黑龍江省大慶市鐵人中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研試題含解析

黑龍江省大慶市鐵人中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知,則()A． B． C． D．2．設(shè),則()A． B．C． D．3．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則A． B． C． D．4．已知函數(shù)與分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則的值為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有6個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有這樣一些數(shù)學(xué)用語(yǔ)，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，而“陽(yáng)馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐現(xiàn)有一如圖所示的塹堵，，，當(dāng)塹堵的外接球的體積為時(shí)，則陽(yáng)馬體積的最大值為A．2 B．4 C． D．7．水以恒速（即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面的容器中，則此容器里水的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖象是（）A． B． C． D．8．若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q（0,3），則|PQ|的最小值是（）A． B． C． D．9．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線上有兩點(diǎn)滿足，且點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．設(shè)，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件11．從分別標(biāo)有1，2，…，9的9張卡片中有放回地隨機(jī)抽取5次，每次抽取1張．則恰好有2次抽到奇數(shù)的概率是（）A． B．C． D．12．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：則y與x的線性回歸方程為y=bx+a必過(guò)（）x0123y1357A．(1.5，4)點(diǎn) B．(1.5，0）點(diǎn) C．（1，2）點(diǎn) D．（2，2）點(diǎn)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是__________；14．若圓錐的側(cè)面積為，底面積為，則該圓錐的體積為_(kāi)___________．15．已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.16．某地區(qū)氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)下雨的概率是，刮風(fēng)的概率是，既刮風(fēng)又下雨的概率為，設(shè)為下雨，為刮風(fēng)，那么等于__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在多面體中，四邊形為等腰梯形，，已知，，，四邊形為直角梯形，，.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知正四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知函數(shù).（1）討論在上的單調(diào)性；（2）若對(duì)恒成立，求正整數(shù)的最小值.20．（12分）已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A，B其離心率，點(diǎn)M為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值是求橢圓C的方程；若過(guò)橢圓C右頂點(diǎn)B的直線l與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為D，線段BD的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．21．（12分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知（1）求的值（2）若，求的面積.22．（10分）若函數(shù)（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在上只有一個(gè)極值，且該極值小于，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：先根據(jù)誘導(dǎo)公式得，再利用二倍角公式以及弦化切得結(jié)果.詳解：因?yàn)?，所?因此，選D.點(diǎn)睛：應(yīng)用三角公式解決問(wèn)題的三個(gè)變換角度(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.(2)變名：通過(guò)變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.(3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.2、C【解題分析】分析：由題意將替換為，然后和比較即可.詳解：由題意將替換為，據(jù)此可得：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法中由k到k+1的計(jì)算方法，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3、B【解題分析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，由此可得到復(fù)數(shù)【題目詳解】由題可得；；故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題。4、C【解題分析】

根據(jù)條件可得，與聯(lián)立便可解出和，從而得到的值?！绢}目詳解】①；；又函數(shù)與分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)；，；②；聯(lián)立①②，解得所以；故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是通過(guò)建立關(guān)于與的方程組求出和的解析式，屬于中檔題。5、A【解題分析】令g(x)=t,則方程f(t)=λ的解有3個(gè)，由圖象可得，0<λ<1.且三個(gè)解分別為，則，，均有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則△1>0,且△2>0,且△3>0，即16?4(2+5λ)>0且16?4(2+3λ)>0,解得，當(dāng)0<λ<時(shí),△3=16?4(1+4λ?)>0即3?4λ+>0恒成立，故λ的取值范圍為(0,).故選D.點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（方程根的個(gè)數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解，對(duì)于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題常用此方法求解．本題中在結(jié)合函數(shù)圖象分析得基礎(chǔ)上還用到了方程根的分布的有關(guān)知識(shí)．6、D【解題分析】

