四章三角恒等變換

§4.2三角恒等變換高考理數

(課標Ⅱ專用)考點三角函數的求值與化簡五年高考A組

統(tǒng)一命題·課標卷題組1.(2019課標全國Ⅱ,10,5分)已知α∈

,2sin2α=cos2α+1,則sinα=

()A.

B.

C.

D.

答案

B

本題考查了三角恒等變換以及同角三角函數的基本關系;考查了學生對方程的思

想方法的綜合運用,以及運算求解能力;通過三角恒等變換考查了邏輯推理、數學運算的核心

素養(yǎng).由二倍角公式可知4sinαcosα=2cos2α.∵α∈

,∴cosα≠0,∴2sinα=cosα,∴tanα=

,∴sinα=

.故選B.技巧點撥常見與“1”有關的三角恒等變換:①1+sin2α=(sinα+cosα)2;②1-sin2α=(sinα-cos

α)2;③1+cos2α=2cos2α;④1-cos2α=2sin2α;⑤

=

;⑥

=

.2.(2018課標Ⅲ,4,5分)若sinα=

,則cos2α=

()A.

B.

C.-

D.-

答案

B本題考查三角恒等變換.由sinα=

,得cos2α=1-2sin2α=1-2×

=1-

=

.故選B.3.(2015課標Ⅰ,2,5分)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()A.-

B.

C.-

D.

答案

D原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=

,故選D.思路分析利用誘導公式化cos160°為-cos20°,再利用兩角和的正弦公式進行求解.4.(2016課標Ⅱ,9,5分)若cos

=

,則sin2α=

()A.

B.

C.-

D.-

答案

D∵cos

=

,∴sin2α=cos

=cos2

=2cos2

-1=2×

-1=-

.故選D.思路分析利用誘導公式化sin2α為cos

,再利用二倍角的余弦公式即可得答案.一題多解

cos

=

(cosα+sinα)=

?cosα+sinα=

?1+sin2α=

,∴sin2α=-

.故選D.導師點睛求解三角函數的給值求值問題,關鍵是把待求三角函數值的角用已知角表示:(1)已知角有兩個時,待求三角函數值的角一般表示為已知角的和或差;(2)已知角有一個時,待求三角函數值的角一般與已知角成“倍數關系”或“互補、互余關系”.考點三角函數的求值與化簡B組

自主命題·省(區(qū)、市)卷題組1.(2015重慶,9,5分)若tanα=2tan

,則

=

()A.1

B.2

C.3

D.4答案

C

=

=

=

=

,∵tanα=2tan

,∴

=

=3.故選C.2.(2019江蘇,13,5分)已知

=-

,則sin

的值是

.答案

解析本題考查同角三角函數的基本關系式、兩角和的正弦公式等知識,考查學生的運算求

解能力,考查的核心素養(yǎng)為邏輯推理和數學運算.∵

=-

,∴tanα=-

tan

=-

·

,整理得3tan2α-5tanα-2=0,∴tanα=-

或tanα=2.sin

=

(sin2α+cos2α)=

·

=

·

.當tanα=-

時,sin

=

;當tanα=2時,sin

=

.所以答案為

.一題多解∵

=-

,∴

=-

.∴

=-

.∴

=-

.∴sin

=

.3.(2016四川,11,5分)cos2

-sin2

=

.答案

解析由二倍角公式易得cos2

-sin2

=cos

=

.4.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),則A=

,b=

.答案

;1解析∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=

sin

+1,∴A=

,b=1.評析本題主要考查三角恒等變換,熟練利用兩角和的正弦公式及二倍角公式是解題關鍵.5.(2017江蘇,5,5分)若tan

=

,則tanα=

.答案

解析本題考查兩角和的正切公式.因為tan

=

,所以tanα=tan

=

=

=

.6.(2019浙江,18,14分)設函數f(x)=sinx,x∈R.(1)已知θ∈[0,2π),函數f(x+θ)是偶函數,求θ的值;(2)求函數y=

+

的值域.解析本題主要考查三角函數及其恒等變換等基礎知識,同時考查運算求解能力.考查的數學

素養(yǎng)是邏輯推理及數學運算,考查了化歸與轉化思想.(1)因為f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函數,所以,對任意實數x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),即sinxcosθ+cosxsinθ=-sinxcosθ+cosxsinθ,故2sinxcosθ=0,所以cosθ=0.又θ∈[0,2π),因此θ=

或

.(2)y=

+

=sin2

+sin2

=

+

=1-

=1-

cos

.因此,函數的值域是

.思路分析(1)根據偶函數的定義,知f(-x+θ)=f(x+θ)恒成立,利用三角恒等變換,得出cosθ=0,從

而求出θ的值.(2)將函數解析式化簡為y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,利用三角函數的性質求值

域.7.(2019天津,15,13分)在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2a,3csinB=4asinC.(1)求cosB的值;(2)求sin

