相似三角形-2022年《三步?jīng)_刺中考數(shù)學》之第1步重課本·理考點(解析版)

專題16相似三角形

許考分布「

7k

相似三角形是中學數(shù)學重要的重難點知識，中考中多以選擇題、填空題、解答題的形式

出現(xiàn)，主要考查基本概念、基本技能，知識點之間相互轉化與穿插，難度系數(shù)較難。主要體

現(xiàn)的思想方法：轉化的思想、數(shù)形結合的思想等。

1.了解比例的基本性質，了解線段的比、成比例。線段與黃金分割；

2.了解相似的意義；理解相似圖形的性質，了解相似三角形判定定理和性質定理；

3.了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮?。?

4.利用圖形的相似解決一些實際問題（如利用相似測矍旗桿的）。

殺識框袤

I”-------------■-二----------

形狀相同、對應角相等、對應邊成比例的圖形

兩個比值相萼的式子

形狀相罔

對應角相等

備—J對應邊成比例

--------面積比是對應邊比值的平方

周長比等于對應邊之比

相似三角形的定義

表示方式

相似比

相似三角形的對應向相等

相似三角形的對應邊成比例

相似三角形的對應高線的比等于相似比

相似三角形的對應中線的比等于相似比

相似三角形性質相似三角形的對應角平分線的比等于相似比

相似三角形的周長比等于相似比

相似三角掄的面枳比等于相似比的平方

相似三角形具有傳遞性

兩邊對應成比例夾角相等

____________________具備普通三角」的般方法

直角三角形—一條直角邊與斜邊對應成比例

重要考廠I

考點一：相似圖形中的比例問題

主要利用相似三角形的性質定理，相似三角形的對應線段比值等于相似比，周長比值對應相

似比，面積比值對應相似比的平方。在求解三角形邊長的過程中，通過相似求解對應高和底

的比值即可解決相關三角形對應線段，對應周長，對應面積的比值求解問題。

主要知識點概括：

(一).比例

1.第四比例項、比例中項、比例線段；

2.比例性質：

]abj

(1)基本性質：-=—<=>ad=be—=—ob-=ac

bdbc

aca+bc+d

(2)合比定理：一=—n--

bdbd

cma+c+???+ma,,八、

(3)等比定理：-———.??—二>------------------=—.(/z?+dH------F〃w0)

bdnb+dT-----\-nb

3.黃金分割：如圖，若PA?=PBAB,則點P為線段AB的黃金分割點.A。？八B

4.平行線分線段成比例定理

如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。

(二湘似

1.定義:我們把具有相同形狀的圖形稱為相似形.

2.相似多邊形的特性:相似多邊的對應邊成比例，對應角相等.

3.相似三角形的判定

(1)平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似。

(2)如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似。

(3)如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角

形相似。

(4)如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形

相似。

4.相似三角形的性質

(1)對應邊的比相等，對應角相等.

(2)相似三角形的周長比等于相似比.

(3)相似三角形的面積比等于相似比的平方.

(4)相似三角形的對應邊上的高、中線、角平分線的比等于相似比.

5.三角形中位線定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

三角形中位線性質：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。

6相似三角形的應用：

1、利用三角形相似，可證明角相等；線段成比例(或等積式)；

2、利用三角形相似，求線段的長等

3、利用三角形相似，可以解決一些不能直接測量的物體的長度。如求河的寬度、求建筑物

的高度等。

7.位似

定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經(jīng)過同一點，那么這樣

的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比?因此，位似

圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.

性質：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比.

注意：（1）位似圖形是相似圖形的一個特例，位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定

是位似圖形.

（2）兩個位似圖形不僅相似而且對應點連線交于一點，對應邊平行或在同一直線上

考點二：主要考查其他幾何性質在相似三角形的中的綜合應用，以及如何做好輔助線，構造

相似或者相似三角形所需要的條件。

1、角平分線的性質，三角函數(shù)，相似三角形的性質；

2、直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，矩形的判定和性質；

3、相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，平行線分線段成比例定理等知識;

4、正確作出輔助線，構造相似或者相似三角形所需要的條件。

考點三:相似三角形與圓的結合

圓周角定理，或者圓的切線性質，

垂徑定理，從而轉化到等腰三角形，利用等腰三角形的性質，勾股定理解直角三角形；

以此與圓相交的直線構成三角形，通過角度相等來獲得相似三角形，再由相似三角形對應邊

比值來求得線段長度。

加常用輔助線，構造平行線解決問題

一、單選題

1.（2021?湖南湘西?中考真題）如圖，在AECD中，NC=9O。，AB_LEC于點B,AB=].2,

EB=1.6,BC=12.4,則CD的長是（）

A.14B.12.4C.10.5D.9.3

【答案】C

【分析】

由題意易得NABE=NC=90。，EC=14,則有AB〃CD,然后可得AABESAOCE,然后根

據(jù)相似三角形的性質可求解.

