傅里葉級數(shù)數(shù)學

一、三角級數(shù)三角函數(shù)系的正交性二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)§10.7傅里葉級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)一、三角級數(shù)三角函數(shù)系的正交性三角級數(shù)形如的級數(shù)稱為三角級數(shù)

其中a0

an

bn(n

1

2

)都是常數(shù).

1

cosx

sinx

cos2x

sin2x

cosnx

sinnx

三角函數(shù)系三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系中任何兩個不同的函數(shù)的乘積在[

]上的積分等于零而任何兩個相同的函數(shù)的乘積在[

]上的積分不等于零.

>>>提示:a0p=0++0提示:anp=0++0提示:二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)傅里葉系數(shù)設(shè)f(x)是周期為2

的周期函數(shù)

且能展開成三角級數(shù):

且假定三角級數(shù)可逐項積分

則bnp=0++0二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)設(shè)f(x)是周期為2

的周期函數(shù)

且能展開成三角級數(shù):

且假定三角級數(shù)可逐項積分

則系數(shù)a0

a1

b1

叫做函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù).傅里葉系數(shù)傅里葉級數(shù)三角級數(shù)稱為傅里葉級數(shù),其中a0,a1,b1,···是傅里葉系數(shù).然而,函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù)是否一定收斂?如果它收斂,它是否一定收斂于函數(shù)f(x)?一般來說,這兩個問題的答案都不是肯定的.一個定義在(

,

)上周期為2

的函數(shù)f(x),如果它在一個周期上可積,則一定可以作出f(x)的傅里葉級數(shù).定理(收斂定理狄利克雷充分條件)設(shè)f(x)是周期為2

的周期函數(shù),如果它滿足:(1)在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點,(2)在一個周期內(nèi)至多只有有限個極值點,則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂,并且當x是f(x)的連續(xù)點時,級數(shù)收斂于f(x);當x是f(x)的間斷點時,級數(shù)收斂于

.

傅里葉級數(shù)三角級數(shù)稱為傅里葉級數(shù),其中a0,a1,b1,···是傅里葉系數(shù).

例1

設(shè)周期為2

的函數(shù)f(x)在[

,

)上的表達式為將f(x)展開成傅里葉級數(shù).

解

所給函數(shù)滿足收斂定理的條件,由收斂定理知道f(x)的傅里葉級數(shù)收斂.當x

k

時傅里葉級數(shù)收斂于當x

k

時級數(shù)收斂于f(x).

解

所給函數(shù)滿足收斂定理的條件,由收斂定理知道f(x)的傅里葉級數(shù)收斂.因為傅里葉系數(shù)為>>>所以f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為

(

<x<

;x

0,

,

2

,

).

例1

設(shè)周期為2

的函數(shù)f(x)在[

,

)上的表達式為將f(x)展開成傅里葉級數(shù).

f(x)的圖形和函數(shù)圖形

例2

設(shè)周期為2

的函數(shù)f(x)在[

,

)上的表達式為將f(x)展開成傅里葉級數(shù).

解

所給函數(shù)滿足收斂定理的條件,由收斂定理知道f(x)的傅里葉級數(shù)收斂.當x

(2k

1)

時傅里葉級數(shù)收斂于當x

(2k

1)

時級數(shù)收斂于f(x).

解

所給函數(shù)滿足收斂定理的條件,由收斂定理知道f(x)的傅里葉級數(shù)收斂.所以當x

(2k

1)

時f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為因為傅里葉系數(shù)為>>>

例2

設(shè)周期為2

的函數(shù)f(x)在[

,

)上的表達式為將f(x)展開成傅里葉級數(shù).周期延拓設(shè)f(x)只在[

,

]上有定義,我們可以在[

,

)或(

,

]外補充函數(shù)f(x)的定義,使它拓廣成周期為2

的周期函數(shù)F(x),在(

,

)內(nèi),F(x)

f(x).

