蘇教版五年級數(shù)學解方程教材解讀

第一單元簡易方程教材解讀“簡易方程”是課程內(nèi)容劃分里面的“數(shù)與代數(shù)”部分。本單元的課程目標是：能用方程表示簡單的數(shù)量關(guān)系；能解簡單的方程。課程內(nèi)容是：(一)能用方程表示簡單情境中的等量關(guān)系(如：3+2x=5,2x-x=24)，了解方程的作用（二）了解等式的性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解簡單的方程。教材分析本單元教學內(nèi)容是在學生初步認識用字母表示數(shù)的意義和作用的基礎(chǔ)上初步理解方程的意義，等式的性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解方程。編排了10個例題，包括方程的概念，解方程的方法以及列方程解決實際問題。具體如下：例1等式的含義例2方程的意義例3、例5等式的性質(zhì)例4、例6利用等式的性質(zhì)解方程例7列方程解答一步計算的實際問題例8~例10列方程解答兩、三步計算的問題從上表可以看出教材編排的特點：第一，在一步計算的方程和列方程解答一步計算的實際問題內(nèi)容上安排比較細，編排的例題多，步子比較小。這也是因為學生從習慣了的算術(shù)思考轉(zhuǎn)變到代數(shù)思考，需要一定的時間，這期間的教學適當放慢些。第二，編排兩道例題教學等式的性質(zhì)，兩道例題教學解一步計算的方程?？梢姡玫仁降男再|(zhì)解方程是學生應該掌握的基本方法。第三，把解一步計算的方程和列方程解答一步計算的實際問題分開編排。先教解方程，再教列方程解決問題。分別教學便于突出重點，分散難點，有利于學生掌握基礎(chǔ)知識。第四，把解兩、三步計算的方程與列方程解決兩、三步計算的實際問題合并著教學。這樣編排能較好的體現(xiàn)教學內(nèi)容與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，一方面分析題里的數(shù)量關(guān)系，抽象成方程；另一方面利用方程解決實際問題，是知識與技能的教學具有現(xiàn)實意義，能使這個過程成為數(shù)學思考，問題解決，情感態(tài)度發(fā)展的有效載體。（一）從等式到方程，逐漸構(gòu)建新的數(shù)學知識。1.要認識方程需要先理解等式。例1就是為教學等式而編排的，借助直觀情景體會等式的含義。教材沒有給等式下定義，只要求明白等式里有一個符號，表示左右兩邊的數(shù)或式子相等，這就有了等式的概念。例2繼續(xù)認識等式，例2中有些天平的兩邊平衡，有些天平的兩邊不平衡。根據(jù)各個天平的狀態(tài)，寫出的四個式子里都含有未知數(shù)，其中兩個是含有未知數(shù)的等式，另兩個是含有未知數(shù)的不等式。感受含有未知數(shù)的等式的含義，能進一步加深對等式的認識。2.

教學方程的意義，從形式上認識方程。“含有未知數(shù)”和“等式”是方程的兩個顯著特征，人們經(jīng)常以這兩點來別方程。教學方程，要讓學生知道方程的形式特點。例1與例2陸續(xù)寫出了一些等式或不等式，寫沒有未知數(shù)的等式和含有未知數(shù)的等式，，可以先按“是不是等式”把兩道例題寫出的式子分類；再按“有沒有未知數(shù)”把寫出的等式分類。指著分出的含有未知數(shù)的等式那一類，告訴學生“像x+50＝1502x＝200這樣含有未知數(shù)的等式叫方程”。讓他們了解這兩個式子的共同特點是即“含有未知數(shù)”又是一個“等式”。

