2024屆上海市莘莊中學(xué)等四校聯(lián)考數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆上海市莘莊中學(xué)等四校聯(lián)考數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B．C． D．2．某次文藝匯演為，要將A，B，C，D，E，F(xiàn)這六個(gè)不同節(jié)目編排成節(jié)目單，如下表：如果A，B兩個(gè)節(jié)目要相鄰，且都不排在第3號(hào)位置，那么節(jié)目單上不同的排序方式有A．192種 B．144種 C．96種 D．72種3．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F分別作兩條直線，直線與拋物線C交于兩點(diǎn)，直線與拋物線C交于點(diǎn)，若與直線的斜率的乘積為，則的最小值為（）A．14 B．16 C．18 D．204．若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則()A．-1 B． C． D．15．設(shè)，，集合（）A． B． C． D．6．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．從裝有4粒大小、形狀相同，顏色不同的玻璃球的瓶中，隨意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），則倒出奇數(shù)粒玻璃球的概率比倒出偶數(shù)粒玻璃球的概率（）A．小 B．大 C．相等 D．大小不能確定8．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，第一步驗(yàn)證時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是()A．1 B． C． D．9．在極坐標(biāo)系中，曲線，曲線，若曲線與交于兩點(diǎn)，則線段的長度為（）A．2 B． C． D．110．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若角A，C，B成等差數(shù)列，且，則的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形C．等邊三角形 D．鈍角三角形11．在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間沒有發(fā)生在規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”.根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是A．甲地：總體均值為3，中位數(shù)為4 B．乙地：總體均值為1，總體方差大于0C．丙地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3 D．丁地：總體均值為2，總體方差為312．若的展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是15，則展開式中所有項(xiàng)系數(shù)之和為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的導(dǎo)函數(shù)為，則_________.14．某校生物研究社共人，他們的生物等級(jí)考成績?nèi)缦拢喝朔?，人分，人分，人分，則他們的生物等級(jí)考成績的標(biāo)準(zhǔn)差為________.15．已知向量，，若與垂直，則實(shí)數(shù)__________．16．設(shè)滿足約束條件，則的最大值為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，且.（1）求A的值；（2）若，求面積的最大值.18．（12分）如圖所示，已知ABCD是直角梯形，，．（1）證明：；（2）若，求三棱錐的體積．19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，.（1）求證：；（2）在線段上,是否存在一點(diǎn),使得二面角的大小為，如果存在,求與平面所成角的正弦值；如果不存在,請(qǐng)說明理由.20．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a取值范圍．21．（12分）設(shè)函數(shù).（1）解不等式；（2）若關(guān)于的不等式解集是空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).（1）求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)．是否存在直線（）與函數(shù)的圖象相切？若存在，請(qǐng)求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

利用三角恒等變換化簡的解析式，再根據(jù)的圖象變換規(guī)律求得的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【題目詳解】解：將函數(shù)的圖象上所有的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，令，求得，可得的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角恒等變換，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】

由題意知兩個(gè)截面要相鄰，可以把這兩個(gè)與少奶奶看成一個(gè)，且不能排在第3號(hào)的位置，可把兩個(gè)節(jié)目排在號(hào)的位置上，也可以排在號(hào)的位置或號(hào)的位置上，其余的兩個(gè)位置用剩下的四個(gè)元素全排列.【題目詳解】由題意知兩個(gè)節(jié)目要相鄰，且都不排在第3號(hào)的位置，可以把這兩個(gè)元素看成一個(gè)，再讓它們兩個(gè)元素之間還有一個(gè)排列，兩個(gè)節(jié)目可以排在兩個(gè)位置，可以排在兩個(gè)位置，也可以排在兩個(gè)位置，所以這兩個(gè)元素共有種排法，其他四個(gè)元素要在剩下的四個(gè)位置全排列，所以所有節(jié)目共有種不同的排法，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列組合的綜合應(yīng)用問題，其中解答時(shí)要先排有限制條件的元素，把限制條件比較多的元素排列后，再排沒有限制條件的元素，最后再用分步計(jì)數(shù)原理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.3、B【解題分析】

設(shè)出直線的斜率，得到的斜率，寫出直線的方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，根據(jù)弦長公式求得的值，進(jìn)而求得最小值.【題目詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，依題意可知斜率存在且不為零，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，所以，有，有，，故，同理可求得.故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故最小值為，故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查直線和拋物線相交所得弦長公式，考查利用基本不等式求最小值，屬于中檔題.4、B【解題分析】分析：求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由切線方程可得，即可得到答案.詳解：的導(dǎo)數(shù)為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，有，解得.故選：B.點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求切線的斜率，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.5、C【解題分析】分析：由題意首先求得集合B，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得最終結(jié)果.詳解：求解二次不等式可得，結(jié)合交集的定義可知：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查集合的表示方法，交集的定義及其運(yùn)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.6、A【解題分析】

化簡復(fù)數(shù)，計(jì)算，再計(jì)算對(duì)應(yīng)點(diǎn)的象限.【題目詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為：故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)象限，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.7、B【解題分析】試題分析：四種不同的玻璃球，可設(shè)為，隨意一次倒出一粒的情況有4種，倒出二粒的情況有6種，倒出3粒的情況有4種，倒出4粒的情況有1種，那么倒出奇數(shù)粒的有8種，倒出偶數(shù)粒的情況有7種，故倒出奇數(shù)粒玻璃球的概率比倒出偶數(shù)粒玻璃球的概率大.考點(diǎn)：古典概型.8、D【解題分析】由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可知：當(dāng)時(shí)，等式的左邊是，應(yīng)選答案D．9、B【解題分析】

