九年級數學上冊章節(jié)重點復習考點講義(人教版)正多邊形和圓綜合題(解析版)

專題12正多邊形和圓（綜合題）知識互聯網知識互聯網易錯點撥易錯點撥知識點01：正多邊形的概念

各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．

細節(jié)剖析:判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).

知識點02：正多邊形的重要元素

1.正多邊形的外接圓和圓的內接正多邊形

正多邊形和圓的關系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．

2.正多邊形的有關概念

(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．

3.正多邊形的有關計算

(1)正ｎ邊形每一個內角的度數是；

(2)正ｎ邊形每個中心角的度數是；

(3)正ｎ邊形每個外角的度數是.細節(jié)剖析:要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉化為直角三角形.

知識點03：正多邊形的性質

1.正多邊形都只有一個外接圓，圓有無數個內接正多邊形.

2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個全等的直角三角形.

3.正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數與它的邊數相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當邊數是偶數時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.

4.邊數相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓

細節(jié)剖析:（1）各邊相等的圓的內接多邊形是圓的內接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.知識點04：正多邊形的畫法

1.用量角器等分圓

由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等分圓；根據同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應的正n邊形.

2.用尺規(guī)等分圓

對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.

①正四、八邊形.

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形.再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數逐次倍增的正多邊形.

②正六、三、十二邊形的作法.

通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點.

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點.

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分…….

