山東省濟寧市三年（2020-2022）中考數學真題分類匯編-解答題

山東省濟寧市三年（2020-2022）中考數學真題分類匯編-解答題

一.實數的運算（共1小題）

I.（2021?濟寧）計算：|&-l|+cos45°-（如）-+圾.

二.整式的混合運算一化簡求值（共1小題）

2.（2020?濟寧）先化簡，再求值：（x+1）（x-1）+x（2-x）,其中x=」.

2

三.二次根式的混合運算（共1小題）

3.（2022?濟寧）已知a=2+代，b=2-匹，求代數式/"〃戶的值.

四.一元一次不等式組的應用（共1小題）

4.（2020?濟寧）為加快復工復產，某企業(yè)需運輸一批物資.據調查得知，2輛大貨車與3

輛小貨車一次可以運輸600箱；5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運輸1350箱.

（1）求1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運輸多少箱物資；

（2）計劃用兩種貨車共12輛運輸這批物資，每輛大貨車一次需費用5000元，每輛小貨

車一次需費用3000元.若運輸物資不少于1500箱，且總費用小于54000元.請你列出

所有運輸方案，并指出哪種方案所需費用最少.最少費用是多少？

五.一次函數的應用（共1小題）

5.（2022?濟寧）某運輸公司安排甲、乙兩種貨車24輛恰好一次性將328噸的物資運往A,

3兩地，兩種貨車載重量及到A,8兩地的運輸成本如表：

貨車類型載重量（噸/輛）運往A地的成本（元/運往8地的成本（元/

輛）輛）

甲種161200900

乙種121000750

（1）求甲、乙兩種貨車各用了多少輛；

（2）如果前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運物資不少于160噸，其余貨車將剩

余物資運往2地.設甲、乙兩種貨車到A,8兩地的總運輸成本為w元，前往A地的甲

種貨車為?輛.

①寫出卬與/之間的函數解析式；

②當f為何值時，卬最小？最小值是多少？

六.反比例函數與一次函數的交點問題（共1小題）

6.(202久濟寧)如圖，RtZkABC中,ZACB=90°，6c=BC,點C(2,0),點B(0,4),

反比例函數y=K(x>0)的圖象經過點A.

X

(1)求反比例函數的解析式；

(2)將直線OA向上平移,〃個單位后經過反比例函數y=K(x>0)圖象上的點(1,〃),

x

求m,n的值.

七.反比例函數的應用(共1小題)

7.(2020?濟寧)在aABC中，3C邊的長為x,3c邊上的高為y,ZVIBC的面積為2.

(1)y關于x的函數關系式是,x的取值范圍是；

(2)在平面直角坐標系中畫出該函數圖象；

(3)將直線y=-x+3向上平移a(〃>0)個單位長度后與上述函數圖象有且只有一個交

點，請求出此時。的值.

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八.二次函數的應用(共1小題)

8.(2021?濟寧)某商場購進甲、乙兩種商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元,

乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元.

（1）求甲、乙兩種商品每箱各盈利多少元？

（2）甲、乙兩種商品全部售完后，該商場又購進一批甲商品，在原每箱盈利不變的前提

下，平均每天可賣出100箱.如調整價格，每降價1元，平均每天可多賣出20箱，那么

當降價多少元時，該商場利潤最大？最大利潤是多少？

九.二次函數綜合題（共3小題）

9.（2022?濟寧）已知拋物線G：>=-工（川+1），一（m+1）x-1與x軸有公共點.

2

（1）當y隨x的增大而增大時，求自變量x的取值范圍；

（2）將拋物線C\先向上平移4個單位長度，再向右平移n個單位長度得到拋物線C2（如

圖所示），拋物線C2與x軸交于點A,8（點A在點8的右側），與y軸交于點C.當OC

=OA時，求〃的值；

（3）在（2）的條件下，。為拋物線C2的頂點，過點C作拋物線C2的對稱軸/的垂線，

垂足為G,交拋物線C2于點E，連接BE交/于點F.求證：四邊形CCE尸是正方形.

10.（2021?濟寧）如圖，直線y=-1+3分別交x軸、y軸于點4,B,過點4的拋物線y

22

=-/+版+c與x軸的另一交點為C,與y軸交于點￡>（0,3）,拋物線的對稱軸/交

于點E,連接OE交AB于點￡

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：0EJ_A8；

（3）P為拋物線上的一動點，直線PO交AO于點M,是否存在這樣的點P,使以4,O,

M為頂點的三角形與△4C。相似？若存在，求點P的橫坐標；若不存在，請說明理由.

