備戰(zhàn)2021年九年級中考數(shù)學考點提升訓練-專題：《三角形綜合：全等與相似》(四)

備戰(zhàn)2021年九年級中考數(shù)學考點提升訓練——專題：《三角形綜合：全等與相似》（四）1．如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB分別交y軸、x軸于點A（0，a），點B（b，0），且a、b滿足a2﹣4a+4+＝0．（1）求a，b的值；（2）以AB為邊作Rt△ABC，點C在直線AB的右側(cè)且∠ACB＝45°，求點C的坐標；（3）若（2）的點C在第四象限（如圖2），AC與x交于點D，BC與y軸交于點E，連接DE，過點C作CF⊥BC交x軸于點F．①求證CF＝BC；②直接寫出點C到DE的距離．2．已知：如圖，點P是等邊△ABC內(nèi)一點，連接PC，以PC為邊作等邊三角形△PDC，連接PA，PB，BD．（1）求證：∠APC＝∠BDC；（2）當∠APC＝150°時，試猜想△DPB的形狀，并說明理由；（3）當∠APB＝100°且DB＝PB，求∠APC的度數(shù)．3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D．點E為AD上一點，點F為BE延長線上一點，且AF＝AC．（1）如圖1，若∠FBC＝∠BAC＝30°．①判斷△BAF的形狀，并證明；②若AE＝（+1）BE，則＝．（直接寫出結(jié)果）（2）如圖2，若∠FBC＝45°，作AG⊥BF于G，求證：EF＝BE+2AG．4．如圖1，Rt△ABC中，點D，E分別為直角邊AC，BC上的點，若滿足AD2+BE2＝DE2，則稱DE為Rt△ABC的“完美分割線”．顯然，當DE為△ABC的中位線時，DE是△ABC的一條完美分割線．（1）如圖1，AB＝10，cosA＝，AD＝3，若DE為完美分割線，則BE的長是．（2）如圖2，對AC邊上的點D，在Rt△ABC中的斜邊AB上取點P，使得DP＝DA，過點P畫PE⊥PD交BC于點E，連結(jié)DE，求證：DE是直角△ABC的完美分割線．（3）如圖3，在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝5，DE是其完美分割線，點P是斜邊AB的中點，連結(jié)PD、PE，求cos∠PDE的值．5．如圖1，張老師在黑板上畫出了一個△ABC，其中AB＝AC．讓同學們進行探究．（1）探究一：如圖2，小明以BC為邊在△ABC內(nèi)部作等邊△BDC，連接AD．請直接寫出∠ADB的度數(shù)；（2）探究二：如圖3，小彬在（1）的條件下，又以AB為邊作等邊△ABE，連接CE．判斷CE與AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）探究三：如圖3，小聰在（2）的條件下，連接DE．若∠DEC＝60°，DE＝2，求AE的長．6．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝16，CD是斜邊AB上的中線，P是邊AC上一點，連接DP，以DP為直角邊作等腰直角三角形DPE（點E始終在直線AB右側(cè)）．（1）求點D到邊AC的距離；（2）當△PEC是以PE為腰的等腰三角形時，求所有滿足要求的AP長．（3）如圖2，當斜邊DE與AC有交點時，記交點為Q，若AP＝CQ，則S△DPE＝．（直接寫出答案）7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E為BC上一點，連接AE，作AF⊥AE且AF＝AE，BF交AC于D．（1）如圖1，求證：D為BF中點；（2）如圖1，求證：BE＝2CD；（3）如圖2，若＝，直接寫出的值．8．在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，E為BC上一個動點，CF⊥AE于G，交AB于F．（1）如圖1，當AE平分∠CAB時，求BE的長．（2）如圖2，當E為BC中點時．①求CG的長．②連接EF，求GF+EF的值．（3）如圖3，在E運動過程中，連接BG，則BG的最小值為．9．已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝BC．（1）連接BD，如圖1，若∠BAD＝90°，AD＝3，求DC的長；（2）點E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上．