的值.解析本小題主要考查同角三角函數的基本關系,兩角和的正弦公式,二倍角的正弦與余弦公

式,以及正弦定理、余弦定理等基礎知識.考查運算求解能力.體現了對數學運算這一核心素養(yǎng)

的重視.(1)在△ABC中,由正弦定理

=

,得bsinC=csinB,又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,即3b=4a.又因為b+c=2a,得到b=

a,c=

a.由余弦定理可得cosB=

=

=-

.(2)由(1)可得sinB=

=

,從而sin2B=2sinBcosB=-

,cos2B=cos2B-sin2B=-

,故sin

=sin2Bcos

+cos2Bsin

=-

×

-

×

=-

.思路分析(1)由已知邊角關系:3csinB=4asinC利用正弦定理,得三邊比例關系,根據余弦定理

即可求出cosB.(2)由(1)利用同角三角函數基本關系式,求出sinB,再由二倍角公式求出sin2B、cos2B,代入兩

角和的正弦公式即可求出sin

的值.易錯警示角B為三角形內角,故sinB>0,由cosB求sinB僅有一正解.8.(2018江蘇,16,14分)已知α,β為銳角,tanα=

,cos(α+β)=-

.(1)求cos2α的值;(2)求tan(α-β)的值.解析本小題主要考查同角三角函數的基本關系、兩角差及二倍角的三角函數,考查運算求

解能力.(1)因為tanα=

,tanα=

,所以sinα=

cosα.因為sin2α+cos2α=1,所以cos2α=

,所以cos2α=2cos2α-1=-

.(2)因為α,β為銳角,所以α+β∈(0,π).又因為cos(α+β)=-

,所以sin(α+β)=

=

,因此tan(α+β)=-2.因為tanα=

,所以tan2α=

=-

.因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=

=-

.9.(2016江蘇,15,14分)在△ABC中,AC=6,cosB=

,C=

.(1)求AB的長;(2)求cos

的值.解析(1)因為cosB=

,0<B<π,所以sinB=

=

=

.由正弦定理知

=

,所以AB=

=

=5

.(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cosA=-cos(B+C)=-cos

=-cosBcos

+sinB·sin

,又cosB=

,sinB=

,故cosA=-

×

+

×

=-

.因為0<A<π,所以sinA=

=

.因此,cos

=cosAcos

+sinAsin

=-

×

+

×

=

.考點三角函數式的求值與化簡C組

教師專用題組1.(2014課標Ⅰ,8,5分)設α∈

,β∈

,且tanα=

,則

()A.3α-β=

B.3α+β=

C.2α-β=

D.2α+β=

答案

C由tanα=

得

=

,即sinαcosβ=cosα+sinβcosα,所以sin(α-β)=cosα,又cosα=sin

,所以sin(α-β)=sin

,又因為α∈

,β∈

,所以-

<α-β<

,0<

-α<

,因此α-β=

-α,所以2α-β=

,故選C.思路分析在已知等式中化切為弦,整理后得到sin(α-β)=cosα,由誘導公式cosα=sin

得sin(α-β)=sin

,利用α,β的范圍確定α-β與

-α的范圍,進而可得α與β的關系.2.(2014課標Ⅱ,14,5分)函數f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值為

.答案1解析

f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-sinφcos(x+φ)=sin(x+φ-φ)=sinx,∴f(x)的最大值為1.思路分析利用拼湊法把x+2φ轉化為(x+φ)+φ.從而利用兩角和的正弦公式將sin[(x+φ)+φ]展

開,進而對f(x)的解析式進行整理化簡,最后將函數f(x)的解析式化成只含一個三角函數名稱的

形式,由此即可求出f(x)的最大值.知識拓展常見角的拆分與組合:(1)將一個角拆分成兩個角的和或差,如:2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,α=

-

=

-

等;(2)利用互余或互補關系拼角,如:

+

=π,

+

=

等;(3)將非特殊角轉化為特殊角的和或差,如:75°=45°+30°;105°=60°+45°,15°=45°-30°等.3.(2013課標Ⅱ,15,5分)設θ為第二象限角,若tan

=

,則sinθ+cosθ=

.答案-

解析

tanθ=tan

=

=-

,∴sinθ=-

cosθ,將其代入sin2θ+cos2θ=1得

cos2θ=1,∴cos2θ=

,又易知cosθ<0,∴cosθ=-

,∴sinθ=

,故sinθ+cosθ=-

.思路分析

θ=

-

,利用兩角差的正切公式求得tanθ的值,由tanθ=

,sin2θ+cos2θ=1及θ所屬的象限求得sinθ與cosθ的值,從而求出sinθ+cosθ.技巧點撥求值、化簡是解三角函數問題的基礎,在求值與化簡時,常利用sin2α+cos2α=1實現

