圖形的相似（解析版）2021年中考數(shù)學

2021年中考數(shù)學一輪復習過關訓練匯編

專題18圖形的相似

一、選擇題

1.若q=一，且8=14,則2a—b的值是（）

b4

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】

由題意可得。、6的值，從而得到2個6的值.

【詳解】

解：由題意可得a=0.75b,

代入“+6=14可得：1.756=14,

勖=8,

0a=8xO.75=6,

02a-/?=2x6-8=4,

故選艮

【點睛】

本題考查比例的性質(zhì)與代數(shù)式求值的綜合應用，熟練求解二元?次方程組是解題關鍵.

2.如圖，在DABC中，DEHBC,若AD=4,D5=8,DE=3,則長為（）

A.6B.8C.9D.12

【答案】C

【分析】

由DE//可得到aW￡03zlBC,然后利用相似三角形對應變成比例計算BC即可.

【詳解】

解：0DEHBC,

^ADE^BABC,

ADDE,4_3

a—=—即

ABBC4+8-BC

0BC=9.

故選：C

【點睛】

本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)平行得到相似三角形是解題的關鍵.

AC

3.如圖，在中，N4C3=90°,CO是高，若AO=43D,則一的值為（）

A.y[3B.75C.2D.72

【答案】C

【分析】

首先利用己知條件可以證明囿"）。3回CQ8,然后利用相似三角形的性質(zhì)即可表示出CD,根據(jù)勾股定理即可

Ar

表示出相關的量，求出行的值

BC

【詳解】

的4。8=90°

WACD+^BCD=90°

團CQ是高

回酎。C=aCQ8=90°,魴+國8cD=90°

^\B^ACD

^ACD^CBD

ADCD

a—=—

CDBD

田AD=4BD

團設BOE,AD=4X

^CD12=ADVBD=4xz

即CD=2X

在Rt&ADC和RtQBDC中

AC2=AD2+DC2=(4x)2+(2x)2=20x2

BC2=BCr+DC2=￡+(2x>=5x2

.AC220x2

12]-------=.......-=4

BC25x2

13——AC=2三

BC

故選C

【點睛】

本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理的運用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，熟

記勾股定理是解題的關鍵

4.如圖，在□ABC中，兩條中線BE、CD相交于點O,則與的比值為（）

11

A.-B.一C.—D.—

4332

【答案】A

【分析】

因為BE、CO是GW8C中的兩條中線，可知力E是助8c的中位線，于是。硼8C,得出0DO￡?1CO8,再根

據(jù)相似比即可求出面積比.

【詳解】

解：回8￡、S是0//8C中的兩條中線,

BIDE是創(chuàng)8c的中位線,

于是。DE=—BC

2

mDOE^iCOB,

匹2=)

SCOBBC4

故選：A.

【點睛】

本題考查的是相似：角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關犍.

5.如圖，己知。是三角形ABC中的邊8C上的一點，ABAD=ZC,NA8C的平分線交邊AC于E,

交A。于尸，那么下列結論中錯誤的是()

A.三角形相似于三角形B.三角形8必相似于三角形BEC

C.三角形相似于三角形BECD.三角形84c相似于三角形8DA

【答案】C

【分析】

如果兩個三角形的兩個角分別對應相等，則這兩個三角形相似，據(jù)此逐項分析即可解題.

【詳解】

解：A.-ZBAD^ZC

：.ZBDA=NC+ZDAC=ABAD+ADAC=ZBAE,

又...AE平分NA8C

/.ZABE=NEBC

:.UBDF[][JBAE

故/不符合題意;

NABE=NEBC

又NBAD=NC

.■GBFAWBEC

故B不符合題意;

C.三角形5D尸與三角形BEC,僅有一個公共角NE8C,不能證明相似，故C錯誤，符合題意:

D,-：/BAD=ZC,ZABC=ZABC

：OBAC[]CBDA

故。不符合題意，

故選：C.

【點睛】

本題考查相似三角形的判定，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵.

6.如圖，小正方形的邊長均為1,則下列圖中的三角形（陰影部分）與史鉆。相似的是（）

B

【答案】C

【分析】

根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出力8,AC,8。的長，求出三邊之比，利用三邊對應成比例的兩三角形相似判斷即可.

【詳解】

根據(jù)題意得：AC=V12+12=72-80=2，A8=V32+12=710-

0AC:BC:AB=V2:2：V1O=1：V2：V5.

4、圖中的三角形（陰影部分）三邊之比為1：石：2及，故與EW8C不相似；

B、圖中的三角形（陰影部分）三邊之比為0：石：3,故與加3（;不相似；

C、圖中的三角形（陰影部分）三邊之比為1：、歷：石，故與EW8c相似；

力、圖中的三角形（陰影部分）三邊之比為2：、后：內(nèi)，故與EW8C不相似.

