數(shù)學2021年高考考前押題密卷（山東卷）（考試版+全解全析）

2020年高考考前押題密卷(山東卷)

數(shù)學

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求.

1.下列復數(shù)中實部與虛部互為相反數(shù)的是().

A.2-zB./(I-/)2C.z(l+z)D.z(1-20

2.集合A={x|y=log2(x—l)},6={x|x—a>0},=(0,1],貝ija=()

A.-1B.0C.1D.2

3.已知定義在R上的函數(shù)/(x),則"/(x)的周期為2"是叮(x)=E71y"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3

4.在AABC中，若AB=l,AC=5,sinA=g,則A匣Ad=()

A.3B.±3C.4D.±4

5.春天是鮮花的季節(jié)，水仙花就是其中最迷人的代表，數(shù)學上有個水仙花數(shù)，它是這樣定義

的：“水仙花數(shù)”是指一個三位數(shù)，它的各位數(shù)字的立方和等于其本身.三位的水仙花數(shù)共有4個,

其中僅有1個在區(qū)間(151,155)內(nèi)，我們姑且稱它為“水仙四妹”，則在集合{147,152,154,157,“水

仙四妹”},共5個整數(shù)中，任意取其中2個整數(shù)，則這2個整數(shù)中恰有一個比“水仙四妹”大的

概率是()

3732

A.-B.—C.—D.一

510105

6.已知a,"ce(0,+oo),3a—2/?+c=0,則牛的()

A.最大值是石B.最大值是更

3

C.最小值是6D.最小值是在

3

22

7.已知S“是等比數(shù)列｛a,,｝的前〃項和，若S"=2"M-a,則雙曲線「-匕=1的漸近線方程為

CT3

()

A.y=?—XB.y=±-xC.y=±xD.y=±2yx

4323

8.已知C,。是半徑為1的圓。上的動點，線段A5是圓。的直徑，則恁?麗的取值范圍是

()

A.B.[-2,0]C,-4,yD.[—4,0]

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=log2(mr2+4x+8),m&R,則下列說法正確的是()

A.若函數(shù).f(x)的定義域為(-oo,+8),則實數(shù)，”的取值范圍是+8

B.若函數(shù).f(x)的值域為[2,+8),則實數(shù)加=2

<42'

C.若函數(shù)/(幻在區(qū)間[-3,+8)上為增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是

3

D.若m=0,則不等式/。)<1的解集為xx<-

10.在直四棱柱中，四邊形ABC。為菱形，AB=2,朋=1,乙BAD.,

則下列結論正確的是()

A.直線AG，平面A8。

B直線皿與平面GW所成角的正切值為年

C.過4。作與AG平行的平面4OG,則平面ADG截直四棱柱ABCD-AgG〃的截面面積

2

D.點E為棱8c上任意一點，直線A4與直線班所成角的正切值的取值范圍是［0,2］

11.已知曲線。的方程為+,2=5+2川,圓M:(x—5)2+y2=/(r>o),則()

A.C表示一條直線

B.當r=4時，。與圓M有3個公共點

C.當r=2時，存在圓N,使得圓N與圓M相切，且圓N與C有4個公共點

D.當。與圓M的公共點最多時，尸的取值范圍是(4,+8)

12.知函數(shù)/(x)=sin,x+￡|(?！?。)，則下述結論中正確的是()

A.若/(%)在［0,2司有且僅有4個零點，則/(力在［0,2句有且僅有2個極小值點

B.若“力在［0,2司有且僅有4個零點，則在上單調(diào)遞增

C.若/(x)在［0,2句有且僅有4個零點，則口的范是「■詈|

L3O)

D.若小)的圖象關于x=(對稱，且在七單調(diào)，則。的最大值為9

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知(l+2x)"的展開式中，二項式系數(shù)之和為32,則各項系數(shù)之和為.

14.在平面直角坐標系中，P是曲線y=f+L(x>0)上的一個動點，則點p至U直線y=x

X

的距離的最小值是.

