTX22-n=3n,

?.,△ABC的面積=L8X4C=_1X5X12=30,

?二陰影部分的面積=30-(4-n)-3n=26-2n；

故答案為:26-2ir.

1.已知。0的半徑為3,圓心0到直線/的距離為2,則直線/與。。的位置關(guān)系是（)

A.相交B.相切C.相離D.不能確定

【分析】根據(jù)圓O的半徑和，圓心。到直線/的距離的大小，相交：d<r,相切：d=r；

相離：d>r；即可選出答案.

【解答】解：:。。的半徑為3,圓心。到直線/的距離為2,

；3>2,B|J：d<r,

...直線/與。。的位置關(guān)系是相交.

故選：A.

2.如圖，AB,AC是。。的切線，B、C為切點，點。是優(yōu)弧BC上一點，NBDC=70°,

則NA的度數(shù)是（）

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB1A8,OCLAC,利用圓周角定理計算N80C的度數(shù).再

利用四邊形的內(nèi)角和計算出乙4=40°.

【解答】解：；NBDC=70°,

AZBOC^2ZBDC=140°,

'：AB,AC是。。的兩條切線，B、C是切點，

：.OB±AB,OCVAC,

.?.NOB4=/OCA=90°,

ZA=180°-NBOC=180°-140°=40°,

故選：B.

3.如圖，C3與以AB為直徑的圓相切于點。，若AB=2,BC=\,則圖中陰影部分的面積

為（）

【分析】連接OC，根據(jù)已知條件證得三角形。QC是含30°的直角三角形，得到

=60°,4004=120°,然后根據(jù)扇形的面積公式與三角形的面積公式計算即可.

【解答】解：設(shè)圓心為O,連接。。，作垂足為

?；AB為半圓。的直徑,AB=29BC=L

：.AB=2BC=2OB=200,

???CO是OO的切線，

：.ZODC=90°

：.OD=BC=BO=\,

：.ZDOB=60G,

：.ZDOA=\20°,

AZODM=ZOAM=30Q

,?OM1.AD,

AD=2DM,

22

=22

ADMVOD-OM=WG）2=等

陰影部分的面積=120兀:F-）近1=三亞,

360°22'234

故選：B.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的圓尸的圓心P的坐標(biāo)為（-3,0）,將圓P沿

x軸的正方向平移，使得圓P與y軸相切，則平移的距離為（）

A.1B.3C.5D.1或5

【分析】分圓P在y軸的左側(cè)與）'軸相切、圓P在y軸的右側(cè)與y軸相切兩種情況，根

據(jù)切線的判定定理解答.

【解答】解：當(dāng)圓P在y軸的左側(cè)與y軸相切時，平移的距離為3-2=1,

當(dāng)圓P在），軸的右側(cè)與y軸相切時，平移的距離為3+2=5,

故選：D.

5.如圖，已知△ABC的周長是20,點。為三角形內(nèi)心，連接。8、OC,OOd_BC于點

且0。=3,則AABC的面積是（)

A

【分析】連接OA,過點。作0E_LA8于點E,。尸，AC于點凡可得0O=0E=。尸=3,

根據(jù)5&ABC=S/^OB+SAAOC+S^BOC>即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接04，過點。作OELAB于點E,。凡LAC于點F,

?.?點。為三角形內(nèi)心，OD±BC,

：.OD=OE=OF=3,

SA/IBC=SAAOB+SAAOC+SABOC

=工xAB，OE+l.xAC?。尸+工xBGOD

222

=XxOD（AB+AC+BC）

2

="1x3X20

2

=30.

故選：C.

6.如圖，AB為。。的直徑，四邊形4BC。為。。的內(nèi)接四邊形，點尸在BA的延長線上,

PO與。。相切，。為切點，若/BC￡>=125°,則NAQ尸的大小為（）

【分析】連接AC,OD,得到/ACB是直角，求出NACZ）的度數(shù)，可求出NA0C的度數(shù),

再利用切線的性質(zhì)即可得到/4OP的度數(shù).

【解答】解：連接AC,OD,

"AB是直徑，

AZACB=90°,

AZACD=125-90°=35°,

.?.NAOO=2NACO=70°,

"：OA=OD,

：.ZOAD=ZADO,

：.ZADO=55°,

：P。與。。相切，

：.OD±PD,

：.ZADP=900-ZADO=900-55°=35°.

