北京市東城區(qū)第五十中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末質量檢測試題含解析

北京市東城區(qū)第五十中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末質量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．為雙曲線的左焦點，圓與雙曲線的兩條漸進線在第一、二象限分別交于，兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．2．已知集合，，則()A． B． C． D．3．大學生小明與另外3名大學生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙丙3個村小學進行支教，若每個村小學至少分配1名大學生，則小明恰好分配到甲村小學的概率為（）A． B． C． D．4．已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，當時，，且，則（）A．2 B．1 C． D．5．已知函數(shù)的最小正周期是，若其圖像向右平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像（）A．關于點對稱 B．關于直線對稱C．關于點對稱 D．關于直線對稱6．設，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當時，，且，則不等式的解集是（）A． B．C． D．7．已知，，，若>恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是A．或 B．或C． D．8．甲、乙兩人同時報考某一所大學，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為()A．0.12 B．0.42 C．0.46 D．0.889．從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務，則選中的2人都是女同學的概率為A． B． C． D．10．甲乙丙丁4名師范院校的大學生分配至3所學校實習，每所學校至少分配一名大學生，且甲、乙兩人不能分配在同一所學校，則不同分配方法數(shù)為（）A．30 B．42 C．50 D．5811．下列命題中，真命題是（）A． B．C．的充要條件是 D．是的充分條件12．設等差數(shù)列的公差為d，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，則向量，的夾角為________.14．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成員先后搶4個不相同的紅包，每人最多搶一個紅包，且紅包全被搶光，則甲乙兩人都搶到紅包的情況有________種15．若(x-ax2)616．若復數(shù)滿足，則的最大值是______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數(shù)列的前n項和為已知直角坐標平面上的點均在函數(shù)的圖像上.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若已知點，，為直角坐標平面上的點，且有，求數(shù)列的通項公式；（3）在（2）的條件下，若使對于任意恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.18．（12分）在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為＝（＞0），過點的直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線與曲線C相交于A，B兩點．（Ⅰ）寫出曲線C的直角坐標方程和直線的普通方程；（Ⅱ）若，求的值．19．（12分）現(xiàn)從某醫(yī)院中隨機抽取了七位醫(yī)護人員的關愛患者考核分數(shù)（患者考核：10分制），用相關的特征量表示；醫(yī)護專業(yè)知識考核分數(shù)（試卷考試：100分制），用相關的特征量表示，數(shù)據(jù)如下表：（Ⅰ）求關于的線性回歸方程（計算結果精確到0.01）；（Ⅱ）利用（I）中的線性回歸方程，分析醫(yī)護專業(yè)考核分數(shù)的變化對關愛患者考核分數(shù)的影響，并估計某醫(yī)護人員的醫(yī)護專業(yè)知識考核分數(shù)為95分時，他的關愛患者考核分數(shù)（精確到0.1）；（Ⅲ）現(xiàn)要從醫(yī)護專業(yè)知識考核分數(shù)95分以下的醫(yī)護人員中選派2人參加組建的“九寨溝災后醫(yī)護小分隊”培訓，求這兩人中至少有一人考核分數(shù)在90分以下的概率.附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為20．（12分）在四棱錐中，底面為菱形，，側面為等腰直角三角形，，點為棱的中點．（1）求證：面面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．21．（12分）在一次考試中，某班級50名學生的成績統(tǒng)計如下表，規(guī)定75分以下為一般，大于等于75分小于85分為良好，85分及以上為優(yōu)秀．分數(shù)697374757778798082838587899395合計人數(shù)24423463344523150經(jīng)計算，樣本的平均值，標準差．為評判該份試卷質量的好壞，從其中任取一人，記其成績?yōu)閄，并根據(jù)以下不等式進行評判：①；②；③．評判規(guī)則：若同時滿足上述三個不等式，則被評為優(yōu)秀試卷；若僅滿足其中兩個不等式，則被評為合格試卷；其他情況，則被評為不合格試卷．（1）試判斷該份試卷被評為哪種等級；（2）按分層抽樣的方式從3個層次的學生中抽出10名學生，再從抽出的10名學生中隨機抽出4人進行學習方法交流，用隨機變量表示4人中成績優(yōu)秀的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．22．（10分）已知函數(shù)，．（1）令，當時，求實數(shù)的取值范圍；（2）令的值域為，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)在，數(shù)集上都有定義，對任意的，當時或成立，則稱是數(shù)集上的限制函數(shù)；令函數(shù)，求其在上的限制函數(shù)的解析式，并求在上的單調區(qū)間．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