故選：C.

【點睛】

考查相似三角形的判定，掌握三邊對應成比例的兩三角形相似是解題的關鍵.

7.如圖，在因48c中，點。、￡分別在/8、ACk,如果/E=2,EL4OE的面積為4,四邊形

8C￡?E的面積為5,那么邊的長為（）

4

A.2.5B.3C.Vr5D.-

【答案】B

【分析】

可證明且可求得其面.積比，再利用面積比等于相似比的平方，可求得F，代入計算可求得

AB

AB.

【詳解】

解：^AED=^B,且肛4￡=I3C48,

^BADE^EACB,

田沁.=（空）2,

AB

回$3/1力，=4,S四邊形BCDE=5,

團Sa46c=9,

4/2、2

0-=（--）,

9AB

0/18=3,

故選：B.

【點睛】

本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵.

二、填空題

8.如圖，的6C沿4c平到的bC,AE交BC于點、D,若力。=6,。是8C的中點，則C'C=

A

B

B'

【答案】3

【分析】

證明A4'=CA=3,即可得出結論:

【詳解】

由平移的性質(zhì)可知：ADUIAB,

團。的為3C的中點,

0BD=CD,

EL4C=6,

回AA'-CA'=3>

0CC'=AA=3,

故答案為：3.

【點睛】

本題考查了平移的性質(zhì)，平行線等分線段定理等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用知識點解決問題.

9.如圖，正方形ABCQ的邊長為1,點E為BC邊上的一動點（不與8,C重合），過點E作EF_LAE,

交于尸.則線段CF長度的最大值為.

【分析】

由三角形相似，得出比例關系，構建二次函數(shù)，把函數(shù)式變換成頂點式，根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出答案.

【詳解】

由題意知，ABC。是正方形，

S1NB=NC,ZBAE+ZBEA=90°,

13EF1AE.

0Zfi￡A+ZCEF=9Oo,

國NBAE=NCEF,

31AABEsAECF,

ABBE

團---=----.

CECF

設BE=x,CF=y,正方形ABC。的邊長為1,

貝iJCE=l-x,

(3y=-x2+x.

r(1

0y=-+—，

Ix——2j4

團可知拋物線的頂點為開口向下，

1ax=!時，函數(shù)有最大值，最大值為：y=L，

24

故答案為：

4

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，結合了三角形相似的性質(zhì)，解題關鍵是通過相似三角形的性質(zhì)列出二次函數(shù)

解析式.

10.如圖，點C在NAOB的內(nèi)部，回。。=回OC8,BO=26，NOCA與NA03互補，若AC=1.5,BC=2,

則OC=

o

【答案】6

【分析】

通過證明口4。。6口0。3,可得生=/，可求出.

AC0C

【詳解】

解：團NOC4=NOC8,N0C4與NA03互補，

0ZOCA+ZAOB=180°,ZOCB+AAOB=180°,

0ZOCA+ZCOA+AOAC=180°,NOCB+Z.OBC+/COB=180°,

0ZAOB=ZCOA+ZOAC,NAOB=NOBC+NCOB,

0ZAOC=ZOBC,ZCOB=ZOAC,

WACO^QOCB9

「0。BC

團---=----，

ACOC

,3

0OC2=2X-=3,

2

00c=6

故答案為：出.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明口4。。6口。。5是本題的關鍵.

11.如圖，在U48C中，0C=45°,49魴C于。，F(xiàn)為AC上一點、,連接8F交/。于E,過F作MM3/喈交

歷1延長線于〃，交BC于N,若點M恰在8N的垂直平分線上，且BN=1：7,SABD=\5,則S八在

［答案］—.

2

【分析】

過點尸作FMBN于G,先證84=，可證AABZ涇ABFG（A45）,再證ABDE電kFGN（A45）,可

得DE=GN,設EO=x,可得OE：8G=1:6,AD=BG=6x,

可證XFGNskBGF,可得BD=FG=《BGGN=娓X，山S柏。=15,可求x?=偵

6

由5AA郎=LB/>AE=￡5/把％2=板代入計算即可.

AA8E226

【詳解】

解：過點尸作/GI38N于G,

vAD1BC,

ZADC=90°,

ZC=45°,

Z￡）AC=90°-ZC=45°,

?/BF工MN,

NFBN+NFNB=90。,

MB=MN,

ZABN=4FNB,

ZA8N+/BAO=90°,

/BAD=4FBN,

NAEB=2FBC+NC=/BAD+ADAC=NBAF,

BA=BF,

在A45。和ABbG中，

ZADB=NBGF

<ABAD=ZFBG,

AB=BF

AAB￡>^ABFG(A4S),

BD=FG,AD=BG,

?//BED+NBED=90°,ZBAD+ZABD=90°,

4BED=NABD=NFNG,

在ABOE和AKSN中，

ZBDE=4FGN

<ABED=&NG,

BD=FG

ABDE^i^FGN(AAS),

DE=GN,

?;DE：BN=1:7,

：.GN：BN=1:7,

設ED=x,

DE：BG=1:6,

AD=BG=6x?

