剛體和流體力學(xué)白

●轉(zhuǎn)動慣量的定義及其量的計(jì)算●剛體運(yùn)動的描述第二章剛體和流體力學(xué)本章要求掌握的基本內(nèi)容●剛體的角動量定理（即動量矩定理）及其守恒定律

●剛體定軸轉(zhuǎn)動定律及其應(yīng)用

●剛體定軸轉(zhuǎn)動動能定理及其應(yīng)用本次課要求掌握的基本內(nèi)容1、何為剛體？如何描述剛體的運(yùn)動？2、什么叫剛體的轉(zhuǎn)動慣量？它的物理意義怎樣？3、如何計(jì)算剛體的轉(zhuǎn)動慣量？5、什么叫剛體定軸轉(zhuǎn)動定律？如何應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律解題？

4、剛體定軸轉(zhuǎn)動動能如何確定？一、剛體的平動和轉(zhuǎn)動平動：用質(zhì)心運(yùn)動討論剛體在運(yùn)動中，其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持平行。剛體:在外力作用下形狀和大小保持不變的物體.即各質(zhì)點(diǎn)間的相對位置永不發(fā)生變化的質(zhì)點(diǎn)系。2-1剛體運(yùn)動學(xué)

轉(zhuǎn)動：（分對點(diǎn)、對軸轉(zhuǎn)動）

（只討論定軸轉(zhuǎn)動）

定軸轉(zhuǎn)動：各質(zhì)元均作圓周運(yùn)動，其圓心都在一條固定不動的直線（轉(zhuǎn)軸）上。轉(zhuǎn)軸OO’剛體的一般運(yùn)動既平動又轉(zhuǎn)動：質(zhì)心的平動加繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動角位移轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)軸參考方向各質(zhì)元的線速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同描述剛體整體的運(yùn)動用角量最方便。二、描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量其角量和線量的關(guān)系：角速度方向規(guī)定為沿軸方向，指向用右手螺旋法則確定。角速度角加速度加速轉(zhuǎn)動方向一致減速轉(zhuǎn)動方向相反其角量和線量的關(guān)系：比較：一、剛體的轉(zhuǎn)動動能

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動動能等于剛體的轉(zhuǎn)動慣量與角速度平方乘積的一半---剛體的轉(zhuǎn)動動能.2-2剛體的定軸轉(zhuǎn)動定義J為剛體對給定軸的轉(zhuǎn)動慣量(momentofinertia)其中ri是質(zhì)量元到轉(zhuǎn)軸的距離。在國際單位制中其單位為千克·米2（kg·m2）。二.轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的因素：剛體的質(zhì)量轉(zhuǎn)軸的位置剛體的形狀實(shí)質(zhì)與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的只有兩個因素。形狀即質(zhì)量分布，與轉(zhuǎn)軸的位置結(jié)合決定轉(zhuǎn)軸到每個質(zhì)元的矢徑。對于質(zhì)量元連續(xù)分布的剛體，其轉(zhuǎn)動慣量可寫成:剛體對某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于每個質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。注意2。對于質(zhì)量元不連續(xù)（離散型）分布的剛體，其轉(zhuǎn)動慣量可寫成和式1。只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才能用上式積分計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動慣量。質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中、、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布體分布剛體對某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于每個質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。面分布1、求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解:J是可加的，所以若為薄圓筒（不計(jì)厚度）結(jié)果相同。ROdm例題2、求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l

的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán),可見，轉(zhuǎn)動慣量與l無關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對其軸的轉(zhuǎn)動慣量也是mR2/2。3、求長為L、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動慣量。ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標(biāo)，dm=

dx4.求一質(zhì)量為m的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑為軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：