2

11.（2020?濟寧）我們把方程（x-M+（y-〃）2=/稱為圓心為（m,〃）、半徑長為r

的圓的標準方程.例如，圓心為（1,-2）、半徑長為3的圓的標準方程是（X-1）2+（y+2）

2=9.在平面直角坐標系中，。。與x軸交于點A,B,且點B的坐標為（8,0）,與y

軸相切于點。（0,4）,過點A,B,。的拋物線的頂點為E.

（1）求（DC的標準方程；

（2）試判斷直線AE與OC的位置關系，并說明理由.

12.（2022?濟寧）如圖，△AOB是等邊三角形，過點A作y軸的垂線，垂足為C,點C的

坐標為（0,V3）.P是直線AB上在第一象限內的一動點，過點尸作y軸的垂線，垂足

為￡>,交AO于點E,連接AO,作。交x軸于點M,交A。于點凡連接BE,

BF.

（1）填空：若△AO。是等腰三角形，則點。的坐標為:

（2）當點P在線段AB上運動時（點P不與點A,8重合），設點M的橫坐標為

①求m值最大時點D的坐標；

②是否存在這樣的加值，使BE=BF?若存在，求出此時的〃?值；若不存在，請說明理

由.

13.（2020?濟寧）如圖，在菱形ABCZ）中，AB=AC,點E,F,G分別在邊BC,CD±,

BE=CG,AF平分NEAG,點H是線段A尸上一動點（與點A不重合）.

（1）求證：XAEgXAGH：

（2）當AC=12,8E=4時.

①求△OG”周長的最小值；

②若點。是AC的中點，是否存在直線OH將△ACE分成三角形和四邊形兩部分，其中

三角形的面積與四邊形的面積比為1：3.若存在，請求出迎的值；若不存在，請說明理

AF

由.

一十二.切線的判定與性質（共1小題）

14.（2021?濟寧）如圖，點C在以AB為直徑的。。上，點。是的中點，連接0。并延

長交。。于點E,作NEBP=NEBC,8P交OE的延長線于點P.

（1）求證：PB是。。的切線；

（2）若AC=2,PD=6,求00的半徑.

一十三.軸對稱-最短路線問題（共1小題）

15.（2021?濟寧）研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉化為平面圖形問題.

（1）閱讀材料

立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角.

例如，正方體4BCO-4'B'C'D'（圖1）,因為在平面A4'CC中，CC'〃AA',

AA'與AB相交于點A,所以直線AB與A4'所成的NB44'就是既不相交也不平行的

兩條直線A8與CC'所成的角.

解決問題

如圖1,已知正方體ABCO-A'B'CD',求既不相交也不平行的兩直線84'與AC所

（2）如圖2,M,N是正方體相鄰兩個面上的點：

①下列甲、乙、丙三個圖形中，只有一個圖形可以作為圖2的展開圖,這個圖形是；

②在所選正確展開圖中，若點M到AB,BC的距離分別是2和5,點N到B。，8C的距

離分別是4和3,P是A8上一動點，求*W+PN的最小值.

甲乙丙

一十四.相似三角形的判定與性質（共1小題）

16.（2022?濟寧）如圖，在矩形中，以AB的中點。為圓心，以。4為半徑作半圓,

連接交半圓于點E,在前上取點F，使話=踴，連接8F,DF.

（1）求證：。尸與半圓相切；

（2）如果48=10,BF=6,求矩形ABC。的面積.

一十五.作圖-相似變換（共1小題）

17.（2020?濟寧）如圖，在△ABC中，AB=AC,點P在8c上.

（1）求作：△PCD,使點。在4c上，且△PC￡）SZ^ABP；（要求：尺規(guī)作圖，保留作

圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）的條件下，若NAPC=2NABC.求證：AB.

一十六.解直角三角形的應用（共1小題）

18.（2022?濟寧）知識再現

如圖1,在Rt2\ABC中，ZC=90°,/A,ZB,NC的對邊分別為“，b,c.

VsirL4=A,sinB=A

cc

???「C=afC'b?

sinAsinB

,*?a—b

sinAsinB

拓展探究

如圖2,在銳角△ABC中，ZA,NB,NC的對邊分別為a,b,c.

請?zhí)骄恐g的關系，并寫出探究過程.

sinAsinBsinC

解決問題

如圖3,為測量點A到河對岸點B的距離，選取與點A在河岸同一側的點C,測得AC=

60%,乙4=乃°,NC=60°.請用拓展探究中的結論，求點A到點B的距離.

