重難點(diǎn)5數(shù)列中奇偶項(xiàng)分段問題（4類題型3類考向）

2024XINSIWEISHUXUEJINGPINCHAOSHI高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)新思維數(shù)學(xué)XINSIWEI2024XINSIWEISHUXUEJINGPINCHAOSHI高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)新思維數(shù)學(xué)XINSIWEI重難點(diǎn)5數(shù)列中奇偶項(xiàng)、分段問題重難點(diǎn)5數(shù)列中奇偶項(xiàng)、分段問題統(tǒng)計(jì)近幾年高考試題，明確命題規(guī)律多角度切入，多方向解析，總結(jié)解題思維策略以高考真題為載體，科學(xué)備考不走彎路針對(duì)高考中的高頻難點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)，助你沖擊數(shù)學(xué)巔峰重難點(diǎn)5數(shù)列中奇偶項(xiàng)、分段問題因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù)，所以數(shù)列與分段函數(shù)的結(jié)合就成為一種必然，高考題中關(guān)于數(shù)列奇偶項(xiàng)、分段通項(xiàng)問題頻頻出現(xiàn)，特別是新高考地區(qū)，更是成為一個(gè)熱點(diǎn)問題，并受到各地模擬試題的追捧，下面是對(duì)其在高考題中的統(tǒng)計(jì)。年份試卷類型考題考察內(nèi)容題型2023新課標(biāo)Ⅱ卷18求通項(xiàng)、求和解答題2021新高考Ⅰ卷17求和解答題全國乙卷理科19求通項(xiàng)解答題2020新課標(biāo)Ⅰ卷16求數(shù)列的項(xiàng)填空題天津卷19求和解答題2015天津卷18求和解答題2014新課標(biāo)Ⅰ卷17求和解答題山東卷19求和解答題數(shù)列中的此類問題主要有四種形式：一是遞推式是分段函數(shù)的形式；二是遞推式中含有的形式；三是遞推式是“跳躍式”，即型；四是遞推（通項(xiàng)）式含有三角函數(shù)?？疾榉较蛑饕星蠛?、求項(xiàng)和最值問題三種，解決此類問題的關(guān)鍵在于分類討論，根據(jù)的不同取值確定通項(xiàng)公式的形式，然后再確定解題的方向搞。題型一：數(shù)列的遞推式為分段型例1(2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷·第18題)已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．切入點(diǎn)1（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)，將用表示，再結(jié)合，，列方程組求出，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式；切入點(diǎn)1（2）寫出，然后根據(jù)n的奇偶性討論求出，再分別作差比較大小.【解答】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．(2)方法1：由(1)知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，．方法2：由(1)知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，．例2．（2021·新高考1卷T17）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和.切入點(diǎn)1(1)由題意結(jié)合遞推關(guān)系式確定數(shù)列的特征，然后求和其通項(xiàng)公式即可；切入點(diǎn)1(2)因?yàn)閚為奇偶數(shù)時(shí)的遞推關(guān)系不同，故可分別求出奇偶項(xiàng)的通項(xiàng)公式，分組求和，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列的前20項(xiàng)和.【詳解】方法一：（1）顯然為偶數(shù)，則，所以，即，且，所以是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，于是．（2）由題意知數(shù)列滿足，所以．所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列；同理，由知數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．從而數(shù)列的前20項(xiàng)和為：．切入點(diǎn)2對(duì)n根據(jù)奇偶性分類討論，切入點(diǎn)2方法二：（1）由題意知，所以．由（為奇數(shù)）及（為偶數(shù)）可知，數(shù)列從第一項(xiàng)起，若為奇數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為1，若為偶數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為2．所以，則．（2）．切入點(diǎn)3根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)可變形為，故可用累加法求通項(xiàng)公式。切入點(diǎn)3解法三：（1）由題意知數(shù)列滿足．所以，，則．所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）同上（略）(1)方法一：由題意討論的性質(zhì)為最一般的思路和最優(yōu)的解法；方法二：利用遞推關(guān)系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關(guān)系式確定數(shù)列的性質(zhì)；方法三：寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后累加求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是一種更加靈活的思路.(2)方法一：由通項(xiàng)公式分奇偶的情況求解前項(xiàng)和是一種常規(guī)的方法；方法二：分組求和是常見的數(shù)列求和的一種方法，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和分組的方法進(jìn)行求和是一種。例3．（廣東省惠州市惠東縣2024屆高三上學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知是等比數(shù)列，滿足，且成等差數(shù)列，數(shù)列滿足.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.切入點(diǎn)（1）利用等比數(shù)列定義以及等差數(shù)列性質(zhì)可求得數(shù)列的公比，再由數(shù)列滿足的等式可得，即可求出和的通項(xiàng)公式.切入點(diǎn)（2）寫出數(shù)列的表達(dá)式，利用分組求和法，再按奇偶分別求和即得.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，，又，則，即，而，解得，因此；數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，，由，得當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，顯然滿足上式，因此，所以數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為.（2）由（1）知，，，因此當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.本題在求和過程中用到了分組求和，我們往往是先求出為偶數(shù)時(shí)的，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)利用求解，注意此時(shí)為偶數(shù)?！