【解析】

解：VZC=90°,AB1EC,

ZABE=ZC=90°,

AB//CD,

△ABEs&DCE，

ABEB

CD~1EC

AB=1.2,EB=1.6,BC=12.4,

￡0=14,

1.21.6

~CD~~14

CD=10.5；

故選c.

【點睛】

本題主要考查相似三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.

AnAp\

2.（2021?四川巴中?中考真題）如圖，“8C中，點。、E分別在A8、4C上，且能二凈之

DBEC2

下列結論正確的是（）

A.DE：BC=1：2

B.AAOE與AABC的面積比為1：3

C.AAOE與AABC的周長比為1：2

D.DE//BC

【答案】D

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定與性質進行逐一判斷即可.

【解析】

AE

V—一，

DBEC2

：.AD：AB=AE：AC=\：3,

NA=NA,

AADE^AABC,

：.DE-BC=1：3,故A錯誤；

,//\ADE^/\ABC,

；.△AOE與AA8C的面積比為I：9,周長的比為1；3,故8和C錯誤；

,//\ADE^/\ABC,

：.NADE=NB,

：.DE//BC.故。正確.

故選：D.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是掌握相似三角形的判定與性質.

3.（2021.遼寧沈陽?中考真題）如圖，AABC與△A8C位似，位似中心是點O,若

。4:。4=1:2,貝IJ△45c與",耳G的周長比是（）

Ai

A.1:2B.1:3C.1:4D.1:72

【答案】A

【分析】

根據(jù)位似圖形的概念得到AABCs^A與G，AC〃A￡,進而得出AAOCs^A0G，根據(jù)

相似三角形的性質解答即可.

【解析】

解：?.?AABC與△AB?位似，

AABCs△%B￡,AC//AG,

??.A40cs△AOG,

.ACOA\

'^C~~OA~2,

...AABC與△AAG的周長比為1:2,

故選：A.

【點睛】

本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質，掌握位似圖形是相似圖形、位似圖形的

對應邊平行是解題的關鍵.

4.（2021?廣西百色?中考真題）下列四個命題：①直徑是圓的對稱軸；②若兩個相似四邊形

的相似比是1：3,則它們的周長比是1：3,面積比是1：6;③同一平面內(nèi)垂直于同一直線

的兩條直線互相平行；④對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形.其中真命題有

（）

A.①③B.①④C.③④D.②③④

【答案】C

【分析】

根據(jù)有關性質，對命題逐個判斷即可.

【解析】

解：①直徑是圓的對稱軸，直徑為線段，對稱軸為直線，應該是直徑所在的直線是圓的對稱

軸，為假命題：

②若兩個相似四邊形的相似比是1：3,面積比是1：9,而不是1：6,為假命題；

③根據(jù)平行和垂直的有關性質，可以判定為真命題：

④根據(jù)正方形的判定方法，可以判定為真命題；

故答案選C.

【點睛】

此題考查了命題的判定，熟練掌握命題有關內(nèi)容的基礎知識是解題的關鍵.

5.（2020?四川成都?中考真題）如圖，直線/"34，直線4c和。尸被12,4所截，AB=5,

BC=6,EF=4,則OE的長為（）

10

A.2B.3C.4D.T

【答案】D

【分析】

根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入已知線段得長度求解即可.

【解析】

解：??,直線h〃12〃b，

.ABDE

**BC-EF,

VAB=5,BC=6,EF=4,

-5_DE

??一=.

64

.nn_10

3

故選：D.

【點睛】

本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是

解此題的關鍵.

6.(2020.貴州遵義.中考真題)如圖，AABO的頂點A在函數(shù)y=A(x>0)的圖象上，ZABO

X

=90。，過A。邊的三等分點M、N分別作x軸的平行線交A8于點P、Q.若四邊形MNQP

的面積為3,則％的值為()

【答案】D

【分析】

由==0用,9〃2知//08得到相似三角形，利用相似三角形的性質得到三角形之

間的面積關系，利用反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義可得答案.