延拓前y=f(x)延拓后y=F(x)

解

所給函數(shù)在區(qū)間[

,

]上滿足收斂定理的條件,并且拓廣為周期函數(shù)時,它在每一點x處都連續(xù),因此拓廣的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)在[

,

]上收斂于f(x).

例3

將函數(shù)展開成傅里葉級數(shù).所以f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為因為傅里葉系數(shù)為>>>

解

所給函數(shù)在區(qū)間[

,

]上滿足收斂定理的條件,并且拓廣為周期函數(shù)時,它在每一點x處都連續(xù),因此拓廣的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)在[

,

]上收斂于f(x).

例3

將函數(shù)展開成傅里葉級數(shù).三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉系數(shù)an

0(n

0,1,2,

),bn

0(n

1,2,

).當f(x)為奇函數(shù)時

f(x)cosnx是奇函數(shù)

f(x)sinnx是偶函數(shù)

故傅里葉系數(shù)為當f(x)為偶函數(shù)時

f(x)cosnx是偶函數(shù)

f(x)sinnx是奇函數(shù)

故傅里葉系數(shù)為正弦級數(shù)和余弦級數(shù)如果f(x)為奇函數(shù),那么它的傅里葉級數(shù)是只含有正弦項的正弦級數(shù)如果f(x)為偶函數(shù),那么它的傅里葉級數(shù)是只含有余弦項的余弦級數(shù)

例4

設(shè)f(x)是周期為2

的周期函數(shù),它在[

,

)上的表達式為f(x)

x.將f(x)展開成傅里葉級數(shù).

解

所給函數(shù)滿足收斂定理的條件,因此f(x)的傅里葉級數(shù)收斂.當x

(2k

1)

(k

0,

1,

2,

)時,傅里葉級數(shù)收斂于當x

(2k

1)

(k

0,

1,

2,

)時,傅里葉級數(shù)收斂于f(x).f(x)的圖形和函數(shù)的圖形

解

所給函數(shù)滿足收斂定理的條件,因此f(x)的傅里葉級數(shù)收斂.當x

(2k

1)

(k

0,

1,

2,

)時,傅里葉級數(shù)收斂于f(x).因為f(x)在(

,

)上是奇函數(shù),其傅里葉級數(shù)是正弦級數(shù),而所以f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為(

<x<

,x

,

3

,

).>>>

例4

設(shè)f(x)是周期為2

的周期函數(shù),它在[

,

)上的表達式為f(x)

x.將f(x)展開成傅里葉級數(shù).當x

(2k

1)

(k

0,

1,

2,

)時,傅里葉級數(shù)收斂于

例5將周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù),其中E是正的常數(shù).

解

函數(shù)u(t)在整個數(shù)軸上連續(xù),滿足收斂定理的條件,因此u(t)的傅里葉級數(shù)處處收斂于u(t).因為u(t)是周期為2

的偶函數(shù),其傅里葉級數(shù)是余弦級數(shù),所以u(t)的傅里葉級數(shù)展開式為而>>>所以u(t)的傅里葉級數(shù)展開式為而(

<t<

).因為u(t)是周期為2

的偶函數(shù),其傅里葉級數(shù)是余弦級數(shù),

例5將周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù),其中E是正的常數(shù).

解

函數(shù)u(t)在整個數(shù)軸上連續(xù),滿足收斂定理的條件,因此u(t)的傅里葉級數(shù)處處收斂于u(t).

設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間[0,

]上并且滿足收斂定理的條件,我們在開區(qū)間(

,0)內(nèi)補充函數(shù)f(x)的定義,得到定義在(

,

]上的函數(shù)F(x),使它在(

,

)上成為奇函數(shù)(偶函數(shù)).按這種方式拓廣函數(shù)定義域的過程稱為奇延拓(偶延拓).限制在(0,

]上,有F(x)

f(x).奇延拓與偶延拓奇延拓偶延拓

例6

將函數(shù)f(x)

x

1(0

x

)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù).先求正弦級數(shù).

解

為此對函數(shù)f(x)進行奇延拓.函數(shù)的正弦級數(shù)展開式為