山東省濟(jì)寧市三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-解答題

山東省濟(jì)寧市三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-解答題

一.實(shí)數(shù)的運(yùn)算（共1小題）

I.（2021?濟(jì)寧）計(jì)算：|&-l|+cos45°-（如）-+圾.

二.整式的混合運(yùn)算一化簡(jiǎn)求值（共1小題）

2.（2020?濟(jì)寧）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+1）（x-1）+x（2-x）,其中x=」.

2

三.二次根式的混合運(yùn)算（共1小題）

3.（2022?濟(jì)寧）已知a=2+代，b=2-匹，求代數(shù)式/"〃戶的值.

四.一元一次不等式組的應(yīng)用（共1小題）

4.（2020?濟(jì)寧）為加快復(fù)工復(fù)產(chǎn)，某企業(yè)需運(yùn)輸一批物資.據(jù)調(diào)查得知，2輛大貨車與3

輛小貨車一次可以運(yùn)輸600箱；5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運(yùn)輸1350箱.

（1）求1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運(yùn)輸多少箱物資；

（2）計(jì)劃用兩種貨車共12輛運(yùn)輸這批物資，每輛大貨車一次需費(fèi)用5000元，每輛小貨

車一次需費(fèi)用3000元.若運(yùn)輸物資不少于1500箱，且總費(fèi)用小于54000元.請(qǐng)你列出

所有運(yùn)輸方案，并指出哪種方案所需費(fèi)用最少.最少費(fèi)用是多少？

五.一次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

5.（2022?濟(jì)寧）某運(yùn)輸公司安排甲、乙兩種貨車24輛恰好一次性將328噸的物資運(yùn)往A,

3兩地，兩種貨車載重量及到A,8兩地的運(yùn)輸成本如表：

貨車類型載重量（噸/輛）運(yùn)往A地的成本（元/運(yùn)往8地的成本（元/

輛）輛）

甲種161200900

乙種121000750

（1）求甲、乙兩種貨車各用了多少輛；

（2）如果前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運(yùn)物資不少于160噸，其余貨車將剩

余物資運(yùn)往2地.設(shè)甲、乙兩種貨車到A,8兩地的總運(yùn)輸成本為w元，前往A地的甲

種貨車為?輛.

①寫(xiě)出卬與/之間的函數(shù)解析式；

②當(dāng)f為何值時(shí)，卬最??？最小值是多少？

六.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題（共1小題）

6.(202久濟(jì)寧)如圖，RtZkABC中,ZACB=90°，6c=BC,點(diǎn)C(2,0),點(diǎn)B(0,4),

反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.

X

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)將直線OA向上平移,〃個(gè)單位后經(jīng)過(guò)反比例函數(shù)y=K(x>0)圖象上的點(diǎn)(1,〃),

x

求m,n的值.

七.反比例函數(shù)的應(yīng)用(共1小題)

7.(2020?濟(jì)寧)在aABC中，3C邊的長(zhǎng)為x,3c邊上的高為y,ZVIBC的面積為2.

(1)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是,x的取值范圍是；

(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出該函數(shù)圖象；

(3)將直線y=-x+3向上平移a(〃>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后與上述函數(shù)圖象有且只有一個(gè)交

點(diǎn)，請(qǐng)求出此時(shí)。的值.

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八.二次函數(shù)的應(yīng)用(共1小題)

8.(2021?濟(jì)寧)某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元,

乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元.

（1）求甲、乙兩種商品每箱各盈利多少元？

（2）甲、乙兩種商品全部售完后，該商場(chǎng)又購(gòu)進(jìn)一批甲商品，在原每箱盈利不變的前提

下，平均每天可賣出100箱.如調(diào)整價(jià)格，每降價(jià)1元，平均每天可多賣出20箱，那么

當(dāng)降價(jià)多少元時(shí)，該商場(chǎng)利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

九.二次函數(shù)綜合題（共3小題）

9.（2022?濟(jì)寧）已知拋物線G：>=-工（川+1），一（m+1）x-1與x軸有公共點(diǎn).

2

（1）當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，求自變量x的取值范圍；

（2）將拋物線C\先向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移n個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C2（如

圖所示），拋物線C2與x軸交于點(diǎn)A,8（點(diǎn)A在點(diǎn)8的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.當(dāng)OC

=OA時(shí)，求〃的值；

（3）在（2）的條件下，。為拋物線C2的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作拋物線C2的對(duì)稱軸/的垂線，

垂足為G,交拋物線C2于點(diǎn)E，連接BE交/于點(diǎn)F.求證：四邊形CCE尸是正方形.