一十七.列表法與樹狀圖法（共3小題）

19.（2022?濟寧）6月5日是世界環(huán)境日.某校舉行了環(huán)保知識競賽，從全校學生中隨機抽

取了〃名學生的成績進行分析，并依據分析結果繪制了不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖（如圖

所示）.

學生成績分布統(tǒng)計表

成績/分組中值頻率

75.54V780.05

80.5

80.5?83a

85.5

85.5?880.375

90.5

90.5?930.275

95.5

95.5?980.05

100.5

請根據圖表信息，解答下列問題:

（1）填空：〃=.a=；

（2）請補全頻數分布直方圖；

（3）求這〃名學生成績的平均分；

（4）從成績在75.5Wx<80.5和95.5<%<100.5的學生中任選兩名學生.請用列表法或

畫樹狀圖的方法,求選取的學生成績在75.5Wx<80.5和95.5<x<100.5中各一名的概率.

學生成績頻數分布直方圖

f頻數

75.580.585.590.595.5100.5成績

20.（2021?濟寧）某校為了解九年級學生體質健康情況，隨機抽取了部分學生進行體能測試,

并根據測試結果繪制了不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，請回答下列問題.

“人數

不及格

（1）在這次調查中，“優(yōu)秀”所在扇形的圓心角的度數是;

（2）請補全條形統(tǒng)計圖；

（3）若該校九年級共有學生1200人，則估計該?！傲己谩钡娜藬凳?；

（4）已知“不及格”的3名學生中有2名男生、1名女生，如果從中隨機抽取兩名同學

進行體能加試，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求抽到兩名男生的概率是多少？

21.（2020?濟寧）某校舉行了“防溺水”知識競賽.八年級兩個班各選派10名同學參加預

賽，依據各參賽選手的成績（均為整數）繪制了統(tǒng)計表和折線統(tǒng)計圖（如圖所示）.

（2）若從兩個班的預賽選手中選四名學生參加決賽，其中兩個班的第一名直接進入決賽,

另外兩個名額在成績?yōu)?8分的學生中任選兩個，求另外兩個決賽名額落在不同班級的概

率.

山東省濟寧市三年（2020-2022）中考數學真題分類匯編-解答題

參考答案與試題解析

實數的運算（共1小題）

1.（2021?濟寧）計算：|&-l|+cos45°-（&）/+弧.

【解答】解：原式=&-1+YR-亞+2料

22

=&-1+2&

=372-1.

二.整式的混合運算一化簡求值（共1小題）

2.（2020?濟寧）先化簡，再求值：（x+1）（x-1）+x（2-x）,其中x=」.

2

【解答】解：原式=7-l+2x-/

=2x-1,

當》=工時，

2

原式=2X-1=0.

2

三.二次根式的混合運算（共1小題）

3.（2022?濟寧）已知。=2+代，b=2-疾,求代數式/加"2的值.

【解答】解：：。=2+遙，b=2-娓,

a2b+ab2

=ah（〃+b）

=（2+A/5）（2-V5）（2+V5+2-V5）

=（4-5）X4

=-1X4

=-4.

四.一元一次不等式組的應用（共1小題）

4.（2020?濟寧）為加快復工復產，某企業(yè)需運輸一批物資.據調查得知，2輛大貨車與3

輛小貨車一次可以運輸600箱；5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運輸1350箱.

（1）求1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運輸多少箱物資；

（2）計劃用兩種貨車共12輛運輸這批物資，每輛大貨車一次需費用5000元，每輛小貨

車一次需費用3000元.若運輸物資不少于1500箱，且總費用小于54000元.請你列出

所有運輸方案，并指出哪種方案所需費用最少.最少費用是多少？

【解答】解：（1）設1輛大貨車一次運輸x箱物資，1輛小貨車一次運輸y箱物資,

由題意可得：儼+3丫=600,

|5x+6y=1350

解得：卜=15°,

ly=100

答：1輛大貨車一次運輸150箱物資，1輛小貨車一次運輸100箱物資，

（2）設有4輛大貨車，（12-a）輛小貨車，

小殂｛150a+100（12-a）>1500

由題意可得：4/,

15000a+3000（12-a）<54000

，6，<9,

二整數〃=6,7,8；

當有6輛大貨車，6輛小貨車時，費用=5000X6+3000X6=48000元,

當有7輛大貨車，5輛小貨車時，費用=5000X7+3000X5=50000元,

當有8輛大貨車，4輛小貨車時，費用=5000X8+3000X4=52000元,

V48000<50000<52000,

,當有6輛大貨車，6輛小貨車時，費用最小，最小費用為48000元.