例2的最后討論“等式與方程有什么關(guān)系”，強調(diào)方程應該含有未知數(shù)，還必須是等式。例3教學等式的一個性質(zhì)。得出結(jié)論：“等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式”。例5繼續(xù)教學等式的性質(zhì)，利用前面學習等式性質(zhì)的數(shù)學活動經(jīng)驗，認識等式的另一條性質(zhì)。等式兩邊同時乘或除以同一個相同的數(shù)，結(jié)果仍然是等式”得出等式的另一條性質(zhì)。不過，等式的兩邊同時乘0，等式會變成0=0，而人們通常不讓等式的兩邊都乘0；由于除法的除數(shù)不能是0，所以等式的兩邊不能同時除以0。在初步得出的等式性質(zhì)里明確（等式兩邊）同時乘或除以同一個“不等于0的數(shù)”。使等式性質(zhì)的表述更加嚴密。3.應用等式性質(zhì)解方程。例4和例6都是教學解方程。教材把解方程置于現(xiàn)實的情境之中，體現(xiàn)它是解決實際問題的方法，有現(xiàn)實意義。例4、例6都是應用等式性質(zhì)的解方程，應用等式性質(zhì)，使方程含有未知數(shù)的一邊只剩下x，從而得出方程的解的過程。如果利用加法中各部分的關(guān)系“和減一個加數(shù)等于另一個加數(shù)”，也能求出這個方程x的值。但不是教材教學的解方程。用等式性質(zhì)解方程，關(guān)鍵是方程等號的兩邊都加（減）幾、乘（除以）幾。另外，例4和例6的編寫還注意了三點：一是關(guān)于解方程的書寫格式，強調(diào)解方程時先寫解，各個等式的等號要上下對齊，教學時應該嚴格遵循。二是求得x的值以后，通過“是不是正確答案”的質(zhì)疑，引導學生根據(jù)“左右兩邊是不是相等”進行檢驗。三是回顧求x值的過程，指出什么是方程的解、什么是解方程，這是以后經(jīng)常要使用的概念，也是學生可能混淆的概念.4.逐漸掌握解方程的方法并形成相應的技能。學生在兩道例題里只是初步學會解方程，如何幫助他們掌握解方程的方法，形成相應的技能。用好教材里的兩段安排，能培養(yǎng)這方面的能力。一段安排是兩道例題后面的“練一練”。為了使方程x-30=80的左邊只剩下未知數(shù)x，左邊需要加30，右邊應該同時加30。即x-30+30=80+30。為了使方程x÷0.2=0.8的左邊只剩下未知數(shù)x，左邊需要乘0.2，右邊應該同時乘0.2。即x÷0.2×0.2=0.8×0.2。這是剛教學解方程時的練習設(shè)計，只有抓住解方程的關(guān)鍵步驟，呈現(xiàn)應用等式性質(zhì)、求得未知數(shù)值的具體過程，才能體會解方程的策略和思路。另一個安排是練習一第8題起，在初步學會解方程的基礎(chǔ)上，把關(guān)鍵步驟想在頭腦里，直接寫出求未知數(shù)值的那一步。幫助學生適當簡化解方程的書寫過程，壓縮思路。如，解方程x-20＝30，在方程的兩邊都加上20，一邊想x-20+20＝30+20，同時寫出x＝30+20；解方程0.6x=4.2，把0.6x÷0.6＝4.2÷0.6想在頭腦里，直接寫出x＝4.2÷0.6。這樣書寫，能使解方程的思考更加流暢，也與以后中學里解方程的“移項”等方法相接軌，有利于提升解方程的能力。（二）精心設(shè)計練習題，加強對簡單方程的理解。1.練習一配合例1~例6的教學，編排了相當豐富的練習內(nèi)容，幫助學生逐步豐富對簡單方程的認識，掌握有關(guān)的知識，形成初步的技能。練習一里的第1、2兩題通過看圖列方程，體驗現(xiàn)實情境里的比較簡單的相等關(guān)系，并依據(jù)相等關(guān)系列出方程，理解方程的意義。第4、6、8三題通過解方程的練習，逐漸握解方程的思路與方法，形成初步的解方程技能。配合例4的“練一練”第2題，2個梨和3個桃的質(zhì)量相等，這就聯(lián)系現(xiàn)實情景體會了“等式兩邊同時減去同一個數(shù)，結(jié)果仍然是等式”練習一第13題也應用了等式性質(zhì).。學生對等式性質(zhì)的理解會逐步深入，應用等式性質(zhì)解方程就越來越自如。

2.通過檢驗，體驗方程的解。理解“方程的解”，首先要明白什么是方程的解，其次要會檢驗方程的解。前者是概念，后者是方法，應該在理解概念的基礎(chǔ)上運用方法。

教材指出“使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫作方程的解”。由此可知，檢驗未知數(shù)的值是不是方程的解，看它能不能使方程左右兩邊相等。例4和例6、練習一第3題、第9題，這些過程有助于體驗方程的解的含義，掌握檢驗方程解的方法。3.