10.（2021?濟(jì)寧）如圖，直線y=-1+3分別交x軸、y軸于點(diǎn)4,B,過(guò)點(diǎn)4的拋物線y

22

=-/+版+c與x軸的另一交點(diǎn)為C,與y軸交于點(diǎn)￡>（0,3）,拋物線的對(duì)稱軸/交

于點(diǎn)E,連接OE交AB于點(diǎn)￡

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：0EJ_A8；

（3）P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，直線PO交AO于點(diǎn)M,是否存在這樣的點(diǎn)P,使以4,O,

M為頂點(diǎn)的三角形與△4C。相似？若存在，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2

11.（2020?濟(jì)寧）我們把方程（x-M+（y-〃）2=/稱為圓心為（m,〃）、半徑長(zhǎng)為r

的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.例如，圓心為（1,-2）、半徑長(zhǎng)為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（X-1）2+（y+2）

2=9.在平面直角坐標(biāo)系中，。。與x軸交于點(diǎn)A,B,且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8,0）,與y

軸相切于點(diǎn)。（0,4）,過(guò)點(diǎn)A,B,。的拋物線的頂點(diǎn)為E.

（1）求（DC的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）試判斷直線AE與OC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

12.（2022?濟(jì)寧）如圖，△AOB是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線，垂足為C,點(diǎn)C的

坐標(biāo)為（0,V3）.P是直線AB上在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作y軸的垂線，垂足

為￡>,交AO于點(diǎn)E,連接AO,作。交x軸于點(diǎn)M,交A。于點(diǎn)凡連接BE,

BF.

（1）填空：若△AO。是等腰三角形，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為:

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A,8重合），設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為

①求m值最大時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②是否存在這樣的加值，使BE=BF?若存在，求出此時(shí)的〃?值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

13.（2020?濟(jì)寧）如圖，在菱形ABCZ）中，AB=AC,點(diǎn)E,F,G分別在邊BC,CD±,

BE=CG,AF平分NEAG,點(diǎn)H是線段A尸上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合）.

（1）求證：XAEgXAGH：

（2）當(dāng)AC=12,8E=4時(shí).

①求△OG”周長(zhǎng)的最小值；

②若點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，是否存在直線OH將△ACE分成三角形和四邊形兩部分，其中

三角形的面積與四邊形的面積比為1：3.若存在，請(qǐng)求出迎的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

AF

由.

一十二.切線的判定與性質(zhì)（共1小題）

14.（2021?濟(jì)寧）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的。。上，點(diǎn)。是的中點(diǎn)，連接0。并延

長(zhǎng)交。。于點(diǎn)E,作NEBP=NEBC,8P交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

（1）求證：PB是。。的切線；

（2）若AC=2,PD=6,求00的半徑.

一十三.軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題（共1小題）

15.（2021?濟(jì)寧）研究立體圖形問(wèn)題的基本思路是把立體圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題.

（1）閱讀材料

立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角.

例如，正方體4BCO-4'B'C'D'（圖1）,因?yàn)樵谄矫鍭4'CC中，CC'〃AA',

AA'與AB相交于點(diǎn)A,所以直線AB與A4'所成的NB44'就是既不相交也不平行的

兩條直線A8與CC'所成的角.

解決問(wèn)題

如圖1,已知正方體ABCO-A'B'CD',求既不相交也不平行的兩直線84'與AC所

（2）如圖2,M,N是正方體相鄰兩個(gè)面上的點(diǎn)：

①下列甲、乙、丙三個(gè)圖形中，只有一個(gè)圖形可以作為圖2的展開(kāi)圖,這個(gè)圖形是；

②在所選正確展開(kāi)圖中，若點(diǎn)M到AB,BC的距離分別是2和5,點(diǎn)N到B。，8C的距

離分別是4和3,P是A8上一動(dòng)點(diǎn)，求*W+PN的最小值.

甲乙丙

一十四.相似三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）

16.（2022?濟(jì)寧）如圖，在矩形中，以AB的中點(diǎn)。為圓心，以。4為半徑作半圓,

連接交半圓于點(diǎn)E,在前上取點(diǎn)F，使話=踴，連接8F,DF.

（1）求證：。尸與半圓相切；

（2）如果48=10,BF=6,求矩形ABC。的面積.

一十五.作圖-相似變換（共1小題）

17.（2020?濟(jì)寧）如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)P在8c上.

（1）求作：△PCD,使點(diǎn)。在4c上，且△PC￡）SZ^ABP；（要求：尺規(guī)作圖，保留作

圖痕跡，不寫(xiě)作法）

（2）在（1）的條件下，若NAPC=2NABC.求證：AB.

一十六.解直角三角形的應(yīng)用（共1小題）

18.（2022?濟(jì)寧）知識(shí)再現(xiàn)

如圖1,在Rt2\ABC中，ZC=90°,/A,ZB,NC的對(duì)邊分別為“，b,c.

VsirL4=A,sinB=A

cc

???「C=afC'b?

sinAsinB

,*?a—b

sinAsinB

拓展探究

如圖2,在銳角△ABC中，ZA,NB,NC的對(duì)邊分別為a,b,c.

