2024屆河北省深州市長(zhǎng)江中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2024屆河北省深州市長(zhǎng)江中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)為內(nèi)的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，記，則間的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．2．已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且側(cè)棱垂直于底面）高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（）A． B． C． D．3．下圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的x值為A．95 B．47 C．23 D．114．已知，，是不全相等的正數(shù)，則下列命題正確的個(gè)數(shù)為()①；②與及中至少有一個(gè)成立；③，，不能同時(shí)成立．A． B． C． D．5．對(duì)于實(shí)數(shù)x，符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定義函數(shù)f（x）=x﹣[x]，則下列命題中正確的是①函數(shù)f（x）的最大值為1；②函數(shù)f（x）的最小值為0；③方程有無(wú)數(shù)個(gè)根；④函數(shù)f（x）是增函數(shù)．A．②③ B．①②③ C．② D．③④6．A． B． C． D．7．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為A． B． C． D．8．已知集合,集合,則A． B． C． D．9．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為A．B．C．D．10．如果點(diǎn)位于第三象限，那么角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知n元均值不等式為：，其中均為正數(shù)，已知球的半徑為R，利用n元均值不等式求得球的內(nèi)接正四棱錐的體積的最大值為

A． B． C． D．12．設(shè)關(guān)于的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)滿(mǎn)足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，則向量的單位向量______．14．為了了解家庭月收入（單位：千元）與月儲(chǔ)蓄（單位：千元）的關(guān)系，從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為，若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，據(jù)此估計(jì)該家庭的月儲(chǔ)蓄為_(kāi)_________千元.15．在空間中，已知一個(gè)正方體是12條棱所在的直線與一個(gè)平面所成的角都等于，則______．16．已知變量，滿(mǎn)足約束條件，設(shè)的最大值和最小值分別是和，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）2019年某地初中畢業(yè)升學(xué)體育考試規(guī)定：考生必須參加長(zhǎng)跑.擲實(shí)心球.1分鐘跳繩三項(xiàng)測(cè)試，三項(xiàng)測(cè)試各項(xiàng)20分，滿(mǎn)分60分．某學(xué)校在初三上學(xué)期開(kāi)始時(shí)，為掌握全年級(jí)學(xué)生1分鐘跳繩情況，按照男女比例利用分層抽樣抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，其中女生54人，得到下面的頻率分布直方圖，計(jì)分規(guī)則如表1：（1）規(guī)定：學(xué)生1分鐘跳繩得分20分為優(yōu)秀，在抽取的100名學(xué)生中，男生跳繩個(gè)數(shù)大等于185個(gè)的有28人，根據(jù)已知條件完成表2，并根據(jù)這100名學(xué)生測(cè)試成績(jī)，能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生1分鐘跳繩成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān)？附：參考公式臨界值表：（2）根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級(jí)學(xué)生經(jīng)過(guò)一年的訓(xùn)練，正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步．假設(shè)今年正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開(kāi)始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè)，全年級(jí)恰有2000名學(xué)生，所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)X服從正態(tài)分布N（μ，σ2）（用樣本數(shù)據(jù)的平值和方差估計(jì)總體的期望和方差，各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替）①估計(jì)正式測(cè)試時(shí)，1分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；②若在全年級(jí)所有學(xué)生中任意選取3人，正式測(cè)試時(shí)1分鐘跳195個(gè)以上的人數(shù)為ξ，求ξ占的分布列及期望．18．（12分）如圖，在正四棱錐中，為底面的中心，已知，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，以為基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；（2）設(shè)二面角的平面角為，且，試判斷點(diǎn)的位置．19．（12分）設(shè)復(fù)數(shù)（其中），．（Ⅰ）若是實(shí)數(shù)，求的值；（Ⅱ）若是純虛數(shù)，求．20．（12分）給出下列不等式：，，，，（1）根據(jù)給出不等式的規(guī)律，歸納猜想出不等式的一般結(jié)論；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)傾斜角為的直線（為參數(shù)）與曲線（為參數(shù)）相交于不同的兩點(diǎn).（1）若，求線段中點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，其中，求直線的斜率.22．（10分）求的二項(xiàng)展開(kāi)式中的第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)奇函數(shù)解得，設(shè)，求導(dǎo)計(jì)算單調(diào)性和奇偶性，根據(jù)性質(zhì)判斷大小得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意得，令.則為內(nèi)的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減又，故，選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，比較大小，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.2、C【解題分析】