分別將曲線，的極坐標(biāo)方程化為普通方程，根據(jù)直線與圓相交，利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合垂徑定理，可得結(jié)果【題目詳解】根據(jù)題意，曲線曲線，則直線與圓相交，圓的半徑為，圓心到直線的距離為設(shè)長為，則有，即解得（舍負(fù)）故線段的長度為故選【題目點(diǎn)撥】本題主要考查的是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化，圓的方程以及直線與圓的位置關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題10、C【解題分析】

由已知利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，由正弦定理可得，根據(jù)余弦定理可求，即可判斷三角形的形狀．【題目詳解】解：由題意可知，，因?yàn)?，所以，則，所以，所以，故為等邊三角形．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解題分析】試題分析：由于甲地總體均值為，中位數(shù)為，即中間兩個(gè)數(shù)（第天）人數(shù)的平均數(shù)為，因此后面的人數(shù)可以大于，故甲地不符合.乙地中總體均值為，因此這天的感染人數(shù)總數(shù)為，又由于方差大于，故這天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位數(shù)為，眾數(shù)為，出現(xiàn)的最多，并且可以出現(xiàn)，故丙地不符合，故丁地符合.考點(diǎn)：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差12、B【解題分析】由題意知：，所以，故，令得所有項(xiàng)系數(shù)之和為.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、；【解題分析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后把代入導(dǎo)函數(shù)中，即可求出的值.【題目詳解】，.【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算，正確掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解題的關(guān)鍵.14、3【解題分析】

先求出樣本的平均數(shù)，再求出其標(biāo)準(zhǔn)差.【題目詳解】這八個(gè)人生物成績的平均分為，所以這八個(gè)人生物成績的標(biāo)準(zhǔn)差為故得解.【題目點(diǎn)撥】本題考查樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，屬于基礎(chǔ)題.15、-1【解題分析】

由題意結(jié)合向量垂直的充分必要條件得到關(guān)于k的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)k的值.【題目詳解】由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得：，與垂直，則，即：，解得：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的充分必要條件等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16、5.【解題分析】.試題分析：約束條件的可行域如圖△ABC所示.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)A(1，1)時(shí)，z取最大值，最大值為1+4×1=5.【考點(diǎn)】線性規(guī)劃及其最優(yōu)解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）由題意利用正弦定理可得，由余弦定理可得，結(jié)合范圍，可得的值．（2）由基本不等式可求，利用三角形的面積公式即可求解．【題目詳解】解:（1）由題知，由正弦定理有，即，由余弦定理得，因?yàn)閯t.（2），，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，所以面積的最大值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）由題可得：,，可得：，即可證得，再利用證得，即可證得平面，問題得證．（2）利用及錐體體積公式直接計(jì)算得解．【題目詳解】（1）由題可得：,所以所以又所以，又所以平面，又平面所以（2）【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了線線垂直的證明，考查了轉(zhuǎn)化能力及線面垂直的定義，還考查了錐體體積公式及計(jì)算能力，屬于中檔題．19、（1）見解析（2）在線段上,存在一點(diǎn),使得二面角的大小為，且與平面所成角正弦值為【解題分析】

（1）利用勾股定理得出，由平面，得出，利用直線與平面垂直的判定定理證明平面，于此得出；（2）設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由解出的值，得出的坐標(biāo)，則即為與平面所成角的正弦值.【題目詳解】（1）∵，，∴，∴∵平面，∴，∴平面，平面，∴；（2）以為原點(diǎn)，以過平行于的直線為軸，所在直線分別為軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，，，，設(shè)平面的法向量，則，即則，又平面的法向量為，∴解得：或（舍），，平面的法向量為，設(shè)與平面所成角為，則.【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的動(dòng)點(diǎn)問題以及直線與平面所成角的計(jì)算，解題時(shí)要建立合適的坐標(biāo)系，利用空間向量法來計(jì)算，另外就是對(duì)于動(dòng)點(diǎn)的處理，要引入合適的參數(shù)表示動(dòng)向量的坐標(biāo)，考查邏輯推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題．20、（1）（2）【解題分析】分析：（1）對(duì)x分類討論，轉(zhuǎn)化為三個(gè)不等式組，最后取交集即可；（2）存在實(shí)數(shù)解等價(jià)于.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)綜上：不等式解集為（2）存在x使得成立，點(diǎn)睛：1．研究含有絕對(duì)值的函數(shù)問題時(shí)，根據(jù)絕對(duì)值的定義，分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合解決問題，這是常用的思想方法．2．f(x)＜a恒成立?f(x)max＜a.f(x)>a恒成立?f(x)min＞a.21、（1）；（2）或．【解題分析】分析：（1）利用零點(diǎn)討論法解不等式。（2）先求，再解不等式得解.詳解：（1）由，得或或，解得，即解集為.（2）∵的解集為空集，∴，而，∴，即或.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，考查絕對(duì)值的三角不等式和不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)絕對(duì)值三角不等式常用來求最值.22、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和（2）存在，的