請(qǐng)?zhí)骄恐g的關(guān)系，并寫(xiě)出探究過(guò)程.

sinAsinBsinC

解決問(wèn)題

如圖3,為測(cè)量點(diǎn)A到河對(duì)岸點(diǎn)B的距離，選取與點(diǎn)A在河岸同一側(cè)的點(diǎn)C,測(cè)得AC=

60%,乙4=乃°,NC=60°.請(qǐng)用拓展探究中的結(jié)論，求點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離.

一十七.列表法與樹(shù)狀圖法（共3小題）

19.（2022?濟(jì)寧）6月5日是世界環(huán)境日.某校舉行了環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽

取了〃名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行分析，并依據(jù)分析結(jié)果繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖（如圖

所示）.

學(xué)生成績(jī)分布統(tǒng)計(jì)表

成績(jī)/分組中值頻率

75.54V780.05

80.5

80.5?83a

85.5

85.5?880.375

90.5

90.5?930.275

95.5

95.5?980.05

100.5

請(qǐng)根據(jù)圖表信息，解答下列問(wèn)題:

（1）填空：〃=.a=；

（2）請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（3）求這〃名學(xué)生成績(jī)的平均分；

（4）從成績(jī)?cè)?5.5Wx<80.5和95.5<%<100.5的學(xué)生中任選兩名學(xué)生.請(qǐng)用列表法或

畫(huà)樹(shù)狀圖的方法,求選取的學(xué)生成績(jī)?cè)?5.5Wx<80.5和95.5<x<100.5中各一名的概率.

學(xué)生成績(jī)頻數(shù)分布直方圖

f頻數(shù)

75.580.585.590.595.5100.5成績(jī)

20.（2021?濟(jì)寧）某校為了解九年級(jí)學(xué)生體質(zhì)健康情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試,

并根據(jù)測(cè)試結(jié)果繪制了不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)回答下列問(wèn)題.

“人數(shù)

不及格

（1）在這次調(diào)查中，“優(yōu)秀”所在扇形的圓心角的度數(shù)是;

（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）若該校九年級(jí)共有學(xué)生1200人，則估計(jì)該校“良好”的人數(shù)是；

（4）已知“不及格”的3名學(xué)生中有2名男生、1名女生，如果從中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)

進(jìn)行體能加試，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求抽到兩名男生的概率是多少？

21.（2020?濟(jì)寧）某校舉行了“防溺水”知識(shí)競(jìng)賽.八年級(jí)兩個(gè)班各選派10名同學(xué)參加預(yù)

賽，依據(jù)各參賽選手的成績(jī)（均為整數(shù)）繪制了統(tǒng)計(jì)表和折線統(tǒng)計(jì)圖（如圖所示）.

（2）若從兩個(gè)班的預(yù)賽選手中選四名學(xué)生參加決賽，其中兩個(gè)班的第一名直接進(jìn)入決賽,

另外兩個(gè)名額在成績(jī)?yōu)?8分的學(xué)生中任選兩個(gè)，求另外兩個(gè)決賽名額落在不同班級(jí)的概

率.

山東省濟(jì)寧市三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-解答題

參考答案與試題解析

實(shí)數(shù)的運(yùn)算（共1小題）

1.（2021?濟(jì)寧）計(jì)算：|&-l|+cos45°-（&）/+弧.

【解答】解：原式=&-1+YR-亞+2料

22

=&-1+2&

=372-1.

二.整式的混合運(yùn)算一化簡(jiǎn)求值（共1小題）

2.（2020?濟(jì)寧）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+1）（x-1）+x（2-x）,其中x=」.

2

【解答】解：原式=7-l+2x-/

=2x-1,

當(dāng)》=工時(shí)，

2

原式=2X-1=0.

2

三.二次根式的混合運(yùn)算（共1小題）

3.（2022?濟(jì)寧）已知。=2+代，b=2-疾,求代數(shù)式/加"2的值.

【解答】解：：。=2+遙，b=2-娓,

a2b+ab2

=ah（〃+b）

=（2+A/5）（2-V5）（2+V5+2-V5）

=（4-5）X4

=-1X4

=-4.

四.一元一次不等式組的應(yīng)用（共1小題）

4.（2020?濟(jì)寧）為加快復(fù)工復(fù)產(chǎn)，某企業(yè)需運(yùn)輸一批物資.據(jù)調(diào)查得知，2輛大貨車與3

輛小貨車一次可以運(yùn)輸600箱；5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運(yùn)輸1350箱.