【解析】

解：AN=NM^OM,NQ//PM//OB,

:.zMi*4AMp4MAps

.S6MIQ_(AN)_I

四邊形MNQP的面積為3,

.S<MN2_J_

''Q+3-4'

?&ANQ十。,

SIANQ=1,

"'?$A4Mp=4,

?,^MOH=9，

，k=2SMOB=18.

故選D.

【點睛】

本題考查的是相似三角形的判定與性質，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，掌握以上知識是解題

的關鍵.

7.（2019?廣西玉林?中考真題）如圖，AB//EF//DC,AD//BC,EF與AC交于點G,則

是相似三角形共有（）

A.3對B.5對C.6對D.8對

【答案】C

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定即可判斷.

【解析】

圖中三角形有：AAEG,MDC,\CFG,\CBA,

VAB//EF//DC,AD//BC

：.MEG^AADC^ACFG^CBA

共有6個組合分別為：AAEGsAAOC,MEG^ACFG,SAEG^\CBA,MDC^ACFG,

MDC^^CBA,\CFG^\CBA

故選C.

【點睛】

此題主要考查相似三角形的判定，解題的關鍵是熟知相似三角形的判定定理.

8.（2021?四川巴中?中考真題）兩千多年前，古希臘數(shù)學家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即:

如圖，點P是線段AB上一點(AP>8P),若滿足三;=蕓，則稱點P是AB的黃金分割點.黃

APAB

金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺上主持節(jié)目時，站在黃金分割點上，觀

眾看上去感覺最好.若舞臺長20米，主持人從舞臺一側進入，設他至少走x米時恰好站在

舞臺的黃金分割點上，則x滿足的方程是()

APB

A.(20-x)2=20XB.f=20(20-x)

C.x(20-x)=202D.以上都不對

【答案】A

【分析】

RpAp

點P是A8的黃金分割點，且PBV%,PB=x,?JM=20-X,WJ—=—，即可求解.

APAB

【解析】

解：由題意知，點P是AB的黃金分割點，

S.PB<PA,PB=x,則如=20-x,

.BPAP

"~AP~~AB，

(20-JC)2=20X,

故選：A.

【點睛】

本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應線段是解決問題

的關鍵.

9.(2021?山東濟南?中考真題)如圖，在AABC中，ZABC=90°,ZC=30°,以點A為圓心,

以A8的長為半徑作弧交AC于點。，連接8D,再分別以點8,。為圓心，大于;劭的長

為半徑作弧，兩弧交于點P，作射線轉交BC于點E,連接。E,則下列結論中不正確的是

()

A

A.BE=DEB.DE垂直平分線段4c

C.=—D.BD?=BC?BE

S?MPC3

【答案】C

【分析】

由題中作圖方法易證AP為線段BD的垂直平分線，點E在AP上，所以BE=DE,再根據(jù),

ZAfiC=90。，NC=30。得到A48D是等邊三角形，由“三線合一''得AP平分NB4C,則

NB4C=NC=30。，AE=CE,且30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，故AB=AO=；AC,

所以DE垂直平分線段AC,證明\EDC~MBC可得型=里即可得到結論.

ABBC

【解析】

由題意可得：A￡>=A8,點P在線段BD的垂直平分線上

:4)=43，，點A在線段BD的垂直平分線上

?.AP為線段BD的垂直平分線

,??點E在AP上，，BE=DE,故A正確；

ZAfiC=90°,ZC=30°,

二N&4C=60。且48=A?！笰C

2

，為等邊三角形且4)=CD

:.AB=AD=BD,

r.AP平分N8AC

ZEAC=-ZBAC=30°,

2

AE=EC，

；.￡￡>垂直平分AC,故B正確;

■：AECD=ZACB=3G°,ZEDC=ZABC=90°,

:.\EDCs\ABC,

EDCDAB1

商一前一正一⑻

.??電叱=(1=)=：故C錯誤;

S^ABC\\3)3

?,?ED=BE,AB=CD=BD

BEBD

~BD~~BC

:.BD2=BCBE,故D正確

故選C.

【點睛】

本題考查30。角的直角三角形的性質、線段垂直平分線的判定和性質，相似三角形的判定和

性質，掌握這些基礎知識為解題關鍵.

