信號與系統(tǒng)課件

第一章緒論

我們把欲待傳輸?shù)恼Z言、文字、圖象、數(shù)碼等統(tǒng)稱為資訊（消息）。①定義：信號是帶有資訊的隨時間變化的物理量（電量）。其圖像稱為信號的波形。

§1.1信號的描述與分類

由於資訊蘊(yùn)含於變化的信號中，只有變化的物理量（電量）才能運(yùn)載資訊。因此，信號的數(shù)學(xué)模型就是時間函數(shù)f(t)f(n)即

②分類：根據(jù)不同的分類原則，信號可分為：隨機(jī)信號（無規(guī)則信號）確定信號（規(guī)則信號）定義：如果信號不是引數(shù)（時間）的確定函數(shù)，即對某時刻t，信號值並不確定，而只知道取某一數(shù)值的概率，此類具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律的信號稱無規(guī)則信號。定義：對於任意確定時刻，都有確定的函數(shù)值對應(yīng)，這樣的時間信號稱規(guī)則信號。對確定信號：規(guī)則信號a.按信號出現(xiàn)時間：連續(xù)時間信號離散時間信號b.按變化規(guī)律：週期信號f(t)=f(t+nT)非週期信號寬頻信號窄帶信號c.按頻率特性：d.按功率,能量特性：（能量無限，p週期信號功率信號：有限）（能量有限，非週期信號能量信號：0=p）連續(xù)時間信號：一個信號若在某個時間區(qū)內(nèi)除有限個間短點(diǎn)外的所有時刻，都有確定的值，就稱這個信號為在該區(qū)間內(nèi)的連續(xù)信號。離散時間信號：一個信號如果只在離散的時間瞬刻才有確定的值，就稱為離散時間信號。f(t)t圖1.連續(xù)時間信號f(n)n圖2.離散時間信號信息轉(zhuǎn)換器電信號發(fā)射機(jī)接收機(jī)信息轉(zhuǎn)換器電信號系統(tǒng)f(t)y(t)聲音話筒喇叭聲音§1.2系統(tǒng)的定義和分類圖3.通信系統(tǒng)b.線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)c.時變系統(tǒng)與非時變系統(tǒng)d.因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)t<tf(t)=0y(t)=0(客觀系統(tǒng))a.連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)連續(xù)離散f(t)y(t)f(n)y(n)本課程的主要內(nèi)容1、信號分析2、系統(tǒng)分析時域分析1)連續(xù)時間系統(tǒng)分析頻域分析複頻域分析時域分析2)離散時間系統(tǒng)分析Z域分析連續(xù)時間系統(tǒng)3)狀態(tài)變數(shù)分析離散時間系統(tǒng)本課程地位

信號與系統(tǒng)是電氣、電子等類專業(yè)的重要的主幹技術(shù)基礎(chǔ)課。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握有關(guān)信號與系統(tǒng)的基本概念、基本理論和基本分析方法。其中許多概念要求透徹理解，不少方法要求牢固掌握。該課程理論體系嚴(yán)謹(jǐn)，內(nèi)容引人入勝，而且會從中學(xué)會一種思維方法，養(yǎng)成一種科學(xué)作風(fēng)。甚至使人終身受益。1.3連續(xù)時間信號時域的變換與運(yùn)算一、時域變換1、信號的時移：(新變數(shù))例1.1-1：(t+1)t如圖1.1-1(a)所示f(t)1-201t圖1.1-1(a)如圖1.1-1(c)所示(超前）(滯後）解：如圖1.1-1(b)所示f(t)1-201t圖1.1-1(a)10-3tf(t+1)圖1.1-1(b)120-1tf(t-1)圖1.1-1(c)如圖1.1-1(a)所示2、信號的折迭信號以縱坐標(biāo)為軸翻轉(zhuǎn)180o(新變數(shù))1tU(t)01tU(-t)0例1.1-2：-ttt11-2f(t)0如圖1.1-2(a)所示圖1.1-2(a)t1-12f(-t)0圖1.1-2(b)如圖1.1-2(b)所示3、信號的展縮例1.1-3：220t如圖1.1-3(a)所示。圖1.1-3(a)解：20t1圖1.1-3(b)20t4圖1.1-3(c)如圖1.1-3(b),(c)所示。

可見，時移、折迭、展縮都是用一個新的時間變數(shù)去代換原時間變數(shù)。例1.1-4:2-2t10如圖1.1-4(a)所示圖1.1-4(a)2-2t4圖1.1-4(d)解：22t-1(也可以先展縮後時延)如圖1.1-4(b)所示圖1.1-4(b)2t10.5-0.5圖1.1-4(c)壓縮：如圖1.1-4(c)所示擴(kuò)展：如圖1.1-4(d)所示例2時移時移折展折展折時移時移時移折展展圖1.1-5二、時域運(yùn)算如圖1.1-6所示1102t圖1.1-6如圖1.1-7所示1102t-1圖1.1-73.信號相加(合成)f2f1f0011tt-1如圖1.1-8圖1.1-8(a)(b)(c)01t1(d)例1.1-6：注意：週期信號相迭加，不一定是週期信號?。?看是否存在是小公倍數(shù)）為非週期信號f\無理數(shù)TT==\321p例1.1-7：tttf+=sin3cos)(pTT==2,3221pQ4.信號相乘(取樣、調(diào)製)f1f2f(t)5.信號卷積(信號分解、信號通過系統(tǒng)）如圖1.1-9圖1.1-9§1.4幾種典型的連續(xù)時間信號5.鐘形脈衝函數(shù)（高斯函數(shù)）1.指數(shù)信號2.正弦信號3.複指數(shù)信號4.抽樣信號（SampleSignal)信號的表示函數(shù)運(yùn)算式波形重要特性：其對時間的微分和積分仍然是指數(shù)形式。1．指數(shù)信號單邊指數(shù)信號通常把稱為指數(shù)信號的時間常數(shù)，記作

,代表信號衰減速度，具有時間的量綱。l

指數(shù)衰減,l

指數(shù)增長l

直流(常數(shù)),KO2．正弦信號振幅：K

週期：頻率：f

角頻率：初相：衰減正弦信號：

3．複指數(shù)信號討論複指數(shù)信號與正弦信號之間的關(guān)係

歐拉(Euler)公式4．抽樣信號(SamplingSignal)

性質(zhì)①②③④⑤⑥5．鐘形脈衝函數(shù)(高斯函數(shù))在隨機(jī)信號分析中佔(zhàn)有重要地位。

函數(shù)本身有不連續(xù)點(diǎn)(跳變點(diǎn))或其導(dǎo)數(shù)與積分有不連續(xù)點(diǎn)的一類函數(shù)統(tǒng)稱為奇異信號或奇異函數(shù)。主要內(nèi)容：單位斜變信號單位階躍信號☆單位沖激信號沖激偶信號§1.5階躍信號與沖激信號一．單位斜變信號1．

定義3．三角形脈衝由變數(shù)t-t0=0可知起始點(diǎn)為2．有延遲的單位斜變信號二．單位階躍信號1.定義變數(shù)<0

函數(shù)值為0由變數(shù)

，函數(shù)有中斷點(diǎn)，跳變點(diǎn)變數(shù)>0

函數(shù)值為12.有延遲的單位階躍信號3．用單位階躍信號描述其他信號其他函數(shù)只要用門函數(shù)處理(乘以門函數(shù))，就只剩下門內(nèi)的部分。

符號函數(shù)：(Signum)門函數(shù)：也稱窗函數(shù)單位沖激信號的引出☆三、沖激函數(shù)δ（t)定義1：狄拉克(Dirac)函數(shù)

函數(shù)值只在t=0時不為零；

積分面積為1；

t=0時，，為無界函數(shù)。

t0(1)定義2面積1；脈寬↓；

脈衝高度↑；

則窄脈衝集中於t=0處?！锩娣e為1★寬度為0★三個特點(diǎn)：若面積為k，則強(qiáng)度為k。三角形脈衝、雙邊指數(shù)脈衝、鐘形脈衝、抽樣函數(shù)取

0極限，都可以認(rèn)為是沖激函數(shù)。描述時移的沖激函數(shù)沖激函數(shù)的性質(zhì)1．抽樣性2．奇偶性3．沖激偶4．標(biāo)度變換1.抽樣性(篩選性)對於移位情況：如果f(t)在t=0處連續(xù)，且處處有界，則有

2.

