小學(xué) 六年級(jí) 上冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解 第8課《應(yīng)用同余解題》試題附答案

小學(xué)六年級(jí)上冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解第8課《應(yīng)用同余解題》試題附答案

第八講應(yīng)用同余解題

在五年級(jí)我們已初步學(xué)習(xí)了同余的有關(guān)知識(shí).同余在解答競賽題中有著廣

泛的應(yīng)用.在這一講中，我們將深入理解同余的概念和性質(zhì)，悟出它的一些運(yùn)

用技巧和方法.

例1躲以5余1,b[^以5余4,如果3a2>b,那么3a~b(^以5余幾？

例2若a為自然數(shù)，證明10|(小鄭一薩自.

例3計(jì)算機(jī)錄入員平均每分鐘可以輸入72個(gè)漢字，輸入一篇有而密

個(gè)漢字的文章所用的分鐘數(shù)恰好是整數(shù)，求五位數(shù)通藥.

例4n=191=919…1919,,求n被9除后所得商的個(gè)位數(shù)是幾?

1919不1919

例5設(shè)2n+l是質(zhì)數(shù)，證明:菖22,…，小被2n+l除所得的余數(shù)各不相

同.

例6已知：a=19191919-1919,

1919個(gè)1919

問：輜以13所得余數(shù)是幾？

例7求被3除余2,被5除余3,被滁余5的最小三位數(shù).

例8給出12個(gè)彼此不同的兩位數(shù)，證明：由它們中一定可以選出兩個(gè)數(shù),

它們的差是兩個(gè)相同數(shù)字組成的兩位數(shù).

例9試證不小于5的質(zhì)數(shù)的平方與1的差必能被24整除.

證明：:質(zhì)數(shù)中僅有一個(gè)偶數(shù)2,

例10任給七個(gè)不同的整數(shù)，證明其中必有兩個(gè)數(shù)，其和或差是10的倍數(shù).

答案

第八講應(yīng)用同余解題

在五年級(jí)我們己初步學(xué)習(xí)了同余的有關(guān)知識(shí).同余在解答競賽題中有著廣

泛的應(yīng)用.在這一講中，我們將深入理解同余的概念和性質(zhì)，悟出它的一些運(yùn)

用技巧和方法.

例1賒以5余1,瞬以5余4,如果3a>b,那么3a一瞬以5余幾？

分析與余數(shù)有關(guān)的問題考慮用同余式可以使解題簡便.

解：.八曰1(mod5),

3a=3(mod5),

或者3a鼻8(mod5).(1)

又；b=4(mod5),(2)

???⑴-(2)得：

3a-b=8-4=4(mod5).

因此3a-b|^以5余4.

例2若a為自然數(shù)，證明10|(蘇湖-a】吟.

分析如果換一種方式表達(dá)，所要證明的即是要證才沒與a1年個(gè)位數(shù)字相

同.用對于模1。兩數(shù)同余來解，可以使解題過程簡化.

證明：:小英s=a"4%-ga(modl0),

a1549=a4X497-1=a(mod10),

/.a15￡5-a1545=a-a—0(mod10).

即10I(a1565—a1949).

說明：這里用到一個(gè)事實(shí)：對于任何自然數(shù)a,求與a的個(gè)位數(shù)字相同.

例3計(jì)算機(jī)錄入員平均每分鐘可以輸入72個(gè)漢字，輸入一篇有通密

個(gè)漢字的文章所用的分鐘數(shù)恰好是整數(shù)，求五位數(shù)麗藥.

分析這道題實(shí)質(zhì)是求一個(gè)能被72整除的五位數(shù)而藥.

解：:72=8X9,又72|而密，

由能被8、9整除的特征，得

x+6+7+9+y=0(mod9)(1)

^700+90+y=0(mod8).(2)

由(2)得y=2(mod8)

因0<y<9且、是整數(shù)

.'.y=2.

把y=2代入(1)得

x+6+7+9+2=0(mod9)

.,.x=3(mod9).

由x是一位整數(shù)得：x=3.

，所求五位數(shù)是36792.

例4n=19191919-1919,求n被9除后所得商的個(gè)位數(shù)是幾?

1919個(gè)1919

分析①設(shè)『9=商?"和那么9|(n-r),根據(jù)L「=商義9,以及nr

的個(gè)位數(shù)字，可推算出商的個(gè)位數(shù)字.

②抓住“一個(gè)整數(shù)與它的各位數(shù)字之和對于模9同余”這性質(zhì)，可以很快

的化大數(shù)為小數(shù).

解：Vn=19191919-1919^1919X(1+9+1+9)=1919X20=2X2三

1919.1919'

4(mod9),

.,.9|(n-4),即n-4=9X商,

又???n-4的個(gè)位數(shù)字是5,

二.n被滁所得的商的個(gè)位數(shù)字是5.