細節(jié)剖析:畫正n邊形的方法：（1）將一個圓n等份，（2）順次連結各等分點.易錯題專訓易錯題專訓一．選擇題1．（2022?雅安）如圖，已知⊙O的周長等于6π，則該圓內接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（）A．3 B． C． D．3【易錯思路引導】連接OC，OD，由正六邊形ABCDEF可求出∠COD＝60°，進而可求出∠COG＝30°，根據30°角的銳角三角函數值即可求出邊心距OG的長．【規(guī)范解答】解：連接OC，OD，∵正六邊形ABCDEF是圓的內接多邊形，∴∠COD＝60°，∵OC＝OD，OG⊥CD，∴∠COG＝30°，∵⊙O的周長等于6π，∴OC＝3，∴OG＝3cos30°＝，故選：C．【考察注意點】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質、等腰三角形的判定與性質；熟練掌握正六邊形的性質是解決問題的關鍵．2．（2022?游仙區(qū)校級二模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，M，N分別為邊CD，BC的中點，AN與BM相交于點P，則∠APM的度數是（）A．110° B．120° C．118° D．122°【易錯思路引導】根據正六邊形的性質可得AB＝BC＝CD，BN＝CM，利用全等三角形的判定與性質可得∠BNP＝∠CMB，然后利用三角形的內角和定理可得答案．【規(guī)范解答】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠ABC＝∠BCD＝＝120°，AB＝BC＝CD，∵M，N分別為邊CD，BC的中點，∴BN＝CM，∴△ABN≌△BCM（SAS），∴∠BNP＝∠CMB，∵∠CBM＝∠PBN，∴∠BPN＝∠BCD＝120°，∴∠APM＝120°，故選：B．【考察注意點】本題考查了正六邊形的性質、全等三角形的性質和判定等知識，通過證三角形全等得到∠BNP＝∠CMB是解決此題的關鍵．3．（2022?太原一模）如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數是（）A．7個 B．8個 C．9個 D．10個【易錯思路引導】先求出多邊形的每一個內角為108°，可得到∠O＝36°，即可求解．【規(guī)范解答】解：∵多邊形是正五邊形，∴正五邊形的每一個內角為：＝108°，∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，∴正五邊形的個數是360°÷36°＝10．故選：D．【考察注意點】本題主要考查圓的基本性質，多邊形內角和問題，熟練掌握相關知識點是解題關鍵．4．（2022?安國市一模）2019年版一元硬幣的直徑約為22.25mm，則用它能完全覆蓋住的正方形的邊長最大不能超過（）A．11.125mm B．22.25mm C．mm D．mm【易錯思路引導】根據正方形性質得到△AOD為等腰直角三角形，根據正方形和圓的關系得到AC的長度，根據等腰直角三角形的性質求出AD的長度．【規(guī)范解答】解：如圖所示，∵AC＝BD＝22.25mm，∴AO＝OD＝＝mm．∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，∴△AOD為等腰直角三角形，∴AD＝AO＝mm．故選：C．【考察注意點】本題考查了正多邊形和圓，等腰直角三角形的性質，根據題意畫出圖形，掌握正多邊形和圓的關系，得到△AOD為等腰直角三角形是解題的關鍵．5．（2022?固安縣模擬）如圖，兩張完全相同的正六邊形紙片（邊長為2a）重合在一起，下面一張保持不動，將上面一張紙片六邊形A'B'C'D'E'F'沿水平方向向左平移a個單位長度，則上面正六邊形紙片面積與折線A'﹣B'﹣C掃過的面積（陰影部分面積）之比是（）A．3：1 B．4：1 C．5：2 D．2：1【易錯思路引導】求出正六邊形和陰影部分的面積即可解決問題．【規(guī)范解答】解：正六邊形的面積＝6××（2a）2＝6a2，陰影部分的面積＝a?2a＝2a2，∴空白部分與陰影部分面積之比是＝6a2：2a2＝3：1，故選：A．【考察注意點】本題考查正多邊形的性質、平移變換等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．二．填空題6．（2022?雨花臺區(qū)校級模擬）如圖，A、B、C、D、E、F是正n邊形的六個連續(xù)頂點，AE與CF交于點G，若∠EGF＝30°，則n＝18．【易錯思路引導】連接CE，用n表示出正n邊形的中心角，根據三角形的外角性質列出方程，解方程求出n．【規(guī)范解答】解：連接CE，正n邊形的中心角的度數為：，則∠ECF＝×，∠AEC＝，∵∠EGF＝30°，∴∠ECF+∠AEC＝30°，∴×+＝30°，解得：n＝18，故答案為：18．【考察注意點】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的中心角的計算公式、三角形的外角性質是解題的關鍵．7．（2022?長春）跳棋是一項傳統的智力游戲．如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形ABC和等邊三角形DEF組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形．若AB＝27厘米，則這個正六邊形的周長為54厘米．【易錯思路引導】根據對稱性和周長公式進行解答即可．【規(guī)范解答】解：由圖象的對稱性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六邊形的周長為9×6＝54（厘米），故答案為：54．