故選：C.

7.如圖，是。0的切線,A、B是切點，已知/P=60°,OA=3,那么AB的長為

【分析】首先過點O作0CJ_A8于點C,由垂徑定理可得：AC=1AB,又由PA.PB是

2

。。的切線，由切線長定理可得印=尸3,由/尸=60°,即可得△辦B是等邊三角形，

繼而可求得/OAC=30°,則可求得AC的長，繼而求得答案.

【解答】解：過點。作OCLA8于點C,

:.AC=^1AB,

2

OP8是。。的切線，

：.PA=PB,OA1PA,

VZP=60°,

.?.△以8是等邊三角形，

：.ZPAB=60°,

/.ZOAC=90°-ZPAB=30°,

在RtZ\AOC中，OA=3,

.*.AC=OA*cos30°=3X2ZZ.=,

22

."8=2AC=3我.

故答案為：3a.

p

8.如圖，。。的切線CO交直徑A3的延長線于點C,。為切點,若NC=30°,。0的半

徑為1,則礪的長為____.

A\'0IBC

【分析】連接OD,如圖，利用切線的性質(zhì)得到NOOC=90°,則NCOO=60°,然后

根據(jù)弧長公式計算BD的長度.

【解答】解：連接8,如圖，

???CD為切線，

二OD1CD,

ZODC=90°,

VZC=30°,

AZCOD=60°,

而的長度=60x兀x1=上口

1803

故答案為：In.

3

AVoJBC

9.如圖，D是。0上一點，點C在直徑BA的延長線上,且CD是。0的切線，OE〃/1。

交CD的延長線于點E,連接E8.

(1)求證：EB是。0的切線.

(2)若AC=3,AD=M，求O。的半徑.

【分析】(1)連接O。、BD,由OE〃A。得NQOE=O￡)A,ZBOE=ZOAD,而NOZM

=/。4￡>,則/￡>OE=/8OE,所以O(shè)E_L8O,由垂徑定理可證明OE垂直平分BD,則

ED=EB,得NOBD=NODB,ZEBD=ZEDB,則/OBE=NOOE=90°,即可證明

E8是OO的切線；

(2)設(shè)。。的半徑為r,先證明△DOEs△DAB,則座二四，可求得OE=麗J,

ABAD3

再根據(jù)AQ〃OE證明△CWs^cOE,則處=坦，所以旦—,解方程求出

OCOE3-tr2V32

3r

符合題意的，?的值即可.

【解答】(1)證明：如圖，連接0。、BD,

'."OE//AD,

：.4D0E=0DA,NBOE=NOAD,

"：OA=OC,

：.ZODA=ZOAD,

:.NDOE=NBOE,

?：OD=OB,

：.OE1BD,

.?.OE平分8。，

：.ED=EB,

;CO與。。相切于點o,

：.CDLOD,

'：NOBD=ZODB,NEBD=/EDB,

：.ZOBE=ZOBD+ZEBD=ZODB+ZEDB=ZODE=90°,

是。。的半徑，且BE_L08,

.?.E8是。。的切線.

(2)解：如圖，設(shè)。。的半徑為r,

；AB是。。的直徑，

AZADB=90°,

/.NODE=ZADB,

ZDOE=ZODA,NDAB=/ODA,

：.ZDOE=ZDAB,

:ADOEsADAB,

..OE=OD,

',而AD'

；AC=3,AD=a，A8=2r,OD=r,

...OE=0D?AB=rX2r=aZ時,

ADV33

'JAD//OE,

：./\CAD^/^COE,

?AC=AD

"ocOE'

.3_a

工一近7，

3r

整理得2r-r-3=0,

解得/j=3,仁=7（不符合題意，舍去）,

2

：.QO的半徑為3.

10.如圖，A8是半圓。的直徑，且A8=10.點C是半圓。上一點，連接AC,BC,作。尸

±AC,垂足為F.過點C作半圓O的切線交AB的延長線于D,交OF的延長線于E,

連接AE.

