2023-2024學(xué)年湘教版必修第二冊(cè) 1-3向量的數(shù)乘 學(xué)案

1．3向量的數(shù)乘最新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科核心素養(yǎng)1.通過(guò)實(shí)例分析，掌握平面向量的數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義．2．理解兩個(gè)平面向量共線的含義．3．了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義．1.掌握平面向量的數(shù)乘運(yùn)算．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．理解共線向量的含義．(直觀想象、邏輯推理)3．了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)的幾何意義．(直觀想象)教材要點(diǎn)要點(diǎn)一向量的實(shí)數(shù)倍1．向量的數(shù)乘的定義一般地，實(shí)數(shù)λ與向量a的乘積是一個(gè)向量，記作________，稱為a的________倍，它的長(zhǎng)度|λa|＝________．當(dāng)λ≠0且a≠0時(shí)，λa的方向當(dāng)當(dāng)λ＝0或a＝0時(shí)，λa＝0a＝0或λa＝λ0＝0.求向量的實(shí)數(shù)倍的運(yùn)算稱為向量的數(shù)乘．狀元隨筆理解數(shù)乘向量應(yīng)注意的問(wèn)題(1)向量數(shù)乘的結(jié)果依然是向量，要從長(zhǎng)度與方向加以理解．(2)實(shí)數(shù)與向量可以相乘，但是不能相加、減．如λ＋a，λ－a均沒(méi)有意義．2．向量的數(shù)乘的幾何意義向量的數(shù)乘的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或a的反方向放大或縮?。c(diǎn)二共線向量1．當(dāng)非零向量a，b方向相同或相反時(shí)，我們既稱a，b________，也稱a，b________，記作________．2．規(guī)定：零向量與所有的向量平行．3．兩個(gè)向量平行?其中一個(gè)向量是另一個(gè)向量的實(shí)數(shù)倍．即a∥b?存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝________或a＝________．狀元隨筆向量共線定理的理解注意點(diǎn)及主要應(yīng)用(1)定理中a≠0→，b≠0→不能漏掉.若a＝b＝0→，則實(shí)數(shù)λ可以是任意實(shí)數(shù)；若a＝0→，b≠0→，則不存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.(2)這個(gè)定理可以用一般形式給出：若存在不全為0的一對(duì)實(shí)數(shù)t，s，使ta＋sb＝0→，則a與b共線；若兩個(gè)非零向量a與b不共線，且ta＋sb＝0→，則必有t＝s＝0.要點(diǎn)三向量的夾角1．設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，任選一點(diǎn)O，作OA＝a，OB＝b，則射線OA，OB所夾的最小非負(fù)角∠AOB稱為向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．2．平面向量夾角的范圍為[0，π].狀元隨筆(1)兩個(gè)向量的夾角是唯一確定的，且〈a，b〉＝〈(2)當(dāng)〈a，b〉＝0時(shí)，a，b方向相同；當(dāng)〈a，b〉＝π時(shí)，a，(3)當(dāng)〈a，b〉＝π2時(shí)，a，b(4)0→與a的夾角是任意大小，可以規(guī)定為0，也可以規(guī)定為π2要點(diǎn)四單位向量1．長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量．2．對(duì)于任一非零向量a，都可得到與它方向相同的唯一單位向量e＝1aa狀元隨筆單位向量只定義了大小，方向可以任意，方向不同的兩個(gè)單位向量不相等．要點(diǎn)五數(shù)乘運(yùn)算律一般地，設(shè)a，b是任意向量，x，y是任意實(shí)數(shù)，則如下運(yùn)算律成立：(1)對(duì)實(shí)數(shù)加法的分配律：(x＋y)a＝xa＋ya.(2)對(duì)實(shí)數(shù)乘法的結(jié)合律：x(ya)＝(xy)a.(3)對(duì)向量加法的分配律：x(a＋b)＝xa＋xb.基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)實(shí)數(shù)λ與向量a的積還是向量．()(2)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．()(3)若b＝λa(a≠0)，則a與b方向相同或相反．()(4)aa表示向量a2．化簡(jiǎn)：13A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a(chǎn)－b3．