角α的正弦、余弦的互化,利用

=tanα實現角α的弦切互化.4.(2013課標Ⅰ,15,5分)設當x=θ時,函數f(x)=sinx-2cosx取得最大值,則cosθ=

.答案-

解析由輔助角公式得f(x)=

=

sin(x-φ),其中sinφ=

,cosφ=

,由x=θ時,f(x)取得最大值,得sin(θ-φ)=1,∴θ-φ=2kπ+

,k∈Z,即θ=φ+

+2kπ,∴cosθ=cos

=-sin

φ=-

.思路分析由輔助角公式得f(x)=

sin(x-φ).當x=θ時,f(x)取最大值,故有θ-φ=2kπ+

,k∈Z,從而求得θ值,利用誘導公式知cosθ=-sinφ,進而可得cosθ的值.考點三角函數的求值與化簡三年模擬A組2017—2019年高考模擬·考點基礎題組1.(2019河南安陽二模,7)已知角α的頂點在坐標原點,始邊與x軸非負半軸重合,終邊經過點(-4,

3),則sin2α-cos2α=

()A.-

B.-

C.-

D.

答案

B∵角α的頂點在坐標原點O,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊經過點P(-4,3),∴x=-4,y=3,r=|OP|=5,∴sinα=

,cosα=-

,∴sin2α-cos2α=2sinαcosα-1+2sin2α=2×

×

-1+2×

=-

.故選B.2.(2019陜西榆林三模,5)已知tan

=-2,則tan

=

()A.-

B.

C.-3

D.3答案

A∵tan

=-2,則tan

=tan

=

=

=-

,故選A.3.(2018遼寧沈陽一模,6)已知tanθ=2,則

+sin2θ的值為

()A.

B.

C.

D.

答案

C∵tanθ=2,∴

+sin2θ=1+

+

=1+

+

=

+

=

,故選C.4.(2017陜西渭南一模,7)已知

=(cos2x,-1),

=(1,sin2x+

sin2x),x∈R,若f(x)=

·

,則函數f(x)的最小正周期為

()A.

B.πC.2πD.4π答案

B

=(cos2x,-1),

=(1,sin2x+

sin2x),∴f(x)=

·

=cos2x-sin2x-

sin2x=cos2x-

sin2x=2cos

.∴函數f(x)的最小正周期T=

=π,故選B.5.(2019安徽十校聯考,5)已知α為銳角,且7sinα=2cos2α,則sin

=

()A.

B.

C.

D.

答案

A由7sinα=2cos2α得7sinα=2(1-2sin2α),即4sin2α+7sinα-2=0,解得sinα=-2(舍去)或sin

α=

,又由α為銳角,可得cosα=

,∴sin

=

sinα+

cosα=

.6.(2018內蒙古包頭一模,14)若cos

=

,則cos

=

.答案-

解析∵cos

=

,∴cos

=cos

=2cos2

-1=2×

-1=-

.一、選擇題(每小題5分,共25分)B組2017—2019年高考模擬·專題綜合題組時間:15分鐘分值:35分1.(2019黑龍江哈爾濱三中期中,8)若α,β∈

,且sinα=

,sin(α-β)=-

,則sinβ=

()A.

B.

C.

D.

答案

B

α,β∈

,且sinα=

,可得cosα=-

=-

,又sin(α-β)=-

,可得sinαcosβ-cosαsinβ=-

,可得

cosβ+

sinβ=-

,即2cosβ+sinβ=-

,又sin2β+cos2β=1,解得sinβ=

.故選B.2.(2018西北工業(yè)大學附屬中學模擬,8)若sin

=

,則sin

的值為

()A.

B.-

C.

D.-

答案

D∵sin

=-sin

=

,∴sin

=-

,∵sin

=sin

=cos

=cos

=1-2sin2

=1-2×

=-

.故選D.思路分析利用誘導公式求得sin

=-

,將sin

轉化為1-2sin2

的形式,代入求值即可.3.(2017寧夏銀川二模,7)關于函數f(x)=2cos2

+

sinx(x∈[0,π]),下列結論正確的是

()A.有最大值3,最小值-1

B.有最大值2,最小值-2C.有最大值3,最小值0

D.有最大值2,最小值0答案

C

f(x)=2cos2

+

sinx=cosx+

sinx+1=2sin

+1.∵x∈[0,π],∴x+

∈

,∴sin

∈

,∴f(x)∈[0,3].故選C.方法總結先利用三角恒等變換將f(x)的解析式化為f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式,然后類比y=sin

x的性質求解.4.(2019吉林實驗中學期中,10)設α∈

,β∈

,且cosβ=tanα(1+sinβ),則

()A.α-β=

B.α+β=

C.2α-β=

D.2α+β=

答案

D由cosβ=tanα(1+sinβ),可得cosβ=

(1+sinβ),cosβcosα-sinαsinβ=sinα=cos

,即cos(α+β)=cos

,又α∈

,β∈

,則α+β∈(0,π),

-α∈