三角函數(shù)誘導(dǎo)公式(老師)

戴氏教育教師講義學(xué)員姓名：年級：第（）次講課輔導(dǎo)課目：教師：朱雪婷教學(xué)主管簽字：課題：任意角的三角函數(shù)與誘導(dǎo)公式授課時間：教學(xué)目標(biāo)1．任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化；2．三角函數(shù)（1）借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；（2）借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（π/2±α,π±α的正弦、余弦、正切）。重點(diǎn)，難點(diǎn)從近幾年的新課程高考考卷來看，試題內(nèi)容主要考察三角函數(shù)的圖形與性質(zhì)，但解決這類問題的基礎(chǔ)是任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式，在處理一些復(fù)雜的三角問題時，同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵考點(diǎn)及考試要求1．高考中，題型一般情況下是1道選擇題和1道解答題中小過程；2．熱點(diǎn)內(nèi)容是三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用和實(shí)際應(yīng)用，這也是新課標(biāo)教材的熱點(diǎn)內(nèi)容。教學(xué)內(nèi)容要點(diǎn)精講1．任意角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。一條射線由原來的位置，繞著它的端點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置，就形成角。旋轉(zhuǎn)開始時的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點(diǎn)叫做叫的頂點(diǎn)。為了區(qū)別起見，我們規(guī)定:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角,按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角。如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角。2．終邊相同的角、區(qū)間角與象限角角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。要特別注意:如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限,稱為非象限角。終邊相同的角是指與某個角α具有同終邊的所有角，它們彼此相差2kπ(k∈Z)，即β∈{β|β=2kπ+α，k∈Z}，根據(jù)三角函數(shù)的定義，終邊相同的角的各種三角函數(shù)值都相等。區(qū)間角是介于兩個角之間的所有角，如α∈{α|≤α≤}=[，]。3．弧度制長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫)。角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如-π，-2π等等，一般地,正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定。角的弧度數(shù)的絕對值是：，其中，l是圓心角所對的弧長，是半徑。角度制與弧度制的換算主要抓住?；《扰c角度互換公式：1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝≈0.01745（rad）?；￠L公式：（是圓心角的弧度數(shù)），扇形面積公式：。4．三角函數(shù)定義在的終邊上任取一點(diǎn),它與原點(diǎn)的距離.過作軸的垂線,垂足為,則線段的長度為,線段的長度為.則；；。a的終邊P(x,y))Oa的終邊P(x,y))Oxy(1)叫做的正弦,記做,即；（2）叫做的余弦,記做,即；（3）叫做的正切,記做,即。5．三角函數(shù)線OxOxya角的終邊PTMA以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以單位長度1為半徑畫一個圓，這個圓就叫做單位圓（注意：這個單位長度不一定就是1厘米或1米）。當(dāng)角為第一象限角時，則其終邊與單位圓必有一個交點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義：；。我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸時,以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)，規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時，的方向?yàn)檎?，且有正值；?dāng)線段與軸反向時，的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣,無論那種情況都有同理,當(dāng)角的終邊不在軸上時,以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)，規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時，的方向?yàn)檎颍矣姓?；?dāng)線段與軸反向時，的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo)。這樣,無論那種情況都有。像這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段。