2024屆北京五中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆北京五中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．拋物線的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為軸正半軸上任意一點(diǎn)，則（）A． B． C． D．2．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在中“…”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值x，這可以通過方程確定出來x＝2，類似地不難得到＝（）A． B．C． D．3．1+x-x210A．10 B．30 C．45 D．2104．已知點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．5．現(xiàn)有4種不同品牌的小車各2輛(同一品牌的小車完全相同),計(jì)劃將其放在4個(gè)車庫中（每個(gè)車庫放2輛則恰有2個(gè)車庫放的是同一品牌的小車的不同放法共有（）A．144種 B．108種 C．72種 D．36種6．已知函數(shù)且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．設(shè)全集為R，集合，，則A． B． C． D．8．由直線，曲線以及軸所圍成的封閉圖形的面積是（）A． B． C． D．9．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．10．在曲線的圖象上取一點(diǎn)及附近一點(diǎn)，則為（）A． B．C． D．11．已知等差數(shù)列的等差，且成等比數(shù)列，若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則的最小值為（）A．3 B．4 C． D．12．在中，已知，，則的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，若所得到圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為__________．14．如果曲線上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離存在最小值，則稱此最小值為點(diǎn)到曲線的距離.若點(diǎn)到圓的距離等于它到直線的距離，則點(diǎn)的軌跡方程是______.15．化簡(jiǎn)__________．16．有9本不相同的教科書排成一排放在書架上，其中數(shù)學(xué)書4本，外語書3本，物理書2本，如果同一學(xué)科的書要排在一起，那么有________種不同的排法（填寫數(shù)值）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）已知函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知．（I）求；（II）當(dāng)，求在上的最值．19．（12分）梯形中，，矩形所在平面與平面垂直，且，.（1）求證：平面平面；（2）若P為線段上一點(diǎn)，且異面直線與所成角為45°，求平面與平面所成銳角的余弦值.20．（12分）已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求.21．（12分）已知函數(shù)，（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）設(shè)是橢圓上的兩點(diǎn)，已知向量，，若且橢圓的離心率，短軸長(zhǎng)為2，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若直線過橢圓的焦點(diǎn)（為半焦距），求直線的斜率的值；（3）試問：的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

分析：設(shè)，則，由利用韋達(dá)定理求解即可.詳解：設(shè)，的焦點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的直線為，，，，，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查平面向量數(shù)量積公式、平面向量的運(yùn)算、直線與拋物線的位置關(guān)系，意在考查綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題.2、C【解題分析】

根據(jù)已知求的例子，令，即，解方程即可得到的值.【題目詳解】令，即，即，解得(舍)，故故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查歸納推理，算術(shù)和方程，讀懂題中整體代換的方法、理解其解答過程是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】1+x-x210=（-1-x+x2）10=[（x2-x）-1]10

的展開式的通項(xiàng)公式為C10rC10-rkx210-r-k-1k4、C【解題分析】

根據(jù)已知條件先求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，求得圓的圓心和半徑，運(yùn)用圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最值和拋物線的定義，結(jié)合基本不等式，即可得到所求最小值.【題目詳解】如圖：拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義可得,圓的圓心為，半徑，可得的最大值為，由，可令，則，即，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，所以的最小值為故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了拋物線定義以及基本不等式求最小值，考查了計(jì)算能力，屬于較難題.5、C【解題分析】

根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①、在4種不同品牌的小車任取2個(gè)品牌的小車，②、將取出的2個(gè)品牌的小車任意的放進(jìn)2個(gè)車庫中，③、剩余的4輛車放進(jìn)剩下的2個(gè)車庫，相同品牌的不能放進(jìn)同一個(gè)車庫，分別分析每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①、在4種不同品牌的小車任取2個(gè)品牌的小車，有C42種取法，②、將取出的2個(gè)品牌的小車任意的放進(jìn)2個(gè)車庫中，有A42種情況，③、剩余的4輛車放進(jìn)剩下的2個(gè)車庫，相同品牌的不能放進(jìn)同一個(gè)車庫，有1種情況，則恰有2個(gè)車庫放的是同一品牌的小車的不同放法共有C42A42×1＝72種，故選：C．點(diǎn)睛：能用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的問題具有以下特點(diǎn)：(1)完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟，缺一不可．(2)完成每一步有若干種方法．(3)把各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．6、A【解題分析】分析：先確定函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，再利用奇偶性與單調(diào)性解不等式.詳解：因?yàn)?，所?為偶函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以等價(jià)于，即，或，選A.點(diǎn)睛：解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).7、B【解題分析】分析：由題意首先求得，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可得：，結(jié)合交集的定義可得：.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查交集的運(yùn)算法則，補(bǔ)集的運(yùn)算法則等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.8、C【解題分析】

作出圖象，確定被積函數(shù)以及被積區(qū)間，再利用定積分公式可計(jì)算出所圍成封閉圖形的面積。【題目詳解】如下圖所示，聯(lián)立，得，則直線與曲線交于點(diǎn)，結(jié)合圖形可知，所求區(qū)域的面積為，故選：C?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查利用定積分求曲邊多邊形區(qū)域的面積，確定被積函數(shù)與被積區(qū)間是解這類問題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力與數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題。9、C【解題分析】

先求出直線和圓相交時(shí)的取值范圍，然后根據(jù)線型的幾何概型概率公式求解即可．【題目詳解】由題意得，圓的圓心為，半徑為，直線方程即為，所以圓心到直線的距離，又直線與圓相交，所以，解得．所以在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使直線與圓相交的概率為．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題以直線和圓的位置關(guān)系為載體考查幾何概型，解題的關(guān)鍵是由直線和圓相交求出參數(shù)的取值范圍，然后根據(jù)公式求解，考查轉(zhuǎn)化和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】

