2024屆山東省青島市58中高二數學第二學期期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2024屆山東省青島市58中高二數學第二學期期末質量跟蹤監(jiān)視試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數f(x)=x2lnx與函數A．(-∞,1e2-1e2．已知函數與（且）的圖象關于直線對稱，則“是增函數”的一個充分不必要條件是()A． B． C． D．3．若復數（）不是純虛數，則（）A． B． C． D．且4．若復數滿足，則在復數平面上對應的點()A．關于軸對稱 B．關于軸對稱C．關于原點對稱 D．關于直線對稱5．設函數()有且僅有兩個極值點()，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．6．設是含數1的有限實數集，是定義在上的函數，若的圖像繞原點逆時針旋轉后與原圖像重合，則在以下各項中，的可能值只能是（）．A．0 B． C． D．7．設，復數，則在復平面內的對應點一定不在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．地球半徑為R,北緯45°圈上A,B兩點分別在東徑130°和西徑140°,并且北緯45°圈小圓的圓心為O′,則在四面體O-ABO′中，直角三角形有（）A．0個 B．2個 C．3個 D．4個9．函數的圖像恒過定點，若定點在直線上，則的最小值為（）A．13 B．14 C．16 D．1210．我國古代數學名著九章算術中有這樣一些數學用語，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱，而“陽馬”指底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐現有一如圖所示的塹堵，，，當塹堵的外接球的體積為時，則陽馬體積的最大值為A．2 B．4 C． D．11．若是的增函數,則的取值范圍是()A． B． C． D．12．如圖所示十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，共有不同的行車路線有()A．24種 B．16種 C．12種 D．10種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，若，則實數a的取值范圍是____14．已知球的體積是V，則此球的內接正方體的體積為______．15．設非空集合為實數集的子集，若滿足下列兩個條件：（1），；（2）對任意，都有，，，則稱為一個數域，那么命題：①有理數集是一個數域；②若為一個數域，則；③若，都是數域，那么也是一個數域；④若，都是數域，那么也是一個數域.其中真命題的序號為__________．16．在中，若，則的外接圓半徑，將此結論拓展到空間，可得出的正確結論是：在四面體中，若兩兩垂直，，則四面體的外接球半徑______________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列滿足，，.（1）求，，；（2）判斷數列是否為等比數列，并說明理由.18．（12分）已知集合.（1）當時，求集合；（2）當時，若，求實數的取值范圍.19．（12分）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比.根據試驗數據分別得到如下直方圖：記為事件：“乙離子殘留在體內的百分比不低于”，根據直方圖得到的估計值為.（1）求乙離子殘留百分比直方圖中的值；（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表）.20．（12分）甲、乙、丙3人均以游戲的方式決定是否參加學校音樂社團、美術社團，游戲規(guī)則為：①先將一個圓8等分（如圖），再將8個等分點，分別標注在8個相同的小球上，并將這8個小球放入一個不透明的盒子里，每個人從盒內隨機摸出兩個小球、然后用摸出的兩個小球上標注的分點與圓心構造三角形.若能構成直角三角形，則兩個社團都參加；若能構成銳角三角形，則只參加美術社團；若能構成鈍角三角形，則只參加音樂社團；若不能構成三角形，則兩個社團都不參加.②前一個同學摸出兩個小球記錄下結果后，把兩個小球都放回盒內，下一位同學再從盒中隨機摸取兩個小球．（1）求甲能參加音樂社團的概率；（2）記甲、乙、丙3人能參加音樂社團的人數為隨機變量，求的分布列、數學期望和方差21．（12分）已知橢圓的離心率為，其中左焦點.（1）求出橢圓的方程；（2）若直線與曲線交于不同的兩點，且線段的中點在曲線上，求的值.22．（10分）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

通過參數分離得到a=lnx2x-x2lnx【題目詳解】若函數f(x)=x2lnx2ln設t=t=lnxx?t'=1-lnx畫出圖像：a=t2-

a=t2-t1t2=故答案為B【題目點撥】本題考查了函數的零點問題，參數分離換元法是解題的關鍵.2、C【解題分析】分析：先求出，再利用充分不必要條件的定義得到充分不必要條件.詳解：因為函數與（且）的圖象關于直線對稱，所以.選項A,是“是增函數”的非充分非必要條件，所以是錯誤的.選項B,是“是增函數”的非充分非必要條件，所以是錯誤的.選項C,是“是增函數”的充分非必要條件，所以是正確的.選項D,是“是增函數”的充分必要條件，所以是錯誤的.故答案為C.點睛：（1）本題主要考查充分條件必要條件的判斷，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)已知命題是條件，命題是結論,充分條件：若，則是充分條件.必要條件：若，則是必要條件.3、A【解題分析】