五.一次函數的應用（共1小題）

5.（2022?濟寧）某運輸公司安排甲、乙兩種貨車24輛恰好一次性將328噸的物資運往A,

B兩地，兩種貨車載重量及到A,B兩地的運輸成本如表：

貨車類型載重量（噸/輛）運往A地的成本（元/運往8地的成本（元/

輛）輛）

甲種161200900

乙種121000750

（1）求甲、乙兩種貨車各用了多少輛；

（2）如果前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運物資不少于160噸，其余貨車將剩

余物資運往8地.設甲、乙兩種貨車到A,B兩地的總運輸成本為卬元，前往A地的甲

種貨車為1輛.

①寫出w與r之間的函數解析式；

②當/為何值時，”最小？最小值是多少？

【解答】解：(1)設甲種貨車用了x輛，則乙種貨車用了(24-X)輛,

根據題意得：16x+12(24-x)=328,

解得x=10,

，24-x=24-10=14,

答：甲種貨車用了10輛，乙種貨車用了14輛;

(2)①根據題意得：

vv=1200f+1000(12-t)+900(10-r)+750[14-(12-]=50f+22500

.?.w與f之間的函數解析式是w=50f+22500；

t>0

②????

10-t>0

14-(12-t)>0

.?.OWfWlO,

?.?前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運物資不少于160噸,

/.16/+12(12-t)2160,

解得海4,

.?.4WfW10,

在w=50r+22500中，

V50>0,

隨/的增大而增大,

.1=4時，w取最小值,最小值是50X4+22500=22700(元)，

答：當，為4時，卬最小，最小值是22700元.

六.反比例函數與一次函數的交點問題(共1小題)

6.(2021?濟寧)如圖，RlZVlBC中，ZACB=90°,AC=BC,點C(2,0),點B(0,4),

反比例函數y=K(x>0)的圖象經過點A.

X

(1)求反比例函數的解析式；

(2)將直線OA向上平移”個單位后經過反比例函數y=K(x>0)圖象上的點(1,〃),

X

求m,n的值.

【解答】解：（1）過A作軸于。，如圖:

/.ZOBC=900-NBCO=/ACD,

在△BOC和△C￡>A中，

rZBOC=ZCDA=90°

<Z0BC=ZACD，

BC=AC

:.△BOgXCDA(AAS),

：.OB=CD,OC=AD,

VC(2,0),B(0,4),

.?.A￡>=2,CD=4,

AA(6,2),

?.?反比例函數y=K(x>0)的圖象經過點A,

X

.'?2——,解得％=12,

6

反比例函數的解析式為y=」2；

x

(2)由(1)得A(6,2),

設直線0A解析式為〉=戊，

則2=6，，解得t=—,

3

直線0A解析式為y="kr,

3

將直線0A向上平移m個單位后所得直線解析式為y=Xx+m9

3

??,點(1,〃)在反比例函數y=」2(x>0)圖象上，

x

.,.〃=絲>=12,

1

直線04向上平移機個單位后經過的點是(1,12),

/.\2——+m,

3

?.?m——-3-5--

3

七.反比例函數的應用(共1小題)

7.(2020?濟寧)在△ABC中，BC邊的長為x,8c邊上的高為y,ZVIBC的面積為2.

(1)y關于x的函數關系式是y=2,x的取值范圍是x>0:

x

(2)在平面直角坐標系中畫出該函數圖象；

(3)將直線y=-x+3向上平移a(a>0)個單位長度后與上述函數圖象有且只有一個交

點，請求出此時。的值.

■X?

【解答】解：(1)?.?在△ABC中，BC邊的長為x,8C邊上的高為y,△ABC的面積為2,

.??盯=4,

...y關于x的函數關系式是丫=4

7

x的取值范圍為x>0,

故答案為：產生x>0；

X

（2）在平面直角坐標系中畫出該函數圖象如圖所示；

（3）將直線y=-x+3向上平移a（?>0）個單位長度后解析式為了=-x+3+a,

y=-x+3+a

解|4，整理得，W-（3+a）x+4=0,

yq

???平移后的直線與反比例函數圖象有且只有一個交點，

（3+a）2-16=0,

解得a=l,a=-1（不合題意舍去），

故此時a的值為1.

八.二次函數的應用（共1小題）

8.（2021?濟寧）某商場購進甲、乙兩種商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元,

乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元.