(1)求證：AE是半圓。的切線；

(2)①連接OC,當(dāng)4C=C。時，aOBC的形狀是；

②若BC=6,則線段CD=_1型一

【分析】(1)連接。C,根據(jù)切線的性質(zhì)得到NECO=90°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

/E4O=/ECO=90",根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/C4O=NC,ZCAO=ZACO,根據(jù)三角形的外角

的性質(zhì)得到NCOO=NCAO+NACO=2NCAO=2N。，求得NCOQ=60°,于是得到^

0C8是等邊三角形；

②根據(jù)圓周角定理得到NACB=90°,根據(jù)勾股定理得到AC=4AB2-BC2=8,根據(jù)相

似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接0C,

是。。的切線，

:.NECO=90°,

"：OA=OC,OF±AC,

：.ZAOE=NCOE,

在△A￡0與△CEO中，

'AO=OC

<ZA0E=ZC0E>

OE=OE

.?.△AEO絲△CEO(SAS),

：.ZEAO=ZECO=90°,

：OA是。。的半徑，

是半圓。的切線；

(2)解：①當(dāng)AC=C。時，aOBC的形狀是等邊三角形，

理由：'：AC=DC,

：.ZCAD=^D,

?.Q=OC,

.".ZCAO=ZACO,

：.NCOD=ZCAO+ZACO=2ZCAO^2ZD,

；NOC￡>=90°,

.,.ZD=30°,

AZCOD=60°,

.?.△OC8是等邊三角形；

②是半圓。的直徑，

.*.ZACB=90°,

,.,AB=10,BC=6,

:.AC=yjAB2-BC2=8,

ZACB=ZOCD=90°,

：.ZACO=ZDCB,

：.ZDCB=ZCAD,

\'ZD=ZD,

：.MACDsXCBD,

?AC=CD=8.=1

"BCBD?3"

，設(shè)CD=4x,BD=3x,

'：/XACD^^CBD,

?CD=BD

"ADCD"

?4x=3x

"10+374x'

?沖30

7

.\CD=121,

7

故答案為：①等邊三角形；②磔.

7

E

AOBD

11.如圖，△ABC中，AC=8C,點/是△ABC的內(nèi)心，點。在邊2C上，以點。為圓心,

OB長為半徑的圓恰好經(jīng)過點/,連接C/,BI.

(1)求證：C/是。。的切線；

(2)若AC=BC=5,AB=6,求sin/AB/值.

【分析】(1)設(shè)N/CB=x,ZiBC=y,得：2v+2y+2y=180°,則x+2y=90°,再證明

N/OC+//CO=2y+x=90°,可得/O/C=90°,則C7是。。的切線；

(2)延長C/交A8于Q,先計算NCD4=9O°,得C￡>=4,證明△O/Cs/XBOC,列比

例式迎=能，設(shè)。。的半徑為r,得『的值，由更=毀，計算。/的值，根據(jù)勾股定

BDCBDCBC

理可得BI,再利用銳角三角函數(shù)可以解決問題.

【解答】(1)證明：連接。/,

?.?點/是△A8C的內(nèi)心，

:.BI、。分別是/ABC、NACB的平分線,

設(shè)N/C8=x,N/BC=y,

'.'AC=BC,

NABC=N4=2y,ZACB=2x,

2x+2)42y=180°,

Ax+2y=90°,

?：OB=OI,

：,ZO1B=ZOBI,

：.NABI=NOIB,

：.OI//AB.

：.ZIOC=ZABC=2y,

???N/OC+N/CO=2y+x=90°,

AZO/C=90°,

，C7是。。的切線：

(2)解：延長C7交A8于。,

VZACD+ZA=x+2y=90°,

.'.ZCDA=90°,

J.CDA.AB,

：AC=BC=5,AB=6,

：.AD=BD^3,

：.CD=4,

:OI//AB,

.,.△O/C^ABDC,

?p^=pc

"BDCB"

設(shè)0。的半徑為r,

?r_5-r

,5~5~,

???f1■5■■■-f

8

'."OI//BD,

??*D,I~_~~O一?B一

DCBC

15

?.D?—I_—T■

45

.?.￡)/=8，

2

喘等靠=去

務(wù)真題再現(xiàn),

1.（2021?浙江嘉興）己知平面內(nèi)有。0和點4,B,若。0半徑為2cm,線段0A=3c機，

08=2?！?，則直線AB與的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相交C.相切D.相交或相切

【分析】根據(jù)宜線上點與圓的位置關(guān)系的判定得出直線與圓的位置關(guān)系.