畫出圖形，判斷漸近線的傾斜角然后求解雙曲線的離心率即可.【題目詳解】點為雙曲線的左焦點，圓與雙曲線的兩條漸進線在第一、二象限分別交于，兩點，且，如圖：可得漸近線的傾斜角為或，可得，，所以，可得，故選：A【題目點撥】本題考查了雙曲線的幾何性質，解題的關鍵是畫出圖形得出漸近線的傾斜角，屬于基礎題.2、C【解題分析】

先求出集合M，由此能求出M∩N．【題目詳解】則故選：C【題目點撥】本題考查交集的求法，考查交集定義、函數(shù)性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．3、C【解題分析】

基本事件總數(shù)n36，小明恰好分配到甲村小學包含的基本事件個數(shù)m12，由此能求出小明恰好分配到甲村小學的概率．【題目詳解】解：大學生小明與另外3名大學生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學進行支教，每個村小學至少分配1名大學生，基本事件總數(shù)n36，小明恰好分配到甲村小學包含的基本事件個數(shù)m12，∴小明恰好分配到甲村小學的概率為p．故選C．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查古典概率、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．4、C【解題分析】

根據(jù)題意，結合函數(shù)的奇偶性與對稱性可得函數(shù)f（x）是周期為8的周期函數(shù)，由函數(shù)的奇偶性可得f（﹣2）＝8，結合函數(shù)的解析式求出a的值，進而求出f（﹣1）的值，進而結合函數(shù)的奇偶性與對稱性分析可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則f（﹣x）＝﹣f（x），若函數(shù)f（x）滿足f（x+2）＝f（2﹣x），則有f（﹣x）＝f（x+4），則有f（x+4）＝﹣f（x），變形可得f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），則函數(shù)f（x）是周期為8的周期函數(shù)，又由函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（2）＝﹣8，則f（﹣2）＝8，若當﹣2≤x＜0時，f（x）＝ax﹣1（a＞0），且f（﹣2）＝a﹣2﹣1＝8，解可得a，則f（﹣1）＝（）﹣1﹣1＝2，則f（1）＝﹣2，又由函數(shù)f（x）是周期為8的周期函數(shù)，則f（2019）＝f（3+2016）＝f（3）＝f（1）＝﹣2；故選：C．【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性的應用，關鍵是分析函數(shù)的周期性，屬于中檔題．5、D【解題分析】

由最小正周期為可得,平移后的函數(shù)為,利用奇偶性得到,即可得到,則,進而判斷其對稱性即可【題目詳解】由題,因為最小正周期為,所以,則平移后的圖像的解析式為,此時函數(shù)是奇函數(shù),所以,則,因為,當時,,所以,令,則,即對稱點為；令,則對稱軸為,當時,，故選：D【題目點撥】本題考查圖象變換后的解析式,考查正弦型三角函數(shù)的對稱性6、D【解題分析】

先構造函數(shù)，再利用導函數(shù)研究函數(shù)的增減性，結合，的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性，再結合已知可得，，即可得解.【題目詳解】解：設,則，由當時，，則函數(shù)在為增函數(shù)，又，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，則在上為奇函數(shù)，則函數(shù)在為增函數(shù)，又，所以，則，則的解集為，即不等式的解集是，故選：D.【題目點撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性及單調性，重點考查了導數(shù)的應用，屬中檔題.7、C【解題分析】分析：用“1”的替換先解的最小值，再解的取值范圍。詳解：，所以的解集為，故選C點睛：已知二元一次方程，求二元一次分式結構的最值，用“1”的替換是均值不等式的應用，構造出的模型，再驗證條件。8、D【解題分析】由題意知，甲、乙都不被錄取的概率為(1－0.6)(1－0.7)＝0.12.∴至少有一人被錄取的概率為1－0.12＝0.88.故選D.考點：相互獨立事件的概率.9、D【解題分析】分析：分別求出事件“2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務”的總可能及事件“選中的2人都是女同學”的總可能，代入概率公式可求得概率.詳解：設2名男同學為，3名女同學為，從以上5名同學中任選2人總共有共10種可能，選中的2人都是女同學的情況共有共三種可能則選中的2人都是女同學的概率為，故選D.點睛：應用古典概型求某事件的步驟：第一步，判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出事件；第二步，分別求出基本事件的總數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個數(shù)；第三步，利用公式求出事件的概率.10、A【解題分析】

根據(jù)題意將4人分成3組，再進行排列，兩步完成.【題目詳解】第一步，將甲乙丙丁4名同學分成3組，甲、乙兩人不在同一組，有5種分法第二步,將3組同學分配到3所學校，有種分法所以共有種分配方法故選：A【題目點撥】解決分組分配問題的基本指導思想是先分組，后分配.11、D【解題分析】A：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質可知恒成立，所以A錯誤．