奇偶性利用分部積分運(yùn)算3.沖激偶①沖激偶的性質(zhì)時移，則：

X②③……(1.2-9)④4.對

(t)的尺度變換沖激偶的尺度變換

四.總結(jié)：R(t)，u(t)，

(t)之間的關(guān)係

R(t)

求 ↓↑ 積 (-

<t<)

u(t)

導(dǎo) ↓↑ 分

(t)

沖激函數(shù)的性質(zhì)總結(jié)（1）抽樣性（2）奇偶性（3）尺度變換性（4）微積分性質(zhì)（5）沖激偶（6）卷積性質(zhì)例1.5-1求下列積分解：解：思考：例1.5-2解：第二章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析LTIf(t)y(t)圖2.1-1信號與系統(tǒng)研究的內(nèi)容對於信號：A:信號分析B：信號處理對於系統(tǒng)：A:系統(tǒng)分析B：系統(tǒng)綜合一、系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的時域表示

時域分析方法:不涉及任何變換，直接求解系統(tǒng)的微分、積分方程式，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域方法的基礎(chǔ)。本課程中我們主要討論輸入、輸出描述法。二、系統(tǒng)分析過程經(jīng)典法:前面電路分析課裏已經(jīng)討論過，但與

(t)有關(guān)的問題有待進(jìn)一步解決——h(t)；卷積積分法:

任意激勵下的零狀態(tài)回應(yīng)可通過沖激回應(yīng)來求。(新方法)三、本書所研究的系統(tǒng)－－－－

線性非時變系統(tǒng)(LTI)的固有特性1.迭加特性：線性系統(tǒng)是滿足零輸入線性和零狀態(tài)線性的系統(tǒng)……(2.1-1)線性非時變系統(tǒng)(LTI)的固有特性：2.時不變特性：LTItU(t)0tU(t-t0)t00t0tt00如圖2.1-2……(2.1-2)圖2.1-2線性非時變系統(tǒng)(LTI)的固有特性：3.微分和積分特性：LTIf(t)y(t)……2.1-3……2.1-4如圖2.1-3所示圖2.1-3本章主要內(nèi)容線性系統(tǒng)完全回應(yīng)的求解；沖激回應(yīng)h(t)的求解；卷積的圖解說明；卷積的性質(zhì)；零狀態(tài)回應(yīng)：。本章建立幾個重要的概念2.系統(tǒng)時間特性的描述和表徵——h(t)3.信號可以由系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)，系統(tǒng)也可用信號來仿真4.重要的數(shù)學(xué)工具——卷積積分(性質(zhì)、圖解、計(jì)算)1.信號分解和回應(yīng)合成的概念——卷積MRRLLU(t)i2i1+_+_u1u2圖2.2-1解：MRRLLU(t)i2i1+_+_u1u21.建立方程有③

圖2.2-1

我們一般將激勵信號加入的時刻定義為t=0，回應(yīng)為時的方程的解，初始條件齊次解：由特徵方程→求出特徵根→寫出齊次解形式注意重根情況處理方法。特解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)的特解函數(shù)式→代入原方程，比較係數(shù)定出特解。初始條件的確定是要解決的主要問題。經(jīng)典法解微分方程全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解。幾種典型激勵函數(shù)相應(yīng)的特解激勵函數(shù)e(t)回應(yīng)函數(shù)y(t)的特解2.回應(yīng)求解——經(jīng)典法自由回應(yīng)：也稱固有回應(yīng)，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵形式無關(guān)。對應(yīng)於通解。

壓迫回應(yīng)：形式取決於外加激勵，對應(yīng)於方程的特解。全回應(yīng)（注意：特解一定是系統(tǒng)在t＞0時刻的解）＋3.根據(jù)初始條件求A1,A2由式：平衡法對：由,可得相應(yīng)的波型如圖2.2-2。t0圖2.2-2一、元件的算子模型注意：

是代表一種運(yùn)算作用在時間函數(shù)上，而不是相乘。所以，二、算子的運(yùn)算規(guī)則1.滿足分配律，可進(jìn)行因式分解2.不滿足交換律而除非,否則3.不滿足消去律即同上式不符同樣有即等式兩邊中相同的算符不能隨便消去。三、算子方程的編寫例2.3-1如圖2.3-1(a)電路回應(yīng)i2,試編寫算子方程us1H2Hi2圖2.3-1(a)解：1)畫出算子的阻抗模型如圖2.3-1(b)所示us1H2Hi22p1pus圖2.3-1(b)i2i1圖2.3-1(a)2)編寫算子形式的網(wǎng)孔方程由,得代入,有i2i11p2pus如圖2.3-2(a)電路，以u1、u2為回應(yīng)，編寫算子方程。例2.3-2u1u2圖2.3-2(a)解：1.畫出算子的導(dǎo)納模型如圖2.3-2(b)u1u2圖2.3-2(a)u1u2圖2.3-2(b)2.編寫算子形式的節(jié)點(diǎn)方程即u1u2圖2.3-2(b)可得或

用一些基本運(yùn)算單元，如放大器、加法器、乘法器、微分器、積分器、延遲器等構(gòu)成系統(tǒng)的模擬框圖，以反映系統(tǒng)的運(yùn)算關(guān)係，是描述系統(tǒng)的另一種形式。常用的基本運(yùn)算單元如下圖。四、系統(tǒng)的模擬框圖表示ax(t)y(t)px(t)y(t)1/px(t)y(t)運(yùn)算單元框圖輸入輸出關(guān)係

x(t)y(t)y(t)x1(t)x2(t)放大器微分器積分器延遲器加法器乘法器y(t)x1(t)x2(t)例2.3-3某回饋系統(tǒng)的模擬框圖如圖2.3-3所示，試編寫其算子方程。f(t)y(t)y1(t)圖2.3-3+-解：f(t)y(t)y1(t)圖2.3-3+-五、傳輸算子

一個單輸入、單輸出的線性非時變系統(tǒng)可用一個n階常係數(shù)線性微分方程來描述，其算子形式為式中為算子多項(xiàng)式。所以……2.3-1令——傳輸算子……2.3-2……2.3-3結(jié)論：1.描述系統(tǒng)的三種形式：①算子方程（微分方程）②模擬框圖③傳輸算子H(p)2.三者之間可互求3.系統(tǒng)的功能可看作是對輸入信號進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的算子

——傳輸算子。一、系統(tǒng)回應(yīng)劃分自由回應(yīng)＋強(qiáng)迫回應(yīng)

(Natural+forced)零輸入回應(yīng)＋零狀態(tài)回應(yīng)

(Zero-input+Zero-state)暫態(tài)回應(yīng)+穩(wěn)態(tài)回應(yīng)

(Transient+Steady-state)

也稱固有回應(yīng)，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵形式無關(guān)。對應(yīng)於齊次解。

形式取決於外加激勵。對應(yīng)於特解。

是指激勵信號接入一段時間內(nèi)，完全回應(yīng)中暫時出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著時間t增加，它將消失。

由完全回應(yīng)中減去暫態(tài)回應(yīng)分量即得穩(wěn)態(tài)回應(yīng)分量。

沒有外加激勵信號的作用，只由起始狀態(tài)（起始時刻系統(tǒng)儲能）所產(chǎn)生的回應(yīng)。

不考慮原始時刻系統(tǒng)儲能的作用（起始狀態(tài)等於零），由系統(tǒng)的外加激勵信號產(chǎn)生的回應(yīng)。

(1)自由回應(yīng)：(2)暫態(tài)回應(yīng)：穩(wěn)態(tài)回應(yīng)：強(qiáng)迫回應(yīng)：(3)零輸入回應(yīng)：零狀態(tài)回應(yīng)：二、各種系統(tǒng)回應(yīng)定義求解

