江蘇省重點中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

江蘇省重點中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)與的虛部相等，則實數(shù)的值是A． B．2 C．1 D．2．已知某隨機變量的概率密度函數(shù)為則隨機變量落在區(qū)間內(nèi)在概率為()A． B． C． D．3．已知向量與向量的模均為2，若，則它們的夾角是（）A． B． C． D．4．如圖，線段AB=8，點C在線段AB上，且AC=2，P為線段CB上一動點，點A繞著C旋轉(zhuǎn)后與點B繞點P旋轉(zhuǎn)后重合于點D，設(shè)CP=x，△CPD的面積為f（x）．求f（x）的最大值（）．A．B．2C．3 D．5．在一組樣本數(shù)據(jù)，，…，（，，…不全相等）的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）A．-3 B．0 C．-1 D．16．設(shè)是曲線上的一個動點，記此曲線在點點處的切線的傾斜角為，則可能是（）A． B． C． D．7．已知復(fù)數(shù)z=1+i1-i(i是虛數(shù)單位)，則A．-i B．-1 C．i D．8．甲、乙兩人獨立地對同一目標(biāo)各射擊一次，其命中率分別為，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，則它是被甲擊中的概率是（）A． B． C． D．9．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在中“…”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個定值x，這可以通過方程確定出來x＝2，類似地不難得到＝（）A． B．C． D．10．設(shè)，，i為虛數(shù)單位，則M與N的關(guān)系是（）.A． B． C． D．11．設(shè)集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{x|－2≤x≤2}，則A∩B＝()A．{x|2≤x＜3}B．{x|－2≤x＜0}C．{x|0＜x≤2}D．{x|－2≤x＜3}12．展開式中項的系數(shù)是A．4 B．5C．8 D．12二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．兩根相距的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，則燈與兩端距離都大于的概率是__________．14．已知函數(shù)，當(dāng)時，關(guān)于的不等式的解集為__________．15．若函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是___.16．下圖三角形數(shù)陣為楊輝三角：按照圖中排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個數(shù)為______（用含的多項式表示）．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.(1)當(dāng)，時，求不等式的解集；(2)當(dāng)，時，的圖象與x軸圍成的三角形面積大于24，求的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）遇龍塔建于明代萬歷年間，簡體磚石結(jié)構(gòu)，屹立于永州市城北瀟水東岸，為湖南省重點文物保護單位之一．游客乘船進行觀光，到達瀟水河河面的處時測得塔頂在北偏東45°的方向上，然后向正北方向行駛后到達處，測得此塔頂在南偏東的方向上，仰角為，且，若塔底與河面在同一水平面上，求此塔的高度．20．（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.(1)求點D到平面PBC的距離；(2)設(shè)Q是線段BP上的動點，當(dāng)直線CQ與DP所成的角最小時，求二面角B-CQ-D的余弦值．21．（12分）在極標(biāo)坐系中，已知圓的圓心，半徑（1）求圓的極坐標(biāo)方程；（2）若，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線交圓于兩點，求弦長的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

先化簡與，再根據(jù)它們虛部相等求出m的值.【題目詳解】由題得，因為復(fù)數(shù)與的虛部相等，所以.故選D【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)相等的概念，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】

求概率密度函數(shù)在（1，3）的積分，求得概率．【題目詳解】由隨機變量X的概率密度函數(shù)的意義得，故選B．【題目點撥】隨機變量的概率密度函數(shù)在某區(qū)間上的定積分就是隨機變量在這一區(qū)間上概率．3、A【解題分析】

由題意結(jié)合數(shù)量積的運算法則可得，據(jù)此確定其夾角即可.【題目詳解】∵，∴，∴，故選A.【題目點撥】本題主要考查向量夾角的計算，向量的運算法則等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.4、A【解題分析】試題分析：利用三角形的構(gòu)成條件，建立不等式，可求x的取值范圍；三角形的周長是一個定值8，故其面積可用海倫公式表示出來，再利用基本不等式，即可求f（x）的最大值．解：（1）由題意，DC=2，CP=x，DP=6-x，根據(jù)三角形的構(gòu)成條件可得x+6-x＞2,2+6-x＞x,2+x＞6-x，解得2＜x＜4；三角形的周長是一個定值8，故其面積可用海倫公式表示出來，即f（x）=當(dāng)且僅當(dāng)4-x=-2+x，即x=3時，f（x）的最大值為,故選A.考點：函數(shù)類型點評：本題考查根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型，本題中求函數(shù)解析式用到了海倫公式，5、C【解題分析】因為所有樣本點都在直線上，所以回歸直線方程是，可得這兩個變量是負相關(guān)，故這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為負值，且所有樣本點，都在直線上，則有相關(guān)系數(shù)，故選C.6、B【解題分析】分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用基本不等式求出導(dǎo)函數(shù)的值域，結(jié)合直線的斜率是直線傾斜角的正切值求解．詳解：由，得