例5設(shè)0+1是質(zhì)數(shù),證明：1"2J…，#被2n+l除所得的余數(shù)各不相

同.

分析這道題肯定不可能通過各數(shù)被2n+l除去求余數(shù).那么我們可以考慮

從反面入手，假設(shè)存在兩個(gè)相同的余數(shù)的話，就會(huì)發(fā)生矛盾.而中間的推導(dǎo)是

步步有根據(jù)的，所以發(fā)生矛盾的原因是假設(shè)不合理.從而說明假設(shè)不成立，因

此原來的結(jié)論是正確的.

證明：假設(shè)有兩個(gè)數(shù)a、b,(a盧b,設(shè)b<a,且l<a<n,l<b4n),它們

的平方水，后被2n+l除余數(shù)相同.

那么，由同余定義得矛一后曰0(mod(2n+1)).

即(a+b)(a~b)=0(mod(2n+1)),由于2n+1是質(zhì)數(shù).

a+b=0(mod(2n+1))或a-b^O(mod(2n+1)).

由于a+b,a-通小于2n+l且大于零，

可知，a+b與2n+l互質(zhì)，a~b也與2n+1互質(zhì).

即a+b與a-嘛不能被2n+1整除.

產(chǎn)生矛盾，..?原題得證.

說明：這里用到一個(gè)重要的事實(shí)：如果A+BmO(modp),p是質(zhì)數(shù)，那

么A或B中至少有一個(gè)模p為零.p是質(zhì)數(shù)這一條件不能少，否則不能成

立.例如2裝0(mod6),3^0(mod6),而2X3三0(mod6).

例6己知：a=19191919-1919,

___________________________________>

1919個(gè)1919

問：賒以13所得余數(shù)是幾？

解：用試除方法可知：13|191919.

V1919X2=3838,而3|3837,

.".13|1919-1900,

\___________________t

3837個(gè)19

a-1919-1900=19,

'3837”個(gè)19

即1919個(gè)“1919”有3838個(gè)“19”，三組三組取走“19”后還剩下一組.

a=19(mod13).

a—6(mod13).

即躲以13余數(shù)是6.

例7求被3除余2,被5除余3,被7除余5的最小三位數(shù).

解:設(shè)x為所求數(shù)，

由題意

x=2（mod3）,（1）

<x—3（mod5）,（2）

x=5（mod7）,（3）

（3）即x=7k+5（k是整數(shù)）.代入（2）得

7k+5=3（mod5）,

2k=3（mod5）,

2k—8（mod5）.

k=4（mod5）,即k=5m+4（m是整數(shù)）.

.,.x=7k+5=7（5m+4）+5=35m+33,

上式代入（1）得：

35m+33=2（mod3）,

m=1（mod3）,即m=3t+l（凝整數(shù)）.

，x=35m+33=35（3t+1）+33=105t+68,

當(dāng)t=l時(shí)，x=173.

.??所求的最小三位數(shù)為173.

例8給出12個(gè)彼此不同的兩位數(shù)，證明：由它們中一定可以選出兩個(gè)數(shù)，

它們的差是兩個(gè)相同數(shù)字組成的兩位數(shù).

分析證這道題要考慮到以下三點(diǎn).

①兩位數(shù)的數(shù)碼相同時(shí)，它一定能被11整除.

②遇到數(shù)是任意的，需排個(gè)序，這樣討論表述起來比較方便.

③用12個(gè)數(shù)中最大的數(shù)依次地分別減去其余11個(gè)數(shù)可得到11個(gè)差.若差中

有相同數(shù)碼組成的兩位數(shù)，問題得證；若差中沒有合條件的兩位數(shù)，這時(shí)這11

個(gè)（差）數(shù)各自除以11,所得余數(shù)只可能在“，2,3,…，10｝中，必有兩

個(gè)差數(shù)的余數(shù)相同，考慮用余數(shù)造抽屜解題.

證明：設(shè)12個(gè)兩位數(shù)從小到大排列為：

10<al<a2<---<all<al2<99,

用al2分別減去其余的數(shù)，得差：

bl=al2-al,b2=al2~a2,…，bll=al2~all.

①若上面11個(gè)差中有某個(gè)差b工能被11整除，即11|(al2-ai),那么己證

出數(shù)al2與aI的差bi是兩個(gè)相同數(shù)碼組成的兩位數(shù).

②若這11個(gè)差均不能被11整除，則按不能被11整除的余數(shù)造10個(gè)抽屜，余

數(shù)相同者歸入同一抽屜，根據(jù)抽屜原理，11個(gè)差數(shù)中，一定存在兩數(shù)bm、bn對

于模11同除,即：bm-bn=0(mod11),

即(al2-am)—(al2—an)=0(mod11),

即an—am=0(mod11),

即11I(an-am),

即差an-am是一個(gè)由相同數(shù)碼組成的兩位數(shù).綜合(1)、(2)問題得

證.

