山東省東營市2021年中考數(shù)學(xué)真題試卷(含答案與解析)

山東省東營市2021年中考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（共10題；共20分）

1.16的算術(shù)平方根是（）

A.4B.-4C.+4D.8

【答案】A

【考點(diǎn)】算術(shù)平方根

【解析】【解答】解：???4的平方是16,

16的算術(shù)平方根是4.

故答案為：A.

【分析】如果一個(gè)非負(fù)數(shù)X的平方等于a,那么x是a的算術(shù)平方根，直接利用此定義即可解決問

題.

2.下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（)

A.x2+x3=X5B.(—a—b)2=a2+2ab+b2

C.(3x3)2=6x6D.V2+73=V5

【答案】B

【考點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用，合并同類項(xiàng)法則及應(yīng)用，睡的乘方

【解析】【解答】解：A,/和爐不是同類項(xiàng)，不能夠合并，選項(xiàng)A不符合題意；

B,根據(jù)完全平方公式可得（-a-b）2=（a+b）2=a2+2ab+b2,選項(xiàng)B符合題意；

C,根據(jù)積的乘方的運(yùn)算法則可得（3/）2=9”，選項(xiàng)C不符合題意；

D,/與g不能夠合并，選項(xiàng)D不符合題意.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則可判斷A；根據(jù)完全平方公式可判斷B；根據(jù)積的乘方與累的乘方運(yùn)算法則

計(jì)算可判斷C；根據(jù)二次根式的加法法則計(jì)算可判斷Do

3.如圖，ABf/CD,EF1CD于點(diǎn)尸，若ZBEF=150°,則ZABE=（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】D

【考點(diǎn)】角的運(yùn)算，平行線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：過點(diǎn)￡作EH"CD,如圖，

ZDFE+/HEF=180°,

???EF1CD,

???ZDFE=90°,

???ZHEF=90°,

/BEF-150°，

???/BEH=60°，

EHIICD,AB,CD,

：.ABWEH,

NABE=/BEH=60°,

故答案為：D.

【分析】過點(diǎn)E作EHII8,利用平行線的性質(zhì)得到NWE+NHEF=180°,由垂直的定義=

90°,進(jìn)而得出NHEF=90°,根據(jù)角的和差得到N2EH=60°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)求解

即可。

4.某玩具商店周年店慶，全場八折促銷，持會(huì)員卡可在促銷活動(dòng)的基礎(chǔ)上再打六折.某電動(dòng)汽車原價(jià)300

元，小明持會(huì)員卡購買這個(gè)電動(dòng)汽車需要花（）元

A.240B.180C.160D.144

【答案】D

【考點(diǎn)】運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算解決簡單問題

【解析】【解答】解:300x0.8x0.6=144（元），

故答案為：D.

【分析】全場八折促銷，指原價(jià)的80%,再打六折指八折后價(jià)格的60%,剛好這些條件列出方程即可?

5.如圖，在△ABC中，4=90°,NB=42°,BC=8,若用科學(xué)計(jì)算器求AC的長，則下列

按鍵順序正確的是（）

A.回回國歪目B.回田須回回目C.回田叵正回目D.回區(qū)］叵匯回目

【答案】D

【考點(diǎn)】計(jì)算器一三角函數(shù)

【解析】【解答】解：由tan/B=^,得：

AC=BC-tan^B=8xtan42

故答案為：D.

【分析】先由NC=90°,ZB=42°,BC=8可運(yùn)用角B的正切值得到tan/B=笠,再

將tan的表達(dá)式進(jìn)行變形即可求解。

6.經(jīng)過某路口的汽車，可能直行，也可能左拐或右拐.假設(shè)這三種可能性相同，現(xiàn)有兩車經(jīng)過該路口，恰

好有一車直行，另一車左拐的概率為（）

2-1-4-5

AA.-B.-C.-D.-

9399

【答案】A

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法

【解析】【解答】解：畫樹狀圖為：

直左右

/N/N/T\

直左右直左右直左右

共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中恰有一車直行，另一車左拐的結(jié)果數(shù)為2,

所以恰有一車直行，另一車左拐的概率=I.

故答案為：A.

【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中恰有一車直行，另一車左拐的結(jié)果數(shù)為2,再由概率

公式求解即可。

7.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)面展開圖圓心角的度數(shù)為（）

△

主視圖左視圖

-6-

俯視圖

A.214°B.215°C.216°D.217°

【答案】C

【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算，由三視圖判斷幾何體

【解析】【解答】解：由圓錐的高為4,底面直徑為6,

可得母線長I=V42+32=5，

圓錐的底面周長為：TTX6=6兀，

設(shè)圓心角的度數(shù)為n,

解得：n=216,

故圓心角度數(shù)為：216°,

故答案為：C.