15.甲盒里裝有3個白球和2個紅球，乙盒里裝有4個白球和3個紅球，從甲、乙兩個盒中各

隨機取1個球放入原來為空的丙盒中，則從丙盒中取1個球是白球的概率是,丙盒中含

有紅球個數(shù)的期望是

16.費馬點是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內(nèi)角都小

于與時，費馬點與三角形三個頂點的連線構成的三個角都為年?已知點P為AABC的費馬點,

角A,B,C的對邊分別為“，b,c,若cosA=2sin（c-總cosB,=（a-c）2+6,則

PAPB+PBPC+PAPC的值為.

四.解答題：本小題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知等差數(shù)列｛4,｝的前〃項和為S”

（1）請從下面的三個條件中選擇兩個作為已知條件，求數(shù)列伍,｝的通項公式；

□%+。3=11；□$6-2a$=19；□S6—S3=39；

注：如果采用多種條件組合作答，則按第一個解答計分.

（2）在⑴的條件下，令a=2"”，求數(shù)列｛〃｝的前〃項和

18.（12分）如圖在銳角AABC中，內(nèi)角AB,。的對邊分別是"c,若

V3（asinA+csinC-bsin=2asinBsinC.

（1）求角3；

（2）若在線段AC上存在一點。，使得3。=2,E為8。延長線上一點，CELBE,CD=6-l，

?！?土避，求AABC的面積.

2

19.（12分）現(xiàn)對某市工薪階層對于“樓市限購令”的態(tài)度進行調(diào)查，隨機抽調(diào)了50人，他們

月收入（單位：百元）的頻數(shù)分布及對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表：

月收入[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)

頻數(shù)510151055

贊成人數(shù)4812521

（1）根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面的2x2列聯(lián)表，并問能否有97.5%的把握認為“某市工薪階層

對于'樓市限購令'的態(tài)度與月收入以6500元為分界點有關“？

月收入不低于65百元的人月收入低于65百元的

合計

數(shù)人數(shù)

贊成

不贊成

合計

（2）若對月收入在［55,65）和［65,75）的被調(diào)查人中各隨機選取兩人進行追蹤調(diào)查，求在選中的

4人中有人不贊成的條件下，贊成“樓市限購令”的人數(shù)J的分布列及數(shù)學期望.

,n(ad-bc)2,,

附：K~=--------------------------1---------,〃=Q+Z?+c+d.

0.0500.0250.0100.0050.001

k。3.8415.0246.6357.87910.828

20.（12分）在四棱錐P-ABC。中，？8，平面488,底面ABCD為直角梯形，其中

AB//CD,ZABC=90°,且PB=巫,CD=2AB=2,=血，點E滿足屋=2萬.

(1)求證：平面ACE；

(2)求二面角A-C￡-3的余弦值.

22

21.(12分)已知橢圓C言+/=l(a”>0)的長軸長為2夜，其離心率與雙曲線“2-寸=1的

離心率互為倒數(shù).

(1)求橢圓C的方程；

(2)將橢圓。上每一點的橫坐標擴大為原來的&倍，縱坐標不變，得到曲線G，若直線

/:y=丘+/與曲線G交于尸、。兩個不同的點，。為坐標原點，M是曲線G上的一點，且四

邊形是平行四邊形，求四邊形的面積.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=2Inx-a(x—l).

(1)若/(x)WO,求實數(shù)。的值；

。、也、正[1+(?+1)2]-[2+(n+1)2]?--[n+(n+1)2]廠/.

(2)求證：---------山=-------=二------------<\Je(neN).

(〃+1產(chǎn)17

2021年高考考前押題密卷(山東卷)

數(shù)學?全解全析

123456789101112

CBBDABCCACBCDBCACD

1.c

【分析】

根據(jù)復數(shù)的運算及虛部、實部的概念求解.

【詳解】

A顯然不正確；

因為*1_ip=,故B不正確;

因為實部與虛部互為相反數(shù)，故c正確；

因為i(l—2i)=2+i,故D不正確.

故選：C

2.B

【分析】

先求出集合A,再根據(jù)集合關系可求。的值.

【詳解】

：A=(1,+oo),B=(a,+℃),\A=(-8,1],

由&A)cB=(O,l]可得昕0,

故選：B.

