2023-2024學(xué)年湘教版必修第二冊 專項培優(yōu)1章末復(fù)習(xí)課 學(xué)案

專項培優(yōu)①章末復(fù)習(xí)課考點一平面向量的線性運算1．進(jìn)行向量的線性運算常見的方法有兩種：定義法和坐標(biāo)法(1)在定義運算中，要會根據(jù)題意尋找或畫出三角形或平行四邊形，利用三角形法則或平行四邊形法則，結(jié)合平面向量的基本定理求解．(2)若條件是給出坐標(biāo)的向量，則直接進(jìn)行運算．若向量在含有垂直關(guān)系的幾何圖形中給出，則可以建立坐標(biāo)系利用坐標(biāo)進(jìn)行向量的運算，從而轉(zhuǎn)化為實數(shù)的運算求解．2．通過對平面向量線性運算的考查，提升學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．例1在平行四邊形ABCD中，CE＝4EB，DF＝2(1)用AB，AD表示(2)若AC＝λAE＋μAF，求λ，μ；(3)若AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，求AE·AF.跟蹤訓(xùn)練1(1)如圖所示，正方形ABCD中，M是BC的中點，若AC＝λAM＋μBD，則λ＋μ等于()A．43B．C．158(2)已知點A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，試求λ為何值時：①點P在第一、三象限的角平分線上；②點P在第三象限內(nèi)．考點二平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用角度1求數(shù)量積1．平面向量的數(shù)量積有兩種表示形式a·b＝|a||b|cosθ和a·b＝x1x2＋y1y2.若題目中給出的是兩向量的模與夾角，則利用a·b＝|a||b|cosθ，若已知或可求兩向量的坐標(biāo)，可利用a·b＝x1x2＋y1y2.2．通過對數(shù)量積的考查，提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．例2(1)已知向量a＝(9，6)，b＝(3，x)，若a∥b，則b·(a－b)＝()A．－26B．－25C．25D．26(2)(多選)已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，P為△ABC所在平面內(nèi)一點，則PA·(PB+A．－8B．－6C．－4D．－2角度2求向量的模1．向量的模不僅是研究問題的一個重要的量，而且是利用向量方法解決幾何問題的一個交匯點．因此，我們必須熟練掌握求向量的模的基本方法．一般地，求向量的模主要是利用公式a2＝a2將它轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積問題，利用數(shù)量積的運算律和運算性質(zhì)來解決，或利用公式|a|＝x2．通過對向量的模考查，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．例3(1)(多選)已知平面向量a＝(2，m)，b＝(1，－2)，且|2a－b|＝|2a＋b|，則()A．m＝2B．m＝2C．|a＋b|＝3D．|a＋b|＝3(2)已知向量a＝(λ＋1，2)，b＝(－2，2)，若|a－2b|＝|a＋2b|，則λ＝________．角度3求向量的夾角求向量a，b的夾角θ的步驟：①求|a|，|b|，a·b；②cosθ＝a·bab(夾角余弦公式)；③結(jié)合例4(1)若向量p，q滿足|p|＝8，|q|＝6，q·(q－p)＝12，則p和q的夾角為()A．π6B．π4C．π(2)已知向量a＝(2，－1)，b＝(m，3)，若(a＋b)⊥a，則a，b的夾角為________．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知三角形ABC的邊長分別為AB＝3，AC＝4，BC＝5，BC＝3BD，則AD·BC＝()A．1B．23C．3D．－(2)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|＝()A．1B．2C．3D．4(3)設(shè)向量a與b的夾角為θ，且a＝(－2，1)，a＋2b＝(2，3)，則cosθ＝()A．－35B．35C．5考點三正、余弦定理的應(yīng)用1．主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判斷三角形的形狀、求三角形的面積，以及余弦定理、正弦定理的綜合應(yīng)用．2．通過對正、余弦定理的應(yīng)用的考查，提升學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．例5在△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.(1)若2sinC＝3sinA，求△ABC的面積；(2)是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．跟蹤訓(xùn)練3(1)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝acosB＋bcosA，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．