2024屆山西省忻州一中數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆山西省忻州一中數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則A．1 B． C．2 D．2．設(shè)，則（）A． B． C． D．3．下列不等式中正確的有()①；②；③A．①③ B．①②③ C．② D．①②4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值是（）A．3 B．5 C．7 D．95．設(shè)隨機(jī)變量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，則A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4 C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.456．若向區(qū)域內(nèi)投點，則該點落在由直線與曲線圍成區(qū)域內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．7．甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，已知甲勝乙的概率為0.5，乙勝甲的概率為0.3，甲乙兩人平局的概率為0.1．若甲乙兩人比賽兩局，且兩局比賽的結(jié)果互不影響，則乙至少贏甲一局的概率為（）A．0.36 B．0.49 C．0.51 D．0.758．某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士共8人組成兩個醫(yī)療分隊，平均分到甲、乙兩個村進(jìn)行義務(wù)巡診，其中每個分隊都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護(hù)士，則不同的分配方案有A．72種 B．36種 C．24種 D．18種9．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上是單調(diào)遞減的函數(shù)為（）A． B． C． D．10．在一組樣本數(shù)據(jù)，，…，（，，…不全相等）的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）A．-3 B．0 C．-1 D．111．設(shè)，，，則大小關(guān)系是()A． B．C． D．12．若為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A．-2 B．2 C．-3 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，8a2＋a5=0，則=________.14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是曲線y=x+4x(x>0)上的一個動點，則點P到直線x+y=015．某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價（元）456789銷量（件）908483807568由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為，則實數(shù)______.16．已知，，若向量與共線，則在方向上的投影為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）證明：；（2）若對任意的均成立，求實數(shù)的最小值.18．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增的，求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最大值和最小值.19．（12分）已知函數(shù)在與時都取得極值．（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.20．（12分）某學(xué)生社團(tuán)對本校學(xué)生學(xué)習(xí)方法開展問卷調(diào)查的過程中發(fā)現(xiàn)，在回收上來的1000份有效問卷中，同學(xué)們背英語單詞的時間安排有兩種：白天背和晚上臨睡前背．為研究背單詞時間安排對記憶效果的影響，該社團(tuán)以5%的比例對這1000名學(xué)生按時間安排進(jìn)行分層抽樣，并完成一項試驗，試驗方法是：使兩組學(xué)生記憶40個無意義音節(jié)（如xiq,geh),均要求剛能全部記清就停止識記，并在8小時后進(jìn)行記憶測驗．不同的是，甲組同學(xué)識記結(jié)束后一直不睡覺，8小時后測驗；乙組同學(xué)識記停止后立刻睡覺，8小時后叫醒測驗．兩組同學(xué)識記停止8小時后的準(zhǔn)確回憶（保持）情況如圖（區(qū)間含左端點不含右端點）．（1）估計1000名被調(diào)查的學(xué)生中識記停止8小時后40個音節(jié)的保持率大于或等于60%的人數(shù)；（2）從乙組準(zhǔn)確回憶個數(shù)在MNmax（3）從本次試驗的結(jié)果來看，上述兩種時間安排方法中哪種方法背英語單詞記憶效果更好？計算并說明理由．21．（12分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N（μ，σ2）．（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件數(shù)，求P（X≥1）及X的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，試用所學(xué)知識說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（μ，），則P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，，．22．（10分）已知直線(t為參數(shù)），圓(為參數(shù)）.(1)當(dāng)時，求與的交點坐標(biāo).(2)過坐標(biāo)原點O作的垂線，垂足為為的中點.當(dāng)變化時，求P點軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，再由復(fù)數(shù)的模的計算公式求解即可．【題目詳解】由，得，，故選．【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算以及復(fù)數(shù)的模的計算．2、A【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算得到，根據(jù)復(fù)數(shù)模長定義可求得結(jié)果.【題目詳解】，.故選：.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)模長的求解，涉及到復(fù)數(shù)的除法運算，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