（1）求甲、乙兩種商品每箱各盈利多少元？

（2）甲、乙兩種商品全部售完后，該商場又購進一批甲商品，在原每箱盈利不變的前提

下，平均每天可賣出100箱.如調整價格，每降價1元，平均每天可多賣出20箱，那么

當降價多少元時，該商場利潤最大？最大利潤是多少？

【解答】解：（1）設甲種商品每箱盈利x元，則乙種商品每箱盈利（x-5）元，

根據題意得：

900+400=1OO）

xx-5

整理得：18x+45=0,

解得:x=15或x=3（舍去）,

經檢驗，x=15是原分式方程的解，符合實際,

.,.x-5=15-5=10（元）,

答：甲種商品每箱盈利15元，則乙種商品每箱盈利10元；

（2）設甲種商品降價。元，則每天可多賣出20。箱，利潤為w元,

由題意得：w=（15-a）（100+20。）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000,

；-20<0,

.?.當a=5時，函數有最大值，最大值是2000元，

答：當降價5元時，該商場利潤最大，最大利潤是2000元.

九.二次函數綜合題（共3小題）

9.（2022?濟寧）已知拋物線C：>=-2（序+1）/-（加+1）x-1與x軸有公共點.

2

（1）當y隨x的增大而增大時，求自變量x的取值范圍：

（2）將拋物線。先向上平移4個單位長度，再向右平移n個單位長度得到拋物線C2（如

圖所示），拋物線C2與x軸交于點A,B（點A在點B的右側），與y軸交于點C.當OC

=OA時，求〃的值；

（3）在（2）的條件下，。為拋物線C2的頂點，過點C作拋物線C2的對稱軸/的垂線，

垂足為G,交拋物線C2于點E,連接BE交/于點足求證：四邊形CDEF是正方形.

【解答】(1)解：?.?拋物線與x軸有公共點，

2

5+1)]2-4X[^|(m+l)]X(-1)對，

/.-(/n-1)220,

??fTl?—1,

.,.y=-x2-2x-1=-(x+1)2,

u：a=-l<0,

.??當-1時,y隨工的增大而增大;、

(2)解：由題意得，拋物線C2的解析式為：y=-(x+1-〃)2+4,

2

當x=0時，y=-(1-H)+4,

：.OC=-(1-H)2+4,

當y=0時，-(x+1-〃)2+4=0,

??X[=〃+1,X2=3,

???點A在8點右側，

，OA=〃+1,

由0c=。4得，

-(1-n)2+4=〃+1,

.二〃=2或〃=-1(舍去)，

=

***H2；

(3)證明：由(2)可得，

y=-(x-1)2+4,8(-1,0),C(0,3),

：.E(2,3),D(1,4),

設直線BE的解析式為：y—kx+b,

.f-k+b=0

12k+b=3，

.fk=l

'lb=l'

.?.y=x+l,

.?.當x=l時，y=1+1=2,

:.CG=EG=DG=FG=1,

四邊形CDEF是菱形，

■:DFLCE,

...四邊形COE尸是正方形.

10.(2021?濟寧)如圖，直線產-2+3分別交x軸、y軸于點4,B,過點4的拋物線y

22

=-/+bx+c與x軸的另一交點為C,與)，軸交于點。(0,3),拋物線的對稱軸/交A。

于點E,連接0E交AB于點F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求證：OE1.AB；

(3)P為拋物線上的一動點，直線P。交AD于點M,是否存在這樣的點P,使以A,0,

例為頂點的三角形與△AC。相似？若存在，求點F的橫坐標；若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)?.?直線產-L+3分別交x軸、y軸于點A,B,

22

(3,0),B(0,3),

2

二?拋物線y=-7+fer+c經過A(3,0),D(0,3),

.(0=-3^2+3b+c

??,

,3=-02+0+c

解得：。=2,

1c=3

,該拋物線的解析式為y=-7+2X+3；

(2)''y=-7+2%+3=-(x-1)2+4,

拋物線的對稱軸為直線x=l,

設直線A。的解析式為y=fcc+a,將4(3,0),D(0,3)代入，

得：3+a=0,

1a=3

解得：。=-1,

1a=3

直線AO的解析式為y=-x+3,

：.E(1,2),

,:G(1,0),NEGO=90°,

tanZOEG=-^-=A,

EG2

；OA=3,OB=3,ZAOB=90°,

2

3_

tanZOAB=-25.=—=A,

0A32

AtanNOA8=tanNOEG,

：.ZOAB=ZOEGf

VZOEG+ZEOG=90°,

???/OA8+NEOG=90°,

AZAFO=90°,

JOE±AB；

(3)存在.

