高一數(shù)學(xué)函數(shù)模型的應(yīng)用實例3

3．2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實例1．幾種常見的函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型(2)二次函數(shù)模型(3)指數(shù)函數(shù)模型(4)對數(shù)函數(shù)模型(5)冪函數(shù)模型．1．函數(shù)模型應(yīng)用的兩個方面(1)利用函數(shù)模型解決問題；(2)建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象，對某些開展趨勢進行預(yù)測．2．應(yīng)用函數(shù)模型解決問題的根本過程數(shù)據(jù)擬合時，得到的函數(shù)為什么需要檢驗？【提示】因為根據(jù)已給的數(shù)據(jù)，作出散點圖，根據(jù)散點圖，一般是從我們比較熟悉的、最簡單的函數(shù)作模擬，但所估計的函數(shù)有時可能誤差較大或不切合客觀實際，此時就要再改選其他函數(shù)模型．某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定本錢為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，總收益滿足函數(shù)：(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益＝總本錢＋利潤)【思路點撥】由題目可獲取以下主要信息：①總本錢＝固定本錢＋100x；②收益函數(shù)為一分段函數(shù)．解答此題可由總收益＝總本錢＋利潤，知利潤＝總收益－總本錢．由于R(x)為分段函數(shù)，所以f(x)也要分段求出，將問題轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)求最值問題．【解析】(1)設(shè)每月產(chǎn)量為x臺，那么總本錢為20000＋100x，從而f(x)＝在函數(shù)應(yīng)用題中，正確理解題意，養(yǎng)成良好的閱讀習(xí)慣是成功的一半．而二次函數(shù)模型常涉及頂點坐標(biāo)、函數(shù)的單調(diào)性、區(qū)間最值等問題，二次函數(shù)的配方是比較有效的解題手段．1.在經(jīng)濟學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)，某公司每月最多生產(chǎn)100件產(chǎn)品，生產(chǎn)x(x∈N＋)件產(chǎn)品的收入函數(shù)為R(x)＝3000x－20x2(單位：元)，其本錢函數(shù)C(x)＝500x＋4000(單位：元)，利潤為收入與本錢之差．(1)求利潤函數(shù)P(x)及其邊際利潤函數(shù)MP(x)；(2)利潤函數(shù)P(x)與邊際利潤函數(shù)MP(x)是否具有相等的最大值？【解析】由題意知，x∈[1,100]，且x∈N＋.(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝(3000x－20x2)－(500x＋4000)＝－20x2＋2500x－4000，x∈[1,100]，x∈N＋，MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－20(x＋1)2＋2500(x＋1)－4000－(－20x2＋2500x－4000)＝2480－40x，x∈[1,100]，x∈N＋.某林區(qū)1999年木材蓄積量200萬立方米，由于采取了封山育林、嚴(yán)禁采伐等措施，使木材蓄積量的年平均遞增率能到達5%.(1)假設(shè)經(jīng)過x年后，該林區(qū)的木材蓄積量為y萬立方米，求y＝f(x)的表達式，并求此函數(shù)的定義域；(2)作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，并應(yīng)用圖象求經(jīng)過多少年后，林區(qū)的木材蓄積量能到達300萬立方米？【解析】

(1)現(xiàn)有木材蓄積量200萬立方米，經(jīng)過1年后木材蓄積量為200＋200×5%＝200(1＋5%)；經(jīng)過2年后木材蓄積量為200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2.…經(jīng)過x年后木材蓄積量為200(1＋5%)x.∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x.∵x雖以年為單位，但木材每時每刻均在生長，∴x≥0，且x∈R.∴函數(shù)的定義域為[0，＋∞)．x0123…y200210220.5231.5…(2)作函數(shù)y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)圖象，如下圖.