3.B

【分析】

根據(jù)〃“)=/(》+1)=]-=/(x+2),可得大X)的周期為2,又由/(x)=sinG時，傘)的

/U+1+D

周期為2,則x取整數(shù)時，/(x)=/(x+l)=O,^/W=—_無意義.根據(jù)充分必要條件的

/(X+1)

定義可判斷得選項.

【詳解】

解：當/(X)=7T4成立時，有/㈤=7?77iy=[=/(x+2),則/)的周期為2,

“)/(x+1+1)

所以叮(幻="不"是叮(x)的周期為2"的必要條件，

/(x+1)

而當/(x)=sinG時，大口的周期為2,則x取整數(shù)時，/(x)=/(x+l)=O,=無

J(X+1/

意義.

所以叮(X)的周期為2"是"/(X)="的必要不充分條件，

/(X+1)

故選：B.

4.D

【分析】

先求得cosA的值，然后求得器淺.

【詳解】

Q_______A

由于sinA=—,所以cosA=±Jl-sin?A=±—,

55

所以福.林=|通'恁kosA=±4.

故選：D

5.A

【分析】

首先計算出“水仙花妹''是153,再根據(jù)古典概型的計算公式即可求得結果.

【詳解】

由題意知“水仙花妹'’是153,

所以在集合{147,152,154,157,153},共5個整數(shù)中，

任意取其中2個整數(shù)，則基本事件總數(shù)〃，=C；=10,

這2個整數(shù)中恰有一個比“水仙四妹”大所包含的基本事件個數(shù)〃=C；C；=6,

概率是

故選：A.

6.B

【分析】

由題意得8=即/，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案；

【詳解】

因為3a—3+c=0,所以A=

2

所以坐=上”=坐，等號成立當且僅當紜“

b3>a+c2j3ac3

故選：B.

7.C

【分析】

根據(jù)公式當〃22時，a“=S,-S,-,結合等比數(shù)列的性質(zhì)、雙曲線漸近線方程的形式進行求解

即可.

【詳解】

解：??一“是等比數(shù)列｛q｝的前"項和，且S“=2"+-a’

q=S]=2?-。，

當心2時,%=S〃—Se=2〃+J2”=2〃，

故2?-Q=2'=2=>。=2,

22))

雙曲線[-匕=ln匚匕=1,

a2343

，雙曲線54=1的漸近線方程為了=士*》，

故選：C.

【點睛】

關鍵點睛：利用公式當〃22時，4=S,,-S,i，求出。是解題的關鍵.

8.C

【分析】

建立直角坐標系，設出C,。坐標，求出尼,而，然后化簡，利用三角函數(shù)知識即可求解出它

的范圍.

【詳解】

解：如圖建立平面直角坐標系.

X

*

設D（cos仇sin。），一萬《夕4"，ZCAB=%AC=,一,貝！Jtana=—9

a=2cos2=2cosasina.

numuuni--------

AC?5D=(a,Z?)?(cose-l,sine)=acose+泳in8-a=Jo?+Z?2sin(e+0)-〃，其中

,a11717117t-37r八,37r

tun(p——=------,:.a+@=—,-----＜。＜一,〃、而----＜夕+。＜—.

btana22222

iiiiuiuun

ACBOujT+/siMe+o）—。的最大值為：選S—a，最小值為：—1廿十及—人

\ja2+Z?2-a=J(2cos2a)+(2cosasina『-2cos2a=2cosa-2cos2a=-2cosa——+上當

a=gTT時，取最大值^j■.

22

-y/a+b-a=-2cosa-2cos2a=-2COS2+一+-,當a=0時，取最小值-4.

2

故衣?前的取值范圍是為-4，-

故選：c.

【點睛】

本題考查向量數(shù)量積的應用，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，建立直角坐標系，利用坐標運算時解

答本題的關鍵，屬于中檔題.