???ZBFG+ZGFN=ZBFG+/FBG=90°,

??.ZGFN=ZFBG,

???/FGN=/BGF,

/.AFGTV00AfiGF,

?_B_G____F_G_

"FG~GN'

BD=FG=yjBGGN=y/6x，

AE=AD-ED=6x—x=5x,

團SABD=15,

??S^BDA￡>=g逐X?6X=15,

2_5V6

..x=------，

6

.c1nn4"1后<576257657625

■■SAABE=-BDAE=-y/6x-5x=-x=-^-x-^=—

【點睛】

本題考查等腰三角形判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，三角形面積，掌握等

腰三角形判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，三角形面積是解題關鍵.

12.如圖，在DABC中，為8c邊上中線，將△A3。沿/。翻折得到VAB'O,AB咬BC于點、H,連

接8'C,已知=3s△s,c//=6,AC=6,則B'到AC的距離是

B'

【答案T

【分析】

根據(jù)翻折的性質(zhì)、中線的性質(zhì)得到%/澗=5少%，推出AO//B'C,由此證明△AHDSAEHC，根據(jù)

一角形相似的性質(zhì)可計算得S.CH，再根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得解.

【詳解】

解：設B'到AC的距離是從

由已知：S&J0H=6,S△CHB，---2?

由翻折性質(zhì)，

-5AAy。=Sj^ABD，

由三角形中線性質(zhì)，BD=CD,

一°ABD一°ADC'

SAAOB，=5AAz5c,

ADUB'C,

NADH=ZB'CH,NAHD=NB'HC,

△AHDS^B'HC

DH_S&ADH建皿;日

CHS”,§△86

S&CH=￡=26'

SMCB=2+2A/3=；xACxh,

乂已知AC=6,

故答案為：2+2.

3

【點睛】

本題考查了用三角形面積公式建立一元一次方程，平行線的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角

形中線的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)；掌握好相關的性質(zhì)，進行面積的轉(zhuǎn)化是本題的關鍵.

三、解答題

13.如圖，在a48c中，AB=2,AC=y/5,點。在ZC邊上，若0/48O=EIC,求AD的長.

【分析】

由皿18。=回C,m為公共角，可得即18。和如1C8相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)對應邊成比例，得到含有力。

的比例式，解方程可得結論.

【詳解】

解：0(?L4fiZ)=0C,EL4=EL4,

EEL48O?GL4C8.

ABAD

回---=----.

ACAB

血48=2,/。=逐，

2AD

V52

9竽.

【點睛】

本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì).根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式是解題的關鍵.

14.如圖，在口ABC中，過點C作CD//AB,E是/C的中點，連接。E并延長，交AB于點、F,交C8的

延長線于點G,連接Z。，CF

(1)求證：四邊形月尸。是平行四邊形.

3

（2）若GB=3,BC=6.BF=—,求48的長.

【答案】(1)證明見解析；(2)AB=6.

【分析】

(1)由E是4c的中點知AE=CE,由AB//CD知/AFE=/CDE,據(jù)此根據(jù)"44S"即可證口AEF倒

□CED,從而得AF=CD,結合AB//CD即可得證:

(2)證口GBF回口GCD得出=受，據(jù)此求得CD=-

由AF=CD及AB=AF+BF可得答案.

GCCD2

【詳解】

（1）:E是4c的中點,

AE=CE,

AB//CD,

NAFE=NCDE,

在EJAEF和DCED中,

NAFE=NCDE

?/<ZAEF=ZCED,

AE=CE

.-.□AEF（30CED（AAS）,

:.AF=CD,

乂AB//CD,即AF//CD,

???四邊形AFCD是平行四邊形;

⑵?.?AB//CD,

二.□GBF團GCD,

3

GBBF

即3一2

GC-CD

3+6CD

9

解得：CD=-,

2

?/四邊形AFCD是平行四邊形,

9

AF=CD=-,

2

93

AB=AF+BF=—+—=6.

22

【點睛】

本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相

關的性質(zhì)及定理是解題的關鍵.

15.如圖，在銳角三角形Z8C中，點分別在邊上,ZG38C于點于點F,^EAF^GAC.

(1)求證：EL4D5EEL4SC；

(2)若力。=3,A8=5,求叱的值.

AG

【分析】

(1)由于4G0SC,AF^DE,所以EL4FE=EL4GC=90。，從而可證明EL4E￡?=EWC8,進而可證明ELWRZEWBC