經(jīng)濟數(shù)學-微積分-無窮級數(shù)

無窮級數(shù)7.1常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)7.2正項級數(shù)的審斂法7.3任意項級數(shù)的審斂法7.4冪級數(shù)7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)

7.1常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)

一、常數(shù)項級數(shù)的概念定義7.1.1設有一個數(shù)列

例7.1.2證明:級數(shù)1+2+3+…+n+…是發(fā)散的.

證明級數(shù)的部分和為

二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)

7.2正項級數(shù)的審斂法

一、正項級數(shù)及其收斂的充要條件如果un≥0(n=1,2,…),則稱級數(shù)

為正項級數(shù).其部分和數(shù)列{sn}為

顯然,數(shù)列{sn}是一個單調(diào)增加數(shù)列,即

定理7.2.1正項級數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列{sn}有界.

二、比較審斂法及其極限形式

例7.2.1討論p-級數(shù)

的斂散性,其中常數(shù)p>0.

定理7.2.3(極限形式的比較審斂法)

例7.2.3判定下列級數(shù)的斂散性:

三、比值審斂法(達朗貝爾判別法)

定理7.2.4(比值審斂法或達朗貝爾判別法)

例7.2.4判定下列級數(shù)的斂散性:

四、根值審斂法(柯西判別法)

定理7.2.5(根值審斂法或柯西判別法)

7.3任意項級數(shù)的審斂法

一、交錯級數(shù)及其審斂法

二、任意項級數(shù)的收斂性———絕對收斂與條件收斂

例7.3.2判定下列級數(shù)的斂散性,如果收斂,則指出是絕對收斂還是條件收斂:

7.4冪級數(shù)

一、函數(shù)項級數(shù)的概念給定一個定義在區(qū)間I上的函數(shù)列{un(x)},由此函數(shù)列構成的表達式稱為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項級數(shù),記為

二、冪級數(shù)及其收斂性

求冪級數(shù)收斂域的基本步驟如下:

(1)求出收斂半徑R;

(2)判別常數(shù)項級數(shù)的收斂性;

(3)寫出冪級數(shù)的收斂域.

三、冪級數(shù)的運算

冪級數(shù)的和函數(shù)具有下列重要性質(zhì):

幾何級數(shù)的和函數(shù)

是冪級數(shù)求和中的兩個基本的結果.我們所討論的許多級數(shù)求和問題都可以利用冪級數(shù)的運算性質(zhì)轉(zhuǎn)化為幾何級數(shù)的求和問題來解決.

例7.4.2求下列冪級數(shù)的收斂域及冪級數(shù)和函數(shù):

7.5函數(shù)展開成冪級數(shù)

一、初等函數(shù)的展開定理設冪級數(shù)的收斂半徑為R,和函數(shù)為s(x),即

上式表明:

(1)s(x)是冪級數(shù)的和函數(shù);

(2)函數(shù)s(x)可以寫成冪級數(shù)這樣一種形式的表達式,從而可以利用這一表達式來研究函數(shù)s(x);

(3)n次多項式

是該冪級數(shù)的前n+1項部分和,由級數(shù)收斂的概念,應有

從而當x<R時,有

反之,設f(x)在x=0的鄰域內(nèi)有任意階導數(shù),則總可以作出f(x)的麥克勞林級數(shù).那么麥克勞林級數(shù)的和函數(shù)和f(x)有什么關系呢?我們不加證明地給出下面的定理.

定理7.5.1(初等函數(shù)的展開定理)

設f(x)是一個初等函數(shù),且在x=0的鄰域內(nèi)有任意階導數(shù),則f(x)在x=0處可展開冪級數(shù),且有展開式

在端點x=±R處,如果級數(shù)收斂且f(x)也有定義,則展開式(753)在該端點處也成立.