①如圖2，若點E，F(xiàn)分別在線段CD，AD上，且滿足∠EBF＝90°﹣∠ADC，求證：EF＝AF+CE；②如圖3，若點E，F(xiàn)分別在線段DC延長線與DA延長線上，且滿足EF＝AF+CE，請直接寫出∠EBF與∠ADC之間的數(shù)量關(guān)系．10．（1）已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．①如圖1，點M、N在底邊BC上，且∠ANB＝45°，∠MAN＝60°．請在圖中作出∠NAD＝60°，且AD＝AM，連接ND、CD；并直接寫出BM與CN的數(shù)量關(guān)系．②如圖2，點M在BC上，點N在BC的上方，且∠MBN＝∠MAN＝60°，求證：MC＝BN+MN；（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠CAB＝50°，BD平分∠ABC，若∠ADC與∠ABD互余，則∠DAC的大小為（直接寫出結(jié)果）．參考答案1．解：（1）∵，∴，∵（a﹣2）2≥0，，∴a﹣2＝0，2b+2＝0，∴a＝2，b＝﹣1；（2）由（1）知a＝2，b＝﹣1，∴A（0，2），B（﹣1，0），∴OA＝2，OB＝1，∵△ABC是直角三角形，且∠ACB＝45°，∴只有∠BAC＝90°或∠ABC＝90°，Ⅰ、當∠BAC＝90°時，如圖1，∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝CB，過點C作CG⊥OA于G，∴∠CAG+∠ACG＝90°，∵∠BAO+∠CAG＝90°，∴∠BAO＝∠ACG，在△AOB和△BCP中，，∴△AOB≌△CGA（AAS），∴CG＝OA＝2，AG＝OB＝1，∴OG＝OA﹣AG＝1，∴C（2，1），Ⅱ、當∠ABC＝90°時，如圖2，同Ⅰ的方法得，C（1，﹣1）；即：滿足條件的點C（2，1）或（1，﹣1）（3）①如圖3，由（2）知點C（1，﹣1），過點C作CL⊥y軸于點L，則CL＝1＝BO，在△BOE和△CLE中，，∴△BOE≌△CLE（AAS），∴BE＝CE，∵∠ABC＝90°，∴∠BAO+∠BEA＝90°，∵∠BOE＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，∴；②點C到DE的距離為1．如圖4，過點C作CK⊥ED于點K，過點C作CH⊥DF于點H，由①知BE＝CF，∵BE＝BC，∴CE＝CF，∵∠ACB＝45°，∠BCF＝90°，∴∠ECD＝∠DCF，∵DC＝DC，∴△CDE≌△CDF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∴CK＝CH＝1．2．解：（1）如圖，∵△ABC，△PDC是等邊三角形，∴AC＝BC，PC＝PD＝CD，∠ACB＝∠PCD＝60°，∴∠ACP＝∠BCD，且AC＝BC，PC＝CD，∴△ACP≌△BCD（SAS）∴∠APC＝∠BDC；（2）△DPB是直角三角形．理由：∵∠BDC＝∠APC＝150°，∠PDC＝60°∴∠BDP＝∠BDC﹣∠PDC＝90°，∴△DPB是直角三角形；（3）設(shè)∠APC＝x，則∠BPD＝200°﹣x，∠BDP＝x﹣60°∵PB＝DB，∴∠BPD＝∠BDP，∴200°﹣x＝x﹣60°，∴x＝130°，∴∠APC＝130°3．解：（1）①△BAF為等腰直角三角形．證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∠FBC＝∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠C＝75°，∠BAD＝∠CAD＝15°，∵AF＝AC，∴AB＝AF，∴∠ABF＝45°，∴△BAF為等腰直角三角形；②如圖1，過點A作AM⊥BF于點M，設(shè)BE＝x，則AE＝（+1）x，∵∠FBC＝30°，∴DE＝BE＝x，∠BED＝∠AEF＝60°，∴∠EAM＝30°，∴EM＝AE（+1）x，∵△ABF為等腰直角三角形，AM⊥BF，∴AM＝MF＝BM，∴BM＝EB+EM＝x+x＝x，∴EF＝EM+MF＝x＝（2+）x，∴＝4+2．故答案為：4+2．（2）證明：如圖2，過點A作AH⊥AE，交BC于點H，∵∠FBC＝45°，AD⊥BC，∴∠BED＝∠AEH＝45°，∴∠AHE＝∠AEH＝45°，AE＝AH，∴∠AEB＝∠AHF＝135°，∵AF＝AC，∴AB＝AF，∠ABF＝∠F，在△ABE和△AFH中，，∴△ABE≌△AFH（AAS），∴BE＝FH，∴AG＝EG＝GH，∴EH＝2AG，∴EF＝FH+EH＝BE+2AG．