10.（2021?四川綿陽?中考真題）如圖，在△ACD中，4）=6,BC=5,AC2=AB（AB+BC）,

S.^DAB~^DCA,若A￡>=3”，點。是線段A8上的動點，則PQ的最小值是（)

A后B.顯c.fD

22-I

【答案】A

【分析】

根據(jù)相似三角形的性質舶喘=某得到的*日心4,過8作8人加于從

根據(jù)等腰三角形的性質得到AH=；AO=3,根據(jù)勾股定理得到

BH=用=陰萬=用，當尸時，PQ的值最小，根據(jù)相似三角形的性質即

可得到結論.

【解析】

解：-.-^DAB-^DCA,

ADCD

??麗—茄’

.65+BD

~BD~-6-'

解得：BD=4（負值舍去）,

vADAB-ADCA,

.A。_8_9_3

\\B~~AD~6~29

3

AC=-AB

2f

-AC2=AB（AB+BC）,

..￡回=A3（A3+BC）,

:.AB=4,

..AB=BD=4f

過3作3H_L4）于H,

/.AH=-AD=3,

2

BH=>]AB2-AH2=742-32=>/7，

?.?AO=3AP,AO=6,

AP=2,

當PQ_LA3時，P。的值最小,

ZAQP=ZAHB=90°,Z^42=/BAH

:2PQ?ISABH,

AP_PQ

??茄一麗'

2PQ

-=-j=,

:PQ空,

故選：A.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，等腰三角形的判定和性質，正確的作出輔

助線構造相似三角形是解題的關鍵.

11.(2021.山東聊城?中考真題)如圖，在直角坐標系中，點A,8的坐標為A(0,2),B(-

1,0),將△AB。繞點。按順時針旋轉得到△A/B/。，若則點4的坐標為()

A.(邁，還)B.(姮，述)C.(^)D,(^)

55553355

【答案】A

【分析】

先求出AB,04,再作輔助線構造相似三角形，如圖所示，得到對應邊成比例，求出OC

和4C,即可求解.

【解析】

解:如圖所示，?.?點A,B的坐標分別為A(0,2),B(-1,0),

.?.08=1,OA=2,

,,AB=JI2+2?=逐,

*.?ZAOB=90°f

：.ZA/OB/=90°,

：.OAiLOB/f

又〈AB上OBj,

：.OAi//AB,

AZ1=Z2,

過4點作4/CLx軸，

???NA/CO=NAOB,

:./XAOB^A^CO,

.A.OOC\C

??茄一麗―茄’

'：0Ai=0A=2,

20cAe

.?.存=7=可’

0C=|6，/\C=|>/5,

.」2有4用

”〔可三J

故選：A.

【點睛】

本題綜合考查了勾股定理、旋轉的性質、相似三角形的判定和性質等內(nèi)容，解決本題的關鍵

是理解并掌握相關概念，能通過作輔助線構造相似三角形等，本題蘊含了數(shù)形結合的思想方

法等.

12.（2021?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）如圖，已知AD//8C,ABA.BC,A8=3,點E為射線BC

上一個動點，連接4E,將△ABE沿4E折疊，點8落在點8'處，過點3'作4。的垂線，分

別交A。，BC于M,N兩點，當&為線段MN的三等分點時，BE的長為（）

C.或|忘D.卡或|不

【答案】D

【分析】

因為點為線段MN的三等分點，沒有指明線段ZTM的占比情況，所以需要分兩種情況討

i2

論：②B'M=jMN.然后由一線三垂直模型可證.AMB's/NE,

再根據(jù)相似三角形的性質求得硒的值，最后由BE=BN-EN即可求得BE的長.

【解析】

當點8,為線段的三等分點時，需要分兩種情況討論：

①如圖1,當夕時,

,/AD//BC,ABA.BC,MN工BC,

四邊形AB/VM為矩形，

AB'M=-MN=-AB=},B'N=-MN=-AB=2,BN=AM.

3333

由折疊的性質可得A'3=A3=3,ZAB'E=ZABC=90°.

在Rt^AB,M中，AM=ylAB2-B,M2=732-12=2忘.

VZAB'M+AMAB'=90°,ZAB'M+ZEB'N=90°,

：./EB'N=NMAB',

：.AB'NES4AMB',

曷=箸‘即竿=擊’解得硒考，

???BE=BN—EN=2屈一直=^~

22

2

②如圖2,當時,

*.?AD//BC,ABLBC,MN1BC,

，四邊形為矩形，

AB'M=-MN=-AB=2,B'N=-MN=-AB=l,BN=AM.

