2014年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標?。?/h1>

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2014年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標Ⅰ）一、選擇題（共12小題，每小題5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，則A∩B=（）A．[1，2） B．[﹣1，1] C．[﹣1，2） D．[﹣2，﹣1]2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 3．（5分）設函數(shù)f（x），g（x）的定義域都為R，且f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則下列結論正確的是（）A．f（x）?g（x）是偶函數(shù) B．|f（x）|?g（x）是奇函數(shù) C．f（x）?|g（x）|是奇函數(shù) D．|f（x）?g（x）|是奇函數(shù) 4．（5分）已知F為雙曲線C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一個焦點，則點F到C的一條漸近線的距離為（）A． B．3 C．m D．3m 5．（5分）4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為（）A． B． C． D． 6．（5分）如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P作直線OA的垂線，垂足為M，將點M到直線OP的距離表示為x的函數(shù)f（x），則y=f（x）在[0，π]的圖象大致為（）A． B． C． D． 7．（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入的a，b，k分別為1，2，3，則輸出的M=（）A． B． C． D． 8．（5分）設α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，則（）A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β= 9．（5分）不等式組的解集記為D，有下列四個命題：p1：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命題是（）A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3 10．（5分）已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若=4，則|QF|=（）A． B．3 C． D．2 11．（5分）已知函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）12．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（）A．6 B．6 C．4 D．4 二、填空題（共4小題，每小題5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展開式中x2y7的系數(shù)為．（用數(shù)字填寫答案）14．（5分）甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們三人去過同一城市；由此可判斷乙去過的城市為．15．（5分）已知A，B，C為圓O上的三點，若=（+），則與的夾角為．16．（5分）已知a，b，c分別為△ABC的三個內角A，B，C的對邊，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，則△ABC面積的最大值為．三、解答題17．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ為常數(shù)．（Ⅰ）證明：an+2﹣an=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由．18．（12分）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：（Ⅰ）求這500件產(chǎn)品質量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（Ⅱ）由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質量指標值Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2．（i）利用該正態(tài)分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質量指標值位于區(qū)間（187.8，212.2）的產(chǎn)品件數(shù)，利用（i）的結果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）證明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知點A（0，﹣2），橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，F(xiàn)是橢圓的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）設過點A的直線l與E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程．21．（12分）設函數(shù)f（x）=aexlnx+，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處得切線方程為y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）證明：f（x）＞1．選修41：幾何證明選講22．（10分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點E，且CB=CE．（Ⅰ）證明：∠D=∠E；（Ⅱ）設AD不是⊙O的直徑，AD的中點為M，且MB=MC，證明：△ADE為等邊三角形．選修44：坐標系與參數(shù)方程23．已知曲線C：+=1，直線l：（t為參數(shù)）（Ⅰ）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程．（Ⅱ）過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值．選修45：不等式選講24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并說明理由．2014年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標Ⅰ）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，則A∩B=（）A．[1，2） B．[﹣1，1] C．[﹣1，2） D．[﹣2，﹣1] 【考點】1E：交集及其運算．【專題】5J：集合．【分析】求出A中不等式的解集確定出A，找出A與B的交集即可．【解答】解：由A中不等式變形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故選：D．【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【考點】A5：復數(shù)的運算．【專題】5N：數(shù)系的擴充和復數(shù)．【分析】由條件利用兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運算性質，計算求得結果．【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故選：D．【點評】本題主要考查兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運算性質，屬于基礎題．3．（5分）設函數(shù)f（x），g（x）的定義域都為R，且f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則下列結論正確的是（）A．f（x）?g（x）是偶函數(shù) B．|f（x）|?g（x）是奇函數(shù) C．f（x）?|g（x）|是奇函數(shù) D．|f（x）?g（x）|是奇函數(shù) 【考點】3K：函數(shù)奇偶性的性質與判斷．