求得的值，再除以，由此求得表達(dá)式的值.【題目詳解】因?yàn)椋裕蔬xC.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義，考查平均變化率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】

由題意得（1+2d）2＝1+12d，求出公差d的值，得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和，從而可得，換元，利用基本不等式，即可求出函數(shù)的最小值．【題目詳解】∵a1＝1，a1、a3、a13成等比數(shù)列，∴（1+2d）2＝1+12d．得d＝2或d＝0（舍去），∴an＝2n﹣1，∴Snn2，∴．令t＝n+1，則t2≥6﹣2＝1當(dāng)且僅當(dāng)t＝3，即n＝2時(shí)，∴的最小值為1．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查基本不等式，屬于中檔題．12、C【解題分析】

由題知，先設(shè)，再利用余弦定理和已知條件求得和的關(guān)系，設(shè)代入，利用求出的范圍，便得出的最大值.【題目詳解】由題意，設(shè)的三邊分別為，由余弦定理得：，因?yàn)?，，所以，即，設(shè)，則，代入上式得：，，所以.當(dāng)時(shí)，符合題意，所以的最大值為，即的最大值為.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查運(yùn)用的余弦定理求線段和得最值，轉(zhuǎn)化成一元二次方程，以及根的判別式大于等于0求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：先根據(jù)圖像平移得解析式，再根據(jù)圖像性質(zhì)求關(guān)系式，解得最小值.詳解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象向左平移個(gè)單位得，所以因?yàn)?，所以點(diǎn)睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母而言.14、【解題分析】

易得點(diǎn)到圓的距離等于點(diǎn)到圓心的距離減去半徑.再求出點(diǎn)到直線的距離列出方程進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.【題目詳解】由題點(diǎn)到圓的距離等于點(diǎn)到圓心的距離減去半徑.當(dāng)時(shí),顯然不能滿足點(diǎn)到圓的距離等于它到直線的距離.故,此時(shí),兩邊平方有.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了軌跡方程的求解方法,重點(diǎn)是列出距離相等的方程,再化簡(jiǎn)方程即可.屬于基礎(chǔ)題型.15、【解題分析】分析：利用二項(xiàng)式逆定理即可.詳解：（展開式實(shí)部）（展開式實(shí)部）.故答案為：.點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)式定理的逆應(yīng)用，考查推理論證能力.16、1728【解題分析】

根據(jù)題意，將同學(xué)科的書捆綁，由排列的概念，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)橐还灿袛?shù)學(xué)書4本，外語書3本，物理書2本，同一學(xué)科的書要排在一起，則有種不同的排法.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查排列的應(yīng)用，利用捆綁法即可求解，屬于?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）【解題分析】

(1)先求導(dǎo)，再對(duì)a分類討論，研究函數(shù)的圖像，求得a的取值范圍.(2)先轉(zhuǎn)化得到，再構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g(x)的最大值得a的取值范圍.【題目詳解】（1），定義域?yàn)棰偃魟t，在上為增函數(shù)因?yàn)?，有一個(gè)零點(diǎn)，所以符合題意；②若令，得，此時(shí)單調(diào)遞增，單調(diào)遞減的極大值為，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)零點(diǎn)，所以，即，所以綜上所述或.（2）因?yàn)?，使得，所以令，即，因?yàn)樵O(shè)，，所以在單調(diào)遞減，又故函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，的最大值為，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】(1)本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)第2問的解題關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為，其二是構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g(x)的最大值得a的取值范圍.18、(1).（2），.【解題分析】分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，指接代入x=1即可；（2）將參數(shù)值代入，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性得到最值.詳解：(1)（2）解：當(dāng)時(shí)，令即解得：或是得極值點(diǎn)因?yàn)椴辉谒蠓秶鷥?nèi)，故舍去，點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是函數(shù)單調(diào)性的研究和函數(shù)值域.研究函數(shù)單調(diào)性的方法有：定義法，求導(dǎo)法，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即同增異減，其中前兩種方法也可以用于證明單調(diào)性，在解決函數(shù)問題時(shí)需要格外注意函數(shù)的定義域.19、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）由題意證出，先利用面面垂直的性質(zhì)定理，證出平面，再利用面面垂直的判定定理即可證出.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出平面的法向量，平面的法向量，根據(jù)向量的數(shù)量積即可求解.【題目詳解】（1）證明：作中點(diǎn)M，由題則有：，且，又∴四邊形為菱形，，又且，，又平面平面，且交于，平面，平面，∴平面平面（2）如圖建系，則有，，設(shè)，，，，，，即設(shè)平面的法向量為，，，令，則，，設(shè)平面的法向量為，，，令，則，，，【題目點(diǎn)撥】本題考查了面面垂直的判定定理、性質(zhì)定理、空間向量法求異面直線所成角以及面面角，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.20、【解題分析】

設(shè)，根據(jù)題意列出關(guān)于的方程組求解，再結(jié)合所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，即可求出【題目詳解】設(shè)，則，∴又，.∴，聯(lián)立，解得又在第二象限，∴，即∴故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的相關(guān)定義，設(shè)出復(fù)數(shù)的表示形式，根據(jù)題意列出方程組即可，本題較為基礎(chǔ)，注意計(jì)算。21、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）分別在、、三種情況下去掉絕對(duì)值，得到不等式，解不等式求得結(jié)果；（Ⅱ）將方程變?yōu)椋诸愑懻摰玫降膱D象，通過數(shù)形結(jié)合求得取值范圍.【題目詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，可得：當(dāng)時(shí)，，解得：當(dāng)時(shí)，，則無解綜上所述：不等式的解集為：（Ⅱ）由方程可變形為：令，則作出函數(shù)的圖象如下圖所示：結(jié)合圖象可知：，又