常微分方程求解與動畫架構

一、前言

日常生活中公路的造線。在圓曲線路段內車輛有一定的離心力，這路線方向的調整、路面傾斜度的漸變以及路面加寬通常會由曲率來決定。數學應用上，曲率主要是用來描述曲線上某處，曲線彎曲變化的程度，通常使用微積分技巧求曲率。當曲線軌跡推至三維後，描述線段軌跡的因素則多了一項扭率。在材料力學梁翹曲中，計算正向應力時的推導，亦需使用到曲率觀念。本計畫延伸平面曲線的概念，探討空間曲線。利用向量微積分的觀點與曲線弧長參數表示法做切入點。透過Mathematica軟體建構軌跡動畫。希望本計畫對日後學生學習、老師教學與工程運用都會有相當的幫助。二、研究議題1.空間曲線之時間與弧長參數表示法的建立及其關係。2.討論曲線之曲率與扭率在空間曲線之幾何、力學與物理意義。3.將Frenetformula轉成狀態(tài)方程配合初位置與初架構(frame)求解。4.提出一套空間曲線三維建構模型。5.探討三種向量，切向量、法向量與Binormal向量，所對應的幾何意義及其工程應用。6.符號運算軟體Mathematica使用能力建立。7.矩陣函數的求解技巧與應用。三、研究方法與過程給一空間曲線，其時間參數表示式為，藉由弧長關係將時間參數表示法轉成至空間參數表示法，，為位置向量單位切向量為微小弧長單位法向量因與正交，故可令單位雙法向量(binormalvector)，則與和向量正交?？傻闷鋱D型如下經整理運算可得狀態(tài)空間表示式如下：

其中Ａ為Frenetformula

圖切向量、法向量與雙法向量四、研究結果因軌跡方程會滿足一狀態(tài)方程，而其解的形式為，所以以下將介紹三種方式解。狀態(tài)方程Frenetformula矩陣函數技巧與應用1.傳統(tǒng)方法2.Jordan正則式(CanonicalForm)3.矩陣餘式定理傳統(tǒng)方法假設有一矩陣Ａ，其特徵向量組成的矩陣為Ｖ對角化而Jordan正則式(CanonicalForm)假設有一矩陣A，其特徵值有二重根，可利用JordanCanonicalForm解決重根問題，矩陣特徵值有二重根時JordanForm表示為以下為四重根矩陣餘式定理給一矩陣Ａ，其特徵方程式為特徵值為由Cayley-Hamilton定理知。透過餘式定理可知將分別代入，可求得。再由實數和矩陣可互換性質，將實數換為矩陣可寫成代入矩陣Ａ得。五、曲線動畫與Frenetformula參數研究G.E.初位置初向量一般軌跡方程為聯立常微分方程，因此可用求解Frenetformula切向量。法向量。雙法向量。曲線建立

給

為初始向量，再由初位置與可建構出曲線Frenetformula參數研究a.初狀態(tài)b.初位置改變c.改變曲率半徑d.改變扭率a.動畫與黑線為空間曲線，紅線，綠線，藍線。b.改變初位置:和黑線為第a.藍線為b.c.改變曲率半徑:黑線為其餘依順序為d.改變扭率:黑線為其餘依順序為六、空間曲線之時間與弧長參數表示法曲線時間與弧長參數表示為半徑，為角度，為變數。如圖所示圖空間曲線之半徑與角度空間曲線弧長參數表示法半徑角度研究a.改變半徑(固定角度)b.角度改變(固定半徑)a.改變半徑固定(角度)

紅線半徑為綠線半徑為藍線半徑為b.改變角度