4．解：（1）∵AB＝10，cosA＝，∴cosA＝，∴AC＝8，CD＝5，∴＝＝6，設(shè)BE＝x，則CE＝6﹣x，在Rt△CDE中，DE2＝CD2+CE2＝52+（6﹣x）2，∵DE為完美分割線，∴AD2+BE2＝DE2，∴32+x2＝52+（6﹣x）2，解得：x＝．∴BE＝．故答案為：．（2）證明：如圖2，∵DA＝DP，∴∠DAP＝∠DPA，∵PE⊥PD，∴∠DPA+∠EPB＝90°，又∠A＝∠B，∴∠EPB＝∠B，∴EP＝EB，∴AD2+BE2＝DP2+EP2＝DE2，∴DE是直角△ABC的完美分割線．（3）解：延長DP至F，使PF＝PD，連接BF，EF，∵AP＝BP，∠APD＝∠BPF，∴△APD≌△BPF（SAS），∴AD＝BF，∠A＝∠FBP，∴∠EBF＝∠CBA+∠FBP＝∠CBA+∠A＝90°，∵DE是完美分割線，∴DE2＝AD2+BE2＝BF2+BE2＝EF2，即ED＝EF．又PD＝PF，∴∠EPD＝90°，過點P作PM⊥AC，PN⊥BC，則∠MPD＝∠NPE＝90°﹣∠MPE，∴△MPD∽△NPE，∴，設(shè)PD＝a，則PE＝2a，則DE＝＝a，∴cos∠PDE＝＝．5．解：（1）探究一：∵△BDC是等邊三角形，∴BD＝DC，∠BDC＝60°，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝360°﹣60°，∴∠ADB＝150°，故答案為：150°．（2）探究二：結(jié)論：CE＝AD．理由：∵△BDC、△ABE都是等邊三角形∴∠ABE＝∠DBC＝60°，AB＝BE，BD＝DC．∴∠ABE﹣∠DBE＝∠DBC﹣∠DBE∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（SAS）．∴AD＝CE．（3）探究三：∵△ABD≌△EBC，∴∠BDA＝∠ECB＝150°，∵∠BCD＝60°，∴∠DCE＝90°，∵∠DEC＝60°，∴∠CDE＝30°，∵DE＝2，∴CE＝1，由勾股定理得，DC＝BC＝，∵∠BDE＝60°+30°＝90°，DE＝2，BD＝．由勾股定理得，BE＝＝．∵△ABE是等邊三角形∴AE＝BE＝．6．解：（1）過D用DF⊥AC于點H，如圖1，則DF∥BC，∵D是AB的中點，∴AF＝CF，∴DF＝，∵BC＝，∴DF＝6，故點D到邊AC的距離為6；（2）當PE＝CE時，如圖1，過點E作EG⊥PC于點G，∴PG＝CG，∵∠DPE＝90°，∴∠DPF+∠EPG＝∠DPF+∠PDF＝90°，∴∠PDF＝∠EPG，∵PD＝EP，∠DFP＝∠PGE＝90°，∴△DPF≌△PEG（AAS），∴DF＝PG＝CG＝6，∴AP＝AC﹣PC＝16﹣6﹣6＝4；當PE＝PC時，如備用圖1，過D作DF⊥AC于點F，過點E作EG⊥AC于點G，則DF∥BC，AF＝CF＝8，DF＝BC＝6，∵∠DPE＝90°，∴∠DPF+∠EPG＝∠DPF+∠PDF＝90°，∴∠PDF＝∠EPG，∵∠DFP＝∠PGE＝90°，DP＝EP，∴△PDF≌△EPG（AAS），∴DPG＝6，PF＝EG，設(shè)PE＝PC＝x，則EG＝FP＝8﹣x，由勾股定理得，PE2﹣EG2＝PG2，∴x2﹣（8﹣x）2＝62，解得，x＝，即PC＝，∴AP＝AC﹣PC＝16﹣，綜上，AP＝4或；（3）過點D作DF⊥AC于點F，過點E作EG⊥AC于G，則DF∥EG∥BC，∵D是AB的中點，∴AF＝CF＝8，DF＝，∵AP＝CQ，∴PF＝QF，設(shè)AP＝CQ＝x，則PF＝QF＝，∵∠DPE＝90°，∠DFP＝90°，∴∠DPF+∠EPG＝∠DPF+∠PDF＝90°，∴∠PDF＝∠EPF，∵∠DFP＝∠PGE＝90°，DP＝PE，∴△DPF≌△PEG（AAS），∴DF＝PG＝6，PF＝EG＝8﹣x，∴QG＝PG﹣PQ＝6﹣2（8﹣x）＝2x﹣10，∵DF∥EG，∴△DFQ∽△EGQ，∴，即，解得，x＝14+6＞16（舍），或x＝14﹣6，∴PF＝QF＝EG＝8﹣x＝6﹣6，∴＝．另一解法：過D作DF⊥AC于點F，延長DF至M，使得DF＝FM，過M作MN⊥DE，與DE的延長線交于點N，如圖2，則DF∥BC，∴QD＝QM，∴∠QDM＝∠QMD，∵D是AB的中點，DF∥BC，∴AF＝CF＝8，DF＝，∴DM＝12，∵AP＝CQ，∴PF＝QF，∴DP＝DQ，∴∠PDF＝∠QDF，∴∠PDF＝∠QMF，∴DP∥QM，∴∠MQN＝∠PDE＝45°，∴∠NMQ＝45°＝∠MQN，∴MN＝QN，不妨設(shè)MN＝QN＝x，則DP＝QD＝QM＝，∵DN2+MN2＝DM2，∴，解得，，∴，∴，∴．