一球繞Z軸旋轉(zhuǎn)，離球心Z高處切一厚為dz的薄圓盤。其半徑為其體積：其質(zhì)量：其轉(zhuǎn)動慣量：YXZORrdZZYXZORrdZZ平行軸定理前例中JC表示相對通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量，JA表示相對通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。兩軸平行，相距L/2?？梢姡和茝V上述結(jié)論，若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體對其轉(zhuǎn)動慣量為J，則有：J＝JC＋md2。這個結(jié)論稱為平行軸定理。右圖所示剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量如何計(jì)算？(棒長為L、球半徑為R）作用在剛體上的軸的力矩三、轉(zhuǎn)動定律如果有幾個外力矩作用在剛體上積分得力矩的大小等于力在作用點(diǎn)的切向分量與力的作用點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸Z的距離的乘積。轉(zhuǎn)動平面(1)剛體轉(zhuǎn)動定律可由牛頓第二定律直接導(dǎo)出和dF和df為合外力和合內(nèi)力.分解為作用在質(zhì)量元dm上的切向力和法向力:將切向分量式兩邊同乘以r，變換得剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律ZMdfdFO

rdFd

dm

dFn轉(zhuǎn)動平面vvvvvvz對等式左邊積分得到外力矩其中，角加速度對所有質(zhì)量元都相等所以寫成矢量形式(注意：法向分量通過轉(zhuǎn)軸，對軸不產(chǎn)生力矩)問：那么法向分量情況？(為什么？）剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，作用于剛體上的合外力矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積。m反映質(zhì)點(diǎn)的平動慣性，J反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性.力矩是使剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。M＝J

與地位相當(dāng)剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用例1、一個質(zhì)量為Ｍ0、半徑為Ｒ的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為ｍ的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體ｍ由靜止下落高度ｈ時的速度和此時滑輪的角速度。M0gR解：M0gR例2、一個飛輪的質(zhì)量為69kg，半徑為0.25m,正在以每分1000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)在要制動飛輪，要求在5.0秒內(nèi)使它均勻減速而最后停下來。摩擦系數(shù)為0.2。求閘瓦對輪子的壓力N為多大？F

0解：飛輪制動時有角加速度外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負(fù)值。

0Nfr

例3.如圖所示，兩物體1和2的質(zhì)量分別為m1與m2，滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為J,半徑為r。（1）如物體2與桌面間的摩擦系數(shù)為μ，求系統(tǒng)的加速度a及繩中的張力T1與T2（設(shè)繩子與滑輪間無相對猾動）；（2）如物體2與桌面間為光滑接觸，求系統(tǒng)的加速度a及繩中的張力T1與T2。m22T1Tm1+=r2+m2mgm1m2J()r2++m1m2J1T+=r2+m1mgm2m1J()r2++m1m2J2TmNgf2Tm2m22T1Tagm11Tm11T=ma1gm12T=ma2faJr=1T2Trfm=Ngm2m=a=ar0N=gm2r2++a=gm2mgm1m1m2J解得：解：(1)gm1r2++m1m2Ja=+=r2gm1m2J()r2++m1m2J1T=gm2m1r2++m1m2J2T(2)m=0（物體2與桌面間為光滑接觸時）例4、一根長為L、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺

角時的角加速度和角速度。解：棒下擺為加速過程，外力矩為重力對O的力矩。棒上取質(zhì)元dm,當(dāng)棒處在下擺

角時，該質(zhì)量元的重力對軸的元力矩為

Ogdmdm重力對整個棒的合力矩為代入轉(zhuǎn)動定律，可得

Ogdmdm四、

力矩的功式中力矩做功是力做功的角量表達(dá)式.力矩的瞬時功率五、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理

合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理六、包括剛體的系統(tǒng)的場中機(jī)械能守恒定律若在剛體轉(zhuǎn)動過程中,只有重力做功,其他非保守內(nèi)力不做功,則剛體在重力場中機(jī)械能守恒.例5、一根長為l、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，另一端固定一質(zhì)量為

m的小球，（小球半徑R<<l.）因而棒可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在水平位置，求棒由此下擺