系統(tǒng)零輸入回應(yīng)，實(shí)際上是求系統(tǒng)方程的齊次解，由系統(tǒng)狀態(tài)值求出待定係數(shù)。

系統(tǒng)零狀態(tài)回應(yīng)，是在激勵作用下求系統(tǒng)方程的非齊次解，待定係數(shù)由下式確定。

當(dāng)f(t)=0時，為求系統(tǒng)的零輸入回應(yīng)，就要求解齊次微分方程：系統(tǒng)的零輸入回應(yīng)如圖2.4-1所示……2.4-1LTI圖2.4-1一、一階、二階齊次方程1.一階：式可寫成(把p看成代數(shù)量)……….2.4-22.二階：……2.4-4……2.4-4由式，有二、n階系統(tǒng)的零輸入回應(yīng)……2.4-5

……2.4-6……2.4-7i(t)uS1HuC例2.4-1求如圖2.4-2(a)電路的零輸入回應(yīng)

圖2.4-2(a)解：畫出該電路的算子模型如圖2.4-2所示編寫算子形式的回路方程，有圖2.4-2(b)piuS1A10VuL(0-)t=0-等效電路圖2.4-32.4-3例2.4-2電路同上，其中：求izi(t)解：相應(yīng)的算子方程為1/pp00.3681t

圖2.4-4izi(t)一、定義

一個LTI系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為0時，輸入信號為單位沖激信號δ(t)時所引起的回應(yīng)稱為單位衝擊回應(yīng)，簡稱衝擊回應(yīng)，用h(t)表示。

同樣，系統(tǒng)在單位階躍信號U(t)作用下所產(chǎn)生的零狀態(tài)回應(yīng)稱為階躍回應(yīng)，用g(t)來表示LTI“0”LTI“0”二、沖激回應(yīng)與階躍回應(yīng)的關(guān)係LTI“0”LTI“0”

如圖2.5-1所示圖2.5-1…………2.5-2三、沖激回應(yīng)的計(jì)算H特徵根為分式展開，上式可寫成依部分時，可將相應(yīng)的，且特徵方程無重根，①當(dāng)(p)L,nL21lllmn>

KKnKL1,2式中是部分分式展開的係數(shù)ht

)(nntpKpKpKLL2211)()(dlll-++-+-=1i的情況我們僅討論具有相同的形式，注意到=hi……2.5-4……2.5-6……2.5-7…..2.5-8H特徵根為分式展開，上式可寫成依部分時，可將相應(yīng)的，且特徵方程無重根，②當(dāng)(p)L,nL21lllmn=

KKnKL1,2式中是部分分式展開的係數(shù)H特徵根為分式展開，上式可寫成依部分時，可將相應(yīng)的，且特徵方程無重根，③當(dāng)(p)L,nL21lllmn<

KBnKL1,1式中是部分分式展開的係數(shù)當(dāng)：n>mh(t)無沖激項(xiàng)n=mh(t)有沖激項(xiàng)n<m有各項(xiàng)四、幾個重要結(jié)論1.沖激回應(yīng)h(t)作為系統(tǒng)的時間特性，也是系統(tǒng)的一種描述方式。即系統(tǒng)可用①算子方程(微分方程)②模擬框圖

四種方式來描述，並且可以互求。④沖激回應(yīng)h(t)③傳輸算子p)H(3.把沖激回應(yīng)和系統(tǒng)的零輸入回應(yīng)比較

兩者不僅僅是形式上的巧合，而是一種本質(zhì)相同的回應(yīng)。對系統(tǒng)的零輸入：D(p)yzi(t)=0對系統(tǒng)的沖激回應(yīng)：

當(dāng)t>0δ(t)=0∴有D(p)h(t)=0(t>0)D(p)h(t)=N(p)δ(t)即：

沖激回應(yīng)是單位貯能產(chǎn)生的“零輸入回應(yīng)”。系統(tǒng)一定，ki一定，而ci則由系統(tǒng)的初始貯能確定。四、示例i(t)圖2.5-4(a)解：畫出相應(yīng)的算子模型如圖(b)(b)

相應(yīng)的波形如圖2.5-5所示，電容器兩端的電壓發(fā)生了突變。圖2.5-5-2t0(a)1t0(b)例2.5-2例2.5-3如圖2.5-7電路求沖激回應(yīng)i2(t)解：同前有算子方程i1i2i2圖2.5-7例2.5-4如圖2.5-7電路求零狀態(tài)時的u1(t),u2(t)u1u2圖2.5-7u1u2解：同前u1u2本節(jié)全部內(nèi)容結(jié)束再見!!!2.6零狀態(tài)回應(yīng)的求解

——卷積積分LTI“0”信號分解回應(yīng)合成(卷積)(卷積)圖2.6-1一、有始信號的分解1.有始信號分解為矩形窄脈衝信號f(t)t0f(0)圖2.6-2(a)f(t)t0f(0)f0f1f2fk0f(t)t…2.6-12.注意到且信號分解亦可以理解f(t)為被不同時延的沖激信號(t在變化！)進(jìn)行積分取樣的結(jié)果。1.上式表明有始時間信號可分解為一系列具有不同幅度、不同時延沖激信號的迭加——卷積積分2.有始信號分解為階躍信號f(0)fktf0f1f(t)0

該式表明有始時間信號可分解為一系列具有不同幅度不同時延階躍信號的迭加。……2.6-2……2.6-3二、回應(yīng)的合成(沖激回應(yīng)為例)“0”LTI3.對任意的無始無終信號，有4.若把信號分解為階躍信號的迭加，同理可得……2.6-4三、示例例2.6-1如圖2.6-5(a)電路，已知f(t)如圖(b)所示，求h(t)、g(t)及零狀態(tài)回應(yīng)i(t)f(t)0tRLf(t)i(t)圖2.6-5(a)圖2.6-5(b)Rf(t)解：容易寫出算子方程Lpf(t)0t如圖所示，系統(tǒng)為零狀態(tài)，求例2.6-2如圖2.6-6(a)電路，已知t01231234圖2.6-6(a)（b）。解：由前已得而f(t)可寫為

根據(jù)沖激函數(shù)的積分取樣性質(zhì)，注意到後兩項(xiàng)的積分下限應(yīng)為2，則代入積分上下限整理後可得：相應(yīng)的波型如圖2.6-7。t01231234圖2.6-72.7卷積積分的性質(zhì)一、卷積的代數(shù)律（交換律、結(jié)合律、分配律）1.交換律前面已經(jīng)證明：……2.7-1從系統(tǒng)的觀點(diǎn)看卷積的交換律(如圖2.7-1)即：也就是說

信號不僅是資訊的一種體現(xiàn)，也是系統(tǒng)時間特性的一種體現(xiàn)。即：信號可由系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)可用信號來仿真

2.結(jié)合律如圖2.7-2

從系統(tǒng)的觀點(diǎn)看，兩個系統(tǒng)級聯(lián)時，總系統(tǒng)的沖激回應(yīng)等於子系統(tǒng)沖激回應(yīng)的卷積。即y1h(t)h(t)且與級聯(lián)次序無關(guān)。

h(t)

h(t)圖2.7-23.分配律

如圖2.7-3分配律表明，並聯(lián)LTI系統(tǒng)對輸入f(t)的回應(yīng)等於各子系統(tǒng)對f(t)的回應(yīng)之和。

圖2.7-3……2.7-3二、卷積的微分與積分1.微分可推廣到n次微分……2.7-6……2.7-72.積分

兩個函數(shù)卷積後的積分等於其中一個函數(shù)積分後與另一函數(shù)卷積。即：……2.7-6…….2.7-7微分根據(jù)、積分性質(zhì)，顯然3.……..2.7-8三、函數(shù)與奇異函數(shù)的卷積1.如圖2.7-4沖激回應(yīng)為的系統(tǒng)是。路線短2.如圖2.7-5沖激回應(yīng)為的系統(tǒng)是延時為t0的延時器。

…….2.7-10圖2.7-53.