〈A(3,0),拋物線的對稱軸為直線x=l,

AC(-1,0),

.\AC=3-(-1)=4,

???04=00=3,ZA0D=W°,

:.AD=?0A=3?

設直線CD解析式為y=twc+n,

VC(-1,0),D(0,3),

.J-m+n=0

*ln=3

解得」m=3,

[n=3

二直線CD解析式為y=3x+3,

①當△AOMS/^AC。時，ZAOM^ZACD,如圖2,

：.OM//CD,

直線OM的解析式為y=3x,

結合拋物線的解析式為y=-7+2x+3,得：3x=-7+21+3,

解得：xi二土垣只=土區(qū)，

22

②當△AMOs/Vlc。時，如圖3,

?AM=AC

"AOAD"

；.AM=AC?A°=4隼=2近,

AD372

過點”作MGLx軸于點G,則/AGM=90°,

?.,NOAO=45°,

：.AG=MG=AM'sin450=2弧*亞=2

2

，OG=OA-AG=3-2=1,

：.M(1,2),

設直線OM解析式為〉=〃?送，將M(1,2)代入，

得：加=2,

?,?直線OM解析式為y=2x,

結合拋物線的解析式為y=-/+2x+3,得：級=-7+2%+3,

解得：x=土愿，

綜上所述，點尸的橫坐標為土向或一1士底.

鄴

11.（2020?濟寧）我們把方程（x-m）~+（），-〃）2=，稱為圓心為（/?,〃）、半徑長為r

的圓的標準方程.例如，圓心為（1,-2）、半徑長為3的圓的標準方程是（x-1）2+（＞2）

2=9.在平面直角坐標系中，OC與x軸交于點A,B,且點8的坐標為（8,0）,與y

軸相切于點。（0,4）,過點A,B,。的拋物線的頂點為E.

（1）求0c的標準方程；

（2）試判斷直線AE與。C的位置關系，并說明理由.

【解答】解：（1）如圖，連接CC,CB,過點C作于M.設。C的半徑為八

??,與y軸相切于點。（0,4）,

J.CDA.OD,

'：NCDO=NCMO=ZDOM=90°,

四邊形ODCM是矩形，

：.CM=OD=4,CD=OM=r,

'：B(8,0),

,08=8,

：.BM=S-r,

在Rt4CMB中，,/BC2=CM2+BM2,

/.r2=42+(8-r)2,

解得r=5,

：.C(5,4),

，G)C的標準方程為(x-5)2+(y-4)2=25.

(2)結論：AE是OC的切線.

理由：連接AC,CE.

'：CMLAB,

：.AM=BM=3,

(2,0),B(8,0)

設拋物線的解析式為y=a(x-2)(x-8),

把。(0,4)代入y=a(x-2)(x-8),可得“=」，

4

.?.拋物線的解析式為丫=工(x-2)(x-8)=上？-且葉4=工(x-5)2--,

44244

二拋物線的頂點E(5,-1),

4

?..人次+電2=竽,“=4+_1=華,4C=5,

.?/2=舒+4民

AZCAE=90°,

：.CA±AE,

；.AE是OC的切線.

一十.三角形綜合題（共1小題）

12.（2022?濟寧）如圖，△AOB是等邊三角形，過點4作y軸的垂線，垂足為C,點C的

坐標為（0,M）.P是直線A8上在第一象限內的一動點，過點尸作了軸的垂線，垂足

為/）,交AO于點E,連接40,作。交x軸于點M,交40于點尸，連接BE,

BF.