3333

由折疊的性質可得AB'=AB=3,ZAB'E=ZABC=9Q°.

在心"夕”中，AM=\lAB'2-B'M2=V32-22=5/5-

?/ZAB'M+AMAB'=9^Q,/AB'M+/EB'N=90。，

:.ZEB，N=/MAB',

:?4B'NEsAAMB',

?ENB'NnnEN1

>?----=----,即=-=~F=解得EN=—

B,MAM2y/55

JBE=BN-EN=y/5-^-=—,

55

綜上所述，防的長為乎或管.

故選：D.

【點睛】

本題考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質，由9為線段MV的三等分

點，分兩種情況討論線段B'M的占比情況，以及利用K型相似進行相關計算是解決此題的

關鍵.

二、填空題

13.（2021?湖南湘潭?中考真題）如圖，在“U5C中，點。，E分別為邊AB,AC上的點，

試添加一個條件：,使得AADE與AMC相似.（任意寫出一個滿足條件的即可）

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定方法：兩邊成比例，夾角相等解題.

【解析】

AnAp

解：根據(jù)題意，添加條件法=就,

ZA=ZA

&ADE~^ABC

ADAE

故答案為:

Afi-AC

【點睛】

本題考查相似三角形的判定，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵.

14.（2021?上海長寧?一模）如果兩個相似三角形對應邊上的中線之比為5：4.那么這兩個

三角形的周長之比為.

【答案】5:4

【分析】

根據(jù)相似三角形的性質可直接得出結論.

【解析】

解：：兩個相似三角形的對應中線的比為5：4,

，其相似比為5：4,

；?這兩個相似三角形的周長的比為5：4.

故答案為：5：4.

【點睛】

本題考查了相似三角形的性質，掌握相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比是解題的

關鍵.

15.（2021?黑龍江大慶?中考真題）已知則匚匯=________

234yz

【答案】|

O

【分析】

設再將x，y，z分別用左的代數(shù)式表示，再代入約去上即可求解.

【解析】

解：設]=]=j=人力0，

則x=2億y=3Z,z=4k,

以f+孫Qk）2+2kx3k4公+6尸10公

故------=------------=---------=----=—5

yz3kx4kUk212k26

故答案為：。.

o

【點睛】

本題考查了比例的性質，正確用同一字母表示各數(shù)是解決此類題的關鍵.

16.（2021.上海.中考真題）如圖，已知/也=5,則產(chǎn)=_________.

、ABCD乙、cBCD

D

【答案】|2

【分析】

先根據(jù)等高的兩個三角形的面積比等于邊長比，得出差=再根據(jù)△4。。62\。。8得出

DC2

%=嬰=〈，再根據(jù)等高的兩個三角形的面積比等于邊長比計算即可

OB2

【解析】

解：作AE_L8C,CF±BD

S1

?S-2

°ABCD4

.,.△ABD和△88等高，高均為AE

o—AZ)?AEani

:.S“BD-2______JDJ

S.BCD-BC-AEBC5

2

U：AD//BC

：.△AODs^COB

.OPAD

U9~OB~~BC~2

,?,△BOC和△OOC等高，高均為CF

Q—OB'CFCA0

??.S.BOC=2=OB=2

S.DOC-ODCF°。1

2

.S.BOC=2

S-BCD3

2

故答案為：y

【點睛】

本題考查相似三角形的判定和性質、等高的兩個三角形的面積比等于邊長比，熟練掌握三角

形的面積的特點是解題的關鍵

17.（2021.湖南郴州?中考真題）下圖是一架梯子的示意圖，其中AA//BBJ/CCJ2D、,且

AB=BC=CD.為使其更穩(wěn)固，在A,2間加綁一條安全繩（線段4。），量得AE=0.4m,

則明=________

【答案】1.2

【分析】

根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得AE=EF=FQ,進而即可求解.

【解析】

解：,/AA,HBB\HCC\HDD\,AB=BC=CD,

AE=EF=皿，

A￡=0.4m,

ADt=3A￡=L2m,

故答案是：1.2.

【點睛】

本題主要考查平行線分線段成比例定理，掌握''平行線所截得的對應線段成比例”，是解題的

關鍵.