年份0為1999年(附圖)．作直線y=300，與函數(shù)y=200(1+5%)x的圖象交于A點，設(shè)A(x0,300)，那么A點的橫坐標(biāo)x0的值就是函數(shù)值y=300時(木材蓄積量為300萬立方米時)所經(jīng)過的時間x的值．∵8<x0<9，那么取x=9.∴經(jīng)過9年后林區(qū)的木材蓄積量能到達300萬立方米．由于“遞增率〞問題多抽象為指數(shù)函數(shù)形式，而由指數(shù)函數(shù)形式來確定相關(guān)的量的值多需要使用計算器計算，如果問題要求不嚴(yán)格，就可以通過圖象近似求解．用函數(shù)的圖象求解未知量的值或確定變量的取值范圍，是數(shù)學(xué)常用的方法之一．這種將“數(shù)〞與“形〞結(jié)合解決問題的思想方法即“數(shù)形結(jié)合方法〞，能使抽象的問題直觀化，對人的數(shù)學(xué)思維開展有深刻的影響．2.某商店如果將進貨為8元的商品按每件10元售出，每天可銷售200件，現(xiàn)在采用提高售價，減少進貨量的方法增加利潤，這種商品每漲價0.5元，其銷售量就減少10件，問應(yīng)該將售價定為多少時，才能使所賺利潤最大，并求出最大利潤．【解析】設(shè)每件售價提高x元，那么每件得利潤(10－8＋x)元，即(2＋x)元．每天銷售量變?yōu)?200－x/0.5×10)件，即(200－20x)件，所獲利潤y＝(2＋x)·(200－20x)＝－20(x－4)2＋720(0≤x<10)．故當(dāng)x＝4，即售價定為14元時，每天可獲得最大利潤720元．某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某產(chǎn)品分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件．為了估測以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份數(shù)x的關(guān)系．模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù)y＝a·bx＋c(其中a，b，c為常數(shù))，4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，請問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？并說明理由．【思路點撥】由題目可獲取以下主要信息：①此工廠前三個月的產(chǎn)量；②題中給出了兩個函數(shù)模型，選擇其中一個．解答此題先由條件確定函數(shù)解析式中的待定系數(shù)的值，再研究x＝4時，哪個函數(shù)值更接近1.37.(1)問題中給出函數(shù)解析式，且解析式中帶有需要確定的參數(shù)，這些參數(shù)需要根據(jù)問題的內(nèi)容或性質(zhì)來確定，然后再通過運用函數(shù)使問題本身獲解；(2)在建立函數(shù)模型時，對同一實際問題可選取不同的模型，通過比較，選出比較接近實際的模型．時間/t50110250種植成本/Q1501081503.某地西紅柿從2月1日起開始上市．通過市場調(diào)查，得到西紅柿種植本錢Q(單位為：元/102kg)與上市時間t(單位：天)的數(shù)據(jù)如下表：(1)根據(jù)上表中數(shù)據(jù)，從以下函數(shù)中選取一個函數(shù)描述西紅柿種植本錢Q與上市時間t的變化關(guān)系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt；(2)利用你選取的函數(shù)，求西紅柿種植本錢最低時的上市天數(shù)及最低種植本錢．1．解決應(yīng)用問題的根本步驟(1)閱讀理解，認(rèn)真審題：就是要讀懂題中的文字表達，理解表達所反映的實際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來的數(shù)學(xué)實質(zhì)，尤其是理解表達中的新名詞、新概念，進而把握新信息．在此根底上，分析出是什么、求什么、涉及哪些知識、確定自變量與函數(shù)值的意義，嘗試將問題函數(shù)化．審題時要抓住題中關(guān)鍵的量，要勇于嘗試、探索，敏于發(fā)現(xiàn)、歸納，善于聯(lián)想、化歸，實現(xiàn)應(yīng)用問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化．