先解出復數（）是純虛數時的值，即可得出答案．【題目詳解】若復數（）是純虛數，根據純虛數的定義有：，則復數（）不是純虛數，故選A【題目點撥】本題考查虛數的分類，屬于基礎題．4、A【解題分析】

由題意可得z1，z2的實部相等，虛部互為相反數，故z1，z2在復數平面上對應的點Z1，Z2的關系即可得解．【題目詳解】復數滿足，可得z1，z2的實部相等，虛部互為相反數，故z1，z2在復數平面上對應的點關于軸對稱，故選A.【題目點撥】本題主要考查共軛復數的定義，復數與復平面內對應點間的關系，屬于基礎題．5、B【解題分析】

函數()有且僅有兩個極值點，即為在上有兩個不同的解，進而轉化為兩個圖像的交點問題進行求解．【題目詳解】解：因為函數()有且僅有兩個極值點，所以在上有兩個不同的解，即2ax＋ex＝0在上有兩解，即直線y＝－2ax與函數y＝ex的圖象有兩個交點，設函數與函數的圖象相切，切點為(x0，y0)，作函數y＝ex的圖象，因為則，所以，解得x0＝1，即切點為(1，e)，此時k＝e，由圖象知直線與函數y＝ex的圖象有兩個交點時，有即－2a＞e，解得a＜，故選B.【題目點撥】本題考查了函數極值點的問題，解決此類問題的方法是將函數問題轉化為方程根的問題，再通過數形結合的思想方法解決問題．6、C【解題分析】

先閱讀理解題意，則問題可轉化為圓上有12個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉個單位后與下一個點會重合，再結合函數的定義逐一檢驗即可.【題目詳解】解：由題意可得：問題可轉化為圓上有12個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉個單位后與下一個點會重合，則通過代入和賦值的方法，當時，此時得到圓心角為，然而此時或時，都有2個與之對應，根據函數的定義，自變量與應變量只能“一對一”或“多對一”，不能“一對多”，因此，只有當時，此時旋轉，滿足一個對應一個，所以的可能值只能是，故選:C.【題目點撥】本題考查了函數的定義，重點考查了函數的對應關系，屬基礎題.7、C【解題分析】

在復平面內的對應點考查點橫縱坐標的正負,分情況討論即可.【題目詳解】由題得,在復平面內的對應點為.當,即時,二次函數取值范圍有正有負,故在復平面內的對應點可以在一二象限.當,即時,二次函數,故在復平面內的對應點可以在第四象限.故在復平面內的對應點一定不在第三象限.故選：C【題目點撥】本題主要考查了復平面的基本定義與根據參數范圍求解函數范圍的問題,屬于基礎題型.8、C【解題分析】

畫圖標注其位置，即可得出答案?！绢}目詳解】如圖所示：，即有3個直角三角形?！绢}目點撥】本題涉及到了地理相關的經緯度概念。學生需理解其基本概念，將題干所述信息轉換為數學相關知識求解。9、D【解題分析】

分析：利用指數型函數的性質可求得定點，將點的坐標代入，結合題意，利用基本不等式可得結果.詳解：時，函數值恒為，函數的圖象恒過定點，又點在直線上，，又，（當且僅當時取“=”），所以，的最小值為，故選D.點睛：本題主要考查指數函數的性質，基本不等式求最值，屬于中檔題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內涵：一正是，首先要判斷參數是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數否在定義域內，二是多次用或時等號能否同時成立）.10、D【解題分析】

由已知求出三棱柱外接球的半徑，得到，進一步求得AB，再由棱錐體積公式結合基本不等式求最值．【題目詳解】解：塹堵的外接球的體積為，其外接球的半徑，即，又，．則．．即陽馬體積的最大值為．故選：D．【題目點撥】本題考查多面體的體積、均值定理等基礎知識，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，是中檔題．11、A【解題分析】

