近世代數(shù)課件從“群”談起

近世代數(shù)課件從“群”談起群的定義與性質(zhì)群的基本運(yùn)算群的同態(tài)與同構(gòu)群的子群與商群群的表示與分類目錄01群的定義與性質(zhì)定義一個(gè)群是一個(gè)非空集合G，它有一個(gè)二元運(yùn)算（通常表示為“?”或“×”）滿足結(jié)合律，并且G中有一個(gè)元素e稱為單位元，對(duì)于G中的每個(gè)元素a，存在一個(gè)元素a^(-1)使得a?a^(-1)=a^(-1)?a=e。例子整數(shù)集合在加法下是一個(gè)群，實(shí)數(shù)集合在乘法下是一個(gè)群。群的定義性質(zhì)封閉性，即對(duì)于任意的a,b∈G，有a?b∈G；結(jié)合律，即對(duì)于任意的a,b,c∈G，有(a?b)?c=a?(b?c)；單位元存在，即存在一個(gè)元素e∈G使得對(duì)于所有的a∈G，有a?e=e?a=a；逆元存在，即對(duì)于所有的a∈G，存在一個(gè)元素a^(-1)∈G使得a?a^(-1)=e。例子整數(shù)集合在加法下是一個(gè)群，滿足封閉性、結(jié)合律、單位元存在和逆元存在。群的性質(zhì)在數(shù)學(xué)中，群的概念被廣泛應(yīng)用，例如在幾何學(xué)中，通過定義一個(gè)變換群可以對(duì)幾何圖形進(jìn)行變換；在代數(shù)學(xué)中，通過定義一個(gè)代數(shù)群可以對(duì)代數(shù)式進(jìn)行變換；在物理學(xué)中，通過定義一個(gè)物理群可以對(duì)物理現(xiàn)象進(jìn)行描述。應(yīng)用在幾何學(xué)中，可以通過定義一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換群對(duì)平面圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)；在代數(shù)學(xué)中，可以通過定義一個(gè)多項(xiàng)式變換群對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行變換；在物理學(xué)中，可以通過定義一個(gè)洛倫茲變換群對(duì)相對(duì)論中的物理現(xiàn)象進(jìn)行描述。例子群在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用02群的基本運(yùn)算在群中，元素的加法運(yùn)算是一種二元運(yùn)算，滿足封閉性、結(jié)合律和單位元存在性。定義群中任意兩個(gè)元素的加法結(jié)果仍屬于群。封閉性群中任意三個(gè)元素的加法滿足結(jié)合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。結(jié)合律群中存在一個(gè)元素e，使得對(duì)于任意元素a，都有e+a=a+e=a。單位元存在性群的加法運(yùn)算在群中，元素的乘法運(yùn)算是一種二元運(yùn)算，滿足封閉性、結(jié)合律、單位元存在性和逆元存在性。定義對(duì)于任意元素a，群中存在一個(gè)元素b，使得a×b=b×a=e，其中e為單位元。逆元存在性群中任意兩個(gè)元素的乘法結(jié)果仍屬于群。封閉性群中任意三個(gè)元素的乘法滿足結(jié)合律，即(a×b)×c=a×(b×c)。結(jié)合律群中存在一個(gè)元素e，使得對(duì)于任意元素a，都有e×a=a×e=a。單位元存在性0201030405群的乘法運(yùn)算群的逆元與單位元逆元對(duì)于任意元素a，如果存在一個(gè)元素b使得a×b=b×a=e，則稱b為a的逆元。單位元在群中，如果存在一個(gè)元素e，使得對(duì)于任意元素a，都有e×a=a×e=a，則稱e為單位元。03群的同態(tài)與同構(gòu)同態(tài)的定義設(shè)$G$和$H$是兩個(gè)群，如果存在一個(gè)映射$varphi:GrightarrowH$，滿足$varphi(ab)=varphi(a)varphi(b)$，則稱$varphi$是$G$到$H$的同態(tài)映射。同態(tài)的性質(zhì)同態(tài)映射保持了群中的運(yùn)算性質(zhì)，即$varphi(a)varphi(b)=varphi(ab)$。同態(tài)映射不一定是滿射或一一映射，但同構(gòu)映射是一一映射。同態(tài)的定義與性質(zhì)VS如果存在一個(gè)一一映射$varphi:GrightarrowH$，滿足$varphi(ab)=varphi(a)varphi(b)$，則稱$G$和$H$是同構(gòu)的。同構(gòu)的性質(zhì)同構(gòu)的群具有相同的性質(zhì)，如階數(shù)、元素個(gè)數(shù)等。同構(gòu)映射是一一映射，且保持了群中的運(yùn)算性質(zhì)。同構(gòu)的定義同構(gòu)的定義與性質(zhì)同態(tài)與同構(gòu)的應(yīng)用在數(shù)學(xué)中，同態(tài)的概念被廣泛應(yīng)用于各種不同的領(lǐng)域，如代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等。在代數(shù)學(xué)中，群的同態(tài)可以用來(lái)研究群的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。同態(tài)的應(yīng)用在數(shù)學(xué)中，同構(gòu)的概念也具有廣泛的應(yīng)用。例如，在數(shù)論中，整數(shù)模n的剩余類環(huán)與模n的多項(xiàng)式環(huán)是同構(gòu)的。此外，同構(gòu)的概念也被應(yīng)用于其他領(lǐng)域，如物理學(xué)、工程學(xué)等。同構(gòu)的應(yīng)用04群的子群與商群子群如果集合$H$滿足$HsubseteqG$且$H$也滿足群的定義，則稱$H$為群$G$的子群。要點(diǎn)一要點(diǎn)二子群的性質(zhì)子群仍然滿足群的結(jié)合律，即對(duì)于$H$中的任意元素$a,b,c$，有$(acdotb)cdotc=acdot(bcdotc)$。子群的定義與性質(zhì)設(shè)$G$是一個(gè)群，$H$是$G$的子群，如果存在一個(gè)從$G$到$H$的映射，使得每個(gè)元素在映射下都對(duì)應(yīng)一個(gè)唯一的元素，則稱這個(gè)映射為商映射，其對(duì)應(yīng)的商群稱為商群。商群是唯一的，即如果存在兩個(gè)商映射，則它們是等價(jià)的。商群商群的性質(zhì)商群的定義與性質(zhì)子群在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，如在模論、代數(shù)幾何、拓?fù)涞阮I(lǐng)域中，子群的概念都是非常重要的。子群的應(yīng)用商群在代數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用，如在同調(diào)代數(shù)、代數(shù)幾何等領(lǐng)域中，商群的概念也是非常重要的。同時(shí)，商群也是研究群的同態(tài)和同構(gòu)的重要工具。商群的應(yīng)用子群與商群的應(yīng)用05群的表示與分類通過矩陣來(lái)表示群中的元素，以及元素間的運(yùn)算關(guān)系。矩陣表示法用符號(hào)表示群中的元素，如用$a$表示一個(gè)元素。符號(hào)表示法用文字描述群中的元素，如用“全集”表示一個(gè)群。文字表示法群的表示方法循環(huán)群由一個(gè)元素生成的群。交換群滿足交換律的群。有限群元素個(gè)數(shù)有限的群。阿貝爾群滿足結(jié)合律的群。群的分類方法群的表示方法在