9.AC

【分析】

對于A,首先要對加分類討論，然后在定義域為R的條件下再求”的取值范圍；對于B,使內(nèi)

層函數(shù)的最小為4即可；對于C,一是要考慮內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性，二是要考慮定義域；對于D,

在解對數(shù)不等式時，一定要從定義域為基本前提出發(fā).

【詳解】

對于A,由題意知九？+4》+8>0對xeR恒成立，

由于當加=0時，不等式4x+8>0不恒成立，所以〃2Ho.

m>0,解得

當初。0時,111<m>|.所以A正確;

[A=16-32m<0,

對于B,若函數(shù)/（X）的值域為⑵+00）,則于X）min=2,顯然為不為0,

2

則函數(shù)y=sf+4x+8的最小值為4,則當x=一一時,

m

兒2=加1一21+4*121+8=4,解得加=1,所以B錯誤;

\m)\mJ

對于C,若函數(shù)A%）在區(qū)間［-3,+00）上為增函數(shù)，則丁=如2+?+8在［-3,+00）上為增函數(shù)，且

m>0,

242

在［-3,+oo）內(nèi)的函數(shù)值為正，所以一-4-3,解得<加4所以C正確;

m93

mx(-3)2+4x(-3)+8>0,

對于D,若丁=0,則不等式巖x）<l等價于1叫（4%+8）<1,

3

則0<4x+8<2,解得一2cx所以D不正確.

故選：AC.

【點睛】

方法點睛：

判斷復合函數(shù)的單調(diào)性要注意把握兩點：

一是要同時考慮兩個函數(shù)的定義域；二是同時考慮兩個函數(shù)的單調(diào)性，

正確理解“同增異減”的含義，即增增一增，減減一增，增減一減，減增一減.

10.BCD

【分析】

連接AC,BD交于點O,根據(jù)垂直關系可以。為坐標原點建立空間直角坐標系；

由向量坐標運算可求得屬■?福知線線垂直不成立，由此線面垂直不成立，A錯誤；

利用線面角的向量求法可求得所求角的正弦值，由同角三角函數(shù)可求得正切值，B正確；

連接AQ交A。于〃，取中點”，由線面平行的判定知AG〃平面4?！?，可知所求截面

為AA。"，根據(jù)長度關系可求得所求面積，C正確；

設瓦^=癡以0?人1),可利用/I表示出E點坐標，由線線角的向量求法可求得所求角的余

弦值，進而得到正切值，根據(jù)2的范圍可得到結果，D正確.

【詳解】

連接AC,3。交于點。，連接4G，BQ交于點

???四邊形ABCD為菱形，.?.AC_L8D,

又四棱柱ABC。-4與￡。為直四棱柱，二。。，平面ABCO,

則以。為坐標原點，OA,OB,OO^的正方向為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，

則A(G,0,0),8(0,1,0),C(-V3,0,0),0(0-1,0),A便,0,1)，4(0,1,1)，c,(-73,0,1),

對于A,???蕾=(-26,0,1),4B=(-V3,1,-1),.?.蕊?邛=6-1=5力0,

即AG不垂直于48,與平面4BO不垂直，A錯誤;

對于B,璃=(0,2,1),cq=(0,0,1),CD=(V3,-I,o),

設平面的法向量〃=(x,y,z),

n?CC.=z=0廠-

則5__l，令x=1,貝!jy=6,z=0,:.n=

n-CD=y/3x-y=0

設直線DB｝與平面acDD,所成角為e,

則si?粵*=邛=乎,...tanB正確；

府H〃|2A/552

對于C,連接4。交AO1于M,取G。中點“，連接

由直四棱柱特點知：四邊形為矩形，為中點，MH//AQ,

又MWu平面A。"，46a平面4。//,.,.4。"平面4?！?，

可知過A。作與AG平行的平面AQG,平面AQG截直四棱柱ABCD-ABCQI所得的截面為

AAQH；

24

在△4?！爸校捎嘞叶ɡ淼茫篈"——4+1—4cos=7.A^H=5；

又40=7571=6,DH=Vl+T=V2,：.\D2+DH2=\H2,..A^DIDH,

.-.sADH=-AIDDH=^-,即所求截面面積為強，c正確；

對于D,設E(x,y,l),且庭=/1而(OWXWl),

又電=(x,yT,0),=(-^,-1,0),：.x=-0,y=l-A,E(-V3A,1-A,1),

則麗=卜64一/1,1),又麗=(0,0,1),

設直線A4與龐:所成角為。,

庵鞏_1

/.coscos<庭?！挡?.tan夕=22,

網(wǎng)陽「而W

又0W2W1,??.tanew[0,2],D正確.