角時的角加速度和角速度。(06年)（請與例題4比較）解：棒下擺有

角的過程中，只有棒和小球的重力矩做功，因此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。設(shè)最初棒靜止的水平位置為零勢點(diǎn)。求角加速度：還有解法？同學(xué)們想一想。由轉(zhuǎn)動定律解：棒下擺為加速過程，外力矩為棒和小球的重力對O的力矩。當(dāng)棒處在下擺

角時，重力矩和為：另解求角速度：1、什么叫剛體的角動量？剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理是如何定義的？本次課要求掌握的基本內(nèi)容2-3剛體角動量定理和角動量守恒定律2、什么叫剛體的角動量守恒定律？如何應(yīng)用剛體的角動量定理或角動量守恒定律解題？剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時,各質(zhì)元某一瞬時均以相同的角速度繞該定軸作圓周運(yùn)動.剛體對某定軸的角動量等于剛體對此軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積.（角動量又叫做動量矩）一、

剛體的角動量定理沖量矩,又叫角沖量.外力矩對系統(tǒng)的沖量矩(角沖量)等于角動量的增量.剛體所受的外力矩等于剛體角動量對時間的變化率。剛體轉(zhuǎn)動定律的另一種形式------叫做角動量定理（或動量矩定理）二、角動量守恒定律及其應(yīng)用角動量守恒定律的兩種情況：1、轉(zhuǎn)動慣量保持不變的單個剛體。當(dāng)物體所受的合外力矩為零時,物體的角動量保持不變.這一結(jié)論稱為角動量守恒定律.轉(zhuǎn)動動能與角動量的關(guān)系:若J改變,則2、轉(zhuǎn)動慣量可變的物體FF實(shí)際中的一些應(yīng)用藝術(shù)美、人體美、物理美相互結(jié)合Ⅰ、芭蕾舞演員的高難動作Ⅱ當(dāng)滑冰、跳水、體操運(yùn)動員在空中為了迅速翻轉(zhuǎn)也總是曲體、減小轉(zhuǎn)動慣量、增加角速度。當(dāng)落地時則總是伸直身體、增大轉(zhuǎn)動慣量、使身體平穩(wěn)地。ω花樣滑冰運(yùn)動員通過改變身體姿態(tài)即改變轉(zhuǎn)動慣量來改變轉(zhuǎn)速.ω例1、如圖所示,一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長棒的下端,穿出后速度損失3/4,求子彈穿出后棒的角速度

。（已知棒長為l,質(zhì)量為M.）解:以f代表棒對子彈的阻力,對子彈有:子彈對棒的反作用力對棒的沖量矩為：因,由兩式得v0vmM另解：利用系統(tǒng)總角動量守恒v0vmM解：m下落：mghmv=122vghT=2(1)例2

如圖示已知：M=2m，h，q=60o求：①碰撞后瞬間盤的w0=？

p轉(zhuǎn)到x軸時盤的w=?

=?②m為粘土塊的質(zhì)量碰撞

t

極小，對m+盤系統(tǒng)，沖力遠(yuǎn)大于重力，故重力對O力矩可忽略，角動量守恒：mvRJocosqw=(2)JMRmRmR=+=122222

(3)由(1)(2)(3)得：wqoghR=22cos

(4)對m+M+地球系統(tǒng)，只有重力做功，E守恒，則：P、x軸重合時EP=0。令①求碰撞后瞬間盤的

0=？②求

p點(diǎn)轉(zhuǎn)到x軸時盤的=？，=？由(3)(4)(5)得

：wqq=+ghRgR222cossin=+12243RghR.()（

=

60

o）例題3.飛輪的質(zhì)量為60kg，直徑為0.50m，轉(zhuǎn)速為1000r／min，現(xiàn)要求在5s內(nèi)使其制動，求制動力F。（假定閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)μ=0.4，飛輪的質(zhì)量全部分布在輪的外周上。尺寸如圖所示。）（教材p115、2-5）

Fωd閘瓦0.5m0.75m=3.75kg.m20t=100060n×==π2ω0π2=104.7r/s5t==ω0fNFN