微分中值定理推廣與應用

微分中值定理推廣與應用摘要：拉格朗日中值定理與柯西中值定理都是羅爾中值定理，在本篇論文里，給出羅爾中值定理的其它多種推廣來擴大其應用。本文也舉例說明了和性質,并給出了第二型曲面積分計算的幾種方法.關鍵詞：羅爾中值定理；羅爾中值定理Theextensionandapplicationofthedifferentialmean-valuetheoremAbstract：Thelagrangnemean-valuetheoremandtheCauchymean-valuetheoramareextensionoftheRollemean-valuntheorm.InthisarticaltheRollemean-valuetheoremhasbeenconcludedanddeducedinfewmoreformsthathelpedtoexpandtheuseoftheRollemean-valuetheroem.Alsothearticalhasdemonstratedoftheapplicationofdifferentialmean-valuntheorem..KeyWords：Lagrangnemean-valuetheoree;Cauchymean-valuetheorem;Rollemean-valuntheorm引言在數(shù)學分析課程中羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理統(tǒng)稱為微分中值定理,他們是微分中值學中最根本、最重要的定理,是連接函數(shù)與導數(shù)之間的橋梁,是應用導數(shù)局部性研究函數(shù)整體性的重要數(shù)學工具,是聯(lián)系閉區(qū)間上實函數(shù)與其導函數(shù)的橋梁與紐帶，具有重要的理論價值與使用價值,因此討論微分中值定理的推廣具.為加深學生對微分中值定理的理解,更好地掌握微分中值定理的應用,本文歸納介紹了微分中值定理的幾種推廣形式及在解題中的一些應用。1.微分中值定理的推廣1.1推廣一假設函數(shù)滿足：①在內可導；②,其中為有限值,或,或,那么至少存在一點,使。證明：(1)設為有限值時,對函數(shù)做連續(xù)延拓,定義易知在上滿足羅爾中值定理條件,故在開區(qū)間內至少存在一點,使(2)設,由于在(a,b)內連續(xù),有極限的定義,對充分大的,存在,使那么直線與至少有2個交點與即不妨設易知在上滿足羅爾中值定理,故存在,使(3),類似可證還可以把羅爾定理中的有限區(qū)間推廣到無限區(qū)間1.2推廣二假設函數(shù)滿足：①在上連續(xù)：②在內可導：③,那么至少存在一點,使證明令,將變換成,記,那么有,,設,從而在上可導,且有定義在上,其中,由羅爾定理,存在,使得,那么.又,所以注類似可以證明假設在上可導,且,那么至少存在一點,使1.3推廣三假設函數(shù)滿足：①在區(qū)間上連續(xù)；②在區(qū)間上可導；③,那么至少存在一點,使得證明令即當時,,,,補充定義，那么在區(qū)間上連續(xù)，在內可導，根據(jù)拉格朗日中值定理，存在一點，使，即記，而故至少存在一點使得1.4推廣四假設函數(shù)滿足：①在區(qū)間上連續(xù)；②在區(qū)間上可導；③,那么至少存在一點,使得。證明令,那么,與對應。,補充定義,,在上連續(xù),在內可導,據(jù)羅爾中值定理知,在內至少存在一點,使得,記,有從而有。1.5推廣五如函數(shù)、、滿足：①在上連續(xù)；②在內可導,那么至少存在一點,使證明設,由行列式的性質知,利用羅爾中值定理即可得證注；〔1〕假設并帶入上式即得拉格朗日定理〔2〕假設令展開即得柯西中值定理2.