如上圖,過點(diǎn)作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設(shè)它與的終邊交于點(diǎn),請根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識,借助有向線段,我們有我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線。6．同角三角函數(shù)關(guān)系式使用這組公式進(jìn)行變形時，經(jīng)常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，這是三角變換非常重要的方法。幾個常用關(guān)系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之間可以互相表示)同理可以由sinα－cosα或sinα·cosα推出其余兩式。②．③當(dāng)時，有。相關(guān)公式同角三角函數(shù)基本關(guān)系式sin2α＋cos2α=1EQ\F(sinα,cosα)=tanαtanαcotα=1誘導(dǎo)公式(奇變偶不變，符號看象限)sin(π－α)＝sinαsin(π+α)＝-sinαcos(π－α)＝-cosαcos(π+α)＝-cosαtan(π－α)＝-tanαtan(π+α)＝tanαsin(2π－α)＝-sinαsin(2π+α)＝sinαcos(2π－α)＝cosαcos(2π+α)＝cosαtan(2π－α)＝-tanαtan(2π+α)＝tanα（二）sin(EQ\F(π,2)－α)＝cosαsin(EQ\F(π,2)+α)＝cosαcos(EQ\F(π,2)－α)＝sinαcos(EQ\F(π,2)+α)＝-sinαtan(EQ\F(π,2)－α)＝cotαtan(EQ\F(π,2)+α)＝-cotαsin(EQ\F(3π,2)－α)＝-cosαsin(EQ\F(3π,2)+α)＝-cosαcos(EQ\F(3π,2)－α)＝-sinαcos(EQ\F(3π,2)+α)＝sinαtan(EQ\F(3π,2)－α)＝cotαtan(EQ\F(3π,2)+α)＝-cotαsin(－α)＝－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanα兩角和與差的三角函數(shù)cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβcos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ＋cosαsinβsin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβtan(α+β)=EQ\F(tanα+tanβ,1－tanαtanβ)tan(α－β)=EQ\F(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αtan2α=EQ\F(2tanα,1－tan2α)公式的變形升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α降冪公式：cos2α＝EQ\F(1＋cos2α,2)sin2α＝EQ\F(1－cos2α,2)正切公式變形：tanα+tanβ＝tan(α+β)（1－tanαtanβ）tanα－tanβ＝tan(α－β)（1＋tanαtanβ)萬能公式（用tanα表示其他三角函數(shù)值）sin2α＝EQ\F(2tanα,1+tan2α)cos2α＝EQ\F(1－tan2α,1+tan2α)tan2α＝EQ\F(2tanα,1－tan2α)插入輔助角公式asinx＋bcosx=EQ\R(,a2+b2)sin(x+φ)(tanφ=EQ\F(b,a))特殊地：sinx±cosx＝EQ\R(,2)sin(x±EQ\F(π,4))熟悉形式的變形（如何變形）1±sinx±cosx1±sinx1±cosxtanx＋cotxEQ\F(1－tanα,1＋tanα)EQ\F(1＋tanα,1－tanα)若A、B是銳角，A+B＝EQ\F(π,4)，則（1＋tanA）(1+tanB)=2在三角形中的結(jié)論若：A＋B＋C=π,EQ\F(A+B+C,2)=EQ\F(π,2)則有tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCtanEQ\F(A,2)tanEQ\F(B,2)＋tanEQ\F(B,2)tanEQ\F(C,2)＋tanEQ\F(C,2)tanEQ\F(A,2)＝1－sin－sinsin－sin－sinsincoscoscos－cos－coscoscossin（1）要化的角的形式為（為常整數(shù)）；（2）記憶方法：“函數(shù)名不變，符號看象限”；（3）sin(kπ+α)=(－1)ksinα；cos(kπ+α)=(－1)kcosα(k∈Z)；（4）；。典例解析題型1：象限角例1．已知角；（1）在區(qū)間內(nèi)找出所有與角有相同終邊的角；（2）集合，那么兩集合的關(guān)系是什么？解析：（1）所有與角有相同終邊的角可表示為：，則令，得解得從而或代回或（2）因?yàn)楸硎镜氖墙K邊落在四個象限的平分線上的角的集合；而集合表示終邊落在坐標(biāo)軸或四個象限平分線上的角的集合，從而：。點(diǎn)評：（1）從終邊相同的角的表示入手分析問題，先表示出所有與角有相同終邊的角，然后列出一個關(guān)于的不等式，找出相應(yīng)的整數(shù)，代回求出所求解；（2）可對整數(shù)的奇、偶數(shù)情況展開討論。例2．（2001全國理，1）若sinθcosθ＞0，則θ在（）A．第一、二象限B．第一、三象限 C．第一、四象限D(zhuǎn)．第二、四象限解析：答案：B；∵sinθcosθ＞0，∴sinθ、cosθ同號。當(dāng)sinθ＞0，cosθ＞0時，θ在第一象限，當(dāng)sinθ＜0，cosθ＜0時，θ在第三象限，因此，選B。例3．