看圖列方程并解方程，為后面列方程解決實際問題作鋪墊。

學習方程，應該應用它解決實際問題。找到實際問題里的相等關(guān)系，列出方程是十分重要的環(huán)節(jié)，也是學生感到困難的環(huán)節(jié)。教材在練習一里提前作些鋪墊性安排，如:第5、7、10、12等題，讓學生找到圖畫情境里的相等關(guān)系列出方程，并解答。又如第11題，要求找到表格里的相等關(guān)系列方程和解方程。用這些相等關(guān)系列方程的思想方法，對以后的教學很有作用。

（三）列方程解決稍難的一步計算實際問題例7解決的一步計算問題。利用題中最基本的數(shù)量關(guān)系列方程，降低了思考的難度。類似的一步計算問題還有像例7的“練一練，已知一個數(shù)的幾倍是多少，求這個數(shù)的問題。列方程解決實際問題的關(guān)鍵是找到問題里的相等關(guān)系。列方程的數(shù)量關(guān)系，“平等”看待已知數(shù)量和未知數(shù)量，把兩者融合起來，共同參與運算，一般稱之為相等關(guān)系（也稱等量關(guān)系）。尋找相等關(guān)系是列方程解決實際問題的教學重點，如果找不到相等關(guān)系，就列不出方程。尋找相等關(guān)系還是教學難點。首次教學列方程解決實際問題，例7里依次安排三個重要內(nèi)容：一是怎樣尋找數(shù)量之間的相等關(guān)系；二是這個問題為什么列方程解答；三是列方程解答實際問題的步驟與書寫格式。這三個內(nèi)容中，第一個最重要，另兩個內(nèi)容都能在第一個內(nèi)容里得到啟示。這道例題的相等關(guān)系“小紅去年的體重+2.5＝今年的體重”，是從“今年比去年增加了2.5千克”得出的。分析這個已知條件，會想到小紅今年的體重、去年的體重、2.5千克是三個有關(guān)系的數(shù)量；接著會想到今年的體重重些、去年的體重輕些，2.5千克是兩年體重的相差數(shù)；然后把上面的想法用數(shù)學式子表示成相等關(guān)系式，列方程便有了依據(jù)。從列算式的思維轉(zhuǎn)變?yōu)榱蟹匠痰乃季S。列方程解決實際問題的兩個要點分別是列出方程和解方程，檢驗答案應該在這兩個環(huán)節(jié)上進行。首先要檢查列方程的相等關(guān)系是否符合實際問題的題意，然后檢查未知數(shù)的值是否符合方程。然而，人們往往直接檢驗答案是否符合實際問題的數(shù)量關(guān)系，這種做法是很好的。就例4來說，求得去年體重33.5千克以后，只要檢驗今年體重是不是比去年增加2.5千克。如果今年體重確實比去年增加2.5千克，則解題正確；如果今年體重不是比去年增加2.5千克，則答案錯誤。就“練一練”來說，求得非洲象大約重5噸，只要檢驗藍鯨的體重是不是非洲象的33倍，或是通過5×33檢驗，或者通過165÷5檢驗。（四）解稍復雜方程的策略——轉(zhuǎn)化成簡單的方程例8、例9和例10都是解答兩、三步計算的實際問題，列出的方程稍復雜些。這三道例題都同時教學兩個知識，一個是怎樣解稍復雜的方程，還有一個是如何列稍復雜的方程。把兩個知識結(jié)合著教學，能體現(xiàn)數(shù)學內(nèi)容（方程）和現(xiàn)實生活（實際問題）的聯(lián)系，一方面分析實際問題里的數(shù)量關(guān)系，抽象出方程，形成知識與技能的教學內(nèi)容；另一方面利用方程解決實際問題，使知識與技能的教學具有現(xiàn)實意義，成為數(shù)學思考、問題解決、情感態(tài)度有效發(fā)展的載體。三道例題涉及的方程分別形如ax±b＝c、ax±bx＝c、ax±b×c＝d。解這些方程都要通過計算或者利用等式性質(zhì)，把原方程化歸成簡單方程而求出未知數(shù)的值。