18.（2021?山東東營?中考真題）如圖，正方形紙片A8C￡＞的邊長為12,點F是AO上一點,

將沿C尸折疊，點。落在點G處，連接。G并延長交48于點E.若AE=5,則GE

的長為.

【答案】E

【分析】

因為折疊，則有。G_LCF,從而可知△AEDs/V/QC,利用線段比求出OG的長，即可求

出EG.

【解析】

如圖，丁四邊形A3CZ）是正方形，

.\Z1+Z2=9O°,

因為折疊，.?.ZX7，b,設垂足為H,

:.DH=HGf

.-.Z2+Z3=90°,

..MED^AHDC,

AEPH

訪一灰，

?：AE=5,AD=DC=12,DE=y/AD2+AE2=13，

.5一DH

??一，

1312

??,DH=—

13f

:.EG=ED-GD

=ED-2GH

=13-2x—

13

49

故答案為言.

【點睛】

本題考查了正方形的性質，軸對稱的性質，三角形相似的判定與性質，勾股定理，找到

/\HDC是解題的關鍵.

19.（2021?湖北隨州?中考真題）如圖，在R/AABC中，ZACB=90°,。為A8的中點，OD

平分N4OC交AC于點G,OD=OA,8。分別與AC,0c交于點E,F,連接AD,CD,

則要的值為.,；若CE=CF,則要的值為

DCOF

【答案】y&

【分析】

（1）根據(jù)條件，證明△AOD=△（%>￡>,從而推斷NOG4=9（r,進一步通過角度等量，證

明AAOG?△ABC,代入推斷即可.

（2）通過。4=OD=OC=Q8,可知A,8,C,Q四點共圓，通過角度轉化，證明

/\ODF-ACBF,代入推斷即可.

【解析】

解：（1）VZACB=90°,。為A8的中點

?.OA=OC

又?:。。平分乙40c

ZAOD=ZCOD

又?：OD=OD

J/\AOD=/\COD

：.AD=CD

：.OD±AC

NOGA=90

在"OG與△ABC中

乙GM)=/BAC,ZOGA=ZBCA=90

???/\AOG-Z\ABC

OGAO1

~BC~~AB~2

⑵：OA=OD=OC=OB

???A3,C,。四點共圓，如下圖:

?:CE=CF

：./CEF=/CFE

又丁/CFE=/BFO

：.NCEF=ZBFO

":/\AOD=/\COD

：.AD=CD

AD=CD

：.NOBF=/CBE

ZBFO+ZOBF=ZCEF+ZCBE=90

即NBOC=90

,:OB=OC

???BC=V20C=垃OA=COD

???NOGA=NBCA=90

???NODB=NFBC

■:/OFD=/CFB

:./XODF?ACBF

.?烏=生=加

OFOD

故答案為：,近

【點睛】

本題考查三角形的相似，三角形的全等以及圓的相關知識點，根據(jù)圖形找見相關的等量關系

是解題的關鍵.

二、解答題綜合

一、解答題

1.（2017?重慶渝中?一模）已知：平行四邊形4BCO,E是BA延長線上一點，CE與A。、BD

交于G、F.

【答案】見解析

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質得到AO〃BC,AB//CD,得至DFGS^BFC,△DFC^^XBFE,

根據(jù)相似三角形的性質列出比例式，計算即可.

【解析】

證明：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

AAD//BC,AB//CD,

:.△DFGSXBFC,△DFC^/\BFE

.GFDFCFDF

*'CF-BF'

.GFCF

??=,

CFEF

^CF2=GFEF.

【點睛】

本題考查的是相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關

鍵.

2.（2021?浙江余杭?二模）如圖，在aABC中，D、E分別是AB,AC上的點，NAED=NB,

△ABC用平分線AF交。E于點G,交BC于點、F.

/-＞、,幾AO2/AG任

（2）設:不==，求工1的vl值.

AC3AF

Ad7

【答案】（1）見解析；（2）黑=：.

AF3

【分析】

（I）根據(jù)兩組對應角相等的兩個三角形相似，可證明△AEQs^ABC.

（2）根據(jù)相似三角形的性質結合已知條件A尸平分/8AC,判定

^ADG^/XACF,在結合已知條件嘿=],可以進行計算.

AC3

【解析】

（1）?:NAED=NB,ZBAC=ZDAE,

：./\AED^^ABC；

（2）V/\AED^/\ABC,

：.ZADE^ZACB,

尸平分/BAC,

：.ZDAG^ZCAF,

：.AADG^AACF,

.AGAD_2

'?壽一就一§?

