常熟中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

常熟中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知x1+i=1-yi，其中x,y是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則x+yiA．1+2iB．1-2iC．2+iD．2-i2．從裝有3個(gè)白球,4個(gè)紅球的箱子中,隨機(jī)取出了3個(gè)球,恰好是2個(gè)白球,1個(gè)紅球的概率是()A． B． C． D．3．若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．在某次體檢中，學(xué)號(hào)為（）的四位同學(xué)的體重是集合中的元素，并滿足，則這四位同學(xué)的體重所有可能的情況有（）A．55種 B．60種 C．65種 D．70種5．設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如圖，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，（）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小6．設(shè)a=e1eA．a(chǎn)>c>b B．c>a>b C．c>b>a D．a(chǎn)>b>c7．如圖，用6種不同的顏色把圖中四塊區(qū)域分開(kāi)，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（）A．496種 B．480種 C．460種 D．400種8．若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．9．定義在上的函數(shù)，滿足為的導(dǎo)函數(shù)，且，若，且，則有（）A． B．C． D．不確定10．年平昌冬奧會(huì)期間，名運(yùn)動(dòng)員從左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法種數(shù)為（）A． B． C． D．11．中，，則的值是（）A． B． C． D．或12．有一個(gè)奇數(shù)列，現(xiàn)在進(jìn)行如下分組：第一組含一個(gè)數(shù)；第二組含二個(gè)數(shù)；第三組含有三個(gè)數(shù)；第四組數(shù)有試觀察每組內(nèi)各數(shù)之和與組的編號(hào)數(shù)有什么關(guān)系（）A．等于 B．等于 C．等于 D．等于二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)且依次交拋物線及圓于點(diǎn)，，，四點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________．14．若展開(kāi)式中的第7項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則n的值為_(kāi)_____．15．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為_(kāi)________．16．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含的系數(shù)為_(kāi)______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知在等比數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）如圖，四棱錐，底面為直角梯形，，，，.（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角為，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）某保險(xiǎn)公司決定每月給推銷員確定個(gè)具體的銷售目標(biāo)，對(duì)推銷員實(shí)行目標(biāo)管理.銷售目標(biāo)確定的適當(dāng)與否，直接影響公司的經(jīng)濟(jì)效益和推銷員的工作積極性，為此，該公司當(dāng)月隨機(jī)抽取了50位推銷員上個(gè)月的月銷售額（單位：萬(wàn)元），繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）①根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求出月銷售額在小組內(nèi)的頻率.②根據(jù)直方圖估計(jì)，月銷售目標(biāo)定為多少萬(wàn)元時(shí)，能夠使70%的推銷員完成任務(wù)？并說(shuō)明理由.（2）該公司決定從月銷售額為和的兩個(gè)小組中，選取2位推銷員介紹銷售經(jīng)驗(yàn)，求選出的推銷員來(lái)自同一個(gè)小組的概率.20．（12分）以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）將直線：（為參數(shù)）化為極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)是（1）中的直線上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.21．（12分）甲乙兩人報(bào)名參加由某網(wǎng)絡(luò)科技公司舉辦的“技能闖關(guān)”雙人電子競(jìng)技比賽，比賽規(guī)則如下：每一輪“闖關(guān)”結(jié)果都采取計(jì)分制，若在一輪闖關(guān)中，一人過(guò)關(guān)另一人未過(guò)關(guān)，過(guò)關(guān)者得1分，未過(guò)關(guān)得分；若兩人都過(guò)關(guān)或都未過(guò)關(guān)則兩人均得0分.甲、乙過(guò)關(guān)的概率分別為和，在一輪闖關(guān)中，甲的得分記為.（1）求的分布列；（2）為了增加趣味性，系統(tǒng)給每位報(bào)名者基礎(chǔ)分3分，并且規(guī)定出現(xiàn)一方比另一方多過(guò)關(guān)三輪者獲勝，此二人比賽結(jié)束.表示“甲的累積得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲獲勝”的概率，則，其中，，，令.證明：點(diǎn)的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為；（3）在第（2）問(wèn)的條件下求，并嘗試解釋游戲規(guī)則的公平性.22．（10分）如圖，已知海島與海岸公路的距離為，，間的距離為，從到，需先乘船至海岸公路上的登陸點(diǎn)，船速為，再乘汽車至，車速為，設(shè).（1）用表示從海島到所用的時(shí)間，并指明的取值范圍；（2）登陸點(diǎn)應(yīng)選在何處，能使從到所用的時(shí)間最少？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】∵x1+i=x(1-i)2、C【解題分析】分析：根據(jù)古典概型計(jì)算恰好是2個(gè)白球1個(gè)紅球的概率.詳解：由題得恰好是2個(gè)白球1個(gè)紅球的概率為.故答案為:C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查古典概型，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)古典概型的解題步驟:①求出試驗(yàn)的總的基本事件數(shù)；②求出事件A所包含的基本事件數(shù)；③代公式=.3、D【解題分析】分析：利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判定復(fù)數(shù)的實(shí)部大于零，虛部小于零，從而可得結(jié)果.詳解：因?yàn)?，，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，故選D.點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過(guò)分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問(wèn)題出錯(cuò)，造成不必要的失分.4、D【解題分析】