（1）填空：若△AOZ）是等腰三角形，則點。的坐標為（0,2近）或（0,2）；

3

（2）當點P在線段45上運動時（點尸不與點A,8重合），設點”的橫坐標為

①求m值最大時點D的坐標；

②是否存在這樣的，"值，使BE=BF?若存在，求出此時的加值；若不存在，請說明理

【解答】解：(1)?.?△AOB是等邊三角形，

AZAOB=60°,

當點P在線段AB上時，AD^OD,

：.ZDA0=ZAOD=ZBOC-ZAOB=30°,

：AC，y軸，

：.ZCAO^ZAOB=60°,

：.ZCAD=Z0AC-ZDAO=60°-30°=30°,

在RtZ\AOC中，

AC=OC?tanNAOC=y?tan30。X^^=1,OA—2AC—2,

3

在RtZ\AC￡>中，

AD=___/___=____1__=2^3_；

cos/CADcos3003

：.DO=?^-,

3

：.D(0,2M_),

3

當點尸在區(qū)4的延長線上時，OD=OA=2,

：.D(0,2),

故答案為：(0,色巨)或(0,2)；

3

(2)①設。。=X，則8=正-人

VZACD=ZDOM=9G°,

???NCW+NAOC=90°,

*：DMA-AD9

???NAZ)M=90°,

/.ZADC+ZODM=90°,

：.ZCAD=ZODM,

??.AACD^ADOM,

?0M0D

.Fk，

.?.mx

V3-x1

A/n=xe(5/3-X)=-(x-^-)2+—，

_24

???當x=立■日寸，機最大=旦,

24

.??當加很大=3時,D(0,近)；

42

②如圖，

假設存在加，使BE=BF,

作8GJ_OA于G,作AQ_LOP于Q,作HF_LO￡>于H,

"：BE=BF,

：.GE=GF,

?..△AOB是等邊三角形，

:.AB=OB9

：.AG=OGf

：.AG-GE=OG-GF,

即：AE=OF,

由①知：

VZACD=ZCDQ=ZAQD=90°,

???四邊形AC。。是矩形，

:?AQ=CD=M-X,

在RtZ\AE。中，

AQ=2（V3-x）

sinZAEP?~V3

_2

0L=2（V1__x）,

V3

在RtZ\O"/中，

X

HF=LGR=^~,。，=近。尸=?-尤,

2UrV32

：.DH=OD-OH^x-（V3-x）,

,JHF//OM,

:.△DHFS^DOM,

??.-D--H-=--H-F--,

ODON_

-x

...x-（a-X）=a

xx*（V3-x）

一十一.四邊形綜合題（共1小題）

13.（2020?濟寧）如圖，在菱形A8CQ中，AB=AC,點E,F,G分別在邊BC,CD±,

BE=CG,AF平分/EAG,點H是線段AF上一動點（與點A不重合）.

（1）求證：△AEHg△AGH；

（2）當A5=12,BE=4時.

①求△OGH周長的最小值；

②若點。是AC的中點，是否存在直線0H將AACE分成三角形和四邊形兩部分，其中

三角形的面積與四邊形的面積比為1：3.若存在，請求出￡旦的值；若不存在，請說明理

AF

由.

【解答】(I)證明：；四邊形A8CD是菱形,

：.AB=BC,

"：AB=AC,

：.AB=BC^AC,

：.^ABC是等邊三角形，

AZABC=60°,

：.ZBCD=\20a,

VAC是菱形ABCD的對角線，

ZACD=AZBCD=60°=ZABC,

2

:BE=CG,

：.AABE^AACG(SAS),

：.AE=AG,

：AF平分/EAG,

：.ZEAF=ZGAF,

"：AH=AH,

：./\AEH^^AGH(SAS)；

(2)①如圖1,

過點。作。MLBC交BC的延長線于M,連接。E,

'：AB=U,BE=4,

，CG=4,

：.CE=DG=U-4=8,

由(1)知，△4￡'//絲△AGH,

：.EH=HG,

:1\DGH=DH+GH+DG=DH+HE+S,

要使△OGH的周長最小，則EH+OH最小，最小為OE,

在RtaOCM中，ZDCM=180°-120°=60°,C￡>=AB=12,

：.CM=6,

:.DM=MCM=6w,

在RtZXCME中，EM=CE+CM=14,

根據勾股定理得，DE=>\/gH2+DM2=V142+(6A/3)2=41

...△￡>GH周長的最小值為4719+8;