【專題】51：函數(shù)的性質及應用．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質即可得到結論．【解答】解：∵f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（﹣x）?g（﹣x）=﹣f（x）?g（x），故函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯誤，|f（﹣x）|?g（﹣x）=|f（x）|?g（x）為偶函數(shù)，故B錯誤，f（﹣x）?|g（﹣x）|=﹣f（x）?|g（x）|是奇函數(shù)，故C正確．|f（﹣x）?g（﹣x）|=|f（x）?g（x）|為偶函數(shù)，故D錯誤，故選：C．【點評】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關鍵．4．（5分）已知F為雙曲線C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一個焦點，則點F到C的一條漸近線的距離為（）A． B．3 C．m D．3m 【考點】KC：雙曲線的性質．【專題】11：計算題；5D：圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】雙曲線方程化為標準方程，求出焦點坐標，一條漸近線方程，利用點到直線的距離公式，可得結論．【解答】解：雙曲線C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化為，∴一個焦點為（，0），一條漸近線方程為=0，∴點F到C的一條漸近線的距離為=．故選：A．【點評】本題考查雙曲線的方程與性質，考查點到直線的距離公式，屬于基礎題．5．（5分）4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為（）A． B． C． D． 【考點】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【專題】11：計算題；5I：概率與統(tǒng)計．【分析】求得4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動、周六、周日都有同學參加公益活動的情況，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，共有24=16種情況，周六、周日都有同學參加公益活動，共有24﹣2=16﹣2=14種情況，∴所求概率為=．故選：D．【點評】本題考查古典概型，是一個古典概型與排列組合結合的問題，解題時先要判斷該概率模型是不是古典概型，再要找出隨機事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)．6．（5分）如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P作直線OA的垂線，垂足為M，將點M到直線OP的距離表示為x的函數(shù)f（x），則y=f（x）在[0，π]的圖象大致為（）A． B． C． D． 【考點】3P：抽象函數(shù)及其應用．【專題】57：三角函數(shù)的圖像與性質．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意長度、距離為正，再根據(jù)直角三角形的銳角三角函數(shù)的定義即可得到f（x）的表達式，然后化簡，分析周期和最值，結合圖象正確選擇．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，則OM=|cosx|，∴點M到直線OP的距離表示為x的函數(shù)f（x）=OM|sinx|=|cosx|?|sinx|=|sin2x|，其周期為T=，最大值為，最小值為0，故選：C．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質，正確表示函數(shù)的表達式是解題的關鍵，同時考查二倍角公式的運用．7．（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入的a，b，k分別為1，2，3，則輸出的M=（）A． B． C． D． 【考點】EF：程序框圖．【專題】5I：概率與統(tǒng)計．【分析】根據(jù)框圖的流程模擬運行程序，直到不滿足條件，計算輸出M的值．【解答】解：由程序框圖知：第一次循環(huán)M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循環(huán)M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循環(huán)M=+=，a=，b=，n=4．不滿足條件n≤3，跳出循環(huán)體，輸出M=．故選：D．【點評】本題考查了當型循環(huán)結構的程序框圖，根據(jù)框圖的流程模擬運行程序是解答此類問題的常用方法．8．（5分）設α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，則（）A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β= 【考點】GF：三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值．【專題】56：三角函數(shù)的求值．【分析】化切為弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由該等式左右兩邊角的關系可排除選項A，B，然后驗證C滿足等式sin（α﹣β）=cosα，則答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴當時，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故選：C．【點評】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，訓練了利用排除法及驗證法求解選擇題，是基礎題．9．（5分）不等式組的解集記為D，有下列四個命題：p1：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命題是（）A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3 【考點】2K：命題的真假判斷與應用；7A：二元一次不等式的幾何意義．【專題】59：不等式的解法及應用；5L：簡易邏輯．【分析】作出不等式組的表示的區(qū)域D，對四個選項逐一分析即可．【解答】解：作出圖形如下：由圖知，區(qū)域D為直線x+y=1與x﹣2y=4相交的上部角型區(qū)域，p1：區(qū)域D在x+2y≥﹣2區(qū)域的上方，故：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直線x+2y=2的右上方和區(qū)域D重疊的區(qū)域內，?（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2正確；p3：由圖知，區(qū)域D有部分在直線x+2y=3的上方，因此p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3錯誤；p4：x+2y≤﹣1的區(qū)域（左下方的虛線區(qū)域）恒在區(qū)域D下方，故p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1錯誤；綜上所述，p1、p2正確；故選：C．【點評】本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關鍵，屬于難題．10．（5分）已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若=4，則|QF|=（）A． B．3 C． D．2 【考點】K8：拋物線的性質．【專題】11：計算題；5D：圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】求得直線PF的方程，與y2=8x聯(lián)立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：設Q到l的距離為d，則|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨設直線PF的斜率為﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直線PF的方程為y=﹣2（x﹣2），與y2=8x聯(lián)立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故選：B．