【點睛】

本題考查了相似三角形的性質和判定.相似三角形的對應邊成比例，解答本題，要找到兩組

對應角相等，靈活運用是關鍵.

3.（2018?上海普陀?一模）如圖所示,在^ABC中，點。在邊BC上，聯(lián)結AD,/ADB=NCDE,

DE交邊AC于點E,OE交8A延長線于點凡S.AD2=DE?DF.

(1)求證：△BFDs^CAD；

(2)求證：BF?DE=AB?AD.

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【分析】

(1)根據(jù)已知條件證明△A￡?ESZ\FD4,推出/D4E=NF,依據(jù)/C￡>E,推出

ZFDB=ZADC,即可得到結論；

RFAD

(2)根據(jù)△BEDsaCA。，推出笠=等，ZB=ZC,得到AB=AC,由此推出結論.

ACDE

【解析】

解：(1)U：AD2=DE^DF.

,ADDF

??方一布’

又：ZADE=ZFDAf

：.XADEsRFDA,

：./DAE=NF,

丁NADB=NCDE,

???NFDB:/ADC,

：.△8EDs△eg

(2)*：△BFDsACAD,

.BFDF

??就一茄’

..ADDF

?~DE~~^DJ

.BFAD

^~AC~~DEf

■:ABEDSACAD,

：.NB=NC,

：.AB=AC,

.BFAD

??----=-----,

ABDE

：?BF?DE=AB?AD.

【點睛】

此題考查相似三角形的判定及性質，熟記相似三角形的判定及性質定理并熟練應用解決問題

是解題的關鍵.

4.(2021?上海金山?二模)如圖，已知在梯形ABC。中，AD//BC,對角線8。平分NABC,

點G在底邊8c上，聯(lián)結。G交對角線4C于F,NDGB=NDAB.

(1)求證：四邊形ABG。是菱形；

(2)聯(lián)結EG,求證：BG?EG=BC,EF.

【答案】(1)見解析；(2)見解析.

【分析】

(1)先證四邊形ABG。是平行四邊形，再由菱形的判定可得結論；

AnEF

(2)由“SAS'可證△然￡0ZiGBE,可得反AAE,由相似三角形的性質可得可二年，即

BCAE

可得結論.

【解析】

證明：(1)?:ADIIBC,

：./￡>A8+NA8G=180°,ZDGB+ZADG=\S00,

*//DGB=ZDABf

：.ZABG=ZADG,

???四邊形ABGD是平行四邊形,

YBO平分NA8C,

/ABD=/GBD,

":ADHBG,

：.ZADB=ZABD=/GBD,

：.AB=AD,

???四邊形A3G。是菱形；

(2)如圖，連接EG,

D

E

BGC

???四邊形A8G。是菱形，

：.AB=BG=AD,NABE=NGBE,

在△48后和4GBE中,

AB=BG

/ABE=/GBE,

BE=BE

:、XABEgXGBE(SAS),

:?EG=AE,

?：ADHBC,

：.XADEsXCBE,

.ADDE

??正一床’

,:DFHAB,

.DEEF

^~BE~~AE9

.ADEF

^~BC~~AE"

?：AD=BG,AE=EG,

.BGEF

**BC-EG*

：?BG*EG=B(yEF.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質，菱形的判定和性質，全等三角形的判定和性質等知識,

靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵.

5.(2021?山東濟南?中考真題)在△ABC中，Z￡MC=90°,AB=AC,點。在邊8C上，

BD=；BC,將線段03繞點。順時針旋轉至OE,記旋轉角為。，連接BE,CE,以CE為

斜邊在其一側制作等腰直角三角形CE尸.連接A尸.

(1)如圖1,當1=180。時，請稟撰寫中線段A尸與線段8E的數(shù)量關系；

(2)當0°<a<180。時，

①如圖2,(1)中線段AF與線段BE的數(shù)量關系是否仍然成立？請說明理由；

②如圖3,當B,E,尸三點共線時，連接AE,判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由.