像這樣化復雜為簡單、變新知為舊知是我們解決問題的常用策略。引導學生通過轉(zhuǎn)化解稍復雜的方程，能充分體驗轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展解決問題的策略。1.從各個方程的特點出發(fā)，使用不同的化簡方法。解ax±b＝c這樣的方程，一般根據(jù)“等式兩邊同時加上或減去相同的數(shù)，結(jié)果仍然是等式”這條性質(zhì)化簡原來的方程。例8在列出方程2x-22＝64以后，寫出了解這個方程的第一步：2x-22+22＝64+22，使原方程化簡成2x=86。教學時應讓他們說說這一步在做什么以及為什么這樣做，體會利用等式性質(zhì)化簡方程的意圖。而新課程應用等式性質(zhì)解方程，突出的是化繁為簡的思想與方法。解ax±bx＝c這樣的方程，一般應用運算律和相應的計算化簡方程。例9中方程的左邊是x+3x可以改寫成（1+3）x，方程x+3x=290可以化簡成4x=290。解ax±b×c＝d這樣的方程，一般按運算順序先算出b×c的積，原來的方程就變成像例8里的方程，也就實現(xiàn)了化新為舊。例10列出的方程3x+95×3=540，算出95×3的積，原方程就化簡成3x+285=540。通過上面的分析，應該看到解稍復雜的方程是很重要的知識與技能。2.各道例題采用不同的教學思路，鼓勵學生繼續(xù)解轉(zhuǎn)化后的方程。例8讓學生接著解2x＝86，求出x的值。這是因為他們具有解這種方程的能力。教材這樣安排，目的是把轉(zhuǎn)化思想與方法放在突出的位置上，促進新舊知識的銜接，有效地使用教學資源。檢驗方程的解已經(jīng)在前面教過，例8要求學生檢驗，不僅是培養(yǎng)良好的習慣，還要通過“結(jié)果是正確的”，確認解稍復雜方程的“策略與方法是正確的”。例9把原來的方程x+3x=290化簡成4x＝290以后，安排學生先算出x的值，再算出3x表示的值。這是因為72.5米和217.5米是實際問題的兩個答案。以前列方程解決的實際問題，一般只有一個答案，現(xiàn)在遇到有兩個答案的情況，需要完整呈現(xiàn)解題過程，在解題步驟和書寫格式上作出必要的規(guī)范。另外，這道例題在檢驗上也有拓展。列方程解決實際問題，不只是檢驗解方程是否正確，還要檢驗列出的方程是不是符合現(xiàn)實的數(shù)量關(guān)系。由于答案是通過解方程得到的，而方程是依據(jù)實際問題的數(shù)量關(guān)系列出的，所以我們在教學時通常把答案直接放到實際問題的數(shù)量關(guān)系里檢驗。這道例題給出的數(shù)量關(guān)系有兩個，分別是頤和園占地（即陸地和水面一共占地）290公頃、水面面積是陸地面積的3倍。解題得到的水面面積和陸地面積符合這兩個數(shù)量關(guān)系，才是正確的。例10把列出的方程3x+95×3=540改寫成3x+285＝540，這就把原方程化歸成了例8教學的方程，把繼續(xù)解方程和檢驗方程的解留給學生完成是很自然的安排。如果根據(jù)“速度和×時間＝總路程”，列出（x+95）×3＝540，則又是一種未見過的方程。可以讓學生嘗試著解這個方程，應用等式性質(zhì)，等號兩邊同時除以3，先算出x+95＝180，再得出未知數(shù)的值。這樣做，仍然應突出化簡方程的思想方法。（六）列方程解決較復雜實際問題的關(guān)鍵——找到相等關(guān)系1.靈活開展尋找相等關(guān)系的思維活動。較復雜的問題之所以復雜，在于它的數(shù)量關(guān)系復雜。例8里大雁塔的高度“比小雁塔高度的2倍少22米”，其中既有倍數(shù)關(guān)系，又有相差關(guān)系。