由已知求出三棱柱外接球的半徑，得到，進(jìn)一步求得AB，再由棱錐體積公式結(jié)合基本不等式求最值．【題目詳解】解：塹堵的外接球的體積為，其外接球的半徑，即，又，．則．．即陽(yáng)馬體積的最大值為．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查多面體的體積、均值定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，是中檔題．7、C【解題分析】分析：根據(jù)容器的特征，結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)和題意知，容器的底面積越大水的高度變化慢、反之變化的快，再由圖象越平緩就是變化越慢、圖象陡就是變化快來(lái)判斷．結(jié)合函數(shù)圖像分析判別可得結(jié)論.詳解：A、B選項(xiàng)中：函數(shù)圖象是單調(diào)遞增的，與與題干不符，故排除；C、當(dāng)注水開(kāi)始時(shí)，函數(shù)圖象往下凸，可得出下方圓臺(tái)容器下粗上細(xì)，符合題意．；D、當(dāng)注水時(shí)間從0到t時(shí)，函數(shù)圖象往上凸，可得出下方圓臺(tái)容器下細(xì)上粗，與題干不符，故排除．故選C.點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)于此題沒(méi)有必要求容器中水面的高度h和時(shí)間t之間的函數(shù)解析式，因此可結(jié)合幾何體和圖象作定性分析，即充分利用數(shù)形結(jié)合思想．8、B【解題分析】試題分析：如圖所示，設(shè)，其中，則，故選B.考點(diǎn)：拋物線.9、A【解題分析】

討論直線的斜率是否存在：當(dāng)斜率不存在時(shí)，易得直線的方程，根據(jù)及點(diǎn)O到直線距離即可求得的關(guān)系，進(jìn)而求得離心率；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合及點(diǎn)到直線距離即可求得離心率?！绢}目詳解】（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由點(diǎn)到直線的距離為可知直線的方程為所以線段因?yàn)椋鶕?jù)等腰直角三角形及雙曲線對(duì)稱性可知，即雙曲線中滿足所以，化簡(jiǎn)可得同時(shí)除以得，解得因?yàn)椋裕?）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程可得化簡(jiǎn)可得設(shè)則，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為則，化簡(jiǎn)可得又因?yàn)樗曰?jiǎn)得即所以，雙曲線中滿足代入化簡(jiǎn)可得求得，即因?yàn)?，所以綜上所述，雙曲線的離心率為所以選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，直線與雙曲線的位置關(guān)系，注意討論斜率是否存在的情況，計(jì)算量較大，屬于難題。10、A【解題分析】

由，可推出，可以判斷出中至少有一個(gè)大于1.由可以推出，與1的關(guān)系不確定，這樣就可以選出正確答案.【題目詳解】因?yàn)?，所以，，，顯然中至少有一個(gè)大于1，如果都小于等于1，根據(jù)不等式的性質(zhì)可知：乘積也小于等于1，與乘積大于1不符.由，可得，與1的關(guān)系不確定，顯然由“”可以推出，但是由推不出，當(dāng)然可以舉特例：如，符合，但是不符合，因此“”是“”的充分不必要條件，故本題選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了充分不必要條件的判斷，由，，，判斷出中至少有一個(gè)大于1，是解題的關(guān)鍵.11、B【解題分析】

先求出每次抽到奇數(shù)的概率，再利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k的概率計(jì)算公式求出結(jié)果．【題目詳解】每次抽到奇數(shù)的概率都相等，為，故恰好有2次抽到奇數(shù)的概率是??，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k的概率計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解題分析】由題意：，回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，即回歸方程過(guò)點(diǎn).本題選擇A選項(xiàng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、；【解題分析】

令，，可將化為，根據(jù)三角函數(shù)值域可求得結(jié)果.【題目詳解】可令，本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用三角換元的方式求解取值范圍的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域的求解.14、【解題分析】試題分析：因?yàn)?，圓錐的側(cè)面積為，底面積為，所以，解得，，所以，該圓錐的體積為．考點(diǎn)：圓錐的幾何特征點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，圓錐之中，要弄清r,h,l之間的關(guān)系，熟練掌握面積、體積計(jì)算公式．15、【解題分析】