(2)引進數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型：一般設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各種相關(guān)量，然后根據(jù)問題的條件，運用已掌握的數(shù)學(xué)知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立函數(shù)關(guān)系式，將實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即建立數(shù)學(xué)模型．(3)利用數(shù)學(xué)的方法對得到的數(shù)學(xué)模型予以解答，求出結(jié)果．(4)將數(shù)學(xué)問題的解代入實際問題進行核查，舍去不合題意的解，并作答．這些步驟用框圖表示如下：2．?dāng)?shù)據(jù)擬合過程中的假設(shè)就一般的數(shù)學(xué)建模來說，是離不開假設(shè)的，如果在問題的原始狀態(tài)下不作任何假設(shè)，將所有的變化因素全部考慮進去，對于稍復(fù)雜一點的問題就無法下手了，假設(shè)的作用主要表現(xiàn)在以下幾個方面：(1)進一步明確模型中需要考慮的因素和它們在問題中的作用，通常，初步接觸一個問題，會覺得圍繞它的因素非常多，經(jīng)仔細(xì)分析篩查，發(fā)現(xiàn)有的因素并無實質(zhì)聯(lián)系，有的因素是無關(guān)緊要的，排除這些因素，問題那么越發(fā)清晰明朗，在假設(shè)時就可以設(shè)這些因素不需考慮．(2)降低解題難度，雖然每一個解題者的能力不同，但經(jīng)過適當(dāng)?shù)募僭O(shè)就都可以有能力建立數(shù)學(xué)模型，并且得到相應(yīng)的解．一般情況下，是先在最簡單的情形下組建模型，然后通過不斷地調(diào)整假設(shè)使模型盡可能地接近實際，從而得到更滿意的解．某公司在甲，乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝5.06x－0.15x2，和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．假設(shè)該公司在這兩地共銷售15輛車，那么能獲得的最大利潤為()A．45.606B．45.6C．46.8D．46.806【錯因】上面解答中x＝51/5不為整數(shù)，在實際問題中是不可能的，因此x應(yīng)根據(jù)拋物線取與x＝51/5接近的整數(shù)才符合題意．【正解】設(shè)甲地銷售x輛，那么乙地銷售(15－x)輛，那么總利潤L＝L1＋L2＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋45.606.根據(jù)二次函數(shù)圖象和x∈N*，∴當(dāng)x＝10時，獲得最大利潤L＝－0.15×102＋3.06×10＋30＝45.6萬元．【答案】B課時作業(yè)點擊進入鏈接九州娛樂網(wǎng)jiuzhouyule.me九州娛樂網(wǎng)uyd31vau個價格可適宜？〞喬氏說：“不會錯的，他們在這一帶的口碑很好，已經(jīng)做了好多年了。〞耿老爹說：“我看那頭兒是一個很實在的人，不但吩咐剛走的那倆伢子要把大木桶裝滿當(dāng)裝結(jié)實，還借給了咱們這把據(jù)他說很好用的泥葉子，還有這泥托子、翻動攪拌石灰泥用的小鏟子和木棍兒；喏，還送了這包上好的榆皮毛拉絮，我正在考慮上哪里去買呢！〞耿英說：“我看也是，這個人很不錯！〞耿正那么快樂地說：“正好我也有泥葉子和泥托子使用了！〞小青說：“姆媽你是沒有看見，我耿伯伯可會和人談生意啦。依我看啊，這樣的談法，即使他們多給了咱們石灰膏，并且又借工具又送榆皮毛拉絮的，心里也是非?？鞓返??？吹贸鰜?，我耿伯伯可真正是一個做生意的好手??！〞耿直挺了挺脖子驕傲地說：“嗬，這算什么啊。小青姐姐你是沒有看見我爹在漢口鎮(zhèn)上是怎樣開我們的“耿記糧油零售店〞的，那才叫帶勁兒哪！〞耿老爹笑著說：“小直子，你就夸你爹吧！我有多大的本領(lǐng)，難道自己還不知道嘛。學(xué)著干唄。依我說這人哪，只要想做一件事情，不管是大事情還是小事情，都必須得想方法做到最好才行。這實際上啊，我們做事的過程，也就是學(xué)習(xí)的過程；而其中最重要的是，一定要學(xué)會總結(jié)經(jīng)驗，知道汲取教訓(xùn)，并且還要將心比心，理解人心。我們大家一輩子都在學(xué)習(xí)呢。〞喬氏聽了耿老爹這一番話，心里說：要不這耿家仨兄妹一個比一個有長進呢，感情這耿大哥教子有方耶！如果這正伢子真能成為我家女婿的話，那我可得把菩薩請到家，早晚三柱香了呢！這樣想著，喬氏快樂地回屋準(zhǔn)備午飯去了。耿老爹對小青和耿正兄妹三人說：“我們必須給這些大桶里的石灰膏少量地淋灑一些清水，然后用濕布蓋起來，不能讓外表上的石灰膏風(fēng)干了！〞耿英趕快端來一盆清水，耿正和耿直用手攫著淋在石灰膏的外表上。小青拿來一些布片，泡在水盆里弄濕了，和耿英一起，把八大桶石灰膏蒙得嚴(yán)嚴(yán)實實的。耿老爹把那包榆皮毛拉絮等分成八份，將其中的一份泡在水盆里，剩下的七份用七塊兒布片包起來。然后對小青和耿英說：“沒有你倆的