根據(jù)中等號(hào)所取個(gè)數(shù)分類討論，利用組合知識(shí)求出即可.【題目詳解】解：當(dāng)中全部取等號(hào)時(shí)，情況有種；當(dāng)中有兩個(gè)取等號(hào)，一個(gè)不取等號(hào)時(shí)，情況有種；當(dāng)中有一個(gè)取等號(hào)，兩個(gè)不取等號(hào)時(shí)，情況有種；當(dāng)中都不取等號(hào)時(shí)，情況有種；共種.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查分類討論研究組合問(wèn)題，關(guān)鍵是要找準(zhǔn)分類標(biāo)準(zhǔn)，是中檔題.5、D【解題分析】

先求數(shù)學(xué)期望，再求方差，最后根據(jù)方差函數(shù)確定單調(diào)性.【題目詳解】，，，∴先增后減，因此選D.【題目點(diǎn)撥】6、B【解題分析】

依據(jù)y=lnx的單調(diào)性即可得出【題目詳解】∵b=ln而a=e1e>0,c=又lna=lne1所以lnc>lna，即有c>a，因此c>a>b【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小。7、B【解題分析】分析：本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問(wèn)題，只用三種顏色涂色時(shí)，有C63C31C21，用四種顏色涂色時(shí)，有C64C41C31A22種結(jié)果，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．詳解：由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問(wèn)題，只用三種顏色涂色時(shí)，有C63C31C21=120（種）．用四種顏色涂色時(shí)，有C64C41C31A22=360（種）．綜上得不同的涂法共有480種．故選：C．點(diǎn)睛：本題考查分類計(jì)數(shù)問(wèn)題，本題解題的關(guān)鍵是看出給圖形涂色只有兩種不同的情況，顏色的選擇和顏色的排列比較簡(jiǎn)單．8、B【解題分析】

對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，當(dāng)為二次函數(shù)時(shí)，只需考慮對(duì)稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系即可.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，要滿足題意，只需，且，解得.綜上所述：.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍的問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】

函數(shù)滿足，可得.由，易知，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.由，則.當(dāng),則.當(dāng),則,，，即.故選A.10、C【解題分析】分析：根據(jù)題意，分兩種情況討論：①最左邊排甲；②最左邊排乙，分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可得到答案.詳解：根據(jù)題意，最左端只能排甲或乙，則分兩種情況討論：①最左邊排甲，則剩下4人進(jìn)行全排列，有種安排方法；②最左邊排乙，則先在剩下的除最右邊的3個(gè)位置選一個(gè)安排甲，有3種情況，再將剩下的3人全排列，有種情況，此時(shí)有種安排方法，則不同的排法種數(shù)為種.故選：C.點(diǎn)睛：解決排列類應(yīng)用題的策略(1)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．(2)分排問(wèn)題直排法處理．(3)“小集團(tuán)”排列問(wèn)題中先集中后局部的處理方法．11、B【解題分析】

根據(jù)正弦定理求解.【題目詳解】由正弦定理得，選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12、B【解題分析】第組有個(gè)數(shù)，第組有個(gè)數(shù)，所以前組的數(shù)字個(gè)數(shù)是，那么前組的數(shù)字和是，所以前組的數(shù)字個(gè)數(shù)是，那么前組的數(shù)字和是，那么第組的數(shù)字和是，故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、13【解題分析】