緦?duì)點(diǎn)練1】（2024年重慶第一中學(xué)月考試題）已知數(shù)列滿足，(1)記，求證：為等比數(shù)列；(2)若，求.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由可知結(jié)合可得進(jìn)而可證為等比數(shù)列；（2）由（1）結(jié)論可先求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)求出的通項(xiàng)公式，則可求.【詳解】（1）證明：且，又，為以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知：，，又，，所以.【對(duì)點(diǎn)練2】（2024年廣東省廣州實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？迹┮阎獢?shù)列滿足，且的前100項(xiàng)和(1)求的首項(xiàng)；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）分為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況進(jìn)而討論即可求解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；則偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以1為公差的等差數(shù)列，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則，又，所以，解得，.（2）由（1）得，，，，當(dāng)時(shí)，，∴，綜上，知.【對(duì)點(diǎn)練3】（湖南省邵陽市雙清區(qū)昭陵實(shí)驗(yàn)學(xué)校等多校聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：由已知可得，則，上述等式累加可得，所以，，故當(dāng)時(shí)，，也滿足，故對(duì)任意的，.（2）解：因?yàn)椋蕯?shù)列為等差數(shù)列，則，所以，，對(duì)任意的，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，則；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，則，綜上所述，.題型二遞推（通項(xiàng)）公式中含有型例4．(2020·高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷)數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則______________．【答案】切入點(diǎn)對(duì)為奇偶數(shù)分類討論，分別得出奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，由奇數(shù)項(xiàng)遞推公式將奇數(shù)項(xiàng)用表示，由偶數(shù)項(xiàng)遞推公式得出偶數(shù)項(xiàng)的和，建立方程，求解即可得出結(jié)論.切入點(diǎn)【詳解】，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.故答案為：.當(dāng)遞推公式中含有時(shí)，我們可以對(duì)n分奇偶討論，將遞推關(guān)系或通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)換為分段的形式，再選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行求解。例5．(2014高考數(shù)學(xué)山東理科·第19題)已知等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列．(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．切入點(diǎn)（1）根據(jù)成等比數(shù)列列方程求出，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式；（2）寫出，然后裂項(xiàng)化為，然后發(fā)現(xiàn)可以前后項(xiàng)相消，因?yàn)椴荒艽_定最后一項(xiàng)的符號(hào)，故對(duì)n的奇偶性進(jìn)行討論。切入點(diǎn)【解答】(1)因?yàn)?，，，由題意得，解得，所以．(2)．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．所以(或)【對(duì)點(diǎn)練1】（2024·全國專題訓(xùn)練）已知數(shù)列和滿足，，.(1)求與；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，若不等式，對(duì)一切都成立，求實(shí)數(shù)的最小值.【分析】(1)根據(jù)給定條件利用累加法，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算得，再根據(jù)求得，兩式做差求出；(2)根據(jù)錯(cuò)位相減法求出，再對(duì)n分奇偶討論計(jì)算作答.【詳解】(1)依題意，當(dāng)時(shí)，，則，而滿足上式，故有；，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，則，而，滿足上式，即有，所以，.(2)由(1)知，，兩邊同乘2得：，兩式相減得：，，由得：，依題意，對(duì)一切，都成立，當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，，而數(shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，，解得，因此，，所以實(shí)數(shù)的最小值.【對(duì)點(diǎn)練2】（2024·山東部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)若，對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）首先由與的關(guān)系求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再以累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）以裂項(xiàng)相消法對(duì)求和，并求得其最小值即可解決.【詳解】(1)數(shù)列中，，由，得，時(shí)，，則則，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.則由，得，故.(2)由，可得，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí).故實(shí)數(shù)的取值范圍為.題型三遞推式為隔項(xiàng)的關(guān)系例6．（2024年全國高考名校名師聯(lián)席命制型數(shù)學(xué)信息卷（七））設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．若對(duì)恒成立，則的取值范圍為．【答案】切入點(diǎn)由與的關(guān)系，可求得，進(jìn)而求出與的值，當(dāng)時(shí)，可得兩個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，由相鄰兩項(xiàng)間的大小關(guān)系，即可求得的取值范圍.切入點(diǎn)【詳解】法一：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，兩式相減得，則，兩式相減得．當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則．