江蘇省高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題二 立體幾何 第7講 空間線面關(guān)系練習-人教版高三數(shù)學試題

第7講空間線面關(guān)系eq\a\vs4\al(課后自測診斷——及時查漏補缺·備考不留死角)A級——高考保分練1．已知平面α，β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β.當滿足條件________時，有m⊥β.(填所選條件的序號)解析：若m⊥α，α∥β，則m⊥β.故填②④.答案：②④2.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長為________．解析：因為EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又點E是AD的中點，所以點F是DC的中點．所以EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).答案：eq\r(2)3．設(shè)α，β為兩個不同平面，m，n為兩條不同的直線，給出以下命題：①若m⊥α，n∥α，則m⊥n；②若α∥β，m?α，則m∥β；③若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n；④若m⊥n，m⊥α，n∥β，則α⊥β.則真命題個數(shù)為________．解析：①若m⊥α，n∥α，由線面平行性質(zhì)可得，過n的平面與α交于k，可得n∥k，由m⊥k，知m⊥n，故①正確；②由面面平行的性質(zhì)可知②正確；③m與n可以平行、相交或異面，故③錯誤；④α與β可能平行或相交，故④錯誤．答案：24．設(shè)平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直線AB與CD交于S，若AS＝18，BS＝9，CD＝34，則CS＝________.解析：如圖①，由α∥β可知BD∥AC.∵eq\f(SB,SA)＝eq\f(SD,SC)，即eq\f(9,18)＝eq\f(SC－34,SC)，∴SC＝68.如圖②，由α∥β知AC∥BD，∴eq\f(SA,SB)＝eq\f(SC,SD)＝eq\f(SC,CD－SC)，即eq\f(18,9)＝eq\f(SC,34－SC)，∴SC＝eq\f(68,3).答案：68或eq\f(68,3)5．已知正三角形ABC的邊長為2cm，PA⊥平面ABC，A為垂足，且PA＝2cm，那么點P到BC的距離為________cm.解析：取BC的中點D，連結(jié)AD，PD，則BC⊥AD.因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，所以BC⊥平面PAD，所以PD⊥BC，則PD的長度即為點P到BC的距離．解△PAD，可得PD＝eq\r(22＋\r(3)2)＝eq\r(7)cm.答案：eq\r(7)6．(2019·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝eq\r(3)，點M在棱CC1上，當MD1＋MA取得最小值時，MD1⊥MA，則棱CC1的長為________．解析：把長方形DCC1D1展開到長方形ACC1A1所在平面，如圖，當A，M，D1在同一條直線上時，MD1＋MA取得最小值，此時eq\f(MA,MD1)＝eq\f(AC,C1D1)＝eq\f(2,1).令MA＝2x，MD1＝x，CC1＝h，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2＋x2＝h2＋3，,3x2＝h2＋32，))解得h＝eq\f(3\r(2),2).答案：eq\f(3\r(2),2)7．(2019·蘇北三市期末)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E，F(xiàn)分別是B1C1，AB，AA1的中點．(1)求證：EF∥平面A1BD；(2)若A1B1＝A1C1，求證：平面A1BD⊥平面BB1C1C.證明：(1)因為E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，所以EF∥A1B.因為EF?平面A1BD，A1B?平面A1BD，所以EF∥平面A1BD.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，因為A1D?平面A1B1C1，所以BB1⊥A1D.因為A1B1＝A1C1，且D是B1C1的中點，所以A1D⊥B1C1.因為BB1∩B1C1＝B1，B1C1?平面BB1C1C，BB1?平面BB1C1C，所以A1D⊥平面BB1C1C.因為A1D?平面A1BD，所以平面A1BD⊥平面BB1C1C.8．(2019·宿遷期末)在四棱錐S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．(1)求證：平面SAC⊥平面SBD；(2)若點M是棱AD的中點，點N在棱SA上，且AN＝eq\f(1,2)NS，求證：SC∥平面BMN.證明：(1)因為SA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以SA⊥BD.因為底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又SA?平面SAC，AC?平面SAC，且SA∩AC＝A，所以BD⊥平面SAC.因為BD?平面SBD，所以平面SAC⊥平面SBD.(2)設(shè)AC與BM的交點為E，連結(jié)NE.由底面ABCD是菱形，得AD∥BC.