…….2.7-10如圖2.7-6圖2.7-64.

…….2.7-12

如圖2.7-7-圖2.7-7001-1tt(a)(b)圖2.7-80tt00t1-1解：如圖2.7-9-2圖2.7-9

波形如圖2.7-10t0圖2.7-10卷積的圖解說明

用圖解法直觀，尤其是函數(shù)式複雜時，用圖形分段求出定積分限尤為方便準(zhǔn)確，用解析式作容易出錯，最好將兩種方法結(jié)合起來。

01圖2.8-1(b)如圖2.8-1(a)，設(shè))()(2tttUefa-=折迭，有

)

(2t-f如圖(b)0(t=0)0100圖2.8-1(a)若t=t1<0，有)(1t-tf如圖

t1102.8-2圖2.8-2二、圖解示例

已知)(1tf和)(2tf如圖2.8-3所示，用圖解定積分限求)()(21tftf*。110034tt圖2.8-3(a)(b)103t1)如圖2.8-4(a)圖2.8-4(a)02)13如圖2.8-4(b)圖2.8-4(b)tt-433)10tt-4如圖2.8-4(c)圖2.8-4(c)3t-4t4)10如圖2.8-4(d)圖2.8-4(d)t0347相應(yīng)波形如圖2.8-5所示圖2.8-5結(jié)論：1.積分上下限是兩函數(shù)重迭部分的邊界

下限為兩函數(shù)左邊界的最大者上限為兩函數(shù)右邊界的最小者2.卷積的時限=兩函數(shù)時限之和。例2.8-101t如圖2.8-6所示圖2.8-6解：01t如圖2.8-7(a)圖2.8-7(a)01如圖2.8-7(b)圖2.8-7(b)t01t如圖2.8-7(c)圖2.8-7(c)相應(yīng)波形如圖2.8-8所示t0圖2.8-8思考：例2.8-2)()()(

)()(

)()(

21221tftftytUetftUetftt*===--求已知1010tt如圖2.8-9(a).(b)所示圖2.8-9(a)(b)解：10t如圖2.8-10(a)所示圖2.8-10(a)10t如圖2.8-10(b)所示圖2.8-10(b)例2.8-300tt1222-223

圖2.8-11(a)(b)解：00tt1222-22343-414250ty(t)

圖2.8-11(a)(b)如圖2.8-12所示圖2.8-12(a)0ty(t)412345(b)例2.8-4…………0T-Ttt0如圖2.8-13(a)、(b)所示圖2.8-13(a)(b)解：t0-TT…………相應(yīng)波形如圖2.8-14所示圖2.8-14☆一、卷積積分上下限的確定①f1(t)、f2(t)均為因果信號②f1(t)為因果信號，f2(t)為一般的無時限信號③f1(t)為一般的無時限信號，f2(t)為因果信號④f1(t)、f2(t)均為一般的無時限信號⑤其他情況通常需用圖解法確定一般對於有時限信號的卷積注意運(yùn)用卷積的微分和積分特性，來簡化卷積的運(yùn)算常用時間函數(shù)的卷積表(1)常用時間函數(shù)的卷積表(2)常用時間函數(shù)的卷積表(3)常用時間函數(shù)的卷積表(4)一、求解系統(tǒng)全回應(yīng)的方法1.經(jīng)典解微分方程法列出回應(yīng)的微分方程

求出方程的通解(自由回應(yīng))

確定解中的待定係數(shù)

求出方程的特解(壓迫回應(yīng))

2.雙零法建立微分方程求H(p)求特徵根yzi(t)求h(t)yzs(t)=f(t)※h(t)全回應(yīng)y(t)=yzi(t)+yzs(t)已知系統(tǒng)及輸入信號f(t)，求全回應(yīng)y(t)y(0+)、y’(0+)、…y(n)(0+)y(0-)…y(n)(0-)例2.9-1

電路如圖2.9-1(a)所示，已知

)()1()(3tUetft-+=如圖(b)，VuC1)0(=-

求)(tuC+_uC0t12圖2.9-1(a)(b)+_uC相應(yīng)的算子方程為：解：畫出算子模型如圖2.9-2圖2.9-2

)()(tUetht=\-11)(ppH+=Q012t如圖2.9-3所示圖2.9-3零輸入回應(yīng)零狀態(tài)回應(yīng)自由回應(yīng)強(qiáng)迫回應(yīng)暫態(tài)回應(yīng)穩(wěn)態(tài)回應(yīng)例2.9-2已知電路如圖2.9-4所示iL圖2.9-4解：畫出相應(yīng)的算子模型如圖2.9-5寫出算子方程：有i1i2圖2.9-5例2.9-3系統(tǒng)的單位沖激回應(yīng)與激勵分別為求系統(tǒng)的零狀態(tài)t-10112102t如圖2.9-6(a).(b)所示，回應(yīng)yzs(t)並畫出波型。圖2.9-6(a)(b)解：t01234波形如圖2.9-7所示圖2.9-7波形如圖2.9-8所示t012圖2.9-8例2.9-4已知LTI系統(tǒng)的模擬框圖如圖2.9-9(a)激勵f(t)=A[U(t)-U(t-T)]如圖2.9-9(b)求yzs(t)AT0tT延時器圖2.9-9(a)(b)解：由圖可知1T0t如圖2.9-10圖2.9-10相應(yīng)波形如圖2.9-11ATT0t2T圖2.9-11本章全部內(nèi)容結(jié)束再見!!!從本章開始由時域轉(zhuǎn)入變換域分析，首先討論傅裏葉變換。傅裏葉變換是在傅裏葉級數(shù)正交函數(shù)展開的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為傅裏葉分析（頻域分析）。將信號進(jìn)行正交分解，即分解為三角函數(shù)或複指數(shù)函數(shù)的組合。頻域分析將時間變數(shù)變換成頻率變數(shù)，揭示了信號內(nèi)在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)係，從而導(dǎo)出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)製和頻分複用等重要概念。一、引言

第三章連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析二、主要內(nèi)容①週期信號的分解(諧波分析)————

傅立葉級數(shù)(

)、離散譜③典型信號的頻譜

1.信號分析②非週期信號的分解————

傅立葉變換(FT)、連續(xù)譜非正弦2.系統(tǒng)分析①傅氏變換的性質(zhì)及應(yīng)用---

建立時間特性和頻率特性的對應(yīng)關(guān)係(信號通過系統(tǒng)後，時間特性及頻譜發(fā)生變換的對應(yīng)關(guān)係)②系統(tǒng)頻率特性的描述和表徵

——③系統(tǒng)的功能

——

④系統(tǒng)的頻域分析——

無失真?zhèn)鬏?，理想低通濾波器抽樣定理，調(diào)製與解調(diào)三、牢固建立幾個重要的概念1.信號等效於一個頻譜建立信號和頻譜間的一一對應(yīng)關(guān)係：週期信號——非週期信號——非週期抽樣信號——離散譜連續(xù)譜連續(xù)週期譜