（1）求1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運(yùn)輸多少箱物資；

（2）計(jì)劃用兩種貨車共12輛運(yùn)輸這批物資，每輛大貨車一次需費(fèi)用5000元，每輛小貨

車一次需費(fèi)用3000元.若運(yùn)輸物資不少于1500箱，且總費(fèi)用小于54000元.請(qǐng)你列出

所有運(yùn)輸方案，并指出哪種方案所需費(fèi)用最少.最少費(fèi)用是多少？

【解答】解：（1）設(shè)1輛大貨車一次運(yùn)輸x箱物資，1輛小貨車一次運(yùn)輸y箱物資,

由題意可得：儼+3丫=600,

|5x+6y=1350

解得：卜=15°,

ly=100

答：1輛大貨車一次運(yùn)輸150箱物資，1輛小貨車一次運(yùn)輸100箱物資，

（2）設(shè)有4輛大貨車，（12-a）輛小貨車，

小殂｛150a+100（12-a）>1500

由題意可得：4/,

15000a+3000（12-a）<54000

，6，<9,

二整數(shù)〃=6,7,8；

當(dāng)有6輛大貨車，6輛小貨車時(shí)，費(fèi)用=5000X6+3000X6=48000元,

當(dāng)有7輛大貨車，5輛小貨車時(shí)，費(fèi)用=5000X7+3000X5=50000元,

當(dāng)有8輛大貨車，4輛小貨車時(shí)，費(fèi)用=5000X8+3000X4=52000元,

V48000<50000<52000,

,當(dāng)有6輛大貨車，6輛小貨車時(shí)，費(fèi)用最小，最小費(fèi)用為48000元.

五.一次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

5.（2022?濟(jì)寧）某運(yùn)輸公司安排甲、乙兩種貨車24輛恰好一次性將328噸的物資運(yùn)往A,

B兩地，兩種貨車載重量及到A,B兩地的運(yùn)輸成本如表：

貨車類型載重量（噸/輛）運(yùn)往A地的成本（元/運(yùn)往8地的成本（元/

輛）輛）

甲種161200900

乙種121000750

（1）求甲、乙兩種貨車各用了多少輛；

（2）如果前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運(yùn)物資不少于160噸，其余貨車將剩

余物資運(yùn)往8地.設(shè)甲、乙兩種貨車到A,B兩地的總運(yùn)輸成本為卬元，前往A地的甲

種貨車為1輛.

①寫(xiě)出w與r之間的函數(shù)解析式；

②當(dāng)/為何值時(shí)，”最小？最小值是多少？

【解答】解：(1)設(shè)甲種貨車用了x輛，則乙種貨車用了(24-X)輛,

根據(jù)題意得：16x+12(24-x)=328,

解得x=10,

，24-x=24-10=14,

答：甲種貨車用了10輛，乙種貨車用了14輛;

(2)①根據(jù)題意得：

vv=1200f+1000(12-t)+900(10-r)+750[14-(12-]=50f+22500

.?.w與f之間的函數(shù)解析式是w=50f+22500；

t>0

②????

10-t>0

14-(12-t)>0

.?.OWfWlO,

?.?前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運(yùn)物資不少于160噸,

/.16/+12(12-t)2160,

解得海4,

.?.4WfW10,

在w=50r+22500中，

V50>0,

隨/的增大而增大,

.1=4時(shí)，w取最小值,最小值是50X4+22500=22700(元)，

答：當(dāng)，為4時(shí)，卬最小，最小值是22700元.

六.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題(共1小題)

6.(2021?濟(jì)寧)如圖，RlZVlBC中，ZACB=90°,AC=BC,點(diǎn)C(2,0),點(diǎn)B(0,4),

反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.

X

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)將直線OA向上平移”個(gè)單位后經(jīng)過(guò)反比例函數(shù)y=K(x>0)圖象上的點(diǎn)(1,〃),

X

求m,n的值.

【解答】解：（1）過(guò)A作軸于。，如圖:

/.ZOBC=900-NBCO=/ACD,

在△BOC和△C￡>A中，

rZBOC=ZCDA=90°

<Z0BC=ZACD，

BC=AC

:.△BOgXCDA(AAS),

：.OB=CD,OC=AD,

VC(2,0),B(0,4),

.?.A￡>=2,CD=4,

AA(6,2),

?.?反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,

X

.'?2——,解得％=12,

6

反比例函數(shù)的解析式為y=」2；

x

(2)由(1)得A(6,2),

設(shè)直線0A解析式為〉=戊，

則2=6，，解得t=—,

3

直線0A解析式為y="kr,

3

將直線0A向上平移m個(gè)單位后所得直線解析式為y=Xx+m9

3

??,點(diǎn)(1,〃)在反比例函數(shù)y=」2(x>0)圖象上，

x

.,.〃=絲>=12,

1

直線04向上平移機(jī)個(gè)單位后經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是(1,12),

/.\2——+m,

3

?.?m——-3-5--

3

七.反比例函數(shù)的應(yīng)用(共1小題)

7.(2020?濟(jì)寧)在△ABC中，BC邊的長(zhǎng)為x,8c邊上的高為y,ZVIBC的面積為2.

(1)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y=2,x的取值范圍是x>0:

x

(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出該函數(shù)圖象；

(3)將直線y=-x+3向上平移a(a>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后與上述函數(shù)圖象有且只有一個(gè)交

點(diǎn)，請(qǐng)求出此時(shí)。的值.

■X?