則．要使對(duì)恒成立，則即解得，所以的取值范圍為.法二：，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，則，兩式相減得，所以數(shù)列都是以2為公差的遞增數(shù)列，要使對(duì)恒成立，只需而，則解得,所以的取值范圍為.故答案為：當(dāng)遞推式為型時(shí)，往往再構(gòu)造的關(guān)系，兩式作差（商）轉(zhuǎn)化為的關(guān)系，進(jìn)而求出奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系?！緦?duì)點(diǎn)練】已知數(shù)列滿足：，當(dāng)時(shí)，，（1）求，數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求證．【解答】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)上式也成立，．．綜上可得：；（2）證明：，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，．．題型四含三角函數(shù)型例7．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.切入點(diǎn)（1）根據(jù)與之間的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；切入點(diǎn)根據(jù)（1）求得，注意到的最小正周期是4，故按分類討論，進(jìn)而求得答案?！窘獯稹浚?）當(dāng)時(shí)，，整理得，又，得則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.則（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)公式含有三角函數(shù)時(shí)，我們可以先判斷三角函數(shù)部分的最小正周期，然后以此為依據(jù)對(duì)n的不同取值分類討論?！緦?duì)點(diǎn)練1】（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，記數(shù)列的前99項(xiàng)和為，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，累加得，所?（2）因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以數(shù)列是以3為周期的數(shù)列.故.1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為，若實(shí)數(shù)滿足對(duì)任意正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)裂項(xiàng)相消法，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】，前項(xiàng)和為，可得為遞增數(shù)列，且有取得最小值；且，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)恒成立，即為對(duì)任意正整數(shù)恒成立，由，可得①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)恒成立，即為對(duì)任意正整數(shù)恒成立，由，可得，即②由①②解得．故選：A2．（多選）（2022·江蘇·蘇州中學(xué)高三開學(xué)考試）在數(shù)列中，，前n項(xiàng)的和為Sn，則（

）A．的最大值為1 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A：當(dāng)n=2時(shí)，有，若時(shí)，由基本不等式可得：（時(shí)取等號(hào)），所以；若中有一個(gè)為0或負(fù)值時(shí)，；若時(shí)，不可能成立；故的最大值為1.故A正確；對(duì)于B：數(shù)列中，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有，只有時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，否則數(shù)列不是等差數(shù)列，故C不正確；對(duì)于D：.故D正確.故選：ABD3．（多選）（2024甘肅省臨洮中學(xué)上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.則下列選項(xiàng)正確的為（

）A．B．?dāng)?shù)列是以2為公比的等比數(shù)列C．對(duì)任意的，D．的最小正整數(shù)n的值為15【答案】BD【分析】根據(jù)題設(shè)的遞推關(guān)系可得，從而可得，由此可得的通項(xiàng)和的通項(xiàng)，從而可逐項(xiàng)判斷正誤.【詳解】由題設(shè)可得，因?yàn)?，，故，所以，所以，所以，因?yàn)?，故，所以，所以為等比?shù)列，所以即，故，故A錯(cuò)，C錯(cuò).又，故，所以，即是以2為公比的等比數(shù)列，故B正確.，，故的最小正整數(shù)n的值為15，故D正確.故選：BD.4．（上海市復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)20232024學(xué)年高二上學(xué)期階段性學(xué)業(yè)水平檢測(cè)2（暨拓展考試6）數(shù)學(xué)試題）數(shù)列滿足，則數(shù)列的第2023項(xiàng)為.【答案】/【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可通過計(jì)算前面，發(fā)現(xiàn)數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，進(jìn)而由周期性即可求解.【詳解】由已知可得，所以數(shù)列為周期數(shù)列，且，所以，故答案為：5.已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為.【答案】330【分析】分別討論為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式與為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用分組求和法代入求和即可.【詳解】由題意，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，=3306．已知是等差數(shù)列，，，設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，則．【答案】3033【分析】先求得，進(jìn)而得到，再利用并項(xiàng)法求解.【詳解】解：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，，所以，解得，所以，則，所以，，，，.故答案為：30337．（2024·湖南·長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和為，且，則的最大值為________．【答案】##【詳解】當(dāng)，由已知條件可得，所以，則，所以，，∴，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最大值．故答案為：8．（北京市第一七一中學(xué)20232024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，其前項(xiàng)和為.若且，則；.【答案】【分析】根據(jù)為奇數(shù)，且當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，是偶數(shù)，可得、、中必有兩個(gè)偶數(shù)，一個(gè)奇數(shù)，然后分類討論可得，最后求出數(shù)列的周期性，分類討論求和即可.