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，則3a－b＝()A．4e2B．4e1C．3e1＋6e2D．8e24．如圖，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則與AB共線(平行)的向量有________．題型1向量的線性運(yùn)算例1(1)化簡(jiǎn)：123a(2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，則m＝________，n＝________．方法歸納向量線性運(yùn)算的基本方法(1)向量的數(shù)乘運(yùn)算可類(lèi)似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，例如實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類(lèi)項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．(2)向量也可以通過(guò)列方程來(lái)解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用代數(shù)方程的方法求解，同時(shí)在運(yùn)算過(guò)程中要多注意觀察，恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算．跟蹤訓(xùn)練1(1)12(2a＋8b)－(4a－2bA．－3a－6bB．6b－3aC．2b－3aD．3a－2b(2)化簡(jiǎn)：25(a－b)－13(2a＋4b)＋215(2a題型2用已知向量表示相關(guān)向量例2如圖所示，已知?ABCD的邊BC，CD的中點(diǎn)分別為K，L，且AK＝e1，AL＝e2，試用e1，e2表示BC，方法歸納用已知向量表示其他向量的兩種方法(1)直接法(2)方程法當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．跟蹤訓(xùn)練2如圖，ABCD是一個(gè)梯形，AB∥CD且|AB|＝2|CD|，M，N分別是DC，AB的中點(diǎn)，已知AB＝e1，AD＝e2，試用e1，e2表示下列向量．(1)AC＝________；(2)MN＝________．題型3向量共線定理的應(yīng)用角度1向量共線的判定例3判斷下列各小題中的向量a，b是否共線(其中e1，e2是兩個(gè)不共線向量)．(1)a＝5e1，b＝－10e1；(2)a＝12e1－13e2，b＝3e1－2e(3)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.方法歸納向量共線的判定一般是用其判定定理，即a是一個(gè)非零向量，若存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，則向量b與非零向量a共線．解題過(guò)程中，需要把兩向量用共同的已知向量來(lái)表示，進(jìn)而互相表示，由此判斷共線．角度2證明三點(diǎn)共線例4設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)向量．若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線．方法歸納三點(diǎn)共線的證明問(wèn)題及求解思路(1)證明三點(diǎn)共線，通常轉(zhuǎn)化為證明由這三點(diǎn)構(gòu)成的兩個(gè)向量共線，向量共線定理是解決向量共線問(wèn)題的依據(jù)．(2)若A，B，C三點(diǎn)共線，則向量AB，角度3求參數(shù)的值例5設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量ke1＋2e2與8e1＋ke2方向相反，則k的值為_(kāi)_______．方法歸納利用向量共線求參數(shù)，一種類(lèi)型是利用向量加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算表示出相關(guān)向量，從而求得參數(shù)，另一種類(lèi)型是利用三點(diǎn)共線建立方程求解參數(shù)．跟蹤訓(xùn)練3(1)若向量a＝2e1＋e2，b＝－2e1＋3e2，則以下向量中與向量2a＋b共線的是()A．－5e1＋2e2B．4e1＋10e2C．10e1＋4e2D．e1＋2e2(2)設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量a＝2e1－e2，與向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共線，則λ的值為_(kāi)_______．易錯(cuò)辨析忽視向量共線的方向出錯(cuò)例6設(shè)兩向量e1，e2不共線，若向量2te1＋7e2與向量e1＋te2共線，求實(shí)數(shù)t的值．解析：∵向量2te1＋7e2與向量e1＋te2共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，即2t＝λ，且7＝λt，解得t＝±142故所求實(shí)數(shù)t的值為±142【易錯(cuò)警示】易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得忽視兩非零向量反向共線的情況而漏掉一解．