逐一對每個選項進(jìn)行判斷,得到答案.【題目詳解】①,設(shè)函數(shù),遞減,,即,正確②,設(shè)函數(shù),在遞增,在遞減,,即,正確③,由②知,設(shè)函數(shù),在遞減,在遞增,,即正確答案為B【題目點撥】本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求最值來判斷不等式關(guān)系,意在考查學(xué)生的計算能力.4、D【解題分析】

由已知的框圖可知，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算輸出變量n的值，模擬程序運行的過程，分析循環(huán)中各變量的變化情況，可得答案，本題中在計算S時，還需要結(jié)合數(shù)列中的裂項求和法解決問題，即：.【題目詳解】解：由程序框圖知：第一次循環(huán)：初始值為0，不滿足，故，；第二次循環(huán)：當(dāng)，不滿足，故，；第三次循環(huán)：當(dāng)，不滿足，故，；第四次循環(huán)：當(dāng)，不滿足，故，；此時，，滿足，退出循環(huán)，輸出，故選D.【題目點撥】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時模擬程序框圖的運行過程，便可得出正確的結(jié)論，這類題型往往會和其他知識綜合，解題需結(jié)合其他知識加以解決.5、A【解題分析】列方程組，解得.6、B【解題分析】區(qū)域是正方形，面積為，根據(jù)定積分定理可得直線與曲線圍成區(qū)域的面積為，根據(jù)幾何概型概率公式可得該點落在由直線與曲線圍成區(qū)域內(nèi)的概率為，故選B．7、C【解題分析】

乙至少贏甲一局的對立事件為甲兩局不輸，由此能求出乙至少贏甲一局的概率．【題目詳解】乙至少贏甲—局的概率為.故選C【題目點撥】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．8、B【解題分析】

根據(jù)條件2名內(nèi)科醫(yī)生，每個村一名，3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士，平均分成兩組，則分1名外科，2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士，根據(jù)排列組合進(jìn)行計算即可．【題目詳解】2名內(nèi)科醫(yī)生，每個村一名，有2種方法，3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士，平均分成兩組，要求外科醫(yī)生和護(hù)士都有，則分1名外科，2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士，若甲村有1外科,2名護(hù)士,則有C3若甲村有2外科,1名護(hù)士,則有C3則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種，故選：B.【題目點撥】本題主要考查了分組分配問題，解決這類問題的關(guān)鍵是先分組再分配，屬于?？碱}型.9、B【解題分析】

由題意得，對于函數(shù)和函數(shù)都是非奇非偶函數(shù)，排除A、C．又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，排除D，故選B．10、C【解題分析】因為所有樣本點都在直線上，所以回歸直線方程是，可得這兩個變量是負(fù)相關(guān)，故這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為負(fù)值，且所有樣本點，都在直線上，則有相關(guān)系數(shù)，故選C.11、A【解題分析】

根據(jù)三個數(shù)的特征，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性可以判斷出的大小關(guān)系.【題目詳解】解:考查函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，，，即，，故選A.【題目點撥】本題考查了通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷三個數(shù)大小問題，根據(jù)三個數(shù)的特征構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.12、C【解題分析】

本題首先可以確定復(fù)數(shù)的實部和虛部，然后根據(jù)純虛數(shù)的相關(guān)性質(zhì)即可列出方程組，通過計算即可得出結(jié)果．【題目詳解】因為為純虛數(shù)，所以，解得，故選C．【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查純虛數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，純虛數(shù)的實部為0且虛部不為0，考查運算求解能力，考查方程思想，是簡單題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、－11【解題分析】通過8a2＋a5＝0，設(shè)公比為q，將該式轉(zhuǎn)化為8a2＋a2q3＝0，解得q＝－2，所以＝＝＝－11.14、4.【解題分析】

將原問題轉(zhuǎn)化為切點與直線之間的距離，然后利用導(dǎo)函數(shù)確定切點坐標(biāo)可得最小距離【題目詳解】當(dāng)直線x+y=0平移到與曲線y=x+4x相切位置時，切點Q即為點P到直線x+y=0由y'=1-4x2即切點Q(2則切點Q到直線x+y=0的距離為2+3故答案為：4．【題目點撥】本題考查曲線上任意一點到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取導(dǎo)數(shù)法和公式法，利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.15、106【解題分析】