【解答】解：。。的半徑為2c7",線段。4=3刖，0B=2cm,

即點A到圓心。的距離大于圓的半徑，點H到圓心0的距離等于圓的半徑，

二點A在。。外，點8在。。上，

直線AB與。。的位置關(guān)系為相交或相切，

故選：D.

2.（2021?浙江溫州）如圖，。。與△0A8的邊AB相切，切點為B.將△048繞點B按順

時針方向旋轉(zhuǎn)得到△?'4'B,使點0'落在00上，邊A'8交線段A。于點C.若N

A'=25°,則NOCB=度.

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到/。班=90°,連接00',如圖，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得/

=25°,ZABA'=N0B0',B0=B0',則判斷△00'8為等邊三角形得

到N0B。'=60°,所以NABA'=60°,然后利用三角形外角性質(zhì)計算NOCB.

【解答】解：:。。與△048的邊A8相切，

AZOBA=90°,

連接O。'，如圖，

:△OAB繞點8按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△?'A'B,

；.乙4=乙4'=25",ZABA'=NOBO',BO=BO',

'：OB=OO',

：./\OO'8為等邊三角形，

：.ZOBO'=60",

/.ZABA'=60°,

/.ZOCB=ZA+ZABC=250+60°=85°.

3.（2021?浙江寧波）抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.如

圖，AC,80分別與。。相切于點C,D,延長AC,BD交于點P.若/P=120°,。0

的半徑為6cm則圖中而的長為

cm.（結(jié)果保留it）

的度數(shù)，最后利用弧長公式求解答案即可.

【解答】解：如圖所示，連接。C,OD,OP,

,：AC,8。分別與。。相切于點C,D,

故NOCP=/OOP=90°,

由四邊形內(nèi)角和為360°可得，

ZCOD=3600-ZOCP-ZODP-ZCPD

=360°-90°-90°-120°

=60°.

點P是OO外一點，且0P=2.若PT

則PT=

【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)可得出△OPT為直角三角形，再利用勾股定理求得P7長度.

【解答】解：是。。的切線，7為切點,

J.OTVPT,

在RtZXOPT中，OT-1,OP—2,

尸―加2_0T2-422T―迎

故：PT=42.

5.（2021?浙江麗水）如圖，在△ABC中，AC=BC,以BC為直徑的半圓。交力8于點，

過點。作半圓0的切線，交AC于點E.

（1）求證：ZACB=2ZADE；

（2）若DE=3,AE=M，求而的長.

【分析】（1）連接0。CD,根據(jù)切線的性質(zhì)得到/ODE=90°,根據(jù)圓周角定理得到

ZBDC=90°,求得NAZ）E=NOZ）C,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)勾股定理得到AD=q§2+（曲）2=2如,lanA=J§,求得乙4=60°,推出

△ABC是等邊三角形，得到/B=60°,BC=AB=2AD=^根據(jù)弧長公式即可得到

結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接0。，CD,

,:DE是。0的切線，

.,.ZOD￡=90°,

：.ZODC+ZEDC=90Q,

為。。直徑，

；.NBDC=90°,

：.ZADC=90°,

：.ZADE+ZEDC=90Q,

：.NADE=NODC,

'：AC=BC,

：.NACB=2NDCE=2NOCD,

■：OD=OC,

：.4ODC=ZOCD,

：.ZACB=2ZADE；

（2）解：由（1）知，ZADE+ZEDC=90°,NADE=/DCE,

：.ZAED=90°,

'：DE=3,AE=M，

:?AD=da+2=2**/^,tanA=?\/3,

；.NA=60°,

'：AC=BC,

...△ABC是等邊三角形，

AZB=60°,BC=AB=2AD=4y[3,

ZCOD=2ZB=120°,0C=373，

ACD的長為西=120?兀X2?=蚯兀

1801803

6.（2021?浙江衢州）如圖，在△4BC中，CA=CB,8c與相切于點。，過點A作AC

的垂線交CB的延長線于點E,交。A于點F,連結(jié)BF.