利用函數是上的增函數，保證每支都是增函數，還要使得兩支函數在分界點處的函數值大小，即，然后列不等式可解出實數的取值范圍．【題目詳解】由于函數是的增函數，則函數在上是增函數，所以，，即；且有，即，得，因此，實數的取值范圍是，故選A.【題目點撥】本題考查分段函數的單調性與參數，在求解分段函數的單調性時，要注意以下兩點：（1）確保每支函數的單調性和原函數的單調性一致；（2）結合圖象確保各支函數在分界點處函數值的大小關系．12、C【解題分析】根據題意，車的行駛路線起點有4種，行駛方向有3種，所以行車路線共有種，故選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先判斷函數的奇偶性，再由導數可得函數f（x）在R上單調遞減，然后把f（a2）+f（a﹣2）≥2轉化為關于a的一元二次不等式求解．【題目詳解】函數f（x）＝﹣x3+2x﹣ex+e﹣x，滿足f（﹣x）＝﹣f（x），則函數f（x）在R上為奇函數．f′（x）＝﹣3x2+2﹣ex3x2+2﹣2≤2．∴函數f（x）在R上單調遞減．∵f（a2）+f（a﹣2）≥2，∴f（a2）≥﹣f（a﹣2）＝f（﹣a+2），∴a2≤﹣a+2，解得﹣2≤a≤2．則實數a的取值范圍是[﹣2，2]．故答案為：[﹣2，2]．【題目點撥】本題考查了利用導數研究函數的單調性，方程與不等式的解法、函數的奇偶性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．14、【解題分析】

設球的半徑為R，球內接正方體的棱長為a，根據題意知球內接正方體的體對角線是球的直徑，得出a與R的關系，再計算正方體的體積．【題目詳解】設球的半徑為R，球內接正方體的棱長為a，則球的體積是，又球的內接正方體的體對角線是球的直徑，即，；正方體的體積為．故答案為．【題目點撥】本題主要考查了球與其內接正方體的關系，屬于容易題題．15、①②③④【解題分析】分析：根據“數域”的定義，對四個結論逐一驗證即可，驗證過程一定注意“照章辦事”，不能“偷工減料”.詳解：，則①正確；對于②，若是一個數域，則，于是任何一個分數，都可以構造出來，即，②正確；對于③，，③正確；定義④，④正確，故答案為①②③④.點睛：本題考查集合與元素的關系，以及新定義問題，屬于難題.新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯系所學的知識和方法，實現信息的遷移，達到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.16、【解題分析】

通過條件三條棱兩兩垂直，可將其補為長方體，從而求得半徑.【題目詳解】若兩兩垂直,可將四面體補成一長方體，從而長方體的外接球即為四面體的外接球，于是半徑，故答案為.【題目點撥】本題主要考查外接球的半徑，將四面體轉化為長方體求解是解決本題的關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)，，.(2)是首項為，公比為的等比數列；理由見解析.【解題分析】分析：（1）先根據遞推關系式求，，；，再求，，；（2）根據等比數列定義證明為等比數列.詳解：(1）由條件可得：，將代入，得，而，∴，將代入，得，∴，∴，，.（2）是首項為2，公比為3的等比數列.由條件可得：，即，又，∴是首項為2，公比為3的等比數列.點睛：證明一個數列為等比數列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數列不是等比數列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數列即可.等比數列的判定方法18、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）解一次不等式得集合A，（2）先根據A∩B=B得BA，再根據k分類解集合A，最后根據數軸確定實數的取值范圍.詳解：（1）當k＝1時，A＝{x|0≤x＋1≤5}＝{x|－1≤x≤4}；（2）因為A∩B=B，所以BA，由0≤kx＋1≤5，得－1≤kx≤4，①當k=0時，A=R，滿足BA成立；②當k<0時，A=，由BA，得，即，故，綜上所述：．點睛：將兩個集合之間的關系準確轉化為參數所滿足的條件時，應注意子集與真子集的區(qū)別，此類問題多與不等式(組)的解集相關．確定參數所滿足的條件時，一定要把端點值代入進行驗證，否則易產生增解或漏解．19、(1)，；(2)，.【解題分析】

(1)由及頻率和為1可解得和的值；(2)根據公式求平均數.【題目詳解】(1)由題得，解得，由，解得.(2)由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為，乙離子殘留百分比的平均值為【題目點撥】本題考查頻率分布直方圖和平均數，屬于基礎題.20、(1)；(2)分布列見解析；數學期望；方差【解題分析】

（1）先求得基本事件的總數為，然后計算出與圓心構成直角三角形或鈍角三角形的取法數之和，再利用古典概型概率計算公式，求得所求概率.（2）利用二項分布概率計算公式，計算出分布列，并求得數學期望和方差.【題目詳解】解：（1）從盒中隨機摸出兩個小球，即是從8個等分點中隨機選取兩個不同的分點，共有種，其中與圓心構成