【分析】由常見幾何體的三視圖可得該幾何體為圓錐，根據(jù)三視圖知圓錐的高為4,底面直徑為6,可得

母線的長，再根據(jù)扇形的弧長公式可得答案。

8.一次函數(shù)y=ax+b（a*0）與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（axO）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)

用

【解析】【解答】解：A、由拋物線可知，a<0,由直線可知，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、由拋物線可知，a>0,

x=-；>0,得bVO,由直線可知，a>0,b>0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、由拋物線可知，a<0,x=-3<

2a2a

0,得bVO,由直線可知，a<0,b<0,故本選項(xiàng)正確；D、由拋物線可知，a<0,x=-3<0,得b<

2a

0,由直線可知，a<0,b>0故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選C.

【分析】本題可先由一次函數(shù)y=ax+b圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象相比較

看是否一致.本題考查拋物線和直線的性質(zhì)，用假設(shè)法來搞定這種數(shù)形結(jié)合題是一種很好的方法.

9.如圖，^ABC中，48兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1,0）,以點(diǎn)C為位似中心，在x軸

的下方作△力BC的位似圖形△4'B'C，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是

a,則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'的橫坐標(biāo)是（）

【答案】A

【考點(diǎn)】位似變換

【解析】【解答】解：設(shè)點(diǎn)B'的橫坐標(biāo)為無，

則B、C間的橫坐標(biāo)的差為a—l,B'、C間的橫坐標(biāo)的差為一x+1,

???△ABC放大到原來的2倍得到△/TB，C，，

???2（a-1）=-x+1,

解得：x=-2a+3.

故答案為：A.

【分析】設(shè)點(diǎn)B'的橫坐標(biāo)為X,根據(jù)數(shù)軸表示出BC、B，C的橫坐標(biāo)的距離，再根據(jù)位似比利時(shí)計(jì)算即

可。

10.如圖，&ABC是邊長為1的等邊三角形，。、E為線段AC上兩動(dòng)點(diǎn)，且ZDBE=30°,過點(diǎn)D、E

分別作A8、BC的平行線相交于點(diǎn)F,分別交BC、AB于點(diǎn)從G.現(xiàn)有以下結(jié)論：①S^ABC=;

②當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時(shí)，F(xiàn)W=|；③AE+CD=V3DE;④當(dāng)AE=CD時(shí)，四邊形BHFG為菱形,

其中正確結(jié)論為（）

A.①②③B.①②④C.①②③④D.②③④

【答案】B

【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，四邊形的綜合

【解析】【解答】解：如圖1,過4作4LBC垂足為/

圖1

???^ABC是邊長為1的等邊三角形

??,NmCNABC=NC=6。。，

Al=—

2

?1?SAABC=|/l/-FC=|xlXy=^，故①符合題意;

如圖2,當(dāng)。與C重合時(shí)

A

圖2

ZDBE=30°,△ABC是等邊三角形

ZDBE=NABE=30°

DE=AE=-AD=-

22

GE//BD

BGDEa

..—=—=1

AGAE

11

BG=-AB=-

22

GF//BD,BG//DF

HF=BG=1，故②符合題意；

如圖3,將△8CD繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△A8N

Z1=Z2,Z5=Z6=60°,AN=CD,BD=BN

???Z3=30°

Z2+Z4=Z1+Z4=30°

???ZNBE=A3=30°

又「BD=BN,BE=BE

△NBE拶△DBE(54S)

NE=DE

延長E4至ljP使AP=CD=AN

---Z/V7AP=180O-60°-60O=60°

AANP為等邊三角形

ZP=60°,NP=AP=CD

如果A￡+CD=V3OE成立，則PE=V3NE,需NNEP=9Q°,但NNEP不一定為90。，故③不成立；

如圖1,當(dāng)人E=CD時(shí)，

???GE//BC

：.ZAGE=NABC=60°,ZGEA=4C=60°

ZAGE=^AEG=60°,

：.AG=AE

同理：CH=CD

：.AG=CH

-：BG//FH,GF//BH

A四邊形BHFG是平行四邊形

BG=BH

J.四邊形BHFG為菱形，故④符合題意.

故答案為：B.

