5.2.2 二次函數(shù)y＝ax2＋ky＝a(x＋ h)2y＝a(x＋h)2＋k（a ≠ 0）的圖象和性質(zhì) 蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)導(dǎo)學(xué)課件

5.2二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)第5章二次函數(shù)5.2.2二次函數(shù)y＝ax2＋k，y＝a(x＋h)2，y＝a(x＋h)2＋k（a≠0）的圖象和性質(zhì)逐點(diǎn)學(xué)練本節(jié)小結(jié)作業(yè)提升本節(jié)要點(diǎn)1學(xué)習(xí)流程2二次函數(shù)y=ax2+k

的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)y=a(x+h)2

的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)y=a(x+h)2+k

的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2，y=ax2+k，y=a(x+h)2，y=a(x+h)2+k之間的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)y=ax2+k的圖象與性質(zhì)11.二次函數(shù)y=ax2+k

的圖象與二次函數(shù)y=ax2的圖象的關(guān)系它們的形狀(開(kāi)口大小、方向)相同，只是上、下位置不同，二次函數(shù)y=ax2+k

的圖象可由二次函數(shù)y=ax2的圖象上下平移|k|個(gè)單位長(zhǎng)度得到.要點(diǎn)提醒：a決定拋物線的開(kāi)口方向和開(kāi)口大小，所以y=ax2(a≠0)與y=ax2+k(a≠0)的圖象開(kāi)口方向和開(kāi)口大小相同，只是位置不同.2.二次函數(shù)y=ax2+k的圖象a，k

的符號(hào)y=ax2+k(a>0)y=ax2+k(a<0)k>0k<0k>0k<0圖象開(kāi)口方向向上向下頂點(diǎn)坐標(biāo)(0，k)對(duì)稱軸y軸增減性在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸右側(cè)，y

隨x

的增大而增大在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y

隨x的增大而減小3.二次函數(shù)y=ax2+k的圖象的畫(huà)法(1)描點(diǎn)法：類比作二次函數(shù)y=ax2圖象的描點(diǎn)法，即按列表→描點(diǎn)→連線的順序作圖.(2)平移法：將二次函數(shù)y=ax2的圖象，向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得二次函數(shù)y=ax2+k的圖象.平移規(guī)律口訣:上加下減，縱變橫不變，“上加下減”表示拋物線的位置上下平移規(guī)律，即：拋物線y=ax2+k

是由拋物線y=ax2上下平移｜k｜個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，“上加”表示當(dāng)k為正數(shù)時(shí)，向上平移；“下減”表示當(dāng)k為負(fù)數(shù)時(shí)，向下平移；“縱變橫不變”表示坐標(biāo)的平移規(guī)律，即：拋物線平移時(shí)其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)改變而橫坐標(biāo)不變.例1將拋物線y=－2x2－1向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線的表達(dá)式是________________.解題秘方：根據(jù)上加下減的規(guī)律，直接在函數(shù)表達(dá)式上加可得新函數(shù)的表達(dá)式.解：∵拋物線y=－2x2－1向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，∴y=－2x2－1+，即y=－2x2+.另解：以對(duì)應(yīng)點(diǎn)作中介平移：拋物線y＝－2x2－1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－1)，∵拋物線平移只改變位置，則平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴可得到拋物線的表達(dá)式為y＝－2x2+.拋物線y=－2x2－5的開(kāi)口______，對(duì)稱軸是______，頂點(diǎn)坐標(biāo)是_________

.解題秘方：直接利用拋物線表達(dá)式進(jìn)行求解即可.例2向下y軸(0,－5)解：∵y=－2x2－5中a=－2＜0，c=－5，∴拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－5).知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)y=a(x+h)2的圖象與性質(zhì)21.二次函數(shù)y=a(x+h)2