所以eq\f(AE,EC)＝eq\f(AM,BC)＝eq\f(AM,AD)＝eq\f(1,2).又因為AN＝eq\f(1,2)NS，所以eq\f(AE,EC)＝eq\f(AN,NS)＝eq\f(1,2)，所以NE∥SC.因為NE?平面BMN，SC?平面BMN，所以SC∥平面BMN.9．(2019·如皋一模)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，AD＝2BC，且∠BAD＝∠BPA＝90°，平面APB⊥底面ABCD，點M為PD的中點．(1)求證：CM∥平面PAB；(2)求證：PB⊥PD.證明：(1)取AP的中點H，連結(jié)BH，HM，因為H，M分別為AP，DP的中點，所以HM＝eq\f(1,2)AD且HM∥AD.因為AD∥BC且AD＝2BC，所以HM＝BC且HM∥BC，所以四邊形BCMH為平行四邊形，所以CM∥BH，因為CM?平面PAB，BH?平面PAB，所以CM∥平面PAB.(2)因為∠BAD＝90°，所以BA⊥AD.因為平面APB⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，平面APB∩平面ABCD＝AB，所以AD⊥平面APB.因為PB?平面PAB，所以PB⊥AD，因為∠BPA＝90°，所以PB⊥PA，因為PA∩AD＝A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，所以PB⊥平面PAD，因為PD?平面PAD，所以PB⊥PD.B級——難點突破練1．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長為2，點M，N分別在側(cè)面ABB1A1和ACC1A1內(nèi)，BC1與B1C交于點P，則△MNP周長的最小值為________．解析：設(shè)P關(guān)于側(cè)面ABB1A1和ACC1A1的對稱點分別為Q，R，連接QR，則當△MNP周長最小時，M，N，Q，R共線，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，點P是BC1與B1C的交點，所以點P是側(cè)面BCC1B1的中心，故△MNP周長最小時M，N分別為側(cè)面ABB1A1和ACC1A1的中心，所以△MNP周長的最小值為3.答案：32．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點，點P在BD1上且BP＝eq\f(2,3)BD1.則下列四個說法：①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三點共線；④平面MNQ∥平面APC.其中說法正確的是________．(填序號)解析：①如圖，連結(jié)MN，AC，則MN∥AC，連結(jié)AM，CN，易得AM，CN交于點P，即MN?平面PAC，所以MN∥平面APC錯誤．②連結(jié)AN.由①知M，N在平面APC內(nèi)，由題易知AN∥C1Q，所以C1Q∥平面APC正確．③由①知A，P，M三點共線正確．④連結(jié)NQ，MQ.由①知MN?平面PAC，又MN?平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC錯誤．答案：②③3．(2019·常州期末)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，點M，N分別是棱AB，CC1的中點．求證：(1)CM//平面AB1N；(2)平面A1BN⊥平面AA1B1B.證明：(1)設(shè)AB1交A1B于點O，連結(jié)OM，ON.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四邊形AA1B1B是平行四邊形，所以O(shè)為AB1的中點．又因為M為AB的中點，所以O(shè)M∥BB1，且OM＝eq\f(1,2)BB1.因為N為CC1的中點，CN＝eq\f(1,2)CC1，所以O(shè)M＝CN，且OM∥CN，所以四邊形CMON是平行四邊形，所以CM∥ON.又ON?平面AB1N，CM?平面AB1N，所以CM∥平面AB1N.(2)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，CM?平面ABC，所以BB1⊥CM.又CA＝CB，M為AB的中點，所以CM⊥AB.又由(1)知CM∥ON，所以O(shè)N⊥AB，ON⊥BB1.又因為AB∩BB1＝B，AB?平面AA1B1B，BB1?平面AA1B1B，所以O(shè)N⊥平面AA1B1B.又ON?平面A1BN，所以平面A1BN⊥平面AA1B1B.4．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中點，將△ADE沿AE折起，得到如圖2所示的四棱錐D1-ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.(1)證明：BE⊥平面D1AE；(2)設(shè)F為CD1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出eq\f(AM,AB)的值；若不存在，請說明理由．解：(1)證明：∵四邊形ABCD為矩形且AD＝DE＝EC＝BC＝2，∴AE＝BE＝2eq\r(2).又AB＝4，∴AE2＋BE2＝AB2，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE.又平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，BE?平面ABCE，∴B