【分析】①利用三角形的面積公式計(jì)算即可；②依題意畫出圖形，利用等邊三角形和平行線的性質(zhì)求出

FH即可；③將△BCD繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AABN,由"AS”可證4NBE4DBE,可得NE=DE,在三

角形PNE中,利用勾股定理可得AE、CD、DE的關(guān)系,即可得出;④證出四邊形BHFG是平行四邊形，可

得AG=AE=CH=CD,利用菱形的判定定理判定即可。

二、填空題(共8題；共8分)

11.2021年5月11日，第七次全國人口普查數(shù)據(jù)顯示，全國人口比第六次全國人口普查數(shù)據(jù)增加了7206

萬人.7206萬用科學(xué)記數(shù)法表示.

【答案】7.206X107

【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法一表示絕對值較大的數(shù)

【解析】【解答】解：7206萬=72060000,

72060000=7.206X107,

故答案為：7.206x107.

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示即可。

12.因式分解：4a2b—4ab+b—.

【答案】b(2a-l)2

【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用

【解析】【解答】解：4a2fa—4ab+b=h(4a2—4a+1)=b(2a—I)2

故答案為：b(2a—l)2

【分析】根據(jù)分組，可得完全平方公式，根據(jù)十字相乘法，可得答案。

13.如圖所示是某校初中數(shù)學(xué)興趣小組年齡結(jié)構(gòu)條形統(tǒng)計(jì)圖，該小組年齡最小為11歲，最大為15歲，根據(jù)

統(tǒng)計(jì)圖所提供的數(shù)據(jù)，該小組組員年齡的中位數(shù)為歲.

【答案】13

【考點(diǎn)】條形統(tǒng)計(jì)圖，中位數(shù)

【解析】【解答】解：根據(jù)題意排列得：11，11,12,12,12,13,13,

13,13,13,14,14,14,14,15,15,15,15,

個(gè)數(shù)為偶數(shù)，中間的兩個(gè)數(shù)為：13,13,

中位數(shù)為13,

故答案為：13

【分析】根據(jù)中位數(shù)的概念即可得出。

2X-15x4-11

14.不等式組｛三~~的解集是_________.

5%—1<3(x+1)

【答案】-lWx<2

【考點(diǎn)】解一元一次不等式組

【解析】【解答】解：解不等式等一

2(2x-l)-3(5x+l)<6

4x—2—15%—3W6

-11%<11

?,?X>-1

解不等式5x-1<3(x+1)

5x—1<3x+3

2x<4

x<2

???解集-1Wx<2

故答案為：-lWx<2.

【分析】解不等式即可得出答案。

15.如圖，在^ABCD中，￡為8c的中點(diǎn)，以E為圓心，BE長為半徑畫弧交對角線AC于點(diǎn)F,若

ZBAC=60°,ZABC=100°,BC=4,則扇形BEF的面積為.

4

【答案】

9

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算

【解析】【解答】解：,?.ZBAC=60°,ZABC=100°

???ZACB=20°,

??,￡為BC的中點(diǎn),EB、EF為半徑，

???NEFC=NECF=20°,

???^BEF=40°,

,/BC=49

??.BE=2,

扇形BEF的面積=竺叱=空.

3609

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出4CB=20°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出NBEF=40°,

根據(jù)扇形面積公式計(jì)算出來即可.

16.某地積極響應(yīng)"把綠水青山變成金山銀山，用綠色杠桿撬動(dòng)經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型"發(fā)展理念，開展荒山綠化，打造

美好家園，促進(jìn)旅游發(fā)展.某工程隊(duì)承接了90萬平方米的荒山綠化任務(wù)，為了迎接雨季的到來，實(shí)際工

作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃提高了25%,結(jié)果提前30天完成了任務(wù).設(shè)原計(jì)劃每天綠化的面積為x萬

平方米，則所列方程為.

【區(qū):案】-....——=30

LL殺'X(1+25%)X

【考點(diǎn)】列分式方程

【解析】【解答】解：設(shè)原計(jì)劃每天綠化的面積為X萬平方米，則實(shí)際每天綠化的面積為(1+25%)x萬

平方米，

依據(jù)題意：三一就冢=3。

故答案為：/一就冢=30

【分析】設(shè)原計(jì)劃每天綠化的面積為x萬平方米，則實(shí)際每天綠化的面積為(1+25%)x萬平方米，依據(jù)

題意列出方程即可。

17.如圖，正方形紙片ABCD的邊長為12,點(diǎn)F是4)上一點(diǎn)，將△CDF沿CF折疊，點(diǎn)。落在點(diǎn)G處，

連接OG并延長交AB于點(diǎn)E.若AE=5,則GE的長為.