當(dāng)且僅當(dāng)時上式“=”成立．，即曲線在點點處的切線的斜率小于等于-1．

則，

又，故選：B．點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，過曲線上某點處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．7、D【解題分析】

先利用復(fù)數(shù)的除法將復(fù)數(shù)z表示為一般形式，于是可得出復(fù)數(shù)z的虛部?！绢}目詳解】∵z=1+i1-i=1+i21-i1+i【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的概念，解決復(fù)數(shù)問題，一般利用復(fù)數(shù)的四則運算律將復(fù)數(shù)表示為一把形式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。8、D【解題分析】分析：根據(jù)題意，記甲擊中目標(biāo)為事件A，乙擊中目標(biāo)為事件B，目標(biāo)被擊中為事件C，由相互獨立事件的概率公式，計算可得目標(biāo)被擊中的概率，進而由條件概率的公式，計算可得答案．詳解：根據(jù)題意，記甲擊中目標(biāo)為事件A，乙擊中目標(biāo)為事件B，目標(biāo)被擊中為事件C，則P（C）=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.5）=0.9；則目標(biāo)是被甲擊中的概率為P=.故答案為：D.點睛：（1）本題主要考查獨立事件的概率和條件概率，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)條件概率的公式:，=.條件概率一般有“在已發(fā)生的條件下”這樣的關(guān)鍵詞，表明這個條件已經(jīng)發(fā)生，發(fā)生了才能稱為條件概率.但是有時也沒有，要靠自己利用條件概率的定義識別.9、C【解題分析】

根據(jù)已知求的例子，令，即，解方程即可得到的值.【題目詳解】令，即，即，解得(舍)，故故選：C【題目點撥】本題考查歸納推理，算術(shù)和方程，讀懂題中整體代換的方法、理解其解答過程是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

先根據(jù)性質(zhì)化簡，再判斷選項.【題目詳解】,所以故選：D【題目點撥】本題考查性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】

求出集合A中不等式的解集，結(jié)合集合B，得到兩個集合的交集．【題目詳解】A={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，∵B={x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故選：C．【題目點撥】求集合的交、并、補時，一般先化簡集合，再由交、并、補的定義求解；在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時要注意端點值的取舍．12、B【解題分析】

把（1+x）5按照二項式定理展開，可得（1﹣x）（1+x）5展開式中x2項的系數(shù)．【題目詳解】（1﹣x）（1+x）5=（1﹣x）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），其中可以出現(xiàn)的有1*10x2和﹣x*5x，其它的項相乘不能出現(xiàn)平方項，故展開式中x2項的系數(shù)是10﹣5=5，故選B．【題目點撥】這個題目考查的是二項式中的特定項的系數(shù)問題，在做二項式的問題時，看清楚題目是求二項式系數(shù)還是系數(shù)，還要注意在求系數(shù)和時，是不是缺少首項；解決這類問題常用的方法有賦值法，求導(dǎo)后賦值，積分后賦值等．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】在距繩子兩段兩米處分別取A，B兩點，當(dāng)繩子在線段AB上時（不含端點），符合要求，所以燈與兩端距離都大于2m的概率為，故填．14、【解題分析】

首先應(yīng)用條件將函數(shù)解析式化簡，通過解析式的形式確定函數(shù)的單調(diào)性，解出函數(shù)值1所對應(yīng)的自變量，從而將不等式轉(zhuǎn)化為，進一步轉(zhuǎn)化為，求解即可，要注意對數(shù)式中真數(shù)的條件即可得結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)時，是上的增函數(shù)，且，所以可以轉(zhuǎn)化為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可以將不等式轉(zhuǎn)化為，解得，從而得答案為.故答案為【題目點撥】解決該題的關(guān)鍵是將不等式轉(zhuǎn)化，得到所滿足的不等式，從而求得結(jié)果，挖掘題中的條件就顯得尤為重要.15、【解題分析】

將題意轉(zhuǎn)化為：，使得，利用參變量分離得到，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解即可?！绢}目詳解】，其中，則。由于函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則，使得，即，，構(gòu)造函數(shù)，則。，令，得。當(dāng)時，；當(dāng)時，。所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，則，所以，，故答案為：?！绢}目點撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)，一般來講，函數(shù)的單調(diào)性可以有如下的轉(zhuǎn)化：（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，；（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，；（3）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，；（4）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，；（5）函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極值點。16、【解題分析】