【解答】解：(1)?.?在△ABC中，BC邊的長(zhǎng)為x,8C邊上的高為y,△ABC的面積為2,

.??盯=4,

...y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是丫=4

7

x的取值范圍為x>0,

故答案為：產(chǎn)生x>0；

X

（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出該函數(shù)圖象如圖所示；

（3）將直線y=-x+3向上平移a（?>0）個(gè)單位長(zhǎng)度后解析式為了=-x+3+a,

y=-x+3+a

解|4，整理得，W-（3+a）x+4=0,

yq

???平移后的直線與反比例函數(shù)圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

（3+a）2-16=0,

解得a=l,a=-1（不合題意舍去），

故此時(shí)a的值為1.

八.二次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

8.（2021?濟(jì)寧）某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元,

乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元.

（1）求甲、乙兩種商品每箱各盈利多少元？

（2）甲、乙兩種商品全部售完后，該商場(chǎng)又購(gòu)進(jìn)一批甲商品，在原每箱盈利不變的前提

下，平均每天可賣出100箱.如調(diào)整價(jià)格，每降價(jià)1元，平均每天可多賣出20箱，那么

當(dāng)降價(jià)多少元時(shí)，該商場(chǎng)利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

【解答】解：（1）設(shè)甲種商品每箱盈利x元，則乙種商品每箱盈利（x-5）元，

根據(jù)題意得：

900+400=1OO）

xx-5

整理得：18x+45=0,

解得:x=15或x=3（舍去）,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=15是原分式方程的解，符合實(shí)際,

.,.x-5=15-5=10（元）,

答：甲種商品每箱盈利15元，則乙種商品每箱盈利10元；

（2）設(shè)甲種商品降價(jià)。元，則每天可多賣出20。箱，利潤(rùn)為w元,

由題意得：w=（15-a）（100+20。）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000,

；-20<0,

.?.當(dāng)a=5時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值是2000元，

答：當(dāng)降價(jià)5元時(shí)，該商場(chǎng)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是2000元.

九.二次函數(shù)綜合題（共3小題）

9.（2022?濟(jì)寧）已知拋物線C：>=-2（序+1）/-（加+1）x-1與x軸有公共點(diǎn).

2

（1）當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，求自變量x的取值范圍：

（2）將拋物線。先向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移n個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C2（如

圖所示），拋物線C2與x軸交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.當(dāng)OC

=OA時(shí)，求〃的值；

（3）在（2）的條件下，。為拋物線C2的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作拋物線C2的對(duì)稱軸/的垂線，

垂足為G,交拋物線C2于點(diǎn)E,連接BE交/于點(diǎn)足求證：四邊形CDEF是正方形.

【解答】(1)解：?.?拋物線與x軸有公共點(diǎn)，

2

5+1)]2-4X[^|(m+l)]X(-1)對(duì)，

/.-(/n-1)220,

??fTl?—1,

.,.y=-x2-2x-1=-(x+1)2,

u：a=-l<0,

.??當(dāng)-1時(shí),y隨工的增大而增大;、

(2)解：由題意得，拋物線C2的解析式為：y=-(x+1-〃)2+4,

2

當(dāng)x=0時(shí)，y=-(1-H)+4,

：.OC=-(1-H)2+4,

當(dāng)y=0時(shí)，-(x+1-〃)2+4=0,

??X[=〃+1,X2=3,

???點(diǎn)A在8點(diǎn)右側(cè)，

，OA=〃+1,

由0c=。4得，

-(1-n)2+4=〃+1,

.二〃=2或〃=-1(舍去)，

=

***H2；

(3)證明：由(2)可得，

y=-(x-1)2+4,8(-1,0),C(0,3),

：.E(2,3),D(1,4),

設(shè)直線BE的解析式為：y—kx+b,

.f-k+b=0

12k+b=3，

.fk=l

'lb=l'

.?.y=x+l,

.?.當(dāng)x=l時(shí)，y=1+1=2,

:.CG=EG=DG=FG=1,

四邊形CDEF是菱形，

■:DFLCE,

...四邊形COE尸是正方形.

10.(2021?濟(jì)寧)如圖，直線產(chǎn)-2+3分別交x軸、y軸于點(diǎn)4,B,過(guò)點(diǎn)4的拋物線y

22

=-/+bx+c與x軸的另一交點(diǎn)為C,與)，軸交于點(diǎn)。(0,3),拋物線的對(duì)稱軸/交A。

于點(diǎn)E,連接0E交AB于點(diǎn)F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求證：OE1.AB；

(3)P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，直線P。交AD于點(diǎn)M,是否存在這樣的點(diǎn)P,使以A,0,

例為頂點(diǎn)的三角形與△AC。相似？若存在，求點(diǎn)F的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】解：(1)?.?直線產(chǎn)-L+3分別交x軸、y軸于點(diǎn)A,B,

22

(3,0),B(0,3),

2

二?拋物線y=-7+fer+c經(jīng)過(guò)A(3,0),D(0,3),

.(0=-3^2+3b+c

??,

,3=-02+0+c

解得：。=2,

1c=3

,該拋物線的解析式為y=-7+2X+3；

(2)''y=-7+2%+3=-(x-1)2+4,

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,

設(shè)直線A。的解析式為y=fcc+a,將4(3,0),D(0,3)代入，

得：3+a=0,

1a=3

解得：。=-1,

1a=3

直線AO的解析式為y=-x+3,

：.E(1,2),

,:G(1,0),NEGO=90°,

tanZOEG=-^-=A,

EG2

；OA=3,OB=3,ZAOB=90°,

2

3_

tanZOAB=-25.=—=A,

0A32

AtanNOA8=tanNOEG,

：.ZOAB=ZOEGf

VZOEG+ZEOG=90°,

???/OA8+NEOG=90°,

AZAFO=90°,

JOE±AB；

(3)存在.