例9里給出兩個并列的條件：頤和園水面面積與陸地面積一共290公頃、水面面積大約是陸地面積的3倍，從“和”與“倍”兩個角度分別揭示水面面積和陸地面積的關(guān)系。例10是四年級教學的相遇問題，涉及的數(shù)量比較多，包括客車行駛的速度與時間、貨車行駛的速度與時間、兩車行駛的總路程等。因此，尋找復雜問題的相等關(guān)系，要仔細梳理數(shù)量關(guān)系，分清事件發(fā)生與發(fā)展過程的主次和先后。例8要求學生找出“大雁塔與小雁塔高度之間有什么相等關(guān)系”，可以利用已有的倍數(shù)概念和相差概念，通過推理把“比小雁塔高度的2倍少22米”改寫成數(shù)學式子“小雁塔高度×2-22”，從而得到相等關(guān)系“小雁塔高度×2-22=大雁塔的高度”。為了突出相等關(guān)系，教材在它上面加了色塊，讓教學注意相等關(guān)系是怎樣找到、怎樣表達的，加強得出相等關(guān)系的過程。學生中有可能出現(xiàn)“小雁塔高度×2-大雁塔高度＝22”這樣的相等關(guān)系，也能列方程解題。事實上，我們大多喜歡依據(jù)“小雁塔高度×2-22=大雁塔的高度”列方程解決問題。教學時可以讓學生知道應用“小雁塔高度×2-大雁塔高度＝22”也能列出方程。例9列方程求頤和園的陸地面積與水面面積，設(shè)哪一個數(shù)量為x，另一個數(shù)量怎樣表示，涉及如何合理利用兩個并列的已知條件。為此，教材選擇了線段圖。通常先畫表示一倍數(shù)（陸地面積）的線段，再畫表示三倍數(shù)（水面面積）的線段，顯然設(shè)陸地面積為x公頃，把水面面積表示為3x公頃是很自然的。再根據(jù)陸地面積與水面面積相加的和是頤和園的總面積，就能找到解決這個問題的相等關(guān)系。例10是相遇問題。教學時我曾經(jīng)把畫示意圖作為解決問題的一種策略。學生已經(jīng)能畫線段圖表示相遇問題的題意，也能理解相遇問題里的數(shù)量關(guān)系。2.加強寫出含有字母式子的練習，進一步把握數(shù)量關(guān)系，為列方程打基礎(chǔ)。練習二第6題寫出表示梨樹棵數(shù)的式子3x+15，表示鳊魚尾數(shù)的式子4x-80，都是解答有關(guān)“幾倍多幾”或“幾倍少幾”等數(shù)量關(guān)系的實際問題所需要的基本技能。例9后面的“練一練”第1題是配合例題的專項練習，要求根據(jù)黃花x朵和紅花朵數(shù)是黃花的3倍，先想到紅花有3x朵，然后用式子x+3x（或4x）表示黃花和紅花一共的朵數(shù)，用式子3x-x（或2x）表示紅花比黃花多的朵數(shù)，發(fā)展按數(shù)量關(guān)系聯(lián)想的能力。聯(lián)想到的含有字母的式子，正是列方程解答“和倍”或“差倍”問題的核心部分。3.列方程解答有些變化的問題，拓展對相等關(guān)系的認識。練習二第14題可以通過列表或者畫圖，弄懂這張發(fā)票上購買了兩種物品，一共用去25.10元：一種是文件夾，單價3.50元，數(shù)量1個；另一種是墨水，單價不知道，數(shù)量12瓶。上述的這些整理，有助于找到實際問題里的相等關(guān)系，有利于順利列出方程。練習三第15題，學校舞蹈隊為女同學購買上衣和裙子的問題，數(shù)量關(guān)系是（上衣價錢+裙子價錢）×購買套數(shù)=一共用的錢。已知一共用去1520元，求上衣價錢，或者求裙子價錢、購買套數(shù)，都可以根據(jù)這個相等關(guān)系列出方程。練習二第10題，根據(jù)三角形的面積公式，如果已知三角形的底和高，可以列算式求面積；如果已知三角形的面積和底（或高）時，可以列方程求高（或底）。第16題給出了華氏溫度與攝氏溫度的換算公式，把已知的攝氏溫度換算成華氏溫度，只要列算式計算；把已知的華氏溫度換算成