②I、當OH與線段AE相交時，交點記作點M如圖2,連接CM

...點。是AC的中點，

，S/\AON=S&CON=X八ACN,

2

?.?三角形的面積與四邊形的面積比為1：3,

.SAA0N_1

?.--------,

^AAEC4

S&CEN=SAACN,

:.AN=EN,

???點。是AC的中點，

：.ON//CE,

???—AH=—1；

AF2

II、當OH與線段CE相交時，交點記作Q,如圖3,

連接AQ,FG,?.?點O是AC的中點，

**?SAAOQ=SziCOQ=isAACQ，

?.?三角形的面積與四邊形的面積比為1：3,

.SACOQ1

??---------二...，

SAACE4

S>AEQ=SAACQ，

：.CQ=EQ=1.CE^1.(12-4)=4,

22

；點。是4c的中點，

AOQ//AE,設FQ=x,

：.EF=EQ+FQ^4+x,CF=CQ-Fg=4-x,

由(1)知，AE=AG,

尸是/EAG的角平分線，

：.ZEAF=ZGAF,

\'AF=AF,

/.△AEF^AAGF(SAS),

：.FG=EF=4+x,

過點G作GP1BC交BC的延長線于P,

在RtZ\CPG中，ZPCG=60°,CG=4,

：.CP=1.CG=2,PG=MCP=2M，

2

：.PF=CF+CP^4-x+2=6-x,

在RtZiFPG中，根據勾股定理得，P盧+PG2=FG2,

：.(6-x)2+(273)2=(4+x)2,

.r_8

5

:.FQ=3.,EF=4+g=2i,

555

'：OQ//AE,

?AH_EQ=_L=5；

"AF=EF28,7,

5

即3旦的值為上或5.

AF27

圖2

14.(2021?濟寧)如圖，點C在以AB為直徑的。。上，點。是8c的中點，連接。。并延

長交。O于點E,作NEBP=NE8C,BP交OE的延長線于點P.

(1)求證：PB是。0的切線;

(2)若AC=2,PD=6,求。。的半徑.

【解答】解：（1）證明：為直徑，

AZACB=90°,

又。為中點，。為AB中點，

故0￡>=_1_人0OD//AC,

.?./OOB=NAC8=90°.

"：OB=OE,

：.NOEB=NOBE,

又V40EB=ZP+ZEBP,ZOBE^ZOBD+ZEBC,

：./P+/EBP=ZOBD+ZEBC,

又NEBP=NEBC,

：.ZP=ZOBD.

'：ZBOD+ZOBD=90°,

：.ZBOD+ZP=90Q,

/.ZOBP=90°.

又OB為半徑，

故PB是。。的切線.

（2）；4C=2,

由（1）得。。=/AC=L

又PD=6,

：.P0=PD+0D=6+\=7.

；NP=NP,NBDP=NOBP=90°,

:.△BDPs^OBP.

AEPJDP,即Bp2=op.Qp=7X6=42,

OPBP

：.BP=yj'^.

'-OB--\/op2-Bp2—V49-42—A/7.

故。。的半徑為救.

一十三.軸對稱-最短路線問題（共1小題）

15.（2021?濟寧）研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉化為平面圖形問題.

（1）閱讀材料

立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角.

例如，正方體ABCD-A'B'CD'（圖1）,因為在平面44'CC中，CC'〃44',

AA,與AB相交于點A,所以直線48與A4'所成的/區(qū)鈉'就是既不相交也不平行的

兩條直線AB與CC'所成的角.

解決問題

如圖1,已知正方體ABCC-A'B'CD',求既不相交也不平行的兩直線BA'與AC所

（2）如圖2,M,N是正方體相鄰兩個面上的點；

①下列甲、乙、丙三個圖形中，只有一個圖形可以作為圖2的展開圖，這個圖形是丙；

②在所選正確展開圖中，若點M到AB,BC的距離分別是2和5,點N到BQ,BC的距

離分別是4和3,尸是上一動點，求PM+PN的最小值.

甲乙

【解答】解：（1）如圖1中，連接BC'.

?"?△A'BC'是等邊二角形，

：.ZBA'C'=60°,

'：AC//A'C,

.?./C'A'8是兩條直線AC與BA'所成的銳角,

兩直線54'與4c所成角為60°.

（2）①觀察圖形可知，圖形丙是圖2的展開圖,

故答案為：丙.

②如圖丙中，作點N關于AO的對稱點K,連接交AO于P,連接PM此:時RW+PN

的值最小，最小值為線段MK的值，過點M作MJLNK于J.

'K

丙

由題意在Rt/SMKJ中，NMJK=90°,MJ=5+3=8,JK=8-(4-2)=6,

???MK=j2+JK2==1°，

；.PM+PN的最小值為10.

一十四.相似三角形的判定與性質(共1小題)

16.(2022?濟寧)如圖，在矩形ABCQ中，以A8的中點。為圓心，以OA為半徑作半圓,

連接。。交半圓于點E,在前上取點尸，使防=福，連接B凡DF.

(1)求證：。尸與半圓相切；

(2)如果48=10,BF=6,求矩形ABC。的面積.

,/AE=EF，

：.ZDOA=ZFOD,

'：OA=OF,OD=OD,

：./\DAO^/\DFO(SAS),

ZDAO=ZDFO,

???四邊形ABCO是矩形，

：.ZDAO^90°=NDFO,

：.OF±DF,

又。尸是半