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖,

V四邊形A8CD是正方形

??

?/I+zT2=90°

因?yàn)檎郫B，DG1CF,設(shè)垂足為H

??.DH=HG

???2+與=90°

A/I=^3

AEDHDC

AE_DH

ID=~DC

???AE=5,AD=DC=12

5

■=---

1312

60

-'-DH=13

**.EG=ED—GD

=ED-2GH

60

=13—2x——

13

49

=13

故答案為.

【分析1由"ASA"可證出△力DEWADCF,可得4E=5,由銳角三角函數(shù)可求DO的長，即可求解。

18.如圖，正方形ABCB1中，AB=陋，A8與直線/所夾銳角為60。，延長CBr交直線/于點(diǎn)

41,作正方形A1BQB2,延長CrB2交直線/于點(diǎn)出,作正方形A2B2C2B3,延長C2B3交直線/

于點(diǎn)A3,作正方形4383c3%,…，依此規(guī)律，則線段4202(32021=.

【考點(diǎn)】探索數(shù)與式的規(guī)律，探索圖形規(guī)律

【解析】【解答】解：1AB與直線I所夾銳角為60°，正方形4BCB1中，AB=痘，

??ZB1441=30°,

BM1=BXAtan30°=V3xy=1,

A4I=2=2($I；

—1,N^2-^1^2=30,

B2A2=BiAitan30°=1x~=—■>

.??4遇2=2x(號2-1.

線段^2020^2021=2X(1)202】T=2(f)2020,

故答案為：2(金2。20.

【分析】根據(jù)題意可知圖中斜邊在直線I上的直角三角形都是含30度角的直角三角形，根據(jù)其性質(zhì)得出三

邊的長度，以此類推可找出規(guī)律。

三、解答題(共7題；共83分)

19.

20212021

(1)計(jì)算：V12+3tan30°一|2-遮|+(1T—1)°+8x(-O.125).

(2)化簡求值：事+—+產(chǎn)彳，其中2.

m+27i2n-m4nz-mzn5

【答案】(1)解：原式=2V3+3x--(2-V3)+1+(-8xi)2021,

38

=2V3+V3-2+V3+l-l，

=4V3-2;

_2n(2n-m')+m(2n+m')+4mn

（2）解：原式

(2n+7n)(2n-m)

_4n2-2mn+2mn+m2+4mn

(2n+m)(2n-m)

_4n2+4mn+m2

(2n+m)(2n-m)'

(2n+?n)2

(2n+?n)(2n-m)'

_2n+m

2n-m，

m1

-g，

n=5m,

10m+m_11

???原式

lOm-m9

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算，利用分式運(yùn)算化簡求值

【解析】【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)、零指數(shù)基的運(yùn)算法

則、積的乘方法則計(jì)算即可；

（2）根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則吧原式化簡，根據(jù)題意求出n=5m,代入計(jì)算即可。

20.為慶祝建黨100周年，讓同學(xué)們進(jìn)一步了解中國科技的快速發(fā)展，東營市某中學(xué)九（1）班團(tuán)支部組織

了一次手抄報(bào)比賽.該班每位同學(xué)從A."北斗衛(wèi)星"；B."5G時(shí)代"；C."東風(fēng)快遞"；D."智軌

快運(yùn)"四個(gè)主題中任選一個(gè)自己喜歡的主題.統(tǒng)計(jì)同學(xué)們所選主題的頻數(shù)，繪制成以下不完整的統(tǒng)計(jì)圖，

請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問題：

（1）九（1）班共有名學(xué)生；

（2）補(bǔ)全折線統(tǒng)計(jì)圖；

（3）。所對應(yīng)扇形圓心角的大小為；

（4）小明和小麗從A、8、C、。四個(gè)主題中任選一個(gè)主題，請用列表或畫樹狀圖的方法求出他們選擇相同

主題的概率.