【詳解】為奇數(shù)，且當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，是偶數(shù)，、、中必有兩個(gè)偶數(shù)，一個(gè)奇數(shù)，若為奇數(shù)，、是偶數(shù)，解得，，，，，，，為從第四項(xiàng)起，數(shù)列是以為周期的數(shù)列，且一個(gè)周期內(nèi)的和為7，若為偶數(shù)，為偶數(shù)，則為奇數(shù)，且解得矛盾（舍去），若為偶數(shù)，為奇數(shù)，則為偶數(shù)，且解得矛盾（舍去），則時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，故答案為：；.9．（河南省TOP二十名校2024屆高三上學(xué)期調(diào)研考試九數(shù)學(xué)試卷）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則；令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】（1）由與的關(guān)系求出，注意驗(yàn)證；（2）由求出，再分n為奇數(shù)和偶數(shù)用裂項(xiàng)相消分別求出，根據(jù)存在，使得，求出m即可.【詳解】由得，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，又，所以.所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，顯然，（為偶數(shù)）單調(diào)遞減，所以；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，若，則，顯然（為奇數(shù)）單調(diào)遞增，所以.綜上所述.故答案為：；10．（2024屆高三上學(xué)期一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（四）數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，等比數(shù)列的公比為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前10項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)求出，可得通項(xiàng)與，由求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和法求數(shù)列的前10項(xiàng)和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，等比數(shù)列的公比為，則有，由，可得．當(dāng)時(shí)，．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以．（2），設(shè)的前10項(xiàng)和為，．11．（黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前1012項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)即可得解；（2）由裂項(xiàng)相消法可求出前1012項(xiàng)和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，則，，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，得，又因?yàn)槭枪畈粸榱愕牡炔顢?shù)列，所以，即.（2）由（1）知，.12．（陜西省名校協(xié)作體2024屆高三上學(xué)期一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（四）數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且對(duì)任意正整數(shù)m，均有．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．【答案】(1)(2)315【分析】（1）利用從特殊到一般，結(jié)合與的關(guān)系式即可得解；（2）利用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，，令得，，因此，故．?jīng)檢驗(yàn)，滿足上式，故此時(shí)；當(dāng)m為不等于1的正整數(shù)時(shí)，檢驗(yàn)，得，則，，即，所以滿足題設(shè)；綜上，．（2）由題意得，.13．（全國20232024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試考前沖刺模擬數(shù)學(xué)試題（02））已知數(shù)列滿足，，(1)求；(2)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，得出數(shù)列為等差數(shù)列，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件得出，由（1）知，再利用分組求和即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以.（2）由，所以數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，得到，設(shè)，則，又，所以為奇數(shù)時(shí)，14．（廣西2024屆高三高考桂柳鴻圖數(shù)學(xué)模擬金卷試題（四））已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)的公差為，根據(jù)已知條件列出方程得出公差，即可得出答案；（2）根據(jù)已知可得出的奇數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，直接求和即可得出奇數(shù)項(xiàng)的和；根據(jù)錯(cuò)位相減法，求出偶數(shù)項(xiàng)的和，分組求和，相加即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)的公差為.∵，，∴，解得，∴.（2）由已知可得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.∴設(shè)，①則，②①②，得∴.故.15．（江蘇省無錫市四校20232024學(xué)年高三上學(xué)期12月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由關(guān)系消得遞推關(guān)系，再構(gòu)造等差數(shù)列求通項(xiàng)；（2）由等差與等比數(shù)列特點(diǎn)分組求和.【詳解】（1）由①當(dāng)時(shí)，，所以

當(dāng)時(shí)，②①②式相減得，即

兩邊同除以得，，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，則（2），可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，16．（2024·吉林·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列,(1)求.(2)求的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)的前項(xiàng)和為,若,求.【答案】(1)(2)(3)4048【分析】(1)將分別代入關(guān)系式運(yùn)算即可.(2)考查等比數(shù)列的構(gòu)造,通過構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.(3)考查數(shù)列的周期性，通過對(duì)的周期性取值討論求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí),得；當(dāng)時(shí),得（2）設(shè)整理得又解得又是以為首項(xiàng),為公