故選：BCD.

【點睛】

方法點睛：利用空間向量法求解直線A6與平面a所成角的基本步驟為:

（1）建立空間直角坐標系，利用坐標表示出所需的點和向量;

（2）求得平面a的法向量K設所求角為則sin0=，——.，...

網(wǎng)M

TT

（3）根據(jù)Oe0,-可求得線面所成角的大小.

11.BC

【分析】

對于A,由次+9=k+2小得y（4x+3y）=0,則C表示兩條直線；對于B,C,利用點到

直線的距離公式進行判斷；對于D,舉反例判斷即可

【詳解】

由Jx:+J=1+2y],得/+/=|x+2y『=x?+4盯+4V，即y（4x+3y）=0,

則C表示兩條直線，其方程分別為丫=0與4x+3y=0,所以A錯誤；

20

因為M（5,0）至I」直線4x+3y=0的距離〃=《=4,所以當r=4時，直線4x+3y=0與圓用相切，

易知直線丫=0與圓M相交，。與圓M有3個公共點，所以B正確；

當r=2時，存在圓N,使得圓M內(nèi)切于圓N,且圓N與這兩條直線都相交，即與C有4個

公共點C與圓M的公共點的個數(shù)的最大值為4,所以C正確；

當r=5時，圓M與直線＞=0相切，與直線4x+3y=。有兩個公共點，所以公共點的個數(shù)為3,

所以D錯誤，

故選：BC

【點睛】

關鍵點點睛：此題考查直線與圓的位置關系，解題的關鍵是對方程J/+乎=|%+2田得

x2+y2=|x+2y|2=x2+4^+4y2,即y（4x+3y）=0,從而可得曲線C表示的是直線y=0與

4x+3y=0,從而進行分析即可，考查計算能力，屬于中檔題

12.ACD

【分析】

令t=(ox+三,由xc[0,24可得出fe+f,作出函數(shù)丁=sinf在區(qū)間￡

4[44」[44_

上的圖象，可判斷A選項正誤；根據(jù)已知條件求出。的取值范圍，可判斷C選項正誤；利用

正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項的正誤；利用正弦型函數(shù)的對稱性與單調(diào)性可判斷D選項

的正誤.

【詳解】

人乃

令f=■一，由xe[0,2%],可得出zw7,20萬+?

4

7171

作出函數(shù)…也在區(qū)間w+a上的圖象，如下圖所示:

對于A選項，若“X)在[0,2句有且僅有4個零點，則“X)在[0,2句有且僅有2個極小值點，

A選項正確；

對于C選項，若〃力在[0,2司有且僅有4個零點，則4萬42如r+?<5%，解得

C選項正確；

工1.十一、”.TH什15719e萬，2乃兀19萬

對于B選項，右—W<y<—,則一W—tyH—<----1—71,

882154604

所以，函數(shù)/(x)在區(qū)間(。，得

上不單調(diào)，B選項錯誤;

對于D選項，若/(x)的圖象關于x=?對稱，則詈+?='+而(ZeZ),.■3=l+4M%eZ).

T_7T5K71_71

>；3=4攵+1（左eZ）,=9.

36-18-12:.a><\2,comm

當0=9時,/（無）=sin[9x+?）,當xe佬噂]時，,<9x+[<1,

I4J\loJoJ442

此時，函數(shù)/（X）在區(qū)間（晟，1^）上單調(diào)遞減，合乎題意，D選項正確.

故選：ACD.

【點睛】

方法點睛：求較為復雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成y=Asin（s+9）形式，再求

y=Asin（5+。的單調(diào)區(qū)間，只需把5+夕看作一個整體代入y=sinx的相應單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可,

注意要先把?；癁檎龜?shù).