根據(jù)正四棱柱的底面是正方形,高為4,體積為16,求得底面正方形的邊長(zhǎng),再求出其對(duì)角線長(zhǎng),然后根據(jù)正四棱柱的體對(duì)角線是外接球的直徑可得球的半徑,再根據(jù)球的表面積公式可求得.【題目詳解】依題意正四棱柱的體對(duì)角線是其外接球的直徑,的中點(diǎn)是球心,如圖:依題意設(shè),則正四棱柱的體積為:,解得,所以外接球的直徑,所以外接球的半徑,則這個(gè)球的表面積是.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了球與正四棱柱的組合體,球的表面積公式,正四棱柱的體積公式,屬中檔題.3、B【解題分析】運(yùn)行程序，，判斷是，，，判斷是，，判斷是，，判斷是，，判斷否，輸出.4、C【解題分析】

①假設(shè)等式成立，由其推出a、b、c的關(guān)系，判斷與題干是否相符；②假設(shè)其全部不成立，由此判斷是否存在符合條件的數(shù)；③舉例即可說(shuō)明其是否能夠同時(shí)成立.【題目詳解】對(duì)①，假設(shè)（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0?a=b=c與已知a、b、c是不全相等的正數(shù)矛盾，∴①正確；

對(duì)②，假設(shè)都不成立，這樣的數(shù)a、b不存在，∴②正確；

對(duì)③，舉例a=1，b=2，c=3，a≠c，b≠c，a≠b能同時(shí)成立，∴③不正確．

故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假的判斷，利用反證法、分析法等方式即可證明，有時(shí)運(yùn)用舉例說(shuō)明的方式更快捷.5、A【解題分析】

本題考查取整函數(shù)問(wèn)題，在解答時(shí)要先充分理解[x]的含義，根據(jù)解析式畫(huà)出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象進(jìn)行分析可得結(jié)果．【題目詳解】畫(huà)出函數(shù)f(x)=x?[x]的圖象，如下圖所示．由圖象得，函數(shù)f(x)的最大值小于1，故①不正確；函數(shù)f(x)的最小值為0，故②正確；函數(shù)每隔一個(gè)單位重復(fù)一次，所以函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故③正確；函數(shù)f(x)有增有減，故④不正確．故答案為②③．【題目點(diǎn)撥】本題難度較大，解題的關(guān)鍵是正確理解所給函數(shù)的意義，然后借助函數(shù)的圖象利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解．6、D【解題分析】分析：根據(jù)公式，可直接計(jì)算得詳解：，故選D.點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)題是每年高考的必考內(nèi)容，一般以選擇或填空形式出現(xiàn)，屬簡(jiǎn)單得分題，高考中復(fù)數(shù)主要考查的內(nèi)容有：復(fù)數(shù)的分類(lèi)、復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，注意避免忽略中的負(fù)號(hào)導(dǎo)致出錯(cuò).7、B【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，則得的單調(diào)性，再根據(jù)為奇函數(shù)得，轉(zhuǎn)化不等式為，最后根據(jù)單調(diào)性性質(zhì)解不等式.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單獨(dú)遞減，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以.因此不等式等價(jià)于，即，選B.【題目點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對(duì)應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等8、D【解題分析】，，則，選D.9、B【解題分析】解：因?yàn)閯t可知展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為,選B10、B【解題分析】

由二倍角的正弦公式以及已知條件得出和的符號(hào)，由此得出角所在的象限.【題目詳解】由于點(diǎn)位于第三象限，則，得，因此，角為第二象限角，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查角所在象限的判斷，解題的關(guān)鍵要結(jié)合已知條件判斷出角的三角函數(shù)值的符號(hào)，利用“一全二正弦，三切四余弦”的規(guī)律判斷出角所在的象限，考查推理能力，屬于中等題.11、A【解題分析】

先根據(jù)球和正四棱錐的內(nèi)接關(guān)系求出半徑與邊長(zhǎng)的關(guān)系式，寫(xiě)出體積公式，利用n元均值不等式可求最大值.【題目詳解】設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則有，解得；正四棱錐的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最大值，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查四棱錐體積的求解和n元均值不等式的應(yīng)用，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).12、D【解題分析】

由約束條件，作出可行域如上圖所示陰影部分，要使可行域存在，必有，可行域包括上的點(diǎn)，只要邊界點(diǎn)在直線的上方，且在直線的下方，故有，解得，選D.點(diǎn)睛：平面區(qū)域的最值問(wèn)題是線性規(guī)劃的一類(lèi)重要題型，在解答本題時(shí)，關(guān)鍵是畫(huà)好可行域，分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出答案．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