濾波器

系統(tǒng)等效於一個頻率特性

系統(tǒng)就是一個頻譜變換器

信號與系統(tǒng)的相互作用：在時域裏表現(xiàn)為時間函數(shù)卷積在頻域裏表現(xiàn)為兩個譜函數(shù)相乘2.3.4.§3.1信號分解為正交函數(shù)一、正交向量在平面空間中，兩個向量正交是指兩個向量相互垂直。即有：A1·A2=0這樣，平面空間中的任一個向量都可以分解為兩個正交向量的組合A=C1A1+C2A2以此類推，三維空間的向量可表示為：A=C1A1+C2A2+C3A3n維空間向量A=C1A1+C2A2+…+CnAn二、正交函數(shù)集將正交向量分解的概念，推廣應(yīng)用到信號分析中。1、正交函數(shù)則稱函數(shù)f1(t)，f2(t)在(t1,t2)區(qū)間內(nèi)正交2、正交函數(shù)集在區(qū)間(t1,t2)上有f1(t),f2(t),….fn(t),若有則稱{f1(t),f2(t),….fn(t)}為(t1,t2)內(nèi)的正交函數(shù)集3.完備的正交函數(shù)集在區(qū)間(t1,t2)，如果在正交函數(shù)集{f1(t)，….fn(t)}外找不到另外一個非零函數(shù)與該正交函數(shù)集中的每一個函數(shù)都正交在，則稱該函數(shù)為完備的正交函數(shù)集。常見的完備的正交函數(shù)集①三角函數(shù)集{cosnΩt,sinmΩt}在區(qū)間(t0,t0+T)②指數(shù)函數(shù)集{ejΩnt}在區(qū)間(t0,t0+T)③其他如Sa()及沃爾什函數(shù)也是完備的正交函數(shù)集三、信號分解為正交函數(shù)與向量的n維空間分解類似，給定一個n個函數(shù){f1(t)，f2(t)，…fn(t)構(gòu)在(t1,t2)上一個完備正交函數(shù)集，則在由這個函數(shù)集構(gòu)成的空間內(nèi)的任一個函數(shù)f(t)可以用這n個正交函數(shù)的線性組合來近似。f(t)≈C1f1(t)+C2f2(t)+….+Cnfn(t)問題：如何選擇係數(shù)Ci才能得到最佳近似。在均方誤差準(zhǔn)則下：有：

必須指出，並非任意週期信號都能進(jìn)行傅立葉級數(shù)展開，被展開的週期函數(shù)

應(yīng)滿足如下的充分條件——狄義赫利條件：1.在一週期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個2.在一週期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個3.在一週期內(nèi)，信號是絕對可積的，即一、三角形式的傅立葉級數(shù)注意到三角函數(shù)的正交性：容易求得：注意：為了更深刻理解信號正交分解的物理含義：則由式可得：結(jié)論：簡諧振蕩分量的基頻與週期信號的周期T有關(guān)，其他分量分別為

直流分量A0及諧波分量的振幅An和相位由信號波型(即f(t))確定。2.3.諧波分解任何滿足狄義赫利條件的非正弦週期信號，均可分解為直流分量，和很多簡諧振蕩的正弦分量的迭加。

1.An005.4.二、指數(shù)形式的傅裏葉級數(shù)由結(jié)論：指數(shù)信號包含有等正負(fù)兩個指數(shù)頻率分量，也正是這樣兩個指數(shù)分量才合成一個簡諧振蕩分量。1.同一週期信號既可分解為簡諧振蕩的形式，也可分解為指數(shù)信號的迭加。其中4.例3.2-把如圖所示的週期矩形脈衝展開成三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)並畫出相應(yīng)的頻譜`EtT-T0…….……解：相應(yīng)的頻譜圖如圖。0An0演示Fn0這時例3.2-20-T-2TT2T解：0三、函數(shù)的對稱性與傅裏葉係數(shù)的關(guān)係如圖：0tE如圖：t3.半波像對稱函數(shù)(實(shí)奇諧波函數(shù))僅含n=1,3,5,……奇次諧波項(xiàng)t-1104.實(shí)偶諧波函數(shù)t0EtT1-T10一、週期矩形脈衝的頻譜§3.3週期信號的頻譜特點(diǎn)1．單邊譜----三角級數(shù)

是個偶函數(shù)An02.指數(shù)級數(shù)係數(shù)3．頻譜及其特點(diǎn)(1)包絡(luò)線形狀：抽樣函數(shù)(3)離散譜（諧波性）4.頻帶寬度第一個零點(diǎn)集中了信號絕大部分能量（平均功率）由頻譜的收斂性可知，信號的功率集中在低頻段。而總功率a.週期矩形脈衝信號的功率二者比值在滿足一定失真條件下，信號可以用某段頻率範(fàn)圍的信號來表示，此頻率範(fàn)圍稱為頻帶寬度。b.頻帶寬度對於一般週期信號，將幅度下降為的頻率區(qū)間定義為頻帶寬度。一般把第一個零點(diǎn)作為信號的頻帶寬度。記為：

語音信號 頻率大約為 300~3400Hz，音樂信號 50~15,000Hz，擴(kuò)音器與揚(yáng)聲器有效帶寬約為15~20,000Hz。c．系統(tǒng)的通頻帶>信號的帶寬，才能不失真二、週期信號的頻譜特點(diǎn)三、頻譜結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)T1,τ的關(guān)係：週期信號非週期信號連續(xù)譜，幅度無限??；離散譜一.引出0再用表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅度無限小，但相對大小仍有區(qū)別，引入頻譜密度函數(shù)。0§3.4非週期信號的頻譜分析

---傅立葉變換(FT）

w（1）頻譜密度函數(shù)簡稱頻譜函數(shù)單位頻帶上的複振幅值1nw-j)(tdtetfX由複指數(shù)形式的傅裏葉級數(shù)這裏將F(jω)稱做f(t)的傅立葉變換，而f(t)稱做F(jω)的傅立葉逆變換①②1、f(t)為實(shí)函數(shù)，F(xiàn)(jω)一般是ω的復(fù)函數(shù)。二、頻譜密度函數(shù)F(jω)的特性2、實(shí)偶函數(shù)的頻譜是實(shí)偶函數(shù)即f(t)=f(-t),則F(jω)=R(ω)

3、實(shí)奇函數(shù)的頻譜是虛奇函數(shù)即f(t)=-f(-t),則F(jω)=jX(ω)

4、偶函數(shù)的頻譜是偶函數(shù)即f(t)=f(-t),則F(-jω)=F(jω)

證明：∵f(t)Sinωt---奇函數(shù)∴X(ω)=0∵f(t)Cosωt---奇函數(shù)∴R(ω)=0三、求取頻譜的方法①

根據(jù)週期信號的複振幅求F(jω)

F(jω)=TFn把nω0---->ω②根據(jù)定義：

③

借助常用信號的頻譜及FT性質(zhì)5、奇函數(shù)的頻譜是奇函數(shù)即f(t)=-f(-t),則F(-jω)=-F(jω)例1.求t01ω0F(jω)t01ω0▼．傅裏葉變換的物理意義實(shí)函數(shù)歐拉公式積分為0

求和振幅正弦信號◢．傅裏葉變換存在的條件所有能量信號均滿足此條件?！?.5

典型非週期信號的頻譜一、門函數(shù)-----二、單邊指數(shù)信號----f(t)t00三、雙邊指數(shù)信號----f(t)t101-1tsgn(t)00四、符號函數(shù)-------0五、沖激信號和沖激偶沖激偶----比較①、②可知的頻譜函數(shù)t01①②§3.4非週期信號的頻譜分析

---傅立葉變換(FT）

一、從傅立葉級數(shù)到傅立葉變換注意：既然複振幅都為無窮小量，但它們並不是同樣大小，其相對值之間仍有差別，為表徵這種差別，引入一個新的物理量----頻譜密度函數(shù)：由②式有由①式有將③、④和①、②比較：結(jié)論：1、④表示非週期信號可分解一系列連續(xù)的角頻率為ω的指數(shù)信號的迭加-------求和變成積分，離散譜變成連續(xù)譜。2、指數(shù)信號的複振幅為，其中F(jω)的物理含義可由定義得到。

可見，F(xiàn)(jω)表示單位頻帶的複振幅------頻譜密度函數(shù)（頻譜）3、非週期信號f(t)和它的頻譜密度函數(shù)之間有一、一對應(yīng)關(guān)係----------“付氏變換對”，兩者可以互求：即二、頻譜密度函數(shù)F(jω)的特性1、f(t)為實(shí)函數(shù)，F(xiàn)(jω)一般是ω的復(fù)函數(shù)。2、實(shí)偶函數(shù)的頻譜是實(shí)偶函數(shù)即f(t)=f(-t),則F(jω)=R(ω)