的圖象與二次函數(shù)y=ax2

的圖象的關(guān)系它們的形狀(開(kāi)口大小、方向)相同，只是左、右位置不同，二次函數(shù)y=a(x+h)2

的圖象可由二次函數(shù)y=ax2

的圖象左右平移|h|個(gè)單位長(zhǎng)度得到.2.二次函數(shù)y=a(x+h)2的圖象與性質(zhì)函數(shù)y=a(x＋h)2(a>0)y=a(x＋h)2(a<0)圖象開(kāi)口方向向上向下頂點(diǎn)坐標(biāo)(h，0)對(duì)稱軸直線x=h頂點(diǎn)位置當(dāng)h>0時(shí)，頂點(diǎn)在y軸的左側(cè)(即x

軸的負(fù)半軸上)；當(dāng)h<0時(shí)，頂點(diǎn)在y軸的右側(cè)(即x

軸的正半軸上)增減性在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減小方法點(diǎn)撥：平移規(guī)律：左加右減，橫變縱不變.①“左加”表示當(dāng)h＞0時(shí)，函數(shù)y=a(x+h)2的圖象可以由函數(shù)y=ax2的圖象向左平移h個(gè)單位長(zhǎng)度得到.②“右減”表示當(dāng)h＜0時(shí)，函數(shù)y=a(x+h)2的圖象可以由函數(shù)y=ax2的圖象向右平移|h|個(gè)單位長(zhǎng)度得到.③“橫變縱不變”表示坐標(biāo)的平移規(guī)律，即拋物線平移時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫拋物線y=－3(x－1)2

的開(kāi)口______，對(duì)稱軸是__________，頂點(diǎn)坐標(biāo)是____________

.向下例3解題秘方：根據(jù)頂點(diǎn)式求拋物線的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo).直線x=1(1，0)方法點(diǎn)撥：當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，圖象有最低點(diǎn)，當(dāng)x=－h(huán)時(shí)，y最小值=0；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，圖象有最高點(diǎn)，當(dāng)x=－h(huán)時(shí)，y最大值=0.解：由y=－3(x－1)2

可知，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0).例4在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=－x－1與y=－(x－1)2的圖象大致是圖5.2-8中的()A解題秘方：由兩個(gè)函數(shù)圖象的位置與系數(shù)的關(guān)系判斷.解：∵k=－1<0，b=－1<0，∴函數(shù)y=－x－1的圖象過(guò)第二、三、四象限.∵a=－<0，h=－1，∴函數(shù)y=－(x－1)2

的圖象開(kāi)口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0).∴同時(shí)符合條件的圖象只有A.知識(shí)儲(chǔ)備：直線y=kx+b(k≠0，b≠0)的位置與k，b

符號(hào)的關(guān)系：①k>0時(shí)，若b>0，則直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限；若b<0，則直線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限.②k<0時(shí)，若b>0，則直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限；若b<0，則直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限.知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)y=a(x+h)2+k的圖象和性質(zhì)31.二次函數(shù)y=a(x+h)2+k的圖象與二次函數(shù)y=ax2

的圖象的關(guān)系它們的形狀(開(kāi)口大小、方向)相同，只是位置不同；二次函數(shù)y=a(x+h)2+k的圖象可由二次函數(shù)y=ax2的圖象平移得到，即先將二次函數(shù)y=ax2的圖象左右平移|h|個(gè)單位長(zhǎng)度得到二次函數(shù)y=a(x+h)2

的圖象，再將二次函數(shù)y=a(x+h)2的圖象上下平移|k|個(gè)單位長(zhǎng)度得到二次函數(shù)y=a(x+h)2+k的圖象.知識(shí)點(diǎn)2.二次函數(shù)y=a(x＋h)2+k的圖象與性質(zhì)函數(shù)y=a(x＋h)2+k(a>0)y=a(x＋h)2+k(a<0)圖象頂點(diǎn)位置當(dāng)h<0，k>0時(shí)，頂點(diǎn)在第一象限；當(dāng)h>0，k>0時(shí)，頂點(diǎn)在第二象限；當(dāng)h>0，k<0時(shí)，頂點(diǎn)在第三象限；當(dāng)h<0，k<0時(shí)，頂點(diǎn)在第四象限知識(shí)點(diǎn)對(duì)稱軸直線x=－h(huán)開(kāi)口方向向上向下增減性在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大在對(duì)稱軸的左側(cè)，y

隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小最值當(dāng)x=－h(huán)

時(shí)，y

最小值=k當(dāng)x=－h(huán)

時(shí)，y

最大值=k特別解讀：●從y=a(x+h)2+k(a≠0)中可以直接得出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，所以通常把它稱為二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－h(huán)，k).●對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)相同的二次函數(shù)，可以根據(jù)兩拋物線的頂點(diǎn)位置來(lái)判斷平移的方式.例如：拋物線y=(x+3)2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－3，2)，可以看成是把y=x2的圖象先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.例5對(duì)于拋物線y＝(x－2)2－3，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.拋物線的開(kāi)口向上B.對(duì)稱軸是直線x＝2C.拋物線不經(jīng)過(guò)第三象限D(zhuǎn).當(dāng)x＞3時(shí)，y

隨x的增大而減小D解題秘方：緊扣y=a(x+h)2+k

的圖象和性質(zhì)逐一判斷.解題策略：解答拋物線y=a(x+h)2+k的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最值等問(wèn)題，首先必須弄清頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+h)2+k中a，h，k與開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最值間的關(guān)系，比較題中給出的相關(guān)數(shù)據(jù)與a，h，k間的關(guān)系，再結(jié)合相關(guān)知識(shí)按題目要求解答.解：因?yàn)閽佄锞€表達(dá)式為y＝(x－2)2－3，所以a＝1，該拋物線的開(kāi)口向上，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)稱軸是直線x＝2，所以選項(xiàng)B正確；因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)坐標(biāo)(2，－3)在第四象限，且當(dāng)x＜2時(shí)，y

隨x

的增大而減小，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，則該拋物線不經(jīng)過(guò)第三象限，所以選項(xiàng)C正確；根據(jù)y＝(x－2)2－3的圖象和性質(zhì)可知，當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)y=ax2，y=ax2+k，y=a(x+h)2，y=a(x+h)2+k之間的關(guān)系41.位置關(guān)系2.圖象和性質(zhì)關(guān)系函數(shù)y=a(x＋h)2+ky=a(x＋h)2y=ax2+ky=ax2相同點(diǎn)形狀圖象都是拋物線，形狀相同，開(kāi)口方向相同對(duì)稱性圖象都是軸對(duì)稱圖形增減性a>0時(shí)，開(kāi)口向上，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x

的增大而減小，在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大；a<0時(shí)，開(kāi)口向下，在對(duì)稱軸左側(cè)，y

隨x

的增大而增大，在對(duì)稱軸右側(cè)，y

隨x的增大而減小不同點(diǎn)頂點(diǎn)(－h(huán)，k)(－h(huán)，0)(0，k)(0，0)對(duì)稱軸直線x=－h(huán)y

軸特別解讀：①拋物線y=ax2，y=ax2+k，y=a(x＋h)2，y=a(x－h(huán))2+k中a值相等，所以這四條拋物線的形狀、大小完全一樣，故它們之間可互相平移得到.②拋物線的平移規(guī)律是“左加右減，上加下減”，所不同的是，左右平移時(shí)，只針對(duì)常數(shù)h進(jìn)行變化，而上下平移時(shí)，只針對(duì)常數(shù)k進(jìn)行變化，可簡(jiǎn)記為左加右減自變量，上加下減常數(shù)項(xiàng).例6已知拋物線y=a(x＋h)2+k

是由拋物線y=－x2

向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位得到的.(1)求出a，h，k

的值；解：∵拋物線y=－

x2

向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位后得到的拋物線是y=－(x－1)2+2，∴a=－

，h=－1，k=2.解題秘方：緊扣特殊形式的二次函數(shù)間的關(guān)系進(jìn)行解答.(2)在同一直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出y=a(x＋h)2+k

與y=－

x2

的圖象；解：函數(shù)y=－(x－1)