計(jì)算出，從而可得出，即可求出向量的坐標(biāo).【題目詳解】，，因此，向量的單位向量.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查與非零向量同向的單位向量坐標(biāo)的計(jì)算，熟悉結(jié)論“與非零向量同向的單位向量為”的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

直接代入即得答案.【題目詳解】由于，代入，于是得到，故答案為1.7.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線性回歸方程的理解，難度很小.15、【解題分析】

畫(huà)出幾何圖形,可知面與12條棱所在的直線與一個(gè)平面所成的角都等于,在可求得.【題目詳解】畫(huà)出幾何圖形,可知面與12條棱所在的直線與一個(gè)平面所成的角都等于正方體面,與面所成的角為不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為,故在中由勾股定理可得:故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面角求法,根據(jù)體積畫(huà)出幾何圖形,掌握正方體結(jié)構(gòu)特征是解本題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域，可以發(fā)現(xiàn)變量，都是正數(shù)，故令，這樣根據(jù)的幾何意義，可以求出的取值范圍，利用表示出，利用函數(shù)的性質(zhì)，可以求出的最值，最后計(jì)算出的值.【題目詳解】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖所示：從圖中可知：變量，都是正數(shù)，令，它表示不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率，解方程組：，可得點(diǎn)，解方程組：，可得點(diǎn)，所以有，因此，，，故.【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式所表示的平面區(qū)域，考查了斜率模型，考查了數(shù)形結(jié)合思想.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）不能有的把握認(rèn)為認(rèn)為學(xué)生1分鐘跳繩成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān)；（2）①，②分布列見(jiàn)解析，期望值為.【解題分析】

（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫(xiě)好聯(lián)表，通過(guò)計(jì)算出，由此判斷不能有99%的把握認(rèn)為認(rèn)為學(xué)生分鐘跳繩成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān).（2）根據(jù)頻率分布計(jì)算出平均數(shù)和方差，由此求得正態(tài)分布，計(jì)算出的概率，進(jìn)而估計(jì)出個(gè)以上的人數(shù).利用二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式計(jì)算出概率，由此求得分布列和數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】（1）表2如下圖所示：由公式可得因?yàn)樗圆荒苡?9%的把握認(rèn)為認(rèn)為學(xué)生1分鐘跳繩成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān).（2）①而，故服從正態(tài)分布,故正式測(cè)試時(shí)，1分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù)約為1683人.②,服從的分布列為：0123P【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查正態(tài)分布均值和方差的計(jì)算，考查二項(xiàng)分布分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，屬于中檔題.18、（1）；（2）點(diǎn)位于棱的三等分點(diǎn)處.【解題分析】

先由題意，得到，，，的坐標(biāo)，以及向量，的坐標(biāo)；（1）根據(jù)題中條件，得到，求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果；（2）先由題意，得到存在實(shí)數(shù)，使得，進(jìn)而得到，分別求出平面和平面的一個(gè)法向量，根據(jù)向量夾角公式，結(jié)合題中條件，列出等式，求出，即可得出結(jié)果.【題目詳解】由題意，可得，，，，則，，（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因此，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，即，設(shè)直線與平面所成角，則；（2）因?yàn)辄c(diǎn)為棱上一點(diǎn)，所以存在實(shí)數(shù)，使得，則，即；所以，；因?yàn)槠矫媾c平面是同一平面，因此其一個(gè)法向量為；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，則，令，則，即，因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫?，且，所以，解得：或，即或，因此，點(diǎn)位于棱的三等分點(diǎn)處.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求線面角，以及已知二面角的余弦值求其它量的問(wèn)題，靈活運(yùn)用空間向量的方法求解即可，屬于?？碱}型.19、（Ⅰ）22＋4i（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）利用復(fù)數(shù)z1＋z2是實(shí)數(shù)，求得a＝4，之后應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則即可得出結(jié)果；（Ⅱ）利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，求得，利用復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件求得的值，之后應(yīng)用復(fù)數(shù)模的公式求得結(jié)果【題目詳解】（Ⅰ）∵z1＋z2＝5＋（a－4）i是實(shí)數(shù)，∴a＝4，z1＝2＋4i，∴z1z2＝（2＋4i）（3－4i）＝22＋4i；（Ⅱ）∵是純虛數(shù)，∴，故．【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的條件，復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，屬于簡(jiǎn)單題目.20、（1）（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）猜想不等式左邊最后一個(gè)數(shù)分母，對(duì)應(yīng)各式右端為，即得解；（2）遞推部分，利用時(shí)結(jié)論，替換括號(hào)內(nèi)部分即得證.