〈A(3,0),拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,

AC(-1,0),

.\AC=3-(-1)=4,

???04=00=3,ZA0D=W°,

:.AD=?0A=3?

設(shè)直線CD解析式為y=twc+n,

VC(-1,0),D(0,3),

.J-m+n=0

*ln=3

解得」m=3,

[n=3

二直線CD解析式為y=3x+3,

①當(dāng)△AOMS/^AC。時(shí)，ZAOM^ZACD,如圖2,

：.OM//CD,

直線OM的解析式為y=3x,

結(jié)合拋物線的解析式為y=-7+2x+3,得：3x=-7+21+3,

解得：xi二土垣只=土區(qū)，

22

②當(dāng)△AMOs/Vlc。時(shí)，如圖3,

?AM=AC

"AOAD"

；.AM=AC?A°=4隼=2近,

AD372

過(guò)點(diǎn)”作MGLx軸于點(diǎn)G,則/AGM=90°,

?.,NOAO=45°,

：.AG=MG=AM'sin450=2弧*亞=2

2

，OG=OA-AG=3-2=1,

：.M(1,2),

設(shè)直線OM解析式為〉=〃?送，將M(1,2)代入，

得：加=2,

?,?直線OM解析式為y=2x,

結(jié)合拋物線的解析式為y=-/+2x+3,得：級(jí)=-7+2%+3,

解得：x=土愿，

綜上所述，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為土向或一1士底.

鄴

11.（2020?濟(jì)寧）我們把方程（x-m）~+（），-〃）2=，稱為圓心為（/?,〃）、半徑長(zhǎng)為r

的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.例如，圓心為（1,-2）、半徑長(zhǎng)為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-1）2+（＞2）

2=9.在平面直角坐標(biāo)系中，OC與x軸交于點(diǎn)A,B,且點(diǎn)8的坐標(biāo)為（8,0）,與y

軸相切于點(diǎn)。（0,4）,過(guò)點(diǎn)A,B,。的拋物線的頂點(diǎn)為E.

（1）求0c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）試判斷直線AE與。C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【解答】解：（1）如圖，連接CC,CB,過(guò)點(diǎn)C作于M.設(shè)。C的半徑為八

??,與y軸相切于點(diǎn)。（0,4）,

J.CDA.OD,

'：NCDO=NCMO=ZDOM=90°,

四邊形ODCM是矩形，

：.CM=OD=4,CD=OM=r,

'：B(8,0),

,08=8,

：.BM=S-r,

在Rt4CMB中，,/BC2=CM2+BM2,

/.r2=42+(8-r)2,

解得r=5,

：.C(5,4),

，G)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-5)2+(y-4)2=25.

(2)結(jié)論：AE是OC的切線.

理由：連接AC,CE.

'：CMLAB,

：.AM=BM=3,

(2,0),B(8,0)

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)(x-8),

把。(0,4)代入y=a(x-2)(x-8),可得“=」，

4

.?.拋物線的解析式為丫=工(x-2)(x-8)=上？-且葉4=工(x-5)2--,

44244

二拋物線的頂點(diǎn)E(5,-1),

4

?..人次+電2=竽,“=4+_1=華,4C=5,

.?/2=舒+4民

AZCAE=90°,

：.CA±AE,

；.AE是OC的切線.

一十.三角形綜合題（共1小題）

12.（2022?濟(jì)寧）如圖，△AOB是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)4作y軸的垂線，垂足為C,點(diǎn)C的

坐標(biāo)為（0,M）.P是直線A8上在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作了軸的垂線，垂足

為/）,交AO于點(diǎn)E,連接40,作。交x軸于點(diǎn)M,交40于點(diǎn)尸，連接BE,

BF.