3、實(shí)奇函數(shù)的頻譜是虛奇函數(shù)即f(t)=-f(-t),則F(jω)=jX(ω)

4、偶函數(shù)的頻譜是偶函數(shù)即f(t)=f(-t),則F(-jω)=F(jω)

證明：∵f(t)Sinωt---奇函數(shù)∴X(ω)=0∵f(t)Cosωt---奇函數(shù)∴R(ω)=0三、求取頻譜的方法①

根據(jù)週期信號的複振幅求F(jω)

F(jω)=TFn把nω0---->ω②根據(jù)定義：

③

借助常用信號的頻譜及FT性質(zhì)5、奇函數(shù)的頻譜是奇函數(shù)即f(t)=-f(-t),則F(-jω)=-F(jω)例1.求t01ω0F(jω)t01ω0這裏將F(jω)稱做f(t)的傅立葉變換，而f(t)稱做F(jω)的傅立葉逆變換①②▼．傅裏葉變換的物理意義實(shí)函數(shù)歐拉公式積分為0

求和振幅正弦信號◢．傅裏葉變換存在的條件所有能量信號均滿足此條件。一．門函數(shù)幅度頻譜：相位頻譜：§3.5

典型非週期信號的頻譜頻譜圖幅度頻譜相位頻譜帶寬：F(jω)|F(jω)|二．單邊指數(shù)信號頻譜圖幅度頻譜：相位頻譜：|F(jω)|三、雙邊指數(shù)信號----f(t)t10四．符號函數(shù)處理方法：tea-tea-做一個雙邊函數(shù)不滿足絕對可積條件頻譜圖|F(jω)|五．沖激函數(shù)和沖激偶函數(shù)F(jω)沖激偶的傅裏葉變換六．直流信號不滿足絕對可積條件，不能直接用定義求推導(dǎo)時域無限寬，頻帶無限窄F(jω)七．單位階躍函數(shù)Ot21主要內(nèi)容對稱性質(zhì)

線性性質(zhì)奇偶虛實(shí)性

尺度變換性質(zhì)時移特性

頻移特性

微分性質(zhì)

時域積分性質(zhì)卷積定理

能量定理

§3.6

傅立葉變換的基本性質(zhì)意義

傅裏葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了信號的時域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)繫。討論傅裏葉變換的性質(zhì)，目的在於：瞭解特性的內(nèi)在聯(lián)繫；用性質(zhì)求F(jω)；瞭解在通信系統(tǒng)領(lǐng)域中的應(yīng)用。一．線性性質(zhì)1．性質(zhì)例求階躍信號f(t)21t-112-2f2(t)f1(t)tt11-12-2二．對稱性質(zhì)1．性質(zhì)2．意義例求Sa(ω0t)的頻譜函數(shù)F(jω)1Sa(ω0t)ttt1三、時移特性信號時延，其幅度譜不變而相位譜產(chǎn)生附加相移令x=t-t0,那麼有t11t例2求圖(a)所示三脈衝信號的頻譜。解：

因?yàn)槊}衝個數(shù)增多，頻譜包絡(luò)不變，帶寬不變。F0(jω)F(jω)2．證明

1．性質(zhì)

四、頻移特性3．說明4．應(yīng)用通信中調(diào)製與解調(diào)，頻分複用。F(jω)F[j(ω-ω0)]F[j(ω+ω0)]一個信號在時域中與因數(shù)相乘，等效於在頻域中將整個頻譜右移了ω0----調(diào)製。在實(shí)用中，常把時間函數(shù)與正弦函數(shù)相乘來實(shí)現(xiàn)調(diào)製。以矩形脈衝的調(diào)製過程為例

G(jω)Gτ(t)f(t)=G(t)cosω0tG(t)Gτ(jω)=EτSa(ωτ/2)F(jω)=1/2[Gτ(ω+ω0)+Gτ(ω-ω0)F(jω)綜合上述兩種情況證明:五．尺度變換性質(zhì)物理意義(1)

0<a<1時域擴(kuò)展，頻帶壓縮。(2)a>1時域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。

信號時域中壓縮了α倍，在頻域中頻譜就擴(kuò)展α倍，反之亦然。(1)

0<a<1時域擴(kuò)展，頻帶壓縮。脈衝持續(xù)時間增加a倍，變化慢了，信號在頻域的頻帶壓縮a倍。高頻分量減少，幅度上升1/a倍。持續(xù)時間短，變化快。信號在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量的幅度下降a倍。此例說明：信號的持繼時間與信號佔(zhàn)有的頻帶寬度成反比，有時為加速信號的傳遞，要將信號持續(xù)時間壓縮，則要以展開頻帶為代價。（2）a>1時域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。時移和尺度變換相結(jié)合有：1．時域微分六．微分性質(zhì)時域微分性質(zhì)證明即求三角函數(shù)的頻譜密度函數(shù)．例題F(jω）分析X解X注意★如果f(t)中有確定的直流分量，應(yīng)先取出單獨(dú)求傅裏葉變換，餘下部分再用微分性質(zhì)。

階躍信號u(t)的導(dǎo)數(shù)為δ（t)，它們的傅立葉變換滿足微分特性嗎？

2．頻域微分性質(zhì)或推廣頻域微分性質(zhì)證明例解：例3解：七．時域積分性質(zhì)也可以記作：時域積分性質(zhì)證明變上限積分用帶時移的單位階躍的無限積分表示，成為交換積分順序，即先求時移的單位階躍信號的傅裏葉變換例

1.求單位階躍函數(shù)的傅裏葉變換。解：解：八．卷積定理時域卷積定理時域卷積對應(yīng)頻域頻譜密度函數(shù)乘積。頻域卷積定理時域卷積定理的證明因此所以卷積定義交換積分次序時移性質(zhì)

求系統(tǒng)的回應(yīng)。

將時域求回應(yīng)，轉(zhuǎn)化為頻域求回應(yīng)。二．應(yīng)用

用時域卷積定理求頻譜密度函數(shù)。卷積定理揭示了時間域與頻率域的運(yùn)算關(guān)係，在通信系統(tǒng)和信號處理研究領(lǐng)域中得到大量應(yīng)用。例1XF1(jω）F(jω）t0132-1-2-31-10例4、求圖示信號的頻譜

F(j)。t11-1-1tt11-1-1000九、能量定理（帕斯瓦爾定理）即：能量有限的非週期信號，能量既可按單位時間內(nèi)的能量在整個時間內(nèi)積分算出，也可按單位頻帶內(nèi)的能量在整個頻帶範(fàn)圍積分算出。例1、已知求所包含的能量。例2、計(jì)算積分傅立葉變換性質(zhì)小結(jié)：

1、線形特性

2、對偶性

時域時移微分卷積能量頻域頻移微分卷積能量3、卷積定理①

時域卷積---------時移、微分、積分②、頻域卷積------頻移、微分週期信號：非週期信號：週期信號的傅裏葉變換如何求？與傅裏葉級數(shù)的關(guān)係？引言§3.7週期信號的傅立葉變換由歐拉公式由頻移性質(zhì)一．正弦信號的傅裏葉變換同理已知頻譜圖|F(jω)||F(jω)|由傅裏葉級數(shù)的指數(shù)形式出發(fā)：其傅氏變換(用定義)二．一般週期信號的傅裏葉變換幾點(diǎn)認(rèn)識比較式(1),(2)週期信號的傅立葉變換例1