【考察注意點】本題考查等邊三角形的性質，正多邊形與圓，理解圖形的對稱性以及等邊三角形的判定是解決問題的前提．8．（2022?陳倉區(qū)二模）如圖，以正五邊形ABCDE的對角線BE為邊，作正方形BEFG，使點A落在正方形BEFG內，則∠ABG的度數為54°．【易錯思路引導】根據正五邊形的性質可求出角A的度數，再根據等腰三角形以及三角形的內角和可求出∠ABE，再根據正方形的性質求出∠ABG即可．【規(guī)范解答】解：∵正五邊形ABCDE，∴∠BAE＝＝108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝36°，又∵四邊形BEFG是正方形，∴∠EBG＝90°，∴∠ABG＝90°﹣36°＝54°，故答案為：54°．【考察注意點】本題考查正五邊形，正方形以及等腰三角形，掌握正五邊形、正方形、等腰三角形的性質是正確計算的前提．9．（2022?沙灣區(qū)模擬）已知圖標（如圖）是由圓的六個等分點連接而成，若圓的半徑為1，則陰影部分的面積等于．【易錯思路引導】根據題意得到圖中陰影部分的面積＝S△ABC+3S△ADE，代入數據即可得到結論．【規(guī)范解答】解：如圖，過點A作AH⊥BC于點H，交DE于點F．∵如圖是由圓的六等分點連接而成，∴△ABC與△ADE是等邊三角形，∵圓的半徑為1，∴AH＝，BC＝AB＝，∴AE＝，AF＝，∴圖中陰影部分的面積＝S△ABC+3S△ADE＝××+×××3＝，故答案為：．【考察注意點】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的性質，熟記正多邊形與圓的性質是解題的關鍵．10．（2022?雁塔區(qū)校級模擬）在正六邊形ABCDEF中，對角線AC，BD相交于點M，則的值為2．【易錯思路引導】根據正六邊形的性質可得∠BCD＝∠ABC＝120°，AB＝BC＝CD，從而利用等腰三角形的性質可得∠CBD＝∠BCA＝30°，進而求出∠ABM＝90°，BM＝CM，然后在Rt△ABM中，進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BCD＝∠ABC＝120°，AB＝BC＝CD，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∠BAC＝∠BCA＝30°，∴∠ABM＝∠ABC﹣∠CBD＝90°，∠CBD＝∠BCA＝30°，∴BM＝CM，在Rt△ABM中，∠BAC＝30°，∴AM＝2BM，∴AM＝2CM，∴＝2，故答案為：2．【考察注意點】本題考查了等腰三角形的判定，正多邊形和圓，多邊形的內角與外角，含30度角的直角三角形，熟練掌握正六邊形的性質是解題的關鍵．11．（2022?河北二模）如圖，將幾個全等的正八邊形進行拼接，相鄰的兩個正八邊形有一條公共邊，圍成一圖后中間形成一個正方形．設正方形的邊長為1，則該圖形外輪的周長為20；若n個全等的正多邊形中間圍成的圖形是正三角形，且相鄰的兩個正多邊形有一條公共邊，設正三角形的邊長為1，則該圖形外輪廓的周長是27．【易錯思路引導】根據拼圖，由“外圍”的邊長進行計算即可．【規(guī)范解答】解：由拼圖可知，每個正八邊形有5條邊在“外圍”，因此周長為5×4＝20，若n個全等的正多邊形中間圍成的圖形是正三角形，且相鄰的兩個正多邊形有一條公共邊，可知這個正多邊形為正十二邊形，如圖，則“外圍”的周長為（12﹣3）×3＝27，故答案為：20，27．【考察注意點】本題考查正多邊形與圓，理解“外圍”的意義是正確解答的前提，得出外圍正多邊形的邊數是解決問題的關鍵．12．（2021秋?西湖區(qū)校級月考）如圖，⊙O的內接正六邊形，點M，N分別為AF，BC邊的中點，直線MN與⊙O交于點PQ，若AB＝1，則PQ＝．【易錯思路引導】如圖，連接CF，OA，OB，OP，過點O作OJ⊥AB于點J，交PQ于點K．利用勾股定理求出PK，再利用垂徑定理，可得結論．【規(guī)范解答】解：如圖，連接CF，OA，OB，OP，過點O作OJ⊥AB于點J，交PQ于點K．∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AOB＝60°，CF∥AB，CF經過圓心O，∵CN＝BN，AM＝MF，∴MN∥AB∥CF，∴OK＝JK，∵OA＝OB＝AB＝1，∴OJ＝，∴OK＝，∵AB∥PQ，OJ⊥AB，∴OK⊥PQ，∴PK＝QK＝＝＝，∴PQ＝2PK＝．故答案為：．【考察注意點】本題考查正多邊形與圓，解直角三角形，垂徑定理，梯形的中位線定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．13．（2020秋?海曙區(qū)期末）如圖，正六邊形ABCDEF中，G，H分別是邊AF和DE上的點，GF＝AB＝2，∠GCH＝60°，則線段EH長．【易錯思路引導】作GP∥AB，交BC于點P，AN∥BC交GP于點N，可得四邊形ABPN是平行四邊形，根據六邊形ABCDEF是正六邊形，可得△ANG是等邊三角形，然后證明△CPG∽△HDC，對應邊成比例即可解決問題．【規(guī)范解答】解：如圖，作GP∥AB，交BC于點P，AN∥BC交GP于點N，∴四邊形ABPN是平行四邊形，∴PN＝AB＝6，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BAF＝∠B＝∠BCD＝∠D＝120°，AF＝AB＝BC＝CD＝6，∴∠BAN＝∠NAG＝∠AGN＝60°，∠CPG＝∠D＝120°，∴△ANG是等邊三角形，∴NG＝AN＝AG＝6﹣2＝4，∴PG＝NG+PN＝4+6＝10，∵∠PCG+∠DCH＝∠BCD﹣∠GCH＝120°﹣60°＝60°，∠DHC+∠DCH＝180°﹣∠D＝180°﹣120°＝60°，∴∠PCG＝∠DHC，∵∠CPG＝∠D，∴△CPG∽△HDC，∴＝，∵PC＝BC﹣BP＝6﹣4＝2，PG＝10，CD＝6，∴DH＝，∴EH＝ED﹣DH＝6﹣＝．