在上是減函數(shù)的等價(jià)條件是在恒成立，然后分離參數(shù)求最值即可.【題目詳解】在上是減函數(shù)，在恒成立，即，在的最小值為，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，把在上是減函數(shù)轉(zhuǎn)化為在恒成立是解決本題的關(guān)鍵.16、【解題分析】由題意可知，故答案為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析（2）【解題分析】分析：（1）通過(guò)取AD中點(diǎn)M，連接CM，利用，得到直角；再利用可得；而,DE平面ADEF，所以可得面面垂直．（2）以AD中點(diǎn)O建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，求得平面CAE與直線BE向量，根據(jù)直線與法向量的夾角即可求得直線與平面夾角的正弦值．詳解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，，由四邊形為平行四邊形，可知，在中，有，∴.又，，∴平面，∵平面，∴.又，，∴平面.∵平面，∴平面平面.（2）解：由（1）知平面平面，如圖，取的中點(diǎn)為，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，.設(shè)平面的法向量，則，即，不妨令，得.故直線與平面所成角的正弦值.點(diǎn)睛：本題考查了空間幾何體面面垂直的綜合應(yīng)用，利用法向量法求線面夾角的正弦值，關(guān)鍵注意計(jì)算要準(zhǔn)確，屬于中檔題．18、（1）見(jiàn)證明；（2）【解題分析】

（1）要證明平面，利用中位線可先證明即可；（2）找出直線與平面所成角為，利用正弦定理即可得到所成角的正弦值.【題目詳解】解：（1）證明：在四棱錐中，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)樵谥?，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以為的中位線，得，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）設(shè)，由題意得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，故平面．所以直線在平面內(nèi)的射影為直線，為直線與平面所成的角，又因?yàn)椋裕蓷l件可得，，，，所以．在中，，，所以所以，故直線與平面所成角的正弦值為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面平行的判定，線面所成角的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力及計(jì)算能力，難度中等.19、(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;(2)5.【解題分析】分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分類討論即可；（2）∵對(duì)恒成立，∴，解得或，則正整數(shù)的最小值為.即只需要證明當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立即可.詳解：（1），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)或時(shí)，，在單調(diào)遞減.當(dāng)且時(shí)，令，得；令，得.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）∵對(duì)恒成立.∴，解得或，則正整數(shù)的最小值為.下面證明當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，過(guò)程如下：當(dāng)時(shí)，令，得；令，得.故，從而對(duì)恒成立.故整數(shù)的最小值為.點(diǎn)睛：不等式的證明問(wèn)題，可以從所證不等式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合已有的知識(shí)利用轉(zhuǎn)化與化歸思想.20、（1）（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，【解題分析】

（1）由題意可知解方程即可得解；（2）設(shè)直線的方程為，，由直線與橢圓聯(lián)立得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，從而得中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得的垂直平分線方程，令x=0可得，再由，用坐標(biāo)表示即可解.【題目詳解】（1）由題意可知解得，，所以橢圓方程為.（2）由（1）知，設(shè)直線的方程為，，把代入橢圓方程，整理得，所以，則，所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的垂直平分線方程為，得又，即，化簡(jiǎn)得，解得故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，用到了向量問(wèn)題坐標(biāo)化，坐標(biāo)通過(guò)設(shè)而不求的方程靈活處理，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.21、（1）（2）【解題分析】

（1）正弦定理得邊化角整理可得，化簡(jiǎn)即得答案．（2）由（1）知，結(jié)合題意由余弦定理可解得，，從而計(jì)算出面積．【題目詳解】（1）由正弦定理得，所以即即有，即所以（2）由（1）知，即，又因?yàn)?，所以由余弦定理得：，即，解?所以，又因?yàn)?，所以，故的面積為=.【題目點(diǎn)撥】正弦定理與余弦定理是高考的重要考點(diǎn)，本題主要考查由正余弦定