【點評】本題考查拋物線的簡單性質，考查直線與拋物線的位置關系，屬于基礎題．11．（5分）已知函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2） 【考點】53：函數(shù)的零點與方程根的關系．【專題】11：計算題；51：函數(shù)的性質及應用；53：導數(shù)的綜合應用．【分析】由題意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分類討論確定函數(shù)的零點的個數(shù)及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①當a=0時，f（x）=﹣3x2+1有兩個零點，不成立；②當a＞0時，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零點，故不成立；③當a＜0時，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一個零點；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上沒有零點；而當x=時，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3?+1＞0；故a＜﹣2；綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）；故選：D．【點評】本題考查了導數(shù)的綜合應用及分類討論的思想應用，同時考查了函數(shù)的零點的判定的應用，屬于基礎題．12．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（）A．6 B．6 C．4 D．4 【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【專題】5F：空間位置關系與距離．【分析】畫出圖形，結合三視圖的數(shù)據(jù)求出棱長，推出結果即可．【解答】解：幾何體的直觀圖如圖：AB=4，BD=4，C到BD的中點的距離為：4，∴．AC==6，AD=4，顯然AC最長．長為6．故選：B．【點評】本題考查三視圖求解幾何體的棱長，考查計算能力．二、填空題（共4小題，每小題5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展開式中x2y7的系數(shù)為﹣20．（用數(shù)字填寫答案）【考點】DA：二項式定理．【專題】11：計算題；5P：二項式定理．【分析】由題意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，項的系數(shù)，求和即可．【解答】解：（x+y）8的展開式中，含xy7的系數(shù)是：8．含x2y6的系數(shù)是28，∴（x﹣y）（x+y）8的展開式中x2y7的系數(shù)為：8﹣28=﹣20．故答案為：﹣20【點評】本題考查二項式定理系數(shù)的性質，二項式定理的應用，考查計算能力．14．（5分）甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們三人去過同一城市；由此可判斷乙去過的城市為A．【考點】F4：進行簡單的合情推理．【專題】5M：推理和證明．【分析】可先由乙推出，可能去過A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一個，再由丙即可推出結論．【解答】解：由乙說：我沒去過C城市，則乙可能去過A城市或B城市，但甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市，則乙只能是去過A，B中的任一個，再由丙說：我們三人去過同一城市，則由此可判斷乙去過的城市為A．故答案為：A．【點評】本題主要考查簡單的合情推理，要抓住關鍵，逐步推斷，是一道基礎題．15．（5分）已知A，B，C為圓O上的三點，若=（+），則與的夾角為90°．【考點】9S：數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【專題】5A：平面向量及應用．【分析】根據(jù)向量之間的關系，利用圓直徑的性質，即可得到結論．【解答】解：在圓中若=（+），即2=+，即+的和向量是過A，O的直徑，則以AB，AC為鄰邊的四邊形是矩形，則⊥，即與的夾角為90°，故答案為：90°【點評】本題主要考查平面向量的夾角的計算，利用圓直徑的性質是解決本題的關鍵，比較基礎．16．（5分）已知a，b，c分別為△ABC的三個內角A，B，C的對邊，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，則△ABC面積的最大值為．【考點】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【專題】11：計算題；35：轉化思想；48：分析法；58：解三角形．【分析】由正弦定理化簡已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，結合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面積公式即可計算得解．【解答】解：因為：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC?（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c?2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又因為：a=2，所以：，△ABC面積，而b2+c2﹣a2=bc?b2+c2﹣bc=a2?b2+c2﹣bc=4?bc≤4所以：，即△ABC面積的最大值為．故答案為：．【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．三、解答題17．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ為常數(shù)．（Ⅰ）證明：an+2﹣an=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由．【考點】83：等差數(shù)列的性質；8H：數(shù)列遞推式．【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）利用anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，相減即可得出；（Ⅱ）假設存在λ，使得{an}為等差數(shù)列，設公差為d．可得λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，．得到λSn=，根據(jù){an}為等差數(shù)列的充要條件是，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）證明：∵anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，∴an+1（an+2﹣an）=λan+1∵an+1≠0，∴an+2﹣an=λ．（Ⅱ）解：假設存在λ，使得{an}為等差數(shù)列，設公差為d．則λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，∴．∴，，∴λSn=1+=，根據(jù){an}為等差數(shù)列的充要條件是，解得λ=4．此時可得，an=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{an}為等差數(shù)列．【點評】本題考查了遞推式的意義、等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、等差數(shù)列的充要條件等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力、分類討論的思想方法，屬于難題．18．（12分）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：（Ⅰ）求這500件產(chǎn)品質量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（Ⅱ）由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質量指標值Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2．