【答案】（1）50

（2）解：50-10-20-5=15（人），

補(bǔ)全折線統(tǒng)計(jì)圖如圖：

(3)108°

(4)解：列表如下:

小明

ABcD

小麗

A(42)(BM)(CM)(DM)

B(4B)(B，B)(C,B)(D,B)

C(4C)(SC)(C,C)(D,C)

D(4。)(“)CD)(5。)

由列表可知，一共有16種等可能的結(jié)果，他們選擇相同主題的結(jié)果有4種,

所以P(相同主題)=白=:

164

【考點(diǎn)】扇形統(tǒng)計(jì)圖，列表法與樹狀圖法

【解析】【解答】解：(1)20+40%=50(人)，

故答案為：50；

(3)360°x竺_108°,

50—

故答案為：108°;

【分析】(1)由B的人數(shù)除以所占的百分比即可；

(2)求出D的人數(shù)，即可解決問題；

(3)由360度乘以D所占的比例即可；

(4)畫樹狀圖，共有16種等可能結(jié)果，小明和小麗選擇相同主題的結(jié)果共4種，再由概率公式求解即

可。

21.如圖，以等邊三角形ABC的BC邊為直徑畫圓，交AC于點(diǎn)。，DFLAB于點(diǎn)F,連接。F,且

AF=1.

B

O

C

（l）求證：DF是O。的切線;

（2）求線段OF的長度.

【答案】（1）證明：連接0D

???△ABC是等邊三角形

=NC=60°

??,0C=0D

△OCD是等邊三角形

???NCD0=4=60°

/.OD//AB

?「DFLAB

N0DF=ZAFD=90

???0D1DF

「?DF是。。的切線；

(2)解：?/OD//AB,0C=0B

OD為AABC的中位線

??.CD=AD

ZAFD=90°,4=60°

???ZADF=30"

??.CD=OD=AD=2AF=2

由勾股定理，得：DF2=AD2-AF2=3

22

???在Rt△ODF中，OF=>JOD+DF=y[7.

【考點(diǎn)】勾股定理，切線的判定，三角形的中位線定理

【解析】【分析】（1）連接0D,得出△0C。是等邊三角形，即可證出DF是。。的切線；

（2）OD//AB,0C=0B,得出0D為△4BC的中位線，由勾股定理得出。片的值，從而得出線段

。尸的長度.

22."雜交水稻之父"一一袁隆平先生所率領(lǐng)的科研團(tuán)隊(duì)在增產(chǎn)攻堅(jiān)第一階段實(shí)現(xiàn)水箱畝產(chǎn)量700公斤的目

標(biāo)，第三階段實(shí)現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量1008公斤的目標(biāo).

（1）如果第二階段、第三階段畝產(chǎn)量的增長率相同，求畝產(chǎn)量的平均增長率；

（2）按照（1）中畝產(chǎn)量增長率，科研團(tuán)隊(duì)期望第四階段水稻畝產(chǎn)量達(dá)到1200公斤，請通過計(jì)算說明他

們的目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn).

【答案】（1）解：設(shè)畝產(chǎn)量的平均增長率為x,根據(jù)題意得：

700（1+x）2=1008,

解得：xx=0.2=20%,x2=-2.2（舍去），

答：畝產(chǎn)量的平均增長率為20%.

（2）解：第四階段的畝產(chǎn)量為1008x（1+20%）=1209.6（公斤），

-■,1209.6>1200,

??.他們的目標(biāo)可以實(shí)現(xiàn).

【考點(diǎn)】一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用-百分率問題

【解析】【分析】（1）設(shè)畝產(chǎn)量的平均增長率為x,根據(jù)題意得方程，解之即可；

（2）由（1）列出算式即可得出。

23.如圖所示，直線y=/qx+b與雙曲線丫=當(dāng)交于4、8兩點(diǎn)，已知點(diǎn)8的縱坐標(biāo)為一3,直線A8

與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)。（0,-2）,。4=4，tan^AOC=l.

（1）求直線AB的解析式；

（2）若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，AOCP的面積是AOOB的面積的2倍，求點(diǎn)P

的坐標(biāo)；

（3）直接寫出不等式k1X+b<^的解集.

【答案】（1）解：如圖，過點(diǎn)A作AE1X軸于點(diǎn)E,

tan^AOC,。4=%

AE=1,0E=2

..?點(diǎn)A(-2,1)

???雙曲線的解析式為y=-j

把4(-2,1),D(0,-2)分別代入y=k1X+b,

侍：｛b=-2

解得：4=一|

b=-2

直線AB的解析式為y=-|x-2

(2)解：如圖，連接OB、PC、PO

把y=-3代入y=-|x-2,得％=|

???點(diǎn)B(|,—2)

172

ODB=_x2x—=—

?"^Su>ua233

4

??S^ocp=2s20DB=3

把y=0代入y=-|%-2,得％=

二點(diǎn)C(-|,0)

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)

144

o=-X-Xy=-

233

y=2

2

y=-x

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,2)；

(3)-2<%<0或%>-

【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

【解析】【解答］解：(3)根據(jù)(1)和(2)的結(jié)論，結(jié)合點(diǎn)A(-2,1)、點(diǎn)8(|,-2)

2

-2Wx<0或x2§.