由拋物線的定義可知：，從而得到，同理，分類討論，根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可求得的最小值.【題目詳解】因?yàn)?，所以焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，由圓：，可知其圓心為，半徑為，由拋物線的定義得：，又因?yàn)?，所以，同理，?dāng)軸時(shí)，則，所以，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇也粸?時(shí)，設(shè)時(shí)，代入拋物線方程，得：，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，綜上所述，的最小值為13，故答案是：13.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的定義，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，直線與拋物線相交的問(wèn)題，基本不等式求最值問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，注意認(rèn)真審題是正確解題的關(guān)鍵.14、【解題分析】

利用二項(xiàng)展開(kāi)式得出第七項(xiàng)x的指數(shù)，利用指數(shù)為零，求出的值．【題目詳解】解：的展開(kāi)式的第七項(xiàng)為，由于第七項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則，解得，故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理，考查對(duì)公式的理解與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

判斷三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體的形狀，然后求解幾何體的體積．【題目詳解】由三視圖可知，幾何體是以側(cè)視圖為底面的五棱柱，

底面是直角梯形，底面直角邊長(zhǎng)為2，1，高為1，棱柱的高為3，

幾何體的體積為：．

故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．16、1【解題分析】

根據(jù)題意，由展開(kāi)式的通項(xiàng)，令，可得，將代入通項(xiàng)計(jì)算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，

令，可得，

此時(shí)，

即含的系數(shù)為1，

故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解題分析】

（1）求出公比后可得的通項(xiàng)公式.（2）利用錯(cuò)位相減法可求.【題目詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為.由，得，得，所以，解得.故數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2），則，①，②由①-②，得，，故【題目點(diǎn)撥】數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號(hào)有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.18、（1）見(jiàn)解析（2）【解題分析】分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)法證明平面，即可證得平面平面；；（2）如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求直線與平面所成角的正弦值.詳解：（1）證明：因?yàn)闉橹苯翘菪?，，又因?yàn)?，所以，所以，所?又因?yàn)?，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）作于，因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，由（1）知平面平面，且平面平面，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)，因?yàn)?，，所以，如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，9分設(shè)平面法向量，則，取，則，所以平面一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成角為，則,所以直線與平面所成角為正弦值為.點(diǎn)睛：本題考查直線與直線，直線與平面，平面與平面垂直等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力；考查數(shù)學(xué)結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想19、（1）①；②17，理由見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】

（1）①利用頻率分布直方圖能求出月銷售額在，內(nèi)的頻率．②若的推銷員能完成月銷售額目標(biāo)，則意味著的推銷員不能完成該目標(biāo)．根據(jù)頻率分布直方圖知，，和，兩組頻率之和為0.18，由此能求出月銷售額目標(biāo)應(yīng)確定的標(biāo)準(zhǔn)．（2）根據(jù)直方圖可知，銷售額為，和，的頻率之和為0.08，由可知待選的推銷員一共有4人，設(shè)這4人分別為，，，，利用列舉法能求出選定的推銷員來(lái)自同一個(gè)小組的概率．【題目詳解】解：（1）①月銷售額在小組內(nèi)的頻率為.②若要使70%的推銷員能完成月銷售額目標(biāo)，則意味著30%的推銷員不能完成該目標(biāo).根據(jù)題圖所示的頻率分布直方圖知，和兩組的頻率之和為0.18，故估計(jì)月銷售額目標(biāo)應(yīng)定2為（萬(wàn)元）.（2）根據(jù)直方圖可知，月銷售額為和的頻率之和為0.08，由可知待選的推銷員一共有4人.設(shè)這4人分別為，則不同的選擇為，一共有6種情況，每一種情況都是等可能的，而2人來(lái)自同一組的情況有2種，所以選出的推銷員來(lái)自同一個(gè)小組的概率.【題目點(diǎn)撥】本題考查頻率、月銷售額目標(biāo)、概率的求法，考查頻率分布直方圖、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）先將直線的參數(shù)方程化為普通方程，再由可將直線的普通方程化為極坐標(biāo)方程；（2）將點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，點(diǎn)所在曲線的方程化為普通方程，可知該曲線為圓，利用當(dāng)、、與圓心四點(diǎn)共線且點(diǎn)為圓心與點(diǎn)連線線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，可得出答案?！绢}目詳解】（1）消去參數(shù)得，即，∴直線的極坐標(biāo)方程為．（答案也可以化為）（2）∵的直角坐標(biāo)為，曲線是圓：（為圓心）．∴．∴的最小值為（這時(shí)是直線與直線的交點(diǎn)）．【題目點(diǎn)撥】本題第（1）問(wèn)考查的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的互化，第（2）問(wèn)考查圓的幾何性質(zhì)，考查折線段長(zhǎng)