週期單位沖激序列的傅裏葉變換頻譜|Fn(jnω)|F(jω)例2週期矩形脈衝序列的傅氏變換方法1從連續(xù)信號到離散信號的橋樑，也是對信號進(jìn)行數(shù)字處理的第一個環(huán)節(jié)。週期信號抽樣原理圖：一．抽樣§3.8抽樣信號的頻譜二．理想抽樣（週期單位沖激抽樣）1、數(shù)學(xué)運(yùn)算式2．沖激抽樣信號的頻譜F(jω)P(jω)Fs(jω)3．分析Fs(jω)H(jω)ωωc-ωcTsFs’(jω)ωmω11．抽樣信號三．矩形脈衝抽樣

關(guān)係限帶信號頻譜結(jié)構(gòu)F(jω)P(jω)Fs(jω)頻譜結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)表示2．舉例說明抽樣信號與原信號頻譜的關(guān)係

3．討論的影響§3.9時域抽樣定理F(jω)Fs(jω)重建原信號的必要條件：不滿足此條件，就會發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。奈奎斯特(Nyquist)抽樣率和抽樣間隔0t0tt10§3.10系統(tǒng)函數(shù)與頻域分析圖3.10-1…(3.10-1)可見，它是系統(tǒng)對信號頻譜進(jìn)行加權(quán)的結(jié)果00(a)圖3.10-2(b)…(3.10-1)……(3.10-2)4、H(jω)的求法①當(dāng)給定激勵與零狀態(tài)回應(yīng)時，根據(jù)定義②當(dāng)已知系統(tǒng)的衝擊回應(yīng)h(t)時，可③給定系統(tǒng)的電路模型時，用相量法求。④給定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(微分方程)時，用傅立葉變換求。圖3.10-3頻域系統(tǒng)分析的方法：①輸入信號的FTf(t)→F(jω)②系統(tǒng)函數(shù)h(t)→H(jω)③輸出信號的FT

Y(jω)=F(jω)H(jω)④輸出的零狀態(tài)回應(yīng)yzs(t)=yf(t)=F-1[y(jω)0圖3.10-50圖3.10-4圖3.10-60圖3.10-7圖3.10-812圖3.10-13圖3.10-14圖3.10-13§3.11無失真?zhèn)鬏斝盘柾ㄟ^系統(tǒng)框圖如圖3.11-1所示圖3.11-1圖3.11-200圖3.11-3圖3.11-4

即:延遲，而無波形變化。時間的只有幅度大小的變化和

無失真?zhèn)鬏?---(a)圖3.11-5(b)圖3.11-6圖3.11-7圖3.11-8圖3.11-9圖3.11-10圖3.11-11圖3.11-12圖3.11-13圖3.11-14如圖3.11-14§3.12調(diào)製與解調(diào)對信號進(jìn)行調(diào)製的框圖如圖3.12-1所示圖3.12-1圖3.12-2

(a)(b)圖3.12-3圖3.12-4圖3.12-5000圖3.12-6第四章連續(xù)時間系統(tǒng)的複頻域分析§4.1引言以傅裏葉變換為基礎(chǔ)的頻域分析方法的優(yōu)點(diǎn)在於：它給出的結(jié)果有著清楚的物理意義，但也有不足之處。

信號分解回應(yīng)合成頻域分析的框圖如圖4.1-1所示圖4.1-1為了解決對不符合狄氏條件信號的分析，克服傅立葉變換的缺點(diǎn)，擴(kuò)大信號的變換範(fàn)圍，本章研究拉氏變換法。優(yōu)點(diǎn)：求解比較簡單，特別是對系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行變換時，初始條件被自動計(jì)入，因此應(yīng)用更為普遍。缺點(diǎn)：物理概念不如傅氏變換那樣清楚。本章內(nèi)容及學(xué)習(xí)方法

本章首先由傅氏變換引出拉氏變換，然後對拉氏正變換、拉氏反變換及拉氏變換的性質(zhì)進(jìn)行討論。本章重點(diǎn)在於，以拉氏變換為工具對系統(tǒng)進(jìn)行複頻域分析。最後介紹系統(tǒng)函數(shù)以及H(s)零極點(diǎn)概念，並根據(jù)他們的分佈研究系統(tǒng)特性，分析頻率回應(yīng)，還要簡略介紹系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。注意與傅氏變換的對比，便於理解與記憶。

一．從傅裏葉變換到拉普拉斯變換則1．拉普拉斯正變換§4.2拉普拉斯變換----LT2．拉氏逆變換3．拉氏變換對二．拉氏變換的收斂

收斂域：使F(s)存在的s的區(qū)域稱為收斂域。記為：ROC(regionofconvergence)實(shí)際上就是拉氏變換存在的條件；其中σ0由f(t)性質(zhì)決定。注：在實(shí)際工程中，只要把σ的值取的足夠大，上式總是可以滿足的，所以它們的拉氏變換都是存大的。本書只討論單邊拉氏變換，其收斂域必定存定，故在後面的說明中，一般不在說明和注明其收斂域。

圖4.2-2圖4.2-3三．一些常用函數(shù)的拉氏變換1.階躍函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)全s域平面收斂

3.單位沖激信號4．tnu(t)§4.3單邊拉氏變換的性質(zhì)圖4.3-1(a)(b)(c)……(4.3-2)圖4.3-2圖4.3-3(a)(c)(b)如圖4.3-3b、c所示推廣：證明：電感元件的s域模型電感元件的s模型應(yīng)用原函數(shù)微分性質(zhì)設(shè)圖4.3-4(c)(a)(b)證明：①②①②六、積分定理1、時域積分電容元件的s域模型電容元件的s模型2.複頻域積分兩邊對s積分：交換積分次序:證明：★

證明：交換積分次序(b)圖4.3-7(a)一．由象函數(shù)求原函數(shù)的三種方法(1)部分分式法(2)利用留數(shù)定理——圍線積分法(3)數(shù)值計(jì)算方法——利用電腦§4.4拉普拉斯逆變換-----部分分式展開二．F(s)的一般形式ai,bi為實(shí)數(shù)，m,n為正整數(shù)。分解零點(diǎn)極點(diǎn)三．拉氏逆變換的過程四．部分分式展開法(m<n)1.第一種情況：單階實(shí)數(shù)極點(diǎn)(1)找極點(diǎn)(2)展成部分分式(3)逆變換求係數(shù)共軛極點(diǎn)出現(xiàn)在

2.第二種情況：極點(diǎn)為共軛複數(shù)求f(t)例題F(s)具有共軛極點(diǎn)，不必用部分分式展開法求下示函數(shù)F(s)的逆變換f(t)：解：求得另一種方法3.第三種情況：有重根存在如何求k2?如何求k2?設(shè)法使部分分式只保留k2，其他分式為0逆變換一般情況求k11，方法同第一種情況：求其他係數(shù)，要用下式

五．F(s)兩種特殊情況非真分式——化為真分式＋多項(xiàng)式1.非真分式——真分式＋多項(xiàng)式作長除法2.含e-s的非有理式(a)(b)(c)圖4.4-1§4.5複頻域分析複頻域分析就是，在複頻域中，已知輸入信號和系統(tǒng)，如何求解系統(tǒng)的輸出回應(yīng)問題。

LTI系統(tǒng)均可由微分方程來描述這，拉普拉斯變換可以將微分方程變換成S域(複頻域)中的代數(shù)方程，便於運(yùn)算求解。

我們採用0-系統(tǒng)求解，簡便起見，只要知道起始狀態(tài)，就可以求解出回應(yīng)。利用拉普拉斯變換的時域微分定理整理得：零輸入回應(yīng)零狀態(tài)回應(yīng)列s域方程（可以從兩方面入手）

列時域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換；直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程。求解s域方程。，得到時域解答。二、S域模型分析法若系統(tǒng)以電路的形式給出，那麼複頻域分析就等效於複頻域電路分析的問題?？煞譃槿齻€步驟：①電阻元件的s域模型1.電路元件的s域模型②電感元件的s域模型利用電源轉(zhuǎn)換可以得到電流源形式的s域模型：