故答案為：．【考察注意點】本題考查了正多邊形和圓，解決本題的關鍵是綜合運用正多邊形和圓，平行四邊形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質．14．（2017?浦東新區(qū)校級自主招生）如圖，邊長為5的圓內接正方形ABCD中，P為CD的中點，連接AP并延長交圓于點E，則DE的長為．【易錯思路引導】連接CE，作出EF⊥CD，運用相似三角形的性質，得出EF，PF的長，再根據勾股定理即可得出結論．【規(guī)范解答】解：連接CE，作EF⊥PF．∵∠DAP＝∠PCE，∠APD＝∠CPE，∴△APD∽△CPE，∴＝，∵P為邊CD的中點∴PD＝PC＝，PA＝＝，＝，∴PE＝，∵FE∥AD∴△APD∽△EPF，∴＝，∴＝，∴PF＝，∴EF＝＝1，∴DE＝＝＝，故答案為：．【考察注意點】本題考查的是正多邊形的圓及相似三角形的判定與性質，根據題意作出輔助線，構造出相似三角形是解答此題的關鍵．三．解答題15．（2021秋?咸寧月考）如圖，正五邊形ABCDE，連接對角線AC，BD，設AC與BD相交于O．（1）求證：AO＝CD；（2）判斷四邊形AODE的形狀，并說明理由．【易錯思路引導】（1））根據正五邊形的性質可知AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠ABC＝∠BAE＝108°，AE∥BD，所以∠ABO＝72°，∠BAO＝（180°﹣108°）＝36°，因此∠AOB＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠ABO，推出AB＝AO，則CD＝AO；（2）根據圓周角定理求出∠BDE、∠E的度數，進而證明DF∥AE；證明AF∥DE，AE＝DE，即可解決問題．【規(guī)范解答】解：（1）∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠ABC＝∠BAE＝108°，AE∥BD，∴∠ABO＝72°，∠BAO＝（180°﹣108°）＝36°，∴∠AOB＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠ABO，∴AB＝AO，∴CD＝AO；（2）四邊形AODE是菱形；理由如下：∵正五邊形ABCDE內接于⊙O，∴∠BDE＝＝72°，∠E＝×360°＝108°，∴∠BDE+∠E＝180°，DO∥AE；同理可證：AO∥DE，而AE＝DE，∴四邊形AODE是菱形．【考察注意點】該題主要考查了正多邊形和圓的性質及其應用問題；解題的關鍵是：深入分析、大膽猜測、合情推理、科學論證．16．（2021?云巖區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，P為上的一點，連接DP，CP．（1）求∠CPD的度數；（2）當點P為的中點時，CP是⊙O的內接正n邊形的一邊，求n的值．【易錯思路引導】（1）連接OD，OC，根據正方形ABCD內接于⊙O，結合圓周角定理可得∠CPD；（2）結合正多邊形的性質以及圓周角定理得出∠COP的度數，進而得出答案．【規(guī)范解答】解：（1）連接OD，OC，∵正方形ABCD內接于⊙O，∴∠DOC＝90°．∴；（2）連接PO，OB，∵正方形ABCD內接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵點P為BC的中點，∴＝，∴，∴n＝360÷45＝8．【考察注意點】此題主要考查了正多邊形和圓以及圓周角定理、正方形的性質，正確掌握正方形的性質是解題關鍵．17．（2019秋?長樂區(qū)期中）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，過O點作邊AD的垂線交于E點，連接BE，求∠ABE的度數．【易錯思路引導】求出圓內接正方形的中心角度數∠AOD，再根據垂徑定理求出∠AOE，由圓周角定理得出答案．【規(guī)范解答】解：如圖，連接OA、OD，∵四邊形ABCD是圓內接正方形，∴∠AOD＝＝90°，∵OE⊥AD，∴＝，∴∠AOE＝∠AOD＝×90°＝45°，∴∠ABE＝∠AOE＝×45°＝22.5°．【考察注意點】本題考查正多邊形和圓，圓周角定理以及垂徑定理，求出圓內接正方形的中心角度數是解決問題的關鍵．18．（2021秋?日喀則市月考）如圖，正方形ABCD是半徑為R的⊙O內接四邊形，R＝6．求正方形ABCD的邊長和邊心距．【易錯思路引導】過點O作OE⊥BC，垂足為E．解直角三角形求出BC，OE即可．【規(guī)范解答】解：過點O作OE⊥BC，垂足為E．∵四邊形ABCD為⊙O的內接正方形，∴∠BOC＝＝90°，∠OBC＝45°，OB＝6，∴BE＝OE．在Rt△OBE中，∠BEO＝90°，由勾股定理可得OE＝BE＝，∴BC＝2BE＝．即半徑為6的圓內接正方形ABCD的邊長為，邊心距為．【考察注意點】本題考查正多邊形與圓，正方形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線構造直角三角形解決問題．19．（2022?包河區(qū)校級二模）如圖，正方形ABCD是⊙O的內接正方形，E在邊AB上，F在DC的延長線上，且∠F＝∠BEC，BF交⊙O于點G，連接DG，交BC于點H．（1）求證：四邊形BECF是平行四邊形；（2）求證：DH＝CE．【易錯思路引導】（1）證明CF∥BE，BF∥EC可得結論；（2）證明△DCH≌△CBE（ASA），可得結論