【答案】(1)BE=&F;⑵①BE=&AF成立，理由見解析；②平行四邊形，理由見

解析；

【分析】

(1)如圖1,證明M//EF,由平行線分線段成比例可得==黑，由45。的余弦值可得

ECBE

BE=-J2AF;

(2)①根據(jù)兩邊成比例，夾角相等，證明AABCSAFEC,即可得空=g=&；

AFAC

②如圖3,過A作AVL5C,連接MF,AC,EF交于點N,根據(jù)已知條件證明EZ)〃尸M,根

據(jù)平行線分線段成比例可得BE=2EF,根據(jù)銳角三角函數(shù)以及①的結論可得AF=EC,

根據(jù)三角形內(nèi)角和以及AABCSAF￡C可得進而可得AB//EC,即可證明四

邊形AECF是平行四邊形.

【解析】

(1)如圖1,

VABAC=90°,AB=AC,

.".ZB=ZC=45°,

???△CE/是以EC為斜邊等腰直角三角形，

ZFEC=45°,Z.EFC=90°,

:.ZB=/FEC,

??.AB//EF,

FCAF

,~EC~~BE'

Fc^2

,/cosC=----=cos45°=——，

EC2

AFy/2

---=—,

BE2

即JBE=0AF;

（2）①=仍然成立，理由如下:

如圖2,

A

VZR4C=90°,AB=AC,

/.ZABC=ZAC^=45°,

???△CE/是以EC為斜邊等腰直角三角形,

\2FCE45?,ZEFC=90°,

???/FCE=ZACB,

cosZFCE=cosZACB,

HrlFCACA”6

即---=---=cos45=——，

ECBC2

???/FCE=ZACB,

Z1+ZACE=N2+ZACE,

.?21=/2,

.-.△FCA^AECB,

.AFAC

即BE=yf2AF;

②四邊形AEtT是平行四邊形，理由如下：

如圖3,過A作連接MEAC,EF交于點、N,

vZfi4C=90°,AB=ACf

/.BM=MC==BC,

2

?；DB=DE,

:./EBD=/DEB,

??./EDC=2/EBD,

???△CEF是以EC為斜邊等腰直角三角形,

:.NEFC=900,

,:B,E,/三點共線，

?;BM=MC,

:.MF=-BC=BM,

2

/./FBC=NBFM,

/FMC=2/FBC,

NFMC=/EDC,

ED//FM,

BEBD

???BD=-BC,

3

：.DM=BM-BD=-BC--BC=-

236f

BD2

---=-,

DM1

.BEBD_2

"EF-DM-T，

；.BE=2EF,

由①可知BE=在AF，

:.AF=^j2EF，

???△CEF是以EC為斜邊等腰直角三角形，

；.EF=FC,EC=6EF,

AF=EC,

?.AFCA^AECB,

:.ZEBC=ZFAC,

\ZBNC=ZANF,

ZAFN=180°-ZFAC-ZANF,ZNCB=180?！猌FBC-ZBNC,

??.ZAFN=/NCB,

即ZAFE=ZACB=45°f

?/ZFEC=45°,

；.ZAFE=/FEC,

AFIIEC,

???四邊形才是平行四邊形.

【點睛】

本題考查了等腰三角形性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊，平行線分線段成比例，相

似三角形的性質與判定，平行四邊形的判定，熟練掌握平行線分線段成比例以及相似三角形

的性質與判定是解題的關鍵.

6.（2021?遼寧鞍山?中考真題）如圖，在AABC中，AB^AC,ZB^C=a（00<a<180°）,

過點A作射線AM交射線BC于點。，將AM繞點A逆時針旋轉a得到AN,過點C作CF//AM

交直線AN于點F,在AM上取點E,使NA￡S=NACB.

（1）當AM與線段8C相交時，

①如圖1,當a=60。時，線段CE和CF之間的數(shù)量關系為.

②如圖2,當。=90。時，寫出線段AE,"和CF之間的數(shù)量關系，并說明理由.

4

（2）當tana=§,AB=5時，若是直角三角形，直接寫出A尸的長.

【分析】

（1）①結論：AE=CF+CE.如圖1中，作C77/AF交AM于T.想辦法證明A7=CF,

ET=CE,可得結論.

②結論：EC=yf2CAE-CF）.過點C作CQ_LAE于Q.想辦法證明CF=AQ,CE=~j2EQ,

可得結論.

（2）分兩種情形:如圖3—I中，當ZCD￡=90°時，過點8作區(qū)/，AC于J,過點尸作FK，AE

于K.利用勾股定理以及面積法求出CQ,再證明FK=CZ）,可得結論.如圖3—2中，當

NECC^9（）。時，ND4B=90。，解直角三角形求出4K,可得結論.