（2001春季北京、安徽，8）若A、B是銳角△ABC的兩個內(nèi)角，則點(diǎn)P（cosB－sinA，sinB－cosA）在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：∵A、B是銳角三角形的兩個內(nèi)角，∴A＋B＞90°，∴B＞90°－A，∴cosB＜sinA，sinB＞cosA，故選B。例4．已知“是第三象限角，則是第幾象限角?解法一：因?yàn)槭堑谌笙藿?，所以，∴，∴?dāng)k=3m（m∈Z）時，為第一象限角；當(dāng)k=3m＋1（m∈Z）時，為第三象限角，當(dāng)k=3m＋2（m∈Z）時，為第四象限角，故為第一、三、四象限角。解法二：把各象限均分3等份，再從x軸的正向的上方起依次將各區(qū)域標(biāo)上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循環(huán)一周，則原來是第Ⅲ象限的符號所表示的區(qū)域即為的終邊所在的區(qū)域。由圖可知，是第一、三、四象限角。點(diǎn)評：已知角的范圍或所在的象限，求所在的象限是?？碱}之一，一般解法有直接法和幾何法，其中幾何法具體操作如下：把各象限均分n等份，再從x軸的正向的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循環(huán)一周，則原來是第幾象限的符號所表示的區(qū)域即為(n∈N*)的終邊所在的區(qū)域。題型2：三角函數(shù)定義例5．已知角的終邊過點(diǎn)，求的三個三角函數(shù)值。解析：因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，。當(dāng)；，。當(dāng)，；。例6．已知角的終邊上一點(diǎn)，且，求的值。解析：由題設(shè)知，，所以，得，從而，解得或。當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，。題型3：誘導(dǎo)公式例7．（2001全國文，1）tan300°+的值是（）A．1＋ B．1－ C．－1－ D．－1＋解析：答案：Btan300°＋＝tan(360°－60°)＋＝－tan60°＋＝1－。例8．化簡：（1）；（2）。解析：（1）原式；（2）①當(dāng)時，原式。②當(dāng)時，原式。點(diǎn)評：關(guān)鍵抓住題中的整數(shù)是表示的整數(shù)倍與公式一中的整數(shù)有區(qū)別，所以必須把分成奇數(shù)和偶數(shù)兩種類型，分別加以討論。題型4：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式例9．已知，試確定使等式成立的角的集合。解析：∵，===。又∵，∴，即得或所以，角的集合為：或。例10．（1）證明：；（2）求證：。解析：（1）分析：證明此恒等式可采取常用方法，也可以運(yùn)用分析法，即要證，只要證A·D=B·C,從而將分式化為整式證法一：右邊===證法二：要證等式，即為只要證2（）（）=即證：，即1=，顯然成立，故原式得證。點(diǎn)評：在進(jìn)行三角函數(shù)的化簡和三角恒等式的證明時，需要仔細(xì)觀察題目的特征，靈活、恰當(dāng)?shù)剡x擇公式，利用倒數(shù)關(guān)系比常規(guī)的“化切為弦”要簡潔得多。（2）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式有三種，即平方關(guān)系、商的關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系。（2）證法一：由題義知，所以?！嘧筮?右邊?！嘣匠闪ⅰＷC法二：由題義知，所以。又∵，∴。證法三：由題義知，所以。，∴。點(diǎn)評：證明恒等式的過程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程，證明時常用的方法有：（1）從一邊開始，證明它等于另一邊（如例5的證法一）；（2）證明左右兩邊同等于同一個式子（如例6）；（3）證明與原式等價(jià)的另一個式子成立，從而推出原式成立。思維總結(jié)1．幾種終邊在特殊位置時對應(yīng)角的集合為：角的終邊所在位置角的集合X軸正半軸Y軸正半軸X軸負(fù)半軸Y軸負(fù)半軸X軸Y軸坐標(biāo)軸2．α、、2α之間的關(guān)系。若α終邊在第一象限則終邊在第一或第三象限；2α終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。若α終邊在第二象限則終邊在第一或第三象限；2α終邊在第三或第四象限或y軸負(fù)半軸。若α終邊在第三象限則終邊在第二或第四象限；2α終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。若α終邊在第四象限則終邊在第二或第四象限；2α終邊在第三或第四象限或y軸負(fù)半軸。3．任意角的概念的意義，任意角的三角函數(shù)的定義，同角間的三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式由于本重點(diǎn)是任意角的三角函數(shù)角的基礎(chǔ)，因而三學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時要注意如下幾點(diǎn)：（1）熟練地掌握常用的方法與技巧，在使用三角代換求解有關(guān)問題時要注意有關(guān)范圍的限制；（2）要注意差異分析，又要活用公式，要善于瞄準(zhǔn)解題目標(biāo)進(jìn)行有效的變形，其解題一般思維模式為：發(fā)現(xiàn)差異，尋找聯(lián)系，合理轉(zhuǎn)化。只有這樣才能在高考中奪得高分。三角函數(shù)的值與點(diǎn)在終邊上的位置無關(guān)，僅與角的大小有關(guān).我們只需計(jì)算點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,那么,,。所以，三角函數(shù)是以為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的