等腰三角形(2)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.設(shè)(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.①求A；②若2a＋b＝2c，求sinC．專項培優(yōu)①章末復(fù)習(xí)課考點聚集·分類突破例1解析：(1)由向量的線性運算法則，可得AE＝AB+BE＝AB+AF＝AD+DF＝AD+(2)因為AC＝AB+AD，且CE＝4EB可得AC＝AB+AD＝λAB+15AD所以λ+23μ=115λ+(3)因為AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，所以AB·AD＝3×5×12＝15則AE·AF＝AB+15AD·23AB+AD＝23AB2＋1715AB跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)方法一因為AC＝λAM＋μBD＝λ(AB+BM)＋μ(BA+AD)＝λAB+12AD＋μ(－且AC＝AB+AD，所以λ所以λ＋μ＝53方法二如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為2，設(shè)B(2，0)，D(0，2)，C(2，2)，M(2，1)∴AC＝(2，2)，AM＝(2，1)，BD＝(－2，2)，又∵AC＝λAM＋μBD，則有2=2λ-2μ2=λ+2μ，解得∴λ＋μ＝53故選B.(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，則AP＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，AB＋λAC＝(5，4)－(2，3)＋λ[(7，10)－(2，3)]＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，因為AP＝AB＋λAC，且AB與AC不共線，所以x-2=3+5λ①若點P在第一、三象限的角平分線上，則5＋5λ＝4＋7λ，解得λ＝12②若點P在第三象限內(nèi)，可得5+5λ<04+7答案：(1)B(2)見解析例2解析：(1)由a∥b有9x＝3×6?x＝2，所以b＝(3，2)，從而a－b＝(6，4)，所以b·(a－b)＝(3，2)·(6，4)＝3×6＋2×4＝26.(2)以BC中點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A(0，23)，B(－2，0)，C(2，0)，設(shè)P(x，y)，則PA＝(－x，23－y)，PB＝(－2－x，－y)，PC＝(2－x，－y)，所以PA·(PB+PC)＝－x·(－2x)＋(23－y)·(－2y)＝2x2－43y＋2y2＝2[x2＋(y－3)2－3]≥－6，當(dāng)x＝0，y＝答案：(1)D(2)BCD例3解析：(1)因為|2a－b|＝|2a＋b|，所以4a2－4a·b＋b2＝4a2＋4a·b＋b2，所以a·b＝0，因為a＝(2，m)，b＝(1，－2)所以a·b＝2－2m＝0，則m＝2.因為a＋b＝(3，0)，所以|a＋b|＝32(2)由|a－2b|＝|a＋2b|兩邊同時平方可得：|a－2b|2＝|a＋2b|2，整理得：a·b＝0，而a·b＝－2(λ＋1)＋4＝0，解得：λ＝1.答案：(1)AC(2)1例4解析：(1)設(shè)向量p，q的夾角為θ，又|q|＝6，q·(q－p)＝12，∴|q|2－p·q＝12，即p·q＝24，∴cosθ＝p·qp·q又θ∈[0，π]，∴θ＝π3(2)因為a＝(2，－1)，b＝(m，3)，所以a＋b＝(2＋m，2)．因為(a＋b)⊥a，所以(a＋b)·a＝4＋2m－2＝0，所以m＝－1.因為cos〈a，b〉＝a·bab＝又〈a，b〉∈[0，π]所以向量a，b的夾角為3π答案：(1)C(2)3跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，滿足AB2＋AC2＝BC2，故AB⊥AC，∵BC＝3BD，∴AD·BC＝(AB+BD)·BC＝AB+13BC·BC＝AB·BC+13BC2＝|AB|·|BC|·cos(π－B)＋1(2)由題意，a·b＝|a|·|b|cos60°＝1，所以|2a－b|＝4a2-(3)∵向量a與b的夾角為θ，且a＝(－2，1)，a＋2b＝(2，3)，∴b＝(2，1)，∴cosθ＝a·ba·b答案：(1)D(2)B(3)A例5解析：(1)因為2sinC＝3sinA，則2c＝2(a＋2)＝3a，則a＝4，故b＝5，c＝6，cosC＝a2+b2-c22ab＝18因此，S△ABC＝12absinC＝12×4×5×37(2)顯然c>b>a，若△ABC為鈍角三角形，則C為鈍角，由余弦定理可得cosC＝a2+b2-解得－1<a<3，則0<a<3，由三角形三邊關(guān)系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，∵a∈Z，故a＝2.跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)∵a＝acosB＋bcosA，∴由余弦定理可得a＝a×a2+c2-整理可得2ac＝2c2，∴a＝c，則△ABC的形狀為等腰三角形，故選D.(2)①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝b2+c因為0°<A<18