(1)求證：3F是OA的切線.

(2)若BE=5,AC=20,求的長.

【分析】（1）連接A￡>,利用8c與。A相切于點。，可得NA￡>B=90°；通過說明

也△A8。得到NA尸8=44。8=90°,結(jié)論得證；

（2）利用ACVAEBF//AC,于是AEFBsAEAC,得到理迪，將已

CECA

知條件代入可得BF,利用勾股定理在RtZ\8EF中可求EF.

【解答】解：（1）證明：連接AO,如圖，

ZCAB=NABC.

,：AELAC,

：.ZCAB+ZEAB=90°.

??,BC與。A相切于點。，

：.ZADB=90a.

：.ZAHD+ZBAD=<)0°.

:.NBAE=NBAD.

在△ABF和△ABO中，

'AB=AB

<ZBAE=ZBAD?

AF=AD

:.AABF咨AABD(SAS).

必=NADB=90°.

尸是。A的切線.

(2)由(D得：BF±AE,

,：AC1AE,

：.BF//AC.

：./\EFB^/\EAC.

?.?一BE_=BF-,

CECA

?：BE=5,CB=AC=20,

：.CE=EB+CB=20+5=25,

???—5=—BF?

2520

：.BF=4.

在RlZXBEF中，

￡F=VBE2-BF2=752-42=3-

7.（2021?浙江金華）在扇形AOB中，半徑。4=6,點P在。4上，連結(jié)PB,將△O8P沿

PB折疊得到A。'BP.

（1）如圖1,若/。=75°,且BO'與俞所在的圓相切于點8.

①求/APO，的度數(shù).

②求4P的長.

（2）如圖2,BO'與窟相交于點。，若點。為定的中點，且尸￡>〃08,求窟的長.

圖1圖2

【分析】（1）①利用三角形內(nèi)角和定理求解即可.

②解法一：如圖1中，過點8作8//LOA于"，在8,上取一點F,使得。尸=尸8,連接

OF.想辦法求出OH,PH,可得結(jié)論.

解法二：連接OO'交PB于T,在Rt/SOTP中，求出。尸即可.

（2）如圖2中，連接AC,OD.證明NAOB=72°可得結(jié)論.

【解答】解：（1）①如圖1中，是。。的切線，

：.ZOBO'=90°,

由翻折的性質(zhì)可知，/OBP=NPBO'=45°,NOPB=/BPO',

VZAOB=15°,

：.ZOPB=ZBPO'=1800-75°-45°=60°,

圖1

：.ZOPO'=120°,

.?.NAP。'=180°-ZOPO'=180°-120°=60°.

②如圖1中，過點B作BHA.OA于H,在BH上取一點F,使得OF=FB,連接OF.

VZBHO=90°,

/.ZOBH=90°-NBOH=15°，

■:FO=FB,

：.ZFOB=ZFBO=15Q,

,NOFH=NFOB+NFBO=30°,

設(shè)OH=m,則”/=百〃，0F=FB=2m,

9：OB2=OH2+BH2,

圖1

A62=m2+(J§/7?+2〃7)2,

.?.m=3/史返或-3-—崎(舍棄)，

22

：.0H=3泥BH=3&+3遍,

22

在RtZ\P8”中，PH=―%一=a+3&,

tan6002

：.PA^OA-OH-PH=6-&舟3、22瓜

_V6+3-/2=6,

22

解法二：連接OO'交PB于T,貝IJBP_L'OO',

在RtZ\08T中，OT=O8Xsin45°=3限

在RtZXOTP中，0P=—同一=2A/6，

sin60

：.AP=OA-0P=6-2遙.

(2)如圖2中，連接A￡),0D.

;俞=俞

：.AD=BD,NAOD=NBOD,

由翻折的性質(zhì)可知，ZOHP=ZPBD,

■:PD//OB,

:.NDPB=/OBP,圖2

:.NDPB=NPBD,

：.DP=DB=AD,

：.ZDAP=ZAPD=ZAOB,

?：AO=OD=OB,AD=DB,

：.zM。。絲△80。，

/OBD=N0AD=NA0B=2NB0D,

,/OB=OD,

???ZOBD=N0DB=2ND0