故答案為：72﹣36．7．證明：（1）如圖1，過F點作FG⊥AC于點G，∵∠FAG+∠CAE＝90°，∠FAG+∠AFG＝90°，∴∠CAE＝∠AFG，在△AGF和△ECA中，，∴△AGF≌△ECA（AAS），∴AG＝EC，F(xiàn)G＝AC，∵AC＝BC，∴BC＝FG，又∵∠FGD＝∠DCB＝90°，∠FDG＝∠CDB，∴△FGD≌△BCD（AAS），∴DF＝BD，即D為BF的中點；（2）證明：∵△FGD≌△BCD，∴DC＝GD，∴CG＝2CD，∵AG＝CE，AC＝BC，∴CG＝BE，∴BE＝2CD；（3）解：如圖2，過F點作FG⊥AC于點G，∵，∴，∵AC＝CB，∴，由（1），（2）可知△AGF≌△ECA，△FGD≌△BCD，∴CE＝AG，CD＝DG，∴，∴，∴，∴．∴．8．解：（1）∵AE平分∠CAB，∴點E到AC，AB的距離相等，∴，∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝AC＝4，∴，∴，∴BE＝×4＝4（2﹣）＝8，即BE＝8﹣4；（2）①∵點E是BC的中點，∴CE＝BE＝BC＝2，∴AE＝＝2，∵CF⊥AE，∴S△ACE＝AE?CG＝AC?CE，∴CG＝．②過點B作BM⊥BC交CF延長線于點M，∵BM⊥BC，∴∠CBM＝90°，∴∠CBM＝∠ACE＝90°，∵∠ACG+∠BCM＝90°，∠ACG+∠CAE＝90°，∴∠BCM＝∠CAE，在△CBM和△ACE中，，∴△CBM≌△ACE（ASA），∴AE＝CM＝2，CE＝BM，∵CE＝BE，∴BM＝BE，∵∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠EBF＝∠MBF＝45°，在△EBF和△MBF中，，∴△EBF≌△MBF（SAS），∴EF＝MF，∴GF+EF＝GF+MF＝GM＝CM﹣CG＝2﹣．∴GF+EF＝．（3）取AC的中點N，連接NG，BN，∵點N是AC的中點，∴AN＝CN＝AC＝2，∴BN＝＝2，∵CF⊥AE，∴∠AGC＝90°，∴NE＝AC＝2，∴BG≥BN﹣NG，當且僅當B，G，N三點共線時，BG取得最小值，∴BG的最小值為2﹣2．故答案為：2﹣2．9．（1）解：∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠A+∠C＝180°，又∵∠A＝90°，∴∠C＝90°＝∠A，在Rt△ABD和Rt△CBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），∴DC＝DA＝3；（2）證明：如圖2，延長DC到G，使得CG＝AF，連接BG，∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠A＝360°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠A+∠BCD＝180°，且∠BCD+∠BCG＝180°，∴∠A＝∠BCG，∵AB＝BC，CG＝AF，∴△ABF≌△CBG（SAS），∴BF＝BG，∠ABF＝∠CBG，又∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠EBF＝90°﹣∠ADC＝∠ABC＝∠ABF+∠EBC＝∠CBG+∠EBC＝∠EBG，∵BE＝BE，∴△EBF≌△EBG（SAS），∴EF＝EG＝EC+CG＝CE+AF；（3）解：∠EBF與∠ADC之間的數(shù)量關(guān)系為：∠EBF＝90°+∠ADC．在CD的延長線上截取CH＝AE，連接BH，∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠DAB＝360°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠DAB+∠BCD＝180°，且∠DAB+∠EAB＝180°，∴∠BCD＝∠EAB，且AB＝BC，AE＝CH，∴△AEB≌△CHB（SAS），∴BE＝BH，∠EBA＝∠HBC，∵EF＝AE+CF，∴EF＝CH+CF＝HF，且BF＝BF，BE＝BH，∴△EBF≌△HBF（SSS），∴∠EBF＝∠HBF，∵∠EBF+∠HBF+∠EBA+∠ABH＝360°，∴2∠EBF+∠HBC+∠ABH＝360°，∴2∠EBF+∠ABC＝360°，∴2∠EBF+180﹣∠ADC＝360°，∴∠EBF＝90°+∠ADC．1