13.243

【分析】

根據(jù)二項式系數(shù)和可求得〃的值，令x=l即可求得各項系數(shù)和.

【詳解】

???（l+2x）"的展開式中，二項式系數(shù)之和為32,

：.2n=32,解得:n=5.

令x=l,代入可得各項系數(shù)之和為：（1+2）5=243.

故答案為：243.

14.也

2

【分析】

畫出函數(shù)y=r+1（%〉0）的大致圖象和直線y=x,數(shù)形結合可知，當直線>=”的平行直線與

X

曲線相切時，切點到直線的距離最小，由點線距公式可得最小值.

【詳解】

設/3=爐+%>0）,則f，（x）=2x—3=空二，

令尸（x）=0,即2/一1=（）,解得x=更，

2

當o＜x＜更時，ra）＜o,單調(diào)遞減；

2

當x〉更時，r（x）＞o,y（x）單調(diào)遞增.

2

如圖，畫出函數(shù)大致圖象以及直線y=x,

當直線y=X的平行直線與曲線y=x2+-（x＞0）相切時,切點尸到直線y=X的距離最小.

X

設切點P（x。,%）,切線斜率為左,

由左=/'。0）=注二=1,解得%=1,即點P（l,2）.

?V

則點P（1,2）到直線y=x的距離〃=匕3=".

V22

故答案為：e.

2

【點睛】

導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對

導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何相聯(lián)系，

關鍵是數(shù)形結合思想的應用，將最值問題與相切問題相互轉(zhuǎn)化：（2）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)

性，極值點，零點等等；（3）利用導數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題.

4129

7035

【分析】

先取2球到丙盒，然后再從丙盒取球，分類：丙盒里無白球，丙盒里只有一個白球，丙盒里有

兩個白球，在此條件下取得白球，分別計算可得概率.紅球的個數(shù)可能是0,1,2分別計算概

率后得分布列，從而可得期望.

【詳解】

由題意丙盒中白球的個數(shù)可能是0,1,2,因此所求概率為

Dc\c\八(c；c；+qc；)ic\c\4i

P=；：x0+33,,24X-+—^-4=—,

GGICG)270

設丙盒中紅球個數(shù)為x,則x可能是o,1,2,

l]

尸（x=o）=二CC4=一12，p（x=1）=GG+C；C；=17C\Cl_6

CG3535GG35'

即X的分布列為

X012

12176

p

353535

1x11+2x9="

所以E(X)

353535

4129

故答案為:

70；35

【點睛】

本題考查條件概率，考查隨機變量的分布列和期望.根據(jù)條件求出概率是解題關鍵.

16.6

【分析】

化簡cosA=2sin(cq卜osB求得8=0,結合余弦定理以及從蟲…/+6求得吟利用三

角形的面積列方程，化簡求得PAPB+PBPC+PAPC

【詳解】

VcosA=2sinfC-^jcosB,

（Ri）

cosA=2="sinC——cosCcos3,即cosA=V3sinCcos5-cosCcosB,

22

7

*/A+5+C=萬，

...cosA=-cos(B+Q=-cosBcosC+sinBsinC,

A-cos8cosc+sinBsinC=V3sinCcosB-cosCcosB,即sin8sinC=>/3sinCcosB,

sinCw0,/.tanB=Sm^=G,

cos3

:.B=g

由余弦定理知，cosB=上，W

'：b2=(“一c>+6,

SAop=一PA?PBsin---1—PB-PCsin---1—PA-PCsin—=—cicsinB=—x6xsin—=

"ABC2323232232

:.PAPB+PB-PC+PA-PC=6.

故答案為：6

【點睛】

三角恒等變換是化簡已知條件常用的方法，在解決與三角形有關的問題時，要注意結合余弦定

理、正弦定理、三角形的面積公式.

2

17.（1）=3〃-2；（2）7；,=-（8"-1）.