【分析】(1)把A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系即可；

(2)求出C點(diǎn)橫坐標(biāo)即可得出答案；

(3)圖形結(jié)合，根據(jù)函數(shù)圖象與不等式的關(guān)系求得。

24.如圖，拋物線y=~^x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直線y=-gx+2過

8、C兩點(diǎn)，連接AC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求證：△AOC-LACB；

(3)點(diǎn)M(3,2)是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)。為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)。作DELx軸交

直線BC于點(diǎn)E,點(diǎn)P為拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段DE的長度最大時(shí)，求PO+PM的最小值.

【答案】(1)解：?.?直線y=-1%+2分別與x軸和y軸交于點(diǎn)B和點(diǎn)C,

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2),

把B(4,0),C(0,2)分別代入y=-\x2+bx+c,

得｛-8+4b+c=0

c=2

h--

解得r-2,

c=2

???拋物線的解析式為y=-1x2+1x+2.

(2)證明：,拋物線y=4-|x4-2與x軸交于點(diǎn)A,

--%24--%+2=0,

22

解得%i=-1,上=4，

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),

AO=1,AB=5,

在山△/OC中，AO=1,OC=2,

???4C=遍，

,AO1V5

AC45

.?.一AC=一V5，

AB5

..-A-O=-A-C,

ACAB

又「ZOAC=NCAB,

「?△AOCACB.

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為+,%+2)

則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(居一1%+2)

?*-DE=-+2—(―+2)

=—1x2z4I--3%+.Q24.--1X—Q2

222

=-1x2+In2x

2

???當(dāng)x=2時(shí)，線段DE的長度最大.

此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2,3）,

C（0,2）,M（3,2）

.,.點(diǎn)C和點(diǎn)M關(guān)于對稱軸對稱，

連接CD交對稱軸于點(diǎn)P,此時(shí)PD+PM最小.

連接CM交直線DE于點(diǎn)F,則ZDFC=90°，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2,2）,

CD=y/CF2+DF2=V5，

???PD+PM=PC+PD=CD

PD+PM的最小值V5.

【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問題

【解析】【分析】（1）求出B、C的坐標(biāo)，把它們分別代入拋物線，即可得出b、c的值，由此得出拋物

線的解析式；

（2）由拋物線解得x的值，由此餓出A的坐標(biāo)，在Rt^AOC中，A0=1,0C=2,因?yàn)?/p>

Z0AC=ZCAB,由此證出^AOCACB:

⑶設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為?-#+|x+2）,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（羽―1+2）,當(dāng)x=2時(shí)，線段DE

的長度最大.此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2,3）,連接CD交對稱軸于點(diǎn)P,此時(shí)PD+PM最小.連接CM

交直線DE于點(diǎn)F,則〃FC=90°,點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2,2）,因?yàn)镻D+PM=PC+PD=CD,

得出PD+PM的最小值.

25.已知點(diǎn)。是線段A8的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線/上的任意一點(diǎn)，分別過點(diǎn)A和點(diǎn)8作直線/的垂線，垂足分

別為點(diǎn)C和點(diǎn)D.我們定義垂足與中點(diǎn)之間的距離為“足中距”.

是________

（2）［探究證明］如圖2,當(dāng)點(diǎn)P是線段A8上的任意一點(diǎn)時(shí)，"足中距"OC和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立,

若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

（3）［拓展延伸］如圖3,①當(dāng)點(diǎn)P是線段8A延長線上的任意一點(diǎn)時(shí)，"足中距"0C和。。的數(shù)量關(guān)系是否

依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

②若ZCOD=60°,請直接寫出線段AC、BD、OC之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）。。=。。

（2）解：數(shù)量關(guān)系依然成立.

證明（方法一）：過點(diǎn)。作直線EF“CD,交BD于點(diǎn)F,延長AC交EF于點(diǎn)E.

???EF”CD

■■/DCE=/E=ZCDF=90°

四邊形CEFD為矩形.

???/OFD=90°,CE=DF

由（1）知，OE=OF

△COE=△。。/（SAS），

OC=OD.

證明（方法二）：延長CO交BD于點(diǎn)E,

ACLCD,BD1CD,

AC“BD,

???ZA=ZB,

；點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，

AO=BO,

又ZAOC