（1）填空：若△AOZ）是等腰三角形，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,2近）或（0,2）；

3

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段45上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)尸不與點(diǎn)A,8重合），設(shè)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為

①求m值最大時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②是否存在這樣的，"值，使BE=BF?若存在，求出此時(shí)的加值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

【解答】解：(1)?.?△AOB是等邊三角形，

AZAOB=60°,

當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，AD^OD,

：.ZDA0=ZAOD=ZBOC-ZAOB=30°,

：AC，y軸，

：.ZCAO^ZAOB=60°,

：.ZCAD=Z0AC-ZDAO=60°-30°=30°,

在RtZ\AOC中，

AC=OC?tanNAOC=y?tan30。X^^=1,OA—2AC—2,

3

在RtZ\AC￡>中，

AD=___/___=____1__=2^3_；

cos/CADcos3003

：.DO=?^-,

3

：.D(0,2M_),

3

當(dāng)點(diǎn)尸在區(qū)4的延長(zhǎng)線上時(shí)，OD=OA=2,

：.D(0,2),

故答案為：(0,色巨)或(0,2)；

3

(2)①設(shè)。。=X，則8=正-人

VZACD=ZDOM=9G°,

???NCW+NAOC=90°,

*：DMA-AD9

???NAZ)M=90°,

/.ZADC+ZODM=90°,

：.ZCAD=ZODM,

??.AACD^ADOM,

?0M0D

.Fk，

.?.mx

V3-x1

A/n=xe(5/3-X)=-(x-^-)2+—，

_24

???當(dāng)x=立■日寸，機(jī)最大=旦,

24

.??當(dāng)加很大=3時(shí),D(0,近)；

42

②如圖，

假設(shè)存在加，使BE=BF,

作8GJ_OA于G,作AQ_LOP于Q,作HF_LO￡>于H,

"：BE=BF,

：.GE=GF,

?..△AOB是等邊三角形，

:.AB=OB9

：.AG=OGf

：.AG-GE=OG-GF,

即：AE=OF,

由①知：

VZACD=ZCDQ=ZAQD=90°,

???四邊形AC。。是矩形，

:?AQ=CD=M-X,

在RtZ\AE。中，

AQ=2（V3-x）

sinZAEP?~V3

_2

0L=2（V1__x）,

V3

在RtZ\O"/中，

X

HF=LGR=^~,。，=近。尸=?-尤,

2UrV32

：.DH=OD-OH^x-（V3-x）,

,JHF//OM,

:.△DHFS^DOM,

??.-D--H-=--H-F--,

ODON_

-x

...x-（a-X）=a

xx*（V3-x）

一十一.四邊形綜合題（共1小題）

13.（2020?濟(jì)寧）如圖，在菱形A8CQ中，AB=AC,點(diǎn)E,F,G分別在邊BC,CD±,

BE=CG,AF平分/EAG,點(diǎn)H是線段AF上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合）.

（1）求證：△AEHg△AGH；

（2）當(dāng)A5=12,BE=4時(shí).

①求△OGH周長(zhǎng)的最小值；

②若點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，是否存在直線0H將AACE分成三角形和四邊形兩部分，其中

三角形的面積與四邊形的面積比為1：3.若存在，請(qǐng)求出￡旦的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

AF

由.

【解答】(I)證明：；四邊形A8CD是菱形,

：.AB=BC,

"：AB=AC,

：.AB=BC^AC,

：.^ABC是等邊三角形，

AZABC=60°,

：.ZBCD=\20a,

VAC是菱形ABCD的對(duì)角線，

ZACD=AZBCD=60°=ZABC,

2

:BE=CG,

：.AABE^AACG(SAS),

：.AE=AG,

：AF平分/EAG,

：.ZEAF=ZGAF,

"：AH=AH,

：./\AEH^^AGH(SAS)；

(2)①如圖1,

過(guò)點(diǎn)。作。MLBC交BC的延長(zhǎng)線于M,連接。E,

'：AB=U,BE=4,

，CG=4,

：.CE=DG=U-4=8,

由(1)知，△4￡'//絲△AGH,

：.EH=HG,

:1\DGH=DH+GH+DG=DH+HE+S,

要使△OGH的周長(zhǎng)最小，則EH+OH最小，最小為OE,

在RtaOCM中，ZDCM=180°-120°=60°,C￡>=AB=12,

：.CM=6,

:.DM=MCM=6w,

在RtZXCME中，EM=CE+CM=14,

根據(jù)勾股定理得，DE=>\/gH2+DM2=V142+(6A/3)2=41

...△￡>GH周長(zhǎng)的最小值為4719+8;