【分析】

（1）根據(jù)所選條件，得出方程組，即可求出數(shù)列的通項公式；

（2）由（1）可得超=23T,即可得到數(shù)列｛"｝為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列求和公式計算可

得；

【詳解】

解：（1）選擇條件①②，①③，②③對應的基本量如下:

出+%=112a,+3d=11

由，即｝，

S6—2%=194q+54=19

。2+。3=112。［+3d=11

由＜

§6—53=39q+4d=13

低一24=19即］4q+5d=19

由*氐-§3=39'"

a1+4d=13

,4=1

解得。，

d-3

所以4=3〃一2.

3n2

(2)bn=2~.

b23向

因為」±L=「^=23=8,

3n2

bn2-

所以數(shù)列｛仇｝是以4=2為首項，8為公比的等比數(shù)列，

所以7；=2(1-8");

"1-87

18.(1)-；(2)

32

【分析】

sinB

(1)利用正弦定理角化邊可得余弦定理形式，得到cos3=二殍，由此求得tanB,根據(jù)3的

范圍可求得結果；

1T

(2)由長度關系可求得ZCDE=y,從而得到cosZCDB,在/\BCD中利用余弦定理可求得BC,

由正弦定理求得sinN8CQ=逝；在AABC中，利用正弦定理求得由三角形面積公式可

2

求得結果.

【詳解】

(1)由正弦定理知：’==昌=’7，

smAsinBsinC

>/3(d?sinA+csinC-Z?sinB)=2f2sinBsinC,V3^z2+/-02)=2acsin3,

222

Hna+c-bDsinBDsinBr-

即---------=cosB=-T=-,/.tanB=-------=，3,

2acy/3cos8

3-6n

(2)在R/ACDE中,CE_,NCDE=

sinNCDE3

而一拒—T一耳

:.cosZCDS=cos(兀-NCDE)--cosZCDE=--,

2

在△BCD中，由余弦定理知：BC1=BD1+CD--2BD-CD-cosZCDB

4+2x2x

BC=瓜,

2_76

BDBC

由正弦定理知:即sin/BCD_73，

sinZBCD~sinZCDB

T

JiJ?

sinZBCD=-,?.?N38為銳角，.-.cosZBCD=—,

22

.-.sinA=sin(ZBCD+ZABC)=sin/BCD-cosZABC+cos/BCD-sinZABC

x/2V3V21V6+V2

----x----1---x——

22224

48_屈

ABBC

在AABC中，由正弦定理知:即72—V6+V2，

sin/BCDsinZA

AB=36-瓜,

.?.△ABC的面積S=gA03CsinB=gxb夜一卡卜指x等=三手.

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查解三角形的相關知識，解題關鍵是能夠?qū)⑺璧木€段放入三角形中，利

用正余弦定理求得所需的線段長度和角度.

19.(1)列聯(lián)表見解析.有97.5%的把握認為“某市工薪階層對于，樓市限購令，的態(tài)度與月收入

7

以6500元為分界點有關；(2)分布列見解析，期望為：.

4

【分析】

(1)根據(jù)頻數(shù)分布表中數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表，計算出K?可得把握度.

(2)4的取值分別是0,1,2,3,求出各概率得分布列，由期望公式計算期望.

【詳解】

(1)由題意列聯(lián)表如下：

月收入不低于65百元的人月收入低于65百元的

合計

數(shù)人數(shù)

贊成32932

不贊成71118

合計104050

…，

所以有97.5%的把握認為“某市工薪階層對于，樓市限購令，的態(tài)度與月收入以6500元為分界點

有關”

(2)(的取值分別是0,123,4,

2nC\C\ClC；C；xC：3

10

。105J。

「2「2「2「2IQ

p《=2)=與T+與xV+…廣產(chǎn)-

C；維C；喘以喘45

c；CC+c；c；c；17

P(J=3)=

C；x比90

cCi

P《=4)=

45

44

記4人中有人不贊成為事件A,則P⑷

1

3

PC=O)-

Pe=O|A)==15-

P(A)4444

45

271917

同理P?=1|A)=,,PC=2|A)=N，P^=3\A)=—,P?=4|A)=0,

oo44oo

所以4的分布列為:

I01234

3271917

p0

44884488

32719177

E^=0x—+lx—+2x—+3x—+4x0=-.