向量共線應(yīng)分同向與反向兩種情況．課堂十分鐘1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于()A．a(chǎn)－2bB．a(chǎn)C．a(chǎn)－6bD．a(chǎn)－8b2．(多選)已知向量a，b是兩個(gè)不共線的向量，且向量ma－3b與a＋(2－m)b共線，則實(shí)數(shù)m的值為()A．－1B．3C．3D．43．在等邊△ABC中，點(diǎn)E在中線CD上，且CE＝6ED，則AE＝()A．17ACC．37AC4．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若點(diǎn)D滿足BD＝2DC，則AD＝________．(用b，c表示)5．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線向量，AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.(1)證明：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)若BF＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值．1．3向量的數(shù)乘新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一λaλ|λ||a|同向反向要點(diǎn)二1．共線平行a∥b3．λaλb[基礎(chǔ)自測(cè)]1．答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．解析：原式＝13[(a＋4b)－(4a－2b)]＝13(－3a＋6b)＝2b－答案：B3．解析：3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2.答案：D4．解析：根據(jù)非零向量共線的定義，與AB方向相同和方向相反的向量有BA，答案：BA題型探究·課堂解透例1解析：(1)原式＝122a+32b－a－34b＝a＋(2)把已知中的兩個(gè)等式看成關(guān)于m，n的方程，聯(lián)立得方程組3m+2答案：(1)見(jiàn)解析(2)311a＋211b111a跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)原式＝a＋4b－4a＋2b＝6b－3a.(2)原式＝25a－25b－23a－43b＋415a＋2615b＝25-2答案：(1)B(2)0例2解析：設(shè)BC＝x，則BK＝12x，AB＝e1－12DL＝12DC＝12AB＝12e由AD+DL＝AL，得x＋12e1－14x解方程得x＝43e2－23e1，即BC＝43e2－2由CD＝－AB，AB＝e1－1得CD＝12x－e1＝1243e2-23e1－跟蹤訓(xùn)練2解析：因?yàn)锳B∥CD，|AB|＝2|CD|，所以AB＝2DC，DC＝(1)AC＝AD+DC＝e2＋12(2)MN＝MD+DA＝－14e1－e2＋12e1＝14e1－答案：(1)e2＋12e1(2)14e1－例3解析：(1)∵b＝－2a，∴a與b共線．(2)∵a＝16b，∴a與b(3)設(shè)a＝λb，則e1＋e2＝λ(3e1－3e2)，∴(1－3λ)e1＝－(1＋3λ)e2.∵e1與e2是兩個(gè)不共線向量，∴1這樣的λ不存在，因此a與b不共線．例4解析：證明：∵AB＝OB-OA＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2而B(niǎo)C＝OC-OB＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2∴AB與BC共線，且有公共點(diǎn)B，∴A，B，C三點(diǎn)共線．例5解析：∵ke1＋2e2與8e1＋ke2共線，∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2，∴k=8λ，2=λ∵ke1＋2e2與8e1＋ke2反向，∴λ＝－12，k答案：－4跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)2a＋b＝2e1＋5e2又∵4e1＋10e2＝2(2e1＋5e2)∴4e1＋10e2＝2(2a＋b)，故選B.(2)因?yàn)橄蛄縜與b共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)μ，使b＝μa成立．即e1＋λe2＝μ(2e1－e2)＝2μe1－μe2，所以(2μ－1)e1＝(λ＋μ)e2，又因?yàn)閑1與e2不共線．所以2μ-1=0，λ答案：(1)B(2)－1[課堂十分鐘]1．解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.答案：D2．解析：因?yàn)橄蛄縨a－3b與a＋(2－m)b共線，且向量a，b是兩個(gè)不共線的向量，所以m＝-32-m，解得答案：AC3．解析：因?yàn)锳E＝AC+CE＝AC+67CD＝AC所以AE＝17答案