②I、當(dāng)OH與線段AE相交時(shí)，交點(diǎn)記作點(diǎn)M如圖2,連接CM

...點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

，S/\AON=S&CON=X八ACN,

2

?.?三角形的面積與四邊形的面積比為1：3,

.SAA0N_1

?.--------,

^AAEC4

S&CEN=SAACN,

:.AN=EN,

???點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

：.ON//CE,

???—AH=—1；

AF2

II、當(dāng)OH與線段CE相交時(shí)，交點(diǎn)記作Q,如圖3,

連接AQ,FG,?.?點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，

**?SAAOQ=SziCOQ=isAACQ，

?.?三角形的面積與四邊形的面積比為1：3,

.SACOQ1

??---------二...，

SAACE4

S>AEQ=SAACQ，

：.CQ=EQ=1.CE^1.(12-4)=4,

22

；點(diǎn)。是4c的中點(diǎn)，

AOQ//AE,設(shè)FQ=x,

：.EF=EQ+FQ^4+x,CF=CQ-Fg=4-x,

由(1)知，AE=AG,

尸是/EAG的角平分線，

：.ZEAF=ZGAF,

\'AF=AF,

/.△AEF^AAGF(SAS),

：.FG=EF=4+x,

過(guò)點(diǎn)G作GP1BC交BC的延長(zhǎng)線于P,

在RtZ\CPG中，ZPCG=60°,CG=4,

：.CP=1.CG=2,PG=MCP=2M，

2

：.PF=CF+CP^4-x+2=6-x,

在RtZiFPG中，根據(jù)勾股定理得，P盧+PG2=FG2,

：.(6-x)2+(273)2=(4+x)2,

.r_8

5

:.FQ=3.,EF=4+g=2i,

555

'：OQ//AE,

?AH_EQ=_L=5；

"AF=EF28,7,

5

即3旦的值為上或5.

AF27

圖2

14.(2021?濟(jì)寧)如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的。。上，點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，連接。。并延

長(zhǎng)交。O于點(diǎn)E,作NEBP=NE8C,BP交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

(1)求證：PB是。0的切線;

(2)若AC=2,PD=6,求。。的半徑.

【解答】解：（1）證明：為直徑，

AZACB=90°,

又。為中點(diǎn)，。為AB中點(diǎn)，

故0￡>=_1_人0OD//AC,

.?./OOB=NAC8=90°.

"：OB=OE,

：.NOEB=NOBE,

又V40EB=ZP+ZEBP,ZOBE^ZOBD+ZEBC,

：./P+/EBP=ZOBD+ZEBC,

又NEBP=NEBC,

：.ZP=ZOBD.

'：ZBOD+ZOBD=90°,

：.ZBOD+ZP=90Q,

/.ZOBP=90°.

又OB為半徑，

故PB是。。的切線.

（2）；4C=2,

由（1）得。。=/AC=L

又PD=6,

：.P0=PD+0D=6+\=7.

；NP=NP,NBDP=NOBP=90°,

:.△BDPs^OBP.

AEPJDP,即Bp2=op.Qp=7X6=42,

OPBP

：.BP=yj'^.

'-OB--\/op2-Bp2—V49-42—A/7.

故。。的半徑為救.

一十三.軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題（共1小題）

15.（2021?濟(jì)寧）研究立體圖形問(wèn)題的基本思路是把立體圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題.

（1）閱讀材料

立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角.

例如，正方體ABCD-A'B'CD'（圖1）,因?yàn)樵谄矫?4'CC中，CC'〃44',

AA,與AB相交于點(diǎn)A,所以直線48與A4'所成的/區(qū)鈉'就是既不相交也不平行的

兩條直線AB與CC'所成的角.

解決問(wèn)題

如圖1,已知正方體ABCC-A'B'CD',求既不相交也不平行的兩直線BA'與AC所

（2）如圖2,M,N是正方體相鄰兩個(gè)面上的點(diǎn)；

①下列甲、乙、丙三個(gè)圖形中，只有一個(gè)圖形可以作為圖2的展開(kāi)圖，這個(gè)圖形是丙；

②在所選正確展開(kāi)圖中，若點(diǎn)M到AB,BC的距離分別是2和5,點(diǎn)N到BQ,BC的距

離分別是4和3,尸是上一動(dòng)點(diǎn)，求PM+PN的最小值.

甲乙

【解答】解：（1）如圖1中，連接BC'.

?"?△A'BC'是等邊二角形，

：.ZBA'C'=60°,

'：AC//A'C,

.?./C'A'8是兩條直線AC與BA'所成的銳角,

兩直線54'與4c所成角為60°.

（2）①觀察圖形可知，圖形丙是圖2的展開(kāi)圖,

故答案為：丙.

②如圖丙中，作點(diǎn)N關(guān)于AO的對(duì)稱點(diǎn)K,連接交AO于P,連接PM此:時(shí)RW+PN

的值最小，最小值為線段MK的值，過(guò)點(diǎn)M作MJLNK于J.

'K

丙

由題意在Rt/SMKJ中，NMJK=90°,MJ=5+3=8,JK=8-(4-2)=6,

???MK=j2+JK2==1°，

；.PM+PN的最小值為10.

一十四.相似三角形的判定與性質(zhì)(共1小題)

16.(2022?濟(jì)寧)如圖，在矩形ABCQ中，以A8的中點(diǎn)。為圓心，以O(shè)A為半徑作半圓,

連接。。交半圓于點(diǎn)E,在前上取點(diǎn)尸，使防=福，連接B凡DF.

(1)求證：。尸與半圓相切；

(2)如果48=10,BF=6,求矩形ABC。的面積.

,/AE=EF，

：.ZDOA=ZFOD,

'：OA=OF,OD=OD,

：./\DAO^/\DFO(SAS),

ZDAO=ZDFO,

???四邊形ABCO是矩形，

：.ZDAO^90°=NDFO,

：.OF±DF,

又。尸是半