448844884

【點睛】

本題考查獨立性檢驗，考查隨機變量的概率分布列與數(shù)學期望.考查學生的數(shù)據(jù)處理能力，根

據(jù)已知數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計算A?得出相應結論.另外確定隨機變量的取值的關鍵，由

此計算各概率，得分布列，計算概率時要注意這是條件概率，需由條件概率公式計算，由期望

公式計算期望.考查學生的運算求解能力.

20.(1)證明見解析；(2)察.

【分析】

(1)連接8。交AC于點R連接EF,取PO中點G,由直角梯形各邊的長及位置關系易證

ACrBD,由線面垂直的性質(zhì)得PBJ_AC,由線面垂直的判定及性質(zhì)有AC利用等腰三

角形及等比例關系得5GLP。、EF//BG,最后由線面垂直的判定即可證平面ACE；

(2)構建以點8為坐標原點，麗，團，麗分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐

標系，確定相關點的坐標，進而求面ACE、面8CE的法向量，由法向量夾角與二面角的關系，

結合空間向量數(shù)量積的坐標表示求夾角余弦值.

【詳解】

(1)連接3。交AC于點連接即，在直角梯形ABCO中，由CO=2AB=2,8C=夜，

...BD=R,DF=2FB,ffntanZACB=—=—,tanZBDC=—=^,

BC2CD2

:.ZACB=NBDC,由4QC+NCBQ=90°,有ZACB+NC3O=9()°,E[J

。8，面488,ACu面ABC。，即有PBLAC,又PBcBD=B,

：.ACr^PBD,尸。u面尸3D,即有AC_LPD,

在RdPBD中,PB=BD=瓜,取PO中點G,則有BGLPO,

由尸石=2?！曛狣E=2EG,即EF//BG,

：.EFA.PD,又4。0￡尸=尸，

，PD_L面4CE；

（2）由題設知，兩兩垂直，故以點6為坐標原點，瓶,瓦?，加分另U為x軸，y軸,

z軸正方向建立空間直角坐標系,

：.A(l,0,0),C(0,V2,0),￡)(2,V2,0),P(0,0,V6),￡二,J

由。。_1面ACE知：面ACE的一個法向量為五=（拒』，-6）

而8弓=(0,0,0),3后=(1,羋,。],則巧'吧=°,即

面BCE的一個法向量為所=（x,y,z）,

(333)[m-BE=O

叵y=0

425/2尸多=。取冗=V6,得玩=(a,0,-4),

-x+

13亍

令二面角A-CE-3為凡由題意知6為銳角，則

cos。水。s＜強+叵西=華學3VH

\n\-\m\V6-V2211

【點睛】

關鍵點點睛：

(1)根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)證明線面垂直.

(2)構建空間直角坐標系，利用向量法求二面角的余弦值.

2

21.(1)—+/=1；(2)73.

2

【分析】

(1)根據(jù)已知條件求出“、，的值，由此可得出橢圓。的方程；

(2)求出曲線G的方程，設P(%，x)、。伍，％)、M(Xo，%)，將直線/的方程與曲線G的方

程聯(lián)立，列出韋達定理，求出點M的坐標，代入曲線G的方程，可得出4『=1+以2,求得|PQ|

以及點0到直線PQ的距離，利用三角形的面積公式可求得結果.

【詳解】

(1)由已知，2a=272>所以4=也，

又因為雙曲線f一>2=］的離心率為④，

可知，橢圓c的離心率為g=變即。=缶，故c=i,進而=7=1，

a2

V-2

所以橢圓C的方程為5+9=1；

(2)將橢圓。上每一點橫坐標擴大為原來的0倍，縱坐標不變，得到曲線G的方程為

—+/=1,

4-

：=近：'=>(1+4/)尤2+8依+4/—4=0,

設尸(玉,y)、。(％,%)、”(如為)，由，22

x+4y=4'>

由韋達定理可得%+%=丁瑞，%々=尤4

1I?*V1十^TK

且△=(8肘)2—4(1+4巧(4產(chǎn)-4)>