微分中值定理的應用2.1導數(shù)極限定理例1設函數(shù)滿足：〔1〕在的某鄰域內連續(xù)〔2〕那么在處可導,且證明：先對在上應用拉格朗日中值定理,有從而有由故同理可證同理此結論說明了,假設有限導數(shù)在某區(qū)間存在,那么在區(qū)間沒一點連續(xù),它或是連續(xù),或是第二間斷點2.2導數(shù)估值問題例2設在上具有二階連續(xù)導數(shù),且滿足條件其中,都是非負常數(shù),是內任意一點。證明：證明將在處展為一階泰勒公式〔1〕在〔1〕式中令,那么有〔2〕在〔1〕式中令,那么有〔3〕〔2〕式減〔3〕式,得于是又因為,故2.3討論方程根的存在性例3設在上可導,且對任何都有,又。試證在內方程有唯一實根。證明〔存在性〕令在上利用零點定理易證。〔唯一性〕反證法：假設有兩個實根,,使得,不妨設,在上對利用拉格朗日中值定理,有這與矛盾,故結論得證2.4證明不等式例4設,證明。證設,那么對在上利用拉格朗日中值定,有由,知,而,從而有,即。2.5計算極限例5計算極限。分析：此題用洛必達法那么等方法計算時,形式繁瑣解可以考慮函數(shù)在區(qū)間或上由拉格朗日中值定理,那么有例6計算極限解考慮函數(shù)在區(qū)間或上，利用拉格朗日中值定理，那么有例7假設在內可導,且,求.分析由式,引進輔助函數(shù),顯然.解由,知,當時,令,對,在上利用柯西中值定理有,即,亦有,或由于,所以當時有和,于是,使即.2.6函數(shù)的單調性例8證明：假設函數(shù)在可導,單調增加,且,那么函數(shù)在也單調增加.證明對任意,且,那么在與均滿足拉格朗日中值定理條件,于是分別存在,使,,由于單調增加,且,所以,從而,即函數(shù)在也單調增加.2.7用來判定級數(shù)的斂散性例9設函數(shù)在點的某鄰域內有二階連續(xù)導數(shù),且,證絕對收斂.證明由且在可導,知故在點處的一階泰勒公式為：,因,故.取有由于收斂,由比擬判別知絕對收斂.2.8證明有關等式在證明一些出現(xiàn)導數(shù)的等式時,進行適當?shù)淖冃魏?考慮應用微分中值定理加以證明.還有,就是我們在證明一些與中值定理有關的題目時,構造輔助函數(shù)是解決問題的關鍵.在證明題中巧妙選用和構造輔助函數(shù),進行系統(tǒng)分析和闡述,從而證明相關結論.例10是定義在實數(shù)集上的函數(shù),假設對任意,有,其中是常數(shù),那么是常值函數(shù).證明對任意,的改變量為,由條件有,即,兩邊關于取極限得所以.由中值定理,即,故在上是常值函數(shù).思路總結要想證明一個函數(shù)在某區(qū)間上恒為常數(shù)一般只需證明該函數(shù)的導函數(shù)在同一區(qū)間上恒為零即可.例11設,證明：存在,使得.證明由于在上連續(xù),在內可導,,.符合羅爾中值定理的條件,故存在,使例12假設在上有三階導數(shù),且,設,試證在內至少存在一個,使.證明由題設可知,,,在上存在,又,由羅爾中值定理,使,又可知在上滿足羅爾中值定理,于是,使得,又對存在,使.例13設在上連續(xù),在內可導,,試證：使.證明由于,,,由于在上滿足柯西中值定理,所以使,由上面二式可得使得：.例14設函數(shù)在上連續(xù),在內可導,且.試證：對任意給定的正數(shù)在內不同的,使.證明由于所以.又由于在上連續(xù)且.由介值性定理,使得,在上分別用拉格朗日中值定理有即即于是由上面兩式有將兩式相加得即.結束語人們對微分中值定理的認識可以上溯到公元前古希臘時代,對微分中值定理的研究從微積分建立之始就開始了.至今有關微分中值定理問題的研究非?；顫?且已有豐富的成果,相比之下,對有關中值定理應用的研究尚不是很全面.討論了洛爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在證明中根的存在性、不等式、等式及判定級數(shù)的斂散性和求極限等方面的應用,最后通過例題表達微分中值定理在具體問題中的應用.參考文獻