③電容元件的s域模型電流源形式：(1)(2)(3)列方程解：極點(diǎn)故

逆變換設(shè)則波形第一種情況：階躍信號對回路作用的結(jié)果產(chǎn)生不衰減的正弦振盪。

第二種情況：引入符號所以第三種情況：第四種情況：波形1.定義一．系統(tǒng)函數(shù)回應(yīng)的拉氏變換與激勵的拉氏變換之比

§4.6系統(tǒng)函數(shù)與穩(wěn)定系統(tǒng)2.H(s)的幾種情況策動點(diǎn)函數(shù)：激勵與回應(yīng)在同一端口時策動點(diǎn)導(dǎo)納策動點(diǎn)阻抗轉(zhuǎn)移導(dǎo)納轉(zhuǎn)移阻抗電壓比電流比轉(zhuǎn)移函數(shù)：激勵和回應(yīng)不在同一端口4.應(yīng)用：求系統(tǒng)的回應(yīng)3．求H(s)的方法利用網(wǎng)路的s域元件模型圖，列s域方程→微分方程兩端取拉氏變換→5．LTI系統(tǒng)的並聯(lián)6．LTI系統(tǒng)的級聯(lián)7．LTI系統(tǒng)的回饋連接二、系統(tǒng)穩(wěn)定性某連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)當(dāng)輸入為u(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)回應(yīng)的象函數(shù)為但t很大時，這個正指數(shù)項(xiàng)超過其他項(xiàng)並隨著t的增大而不斷增大

1、引言

穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質(zhì)之一，系統(tǒng)是否穩(wěn)定與激勵信號的情況無關(guān)。沖激回應(yīng)和h(t)、H(s)系統(tǒng)函數(shù)從兩方面表徵了同一系統(tǒng)的本性，所以能從兩個方面確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2、穩(wěn)定性定義

一個系統(tǒng)，如果對任意的有界輸入，其零狀態(tài)回應(yīng)也是有界的，則稱該系統(tǒng)有界輸入有界輸出（BIBO）穩(wěn)定的系統(tǒng)，簡稱穩(wěn)定系統(tǒng)。對所有的激勵信號e(t)其回應(yīng)r(t)滿足

則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。式中，穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是（絕對可積條件）：對任意有界輸入e(t)，系統(tǒng)的零狀態(tài)回應(yīng)為：充分性充分性得證必要性必要性得證。1．系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)三．由H(s)的極點(diǎn)位置判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性2．穩(wěn)定系統(tǒng)

若H(s)的全部極點(diǎn)位於s平面的左半平面（不包括虛軸），則可滿足系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例如系統(tǒng)穩(wěn)定；系統(tǒng)穩(wěn)定。3．不穩(wěn)定系統(tǒng)

如果H(s)的極點(diǎn)位於s右半平面，或在虛軸上有二階（或以上）極點(diǎn)系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。4．臨界穩(wěn)定系統(tǒng)

如果H(s)極點(diǎn)位於s平面虛軸上，且只有一階。為非零數(shù)值或等幅振盪。5．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷從頻域看要求H(s)的極點(diǎn)：

①右半平面不能有極點(diǎn)(穩(wěn)定)②虛軸上極點(diǎn)是單階的(臨界穩(wěn)定,實(shí)際不穩(wěn)定)。

一．序言

沖激回應(yīng)h(t)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)

從時域和變換域兩方面表徵了同一系統(tǒng)的本性。

在s域分析中，借助系統(tǒng)函數(shù)在s平面零點(diǎn)與極點(diǎn)分佈的研究，可以簡明、直觀地給出系統(tǒng)回應(yīng)的許多規(guī)律。系統(tǒng)的時域、頻域特性集中地以其系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分佈表現(xiàn)出來。

主要優(yōu)點(diǎn)：1．可以預(yù)言系統(tǒng)的時域特性；2．便於劃分系統(tǒng)的各個分量（自由／強(qiáng)迫，瞬態(tài)／穩(wěn)態(tài)）；3．可以用來說明系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)特性?！?.7系統(tǒng)零極點(diǎn)分佈與系統(tǒng)時域特性關(guān)係二．H(s)零、極點(diǎn)與h(t)波形特徵的對應(yīng)在s平面上，畫出H(s)的零極點(diǎn)圖：

極點(diǎn)：用×表示，零點(diǎn)：用○表示1．系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)2．H(s)極點(diǎn)分佈與原函數(shù)的對應(yīng)關(guān)係幾種典型情況一階極點(diǎn)當(dāng)，極點(diǎn)在左半平面，衰減振盪當(dāng)，極點(diǎn)在右半平面，增幅振盪二階極點(diǎn)

有實(shí)際物理意義的物理系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)，即隨，這表明的極點(diǎn)位於左半平面，由此可知，收斂域包括虛軸，均存在，兩者可通用，只需將即可。三．H(s)、E(s)的極點(diǎn)分佈與自由回應(yīng)、

強(qiáng)迫回應(yīng)特性的對應(yīng)激勵：系統(tǒng)函數(shù)：回應(yīng)：自由回應(yīng)分量＋強(qiáng)制回應(yīng)分量X幾點(diǎn)認(rèn)識自由回應(yīng)的極點(diǎn)只由系統(tǒng)本身的特性所決定，與激勵函數(shù)的形式無關(guān)，然而係數(shù)都有關(guān)?；貞?yīng)函數(shù)r(t)由兩部分組成：系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)

自由回應(yīng)分量；激勵函數(shù)的極點(diǎn)

強(qiáng)迫回應(yīng)分量。定義系統(tǒng)行列式（特徵方程）的根為系統(tǒng)的固有頻率（或稱“自然頻率”、“自由頻率”）。H(s)的極點(diǎn)都是系統(tǒng)的固有頻率；H(s)零、極點(diǎn)相消時，某些固有頻率將丟失。暫態(tài)回應(yīng)和穩(wěn)態(tài)回應(yīng)瞬態(tài)回應(yīng)是指激勵信號接入以後，完全回應(yīng)中暫態(tài)出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著t增大，將消失。穩(wěn)態(tài)回應(yīng)＝完全回應(yīng)－瞬態(tài)回應(yīng)左半平面的極點(diǎn)產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)和瞬態(tài)回應(yīng)對應(yīng)。一．定義

所謂“頻響特性”是指系統(tǒng)在正弦信號激勵下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨頻率的變化情況。前提：穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。

有實(shí)際意義的物理系統(tǒng)都是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。時域：頻域：H(s)的全部極點(diǎn)落在s左半平面。

其收斂域包括虛軸：拉氏變換存在傅裏葉變換存在§4.8系統(tǒng)零極點(diǎn)分佈與系統(tǒng)頻響特性的關(guān)係頻響特性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)回應(yīng)——幅頻特性——相頻特性（相移特性）二．幾種常見的濾波器三．根據(jù)H(s)零極圖繪製系統(tǒng)的頻響特性曲線令分子中每一項(xiàng)分母中每一項(xiàng)畫零極點(diǎn)圖

當(dāng)沿虛軸移動時，各複數(shù)因數(shù)(向量)的模和輻角都隨之改變，於是得出幅頻特性曲線和相頻特性曲線。

由向量圖確定頻率回應(yīng)特性例確定圖示系統(tǒng)的頻響特性。頻響特性分析X一、連續(xù)時間信號、連續(xù)時間系統(tǒng)連續(xù)時間信號：

f(t)是連續(xù)變化的t的函數(shù)，除若干不連續(xù)點(diǎn)之外對於任意時間值都可以給出確定的函數(shù)值。函數(shù)的波形都是具有平滑曲線的形狀，一般也稱模擬信號。

連續(xù)時間系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入、輸出都是連續(xù)的時間信號。

第五章離散時間系統(tǒng)的時域分析§5.0引言二、離散時間信號、離散時間系統(tǒng)離散時間信號：

時間變數(shù)是離散的，函數(shù)只在某些規(guī)定的時刻有確定的值，在其他時間沒有定義。

離散時間系統(tǒng)：

系統(tǒng)的輸入、輸出都是離散的時間信號。如數(shù)字電腦。離散信號可