（i）利用該正態(tài)分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質量指標值位于區(qū)間（187.8，212.2）的產(chǎn)品件數(shù)，利用（i）的結果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差；CP：正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【專題】11：計算題；5I：概率與統(tǒng)計．【分析】（Ⅰ）運用離散型隨機變量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），從而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意運用所給數(shù)據(jù)；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），運用EX=np即可求得．【解答】解：（Ⅰ）抽取產(chǎn)品的質量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），從而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件產(chǎn)品的質量指標值位于區(qū)間（187.8，212.2）的概率為0.6826，依題意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．【點評】本題主要考查離散型隨機變量的期望和方差，以及正態(tài)分布的特點及概率求解，考查運算能力．19．（12分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）證明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【考點】M7：空間向量的夾角與距離求解公式；MJ：二面角的平面角及求法．【專題】5H：空間向量及應用．【分析】（1）連結BC1，交B1C于點O，連結AO，可證B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，進而可得AC=AB1；（2）以O為坐標原點，的方向為x軸的正方向，||為單位長度，的方向為y軸的正方向，的方向為z軸的正方向建立空間直角坐標系，分別可得兩平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）連結BC1，交B1C于點O，連結AO，∵側面BB1C1C為菱形，∴BC1⊥B1C，且O為BC1和B1C的中點，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO?平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O為B1C的中點，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1兩兩垂直，以O為坐標原點，的方向為x軸的正方向，||為單位長度，的方向為y軸的正方向，的方向為z軸的正方向建立空間直角坐標系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1為正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），設向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，則，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一個法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值為【點評】本題考查空間向量法解決立體幾何問題，建立坐標系是解決問題的關鍵，屬中檔題．20．（12分）已知點A（0，﹣2），橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，F(xiàn)是橢圓的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）設過點A的直線l與E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程．【考點】K4：橢圓的性質；KH：直線與圓錐曲線的綜合．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（Ⅰ）通過離心率得到a、c關系，通過A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）設直線l：y=kx﹣2，設P（x1，y1），Q（x2，y2）將y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范圍，利用弦長公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面積表達式，利用換元法以及基本不等式求出最值，然后求解直線方程．【解答】解：（Ⅰ）設F（c，0），由條件知，得又，所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（5分）（Ⅱ）依題意當l⊥x軸不合題意，故設直線l：y=kx﹣2，設P（x1，y1），Q（x2，y2）將y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，當△=16（4k2﹣3）＞0，即時，從而又點O到直線PQ的距離，所以△OPQ的面積=，設，則t＞0，，當且僅當t=2，k=±等號成立，且滿足△＞0，所以當△OPQ的面積最大時，l的方程為：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【點評】本題考查直線與橢圓的位置關系的應用，橢圓的求法，基本不等式的應用，考查轉化思想以及計算能力．21．（12分）設函數(shù)f（x）=aexlnx+，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處得切線方程為y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）證明：f（x）＞1．【考點】6E：利用導數(shù)研究函數(shù)的最值；6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】15：綜合題；53：導數(shù)的綜合應用．【分析】（Ⅰ）求出定義域，導數(shù)f′（x），根據(jù)題意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等價于xlnx＞xe﹣x﹣，設函數(shù)g（x）=xlnx，函數(shù)h（x）=，只需證明g（x）min＞h（x）max，利用導數(shù)可分別求得g（x）min，h（x）max；【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=+，由題意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=exlnx+，∵f（x）＞1，∴exlnx+＞1，∴l(xiāng)nx＞﹣，∴f（x）＞1等價于xlnx＞xe﹣x﹣，設函數(shù)g（x）=xlnx，則g′（x）=1+lnx，∴當x∈（0，）時，g′（x）＜0；當x∈（，+∞）時，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增，從而g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（）=﹣．設函數(shù)h（x）=xe﹣x﹣，則h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴當x∈（0，1）時，h′（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，從而h（x）在（0，+∞）上的最大值為h（1）=﹣．綜上，當x＞0時，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)求函數(shù)的最值、證明不等式等，考查轉化思想，考查學生分析解決問題的能力．選修41：幾何證明選講22．（10分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點E，且CB=CE．（Ⅰ）證明：∠D=∠E；（Ⅱ）設AD不是⊙O的直徑，AD的中點為M，且MB=MC，證明：△ADE為等邊三角形．【考點】NB：弦切角；NC：與圓有關的比例線段．【專題】15：綜合題；5M：推理和證明．【分析