說明：這道題的證明用到了將數(shù)按被11除的余數(shù)分類的思想.

一般地，任何一個(gè)整數(shù)a被自然數(shù)賒，余數(shù)只可能是0,1,2,…，n-1這

n種情況，這樣我們可以利用余數(shù)將整數(shù)分為幾類，如：整數(shù)按除以2余1還是

0,分為奇數(shù)和偶數(shù).

又如，整數(shù)除以3,余數(shù)只能是0,1,2這三種情況，我們可以把所有整數(shù)

按除以3后的條數(shù)分三類，即3k,3k+1,3k+2,隹會(huì)).

這種利用余數(shù)分類思想，是重要的數(shù)學(xué)思想方法，它可以使研究問題時(shí)搜

索的范圍大大縮小.

例9試證不小于5的質(zhì)數(shù)的平方與1的差必能被24整除.

證明：:質(zhì)數(shù)中僅有一個(gè)偶數(shù)2,

二不小于5的質(zhì)數(shù)是奇數(shù).

又不小于5的自然數(shù)按除以6所得的余數(shù)可分為嗟：6n,6n+l,6n+2,6n

+3,6n+4,6n+5,（n是自然數(shù)），

其中6n,6n+2,6n+褚6是偶數(shù)，又3|6n+3.

,不小于5的質(zhì)數(shù)只可能是6n+1,6n+5.

又自然數(shù)除以6余數(shù)是5的這類數(shù)換一記法是：6n-l,

（不小于5的質(zhì)數(shù)）2-1=（6n±1）2-1

=36n:±12n=12n（3n±1）,

這里n與（3n士1）奇偶性不同，其中定有一個(gè)偶數(shù)，

：.2|n（3n±1）,

24|12n（3n±1）.

結(jié)論成立.

說明：按同余類造抽屜是解競賽題的常用方法.

例10任給七個(gè)不同的整數(shù)，證明其中必有兩個(gè)數(shù)，其和或差是10的倍數(shù).

分析首先考慮什么樣的兩個(gè)整數(shù)的和或差可以被10整除.設(shè)兩個(gè)整數(shù)a、

b,若a^b（mod10）,則10|（a-b）；若a—r（mod10）,而b—10—r

（mod10）,則10|（a+b）,只有這兩種情況.但是如果按整數(shù)除以10的余

數(shù)造抽屜，就有十個(gè)抽屜，對于已知條件中給定的七個(gè)數(shù)無法應(yīng)用抽屜原理，

所以要考慮如何造六個(gè)抽屜.根據(jù)首先考慮的兩個(gè)整數(shù)被10除的兩種情況，可

以把余數(shù)之和等于10的并成一類，這樣分為：10k、10k±1,10k±2,10k

±3,10k±4,10k±5六類，恰好構(gòu)造六個(gè)抽屜，再應(yīng)用抽屜原理可解此題.

證明：根據(jù)整數(shù)n^r（mod10）構(gòu)造六個(gè)抽屜如下:

r=0的數(shù)；r=5的數(shù)；r=l或9的數(shù)；r=2或8的數(shù);r=3或7的數(shù)；r=4或6

的數(shù).

這樣任給定的七個(gè)整數(shù)按照除以10的余數(shù)r,放入六個(gè)抽屜中，必有一個(gè)抽

屜中至少有兩個(gè)數(shù).這兩數(shù)的和或差必是10的倍數(shù).

六年級(jí)奧數(shù)上冊：第八講應(yīng)用同余解題習(xí)題

習(xí)題八

1.甲、乙兩校聯(lián)合組織學(xué)生乘車去春游，每輛車可以乘36人，兩校各自

坐滿若干輛車后，甲校余下的13人與乙校余下的人恰好又坐滿一輛車.春游中

甲校的每位同學(xué)分別與乙校的每位同學(xué)合一張影留念.如果每卷膠卷可拍36張

照片，問：拍完最后一張照片后，相機(jī)里的膠卷還可以拍幾張？（提示：這題

相當(dāng)于：甲數(shù)除以36余13,乙數(shù)除以36余23,若甲、乙之積除以36的余數(shù)為

r,求36-r=?）.

2.求1993：”-7的余數(shù).

3.求證：31Mo+4；”：=0（mod5）.

4.能被33整除的六位數(shù)15環(huán)有多少個(gè)？

5.求滿足除以5余2,除以7余4,除以11余3的最小三位數(shù).

6.70個(gè)數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個(gè)數(shù)以外