求出樣本中心坐標(biāo)，代入回歸方程即可求出值.【題目詳解】解：，，將代入回歸方程得，解得.故答案為：.【題目點撥】本題考查回歸方程問題，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

,由向量與共線，得，解得，則在方向上的投影為，故答案為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解題分析】

(1)由可得,再構(gòu)造函數(shù),分析函數(shù)單調(diào)性求最值證明即可.(2)根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù),再根據(jù)的正負(fù)分析函數(shù)的單調(diào)性可知為最大值,進(jìn)而求得實數(shù)的最小值即可.【題目詳解】（1）證明：由,得,.設(shè),所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以,.又因為（其中）,所以,,所以,成立.（2）解：設(shè),.,,所以,.下面證明當(dāng)時,成立.,因為,所以,所以.又因為當(dāng)時,,所以,所以,所以,當(dāng)時,.故,.所以,的最大值為,所以,的最小值為.【題目點撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式的問題,同時也考查了數(shù)列中求最大值項的方法.需要構(gòu)造數(shù)列求解的正負(fù)判斷,屬于難題.18、(1)(2)【解題分析】試題分析：（1）若函數(shù)f（x）在（，+∞）上是增函數(shù)，?f′（x）≥1在（，+∞）上恒成立．利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．試題解析：（1）若函數(shù)在上是增函數(shù)，則在上恒成立，而，即在上恒成立，即.（2）當(dāng)時，.令，得.當(dāng)時，，當(dāng)時，，故是函數(shù)在上唯一的極小值點，故.又，，故.點睛：點睛：函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的符號之間的關(guān)系要注意以下結(jié)論（1）若在內(nèi)，則在上單調(diào)遞增（減）．（2）在上單調(diào)遞增（減）（）在上恒成立，且在的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于1．（不要掉了等號．）（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增（減）區(qū)間，則在上有解．（不要加上等號．）19、（1）；（2）增區(qū)間是和，減區(qū)間是．【解題分析】

⑴求出，并令其為得到方程，把與代入求出的值⑵求出，分別令，，求出的范圍，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【題目詳解】⑴，由解得⑵由⑴可知令，解得令，解得或的增區(qū)間是和，減區(qū)間為【題目點撥】本題考查的是函數(shù)在某點取得極值的條件以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，較為基礎(chǔ)，只要運用法則來求解即可。20、（1）180；（2）見解析；（3）見解析【解題分析】

（1）利用頻率分布直方圖能求出1000名被調(diào)查的學(xué)生中識記停止8小時后40個音節(jié)保持率大于等于60%的人數(shù)；（2）由題意知X的可能取值為0,1,（3）分別求出甲組學(xué)生的平均保持率和乙組學(xué)生的平均保持率，由此得到臨睡前背英語單詞的效果更好.【題目詳解】（1）因為1000×5%=50，由圖可知，甲組有4+10+8+4+2+1+1=30（人）所以乙組有20,人，又因為40×60%=24，所以識記停止8小時后，40個音節(jié)的保持率大于或等于60%的甲組有1人，乙組有（0.0625+0.0375）×4×20=8（人）所以（1+8）÷5%=180（人），估計1000名被調(diào)查的學(xué)生中約有180人.（2）由圖可知，乙組在12,24范圍內(nèi)的學(xué)生有(0.025+0.025+0.075）×4×20=10（人）在20,24范圍內(nèi)的有0.075×4×20=6（人），X的可能取值為0,1,2,3，P(X=0)=P(X=2)=CX0123P1311所以X的分布列為∴E(X)=0×（3）2×4+6×10+10×8+14×4+18×2+22×1+26×1=288甲組學(xué)生的平均保持率為288（6×0.0125+10×0.0125+14×0.025+18×0.025+22×0.075+26×0.0625+30×0.0375）×4×20=432，乙組學(xué)生的平均保持率為43240×20所以臨睡前背英語單詞記憶效果更好.【題目點撥】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，以及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望問題，其中解答認(rèn)真審題，合理分析，正確求解隨機(jī)變量X的取值及對應(yīng)的概率是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力.21、（1）P（X≥1）=0.0408，E（X）=0.0416（2）上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的，詳見