按照如圖排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個數(shù)分別為，1,3,6,10,15,21，…找到規(guī)律及可求出?！绢}目詳解】按照如圖排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個數(shù)分別為，1,3,6,10,15,21，…由于，，，，則第行（）從左向右的第3個數(shù)為。【題目點撥】本題考查了歸納推理的問題，關(guān)鍵找到規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】分析：(1)將代入函數(shù)解析式，利用零點分段法，將絕對值不等式轉(zhuǎn)化為若干個不等式組，最后求并集得到原不等式的解集；(2)結(jié)合的條件，將函數(shù)解析式化簡，化為分段函數(shù)的形式，求得相關(guān)點的坐標(biāo)，利用面積公式，得到參數(shù)所滿足的不等關(guān)系式，從而求得結(jié)果.詳解：(1)當(dāng)時,.不等式等價于或或解得或，即.所以不等式的解集是.(2)由題設(shè)可得,所以函數(shù)的圖象與軸圍成的三角形的三個頂點分別為，，.所以三角形的面積為.由題設(shè)知,解得.點睛：該題考查的是有關(guān)絕對值不等式的問題，一是需要明確采用零點分段法求解絕對值不等式，二是會應(yīng)用題的條件，尋找參數(shù)所滿足的對應(yīng)的式子，最后求解即可得結(jié)果.18、（1）1；（2）.【解題分析】

（1）因為函數(shù)是上的奇函數(shù)，故可得方程，從而可得的值，然后再對的值進行驗證；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，又由于函數(shù)為奇函數(shù)，故將不等式轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)函數(shù)的定義域建立出不等式組，從而得出的取值范圍．【題目詳解】解：（1）是定義在的奇函數(shù)，，當(dāng)m=1時，，.（2）,且，當(dāng)且僅當(dāng)時，取“=”，在恒成立，在單調(diào)遞增，又函數(shù)為奇函數(shù)，,.【題目點撥】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合運用能力，解題的關(guān)鍵是要能夠準(zhǔn)確地求出函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，函數(shù)奇偶性的常見判斷方法是定義法、特殊值法等，函數(shù)單調(diào)性常見的判斷方法是定義法、導(dǎo)數(shù)法等．19、【解題分析】

根據(jù)正弦定理求得，然后在直角三角形中求得，即可得到答案．【題目詳解】由題意，在中，，故又，故由正弦定理得：，解得，因為，所以，所以．【題目點撥】本題主要考查了解三角形的實際應(yīng)用問題，其中解答中熟練應(yīng)用正弦定理和直角三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）.（2）.【解題分析】分析：（1）利用等體積法即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用換元法可得，再結(jié)合函數(shù)在上的單調(diào)性，計算即得結(jié)論.詳解：(1)S△BCD=BC×AB=,由于PA⊥平面ABCD,從而PA即為三棱錐P-BCD的高,故VP-BCD=S△BCD×PA=.設(shè)點D到平面PBC的距離為h.由PA⊥平面ABCD得PA⊥BC,又由于BC⊥AB,故BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB.由于BP＝＝,所以S△PBC=BC×PB=.故VD-BCP=S△BCP×h=h因為VP-BCD=VD-BCP，所以h=.(2)以{，，}為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則各點的坐標(biāo)為B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．設(shè)＝λ，(0≤λ≤1)因為＝(－1,0,2)，所以＝(－λ,0,2λ)，由＝(0,－1,0)，得＝＋＝(－λ,－1,2λ)，又＝(0,－2,2)，從而cos〈，〉＝＝.設(shè)1＋2λ＝t，t∈[1,3]，則cos2〈，〉＝＝≤.當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即λ＝時，|cos〈，〉|的最大值為.因為y＝cosx在上是減函數(shù)，此時直線CQ與DP所成角取得最小值．又因為BP＝＝，所以BQ＝BP＝.＝(0,－1,0)，＝(1,1，－2)設(shè)平面PCB的一個法向量為m＝(x，y，z)，則m·＝0，m·＝0，即得：y＝0，令z＝1，則x＝2.所以m＝(2,0,1)是平面PCB的一個法向量．又＝＋＝(－λ,－1,2λ)＝(－,－1,)，＝(－1,1,0)設(shè)平面DCQ的一個法向量為n＝(x，y，z)，則n·＝0，n·＝0，即取x＝4，則y＝4，z＝7，所以n＝(4,4,7)是平面DCQ的一個法向量．從而cos〈m，n〉＝＝，又由于二面角B-CQ-D為鈍角，所以二面角B-CQ-D的余弦值為－.點睛：本題考查求二面角的三角函數(shù)值，考查利用空間向量解決問題的能力，注意解題方法的積累.21、（3）ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣3=2（2）[2，2）【解題分析】

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