B：當時，，所以B錯誤．

C：若時，滿足，但不成立，所以C錯誤．D：則，由充分必要條件的定義，，是的充分條件，則D正確．

故選D．12、C【解題分析】試題分析：因為是等差數(shù)列，則，又由于為遞減數(shù)列，所以，故選C.考點：1.等差數(shù)列的概念；2.遞減數(shù)列.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)條件即可求出,利用,根據(jù)向量的夾角范圍即可得出夾角.【題目詳解】,.,故答案為:.【題目點撥】本題考查向量的數(shù)量積公式,向量數(shù)量積的坐標表示,屬于基礎題,難度容易.14、72【解題分析】第一步甲乙搶到紅包，有種，第二步其余三人搶剩下的兩個紅包，有種，所以甲乙兩人都搶到紅包的情況有種．15、4【解題分析】試題分析：(x-ax2考點：二項式定理.16、【解題分析】

利用復數(shù)模的三角不等式可得出可得出的最大值.【題目詳解】由復數(shù)模的三角不等式可得，因此，的最大值是.故答案為.【題目點撥】本題考查復數(shù)模的最值的計算，可將問題轉化為復平面內復數(shù)對應的點的軌跡，利用數(shù)形結合思想求解，同時也可以利用復數(shù)模的三角不等式進行計算，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）先根據(jù)點在直線上得和項關系式，再根據(jù)和項與通項關系求通項；（2）根據(jù)向量平行坐標表示得關系式，代入（1）結論得結果；（3）分奇偶分類討論，再根據(jù)參變分離轉化為求對應函數(shù)最值，最后根據(jù)函數(shù)最值得結果.【題目詳解】（1）因為點在函數(shù)，所以當時，；當時，；（2）（3）為偶數(shù)時，，為奇數(shù)時，，因此【題目點撥】本題考查由和項求通項、向量平行坐標表示以及不等式恒成立問題，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.18、（Ⅰ），（Ⅱ）．【解題分析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)可將曲線C的極坐標方程化為直角坐標，兩式相減消去參數(shù)得直線的普通方程為．（Ⅱ）由直線參數(shù)方程幾何意義有，因此將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程中，得,由韋達定理有．解之得：或（舍去）試題解析：（Ⅰ）由得,∴曲線的直角坐標方程為．直線的普通方程為．（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程中，得,設兩點對應的參數(shù)分別為,則有．∵,∴,即．∴．解之得：或（舍去）,∴的值為．考點：極坐標方程化為直角坐標，參數(shù)方程化普通方程，直線參數(shù)方程幾何意義19、(1).(2)隨著醫(yī)護專業(yè)知識的提高，個人的關愛患者的心態(tài)會變得更溫和，耐心，因此關愛患者的考核分數(shù)也會穩(wěn)步提高.(3).【解題分析】分析：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算、，求出回歸系數(shù)，寫出回歸方程；（2）根據(jù)（Ⅰ）中的線性回歸方程知x與y是正相關，計算x=95時y的值即可；（3）從中任選連個的所有情況有共六種，至少有一個分數(shù)在90分以下的情況有3種，根據(jù)古典概型的計算公式進行計算即可.詳解：（Ⅰ）由題得，所以所以線性回歸方程為（Ⅱ）由于.所以隨著醫(yī)護專業(yè)知識的提高，個人的關愛患者的心態(tài)會變得更溫和，耐心，因此關愛患者的考核分數(shù)也會穩(wěn)步提高當時，（Ⅲ）由于95分以下的分數(shù)有88,90,90,92，共4個，則從中任選連個的所有情況有，，，，，，共六種.兩人中至少有一個分數(shù)在90分以下的情況有，，，共3種.故選派的這兩個人中至少有一人考核分數(shù)在90分以下的概率.點睛：本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題，是基礎題.對于古典概型，要求事件總數(shù)是可數(shù)的，滿足條件的事件個數(shù)可數(shù)，使得滿足條件的事件個數(shù)除以總的事件個數(shù)即可.20、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，先證明面，再由面面垂直的判定定理，即可證明結論成立；（2）先由題中數(shù)據(jù)，得到；再以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量與平面的法向量，求出兩向量夾角的余弦值，進而可得出結果.【題目詳解】（1）證明：∵，為棱的中點，∴，又∵為菱形且，∴，∵，∴面，∵面，∴面面；（2）解：∵，，∴，，又，∴，則．以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標系．則，，，，，，．設平面的一個法向量為．由，取，得．設直線與平面所成角為．所以【題目點撥】本題主要考查證明面面垂直，以及求線面角的正弦值，熟記線面垂直、面面垂直的判定定理，以及空間向量的方法求