浙江省金華市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

金華一中2023學(xué)年高一十二月月考試卷數(shù)學(xué)考試時間：12月27日8:00—10:00；命題：金建軍；徐志平一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的）1.設(shè)集合，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意逐一考查所給選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為即可.【詳解】由題意可得，則，選項(xiàng)A正確；，則，選項(xiàng)B錯誤；，則或，選項(xiàng)C錯誤；或，則或，選項(xiàng)D錯誤；故選：A.2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】分別解出、，結(jié)合充分、必要條件的定義即可求解.【詳解】由，得，由，得，又，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B3.下列命題正確的有（）A.若，，則．B.向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上C.D.滿足的四邊形ABCD是正方形【答案】C【解析】【分析】利用與任意向量共線判斷A，利用共線向量的基線平行或重合判斷B，利用向量的線性運(yùn)算法則判斷C，利用平行四邊形法則判斷D.【詳解】對選項(xiàng)A，當(dāng)時，與不一定平行，故選項(xiàng)A錯誤；對選項(xiàng)B，因?yàn)楣簿€向量的基線平行或重合，故選項(xiàng)B錯誤；對選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以選項(xiàng)C正確；對選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，整理可得，即為直角，但是四邊形不一定是正方形，故選項(xiàng)D錯誤.故選：C.4.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D5.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.【詳解】令，則，所以為奇函數(shù)，排除BD；又當(dāng)時，，所以，排除C.故選：A.6.已知命題p：“，使得”，若命題p是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】命題p是假命題，則命題為真命題，再利用一元二次方程的判別式求出實(shí)數(shù)a的取值范圍即可.【詳解】若命題p：“，使得”為假，則命題：“，使得”為真.所以判別式，解得.故選：B7.納皮爾是蘇格蘭數(shù)學(xué)家，其主要成果有球面三角中納皮爾比擬式、納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算籌（1617），而最大的貢獻(xiàn)是對數(shù)的發(fā)明，著有《奇妙的對數(shù)定律說明書》，并且發(fā)明了對數(shù)尺，可以利用對數(shù)尺查詢出任意一對數(shù)值．現(xiàn)將物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，經(jīng)過t分鐘后物體的溫度T（℃）可由公式得出，如溫度為90℃的物體，放在空氣中冷卻約5分鐘后，物體的溫度是30℃，若根據(jù)對數(shù)尺可以查詢出，則空氣溫度約是（）A.5℃ B.10℃ C.15℃ D.20℃【答案】B【解析】【分析】由題意可知，再根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：由題意可知，整理得，，所以，，解得．空氣溫度是．故選：B．8.已知函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域,然后求出函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解不等式,最后求出結(jié)果.【詳解】已知函數(shù),令,解得或,所以函數(shù)的定義域?yàn)?則其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,又,所以函數(shù)為偶函數(shù),當(dāng)時,,又及在時都是增函數(shù),所以在時也是增函數(shù),故解不等式,即,解得即或,綜上不等式成立的的取值范圍為.故選:【點(diǎn)睛】本題是道較為綜合的函數(shù)題目,考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,以及解不等式,此類題目看似較難,但解法很固定,一定要能看透題目的本質(zhì):研究出函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,運(yùn)用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性最后來解不等式.需要平時對函數(shù)的性質(zhì)題目有一定的積累,多思考,多總結(jié).二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）9.下列函數(shù)中最小值為4是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．【詳解】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；對于B，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，而，，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；對于D，，函數(shù)定義域?yàn)?，而且，如?dāng)，，D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可解出．10.已知，關(guān)丁該函數(shù)有下列四個說法，正確的為（）A.的最小正周期為π；B.當(dāng)，時，的取值范圍為；C.在上單調(diào)遞增；D.的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的周期、圖象與性質(zhì)，結(jié)合換元法以及函數(shù)圖象變換法則即可判斷各選項(xiàng)的對錯.【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，則的最小正周期為，所以A正確；對于選項(xiàng)B，令，因?yàn)?，所以，則，所以，所以，所以B錯誤；對于選項(xiàng)C，令，因?yàn)?，所以，則在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，所以C正確；對于選項(xiàng)D，的圖象向左平移個單位長度可以得到，所以D錯誤故選：AC.11.已知函數(shù)和在上的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.方程有且只有6個不同解 B.方程有且只有3個不同的解C.方程有且只有5個不同的解 D.方程有且只有4個不同的解【答案】ACD【解析】【分析】令，結(jié)合圖象可得有3個不同的解，，，不妨設(shè)，則可知，，，令，結(jié)合圖象可得有2個不同的解，，不妨設(shè)，則可知，，再數(shù)形結(jié)合求出復(fù)合函數(shù)的解的個數(shù).【詳解】A選項(xiàng)，令，結(jié)合圖象可得有3個不同的解，，，不妨設(shè)，則可知，，，由圖可知有2個不同的解，有2個不同的解，有2個不同的解，即有6個不同的解，A正確；B選項(xiàng)，令，結(jié)合圖象可得有2個不同的解，，不妨設(shè)，則可知，，由圖可知有1個解，有3個不同的解，即有4個不同的解，B錯誤；C選項(xiàng)，令，結(jié)合圖象可得有3個不同的解，，且，，，由圖可知有1個解，有3個不同的解，有1個解，即有5個不同的解，C正確；D選項(xiàng)，令，結(jié)合圖象可得有兩個不同的解，不妨設(shè)，則可知，，由圖可知有2個不同的解，有2個不同的解，即有4個不同的解，D正確．故選：ACD．12.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且為偶函數(shù)，則（）A. B.為偶函數(shù)C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對于A，利用賦值法即可判斷；對于B，利用賦值法與函數(shù)奇偶性的定義即可判斷；對于C，利用換元法結(jié)合的奇偶性即可判斷；對于D，先推得的一個周期為6，再依次求得，從而利用的周期性即可判斷.【詳解】對于A，因?yàn)?，令，則，故，則，故A正確；對于B，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，令，則，又不恒為0，故，所以為奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，令，則，故，令，則，故，又為奇函數(shù)，故，所以，即，故C正確；對于D，由選項(xiàng)C可知，所以，故的一個周期為6，因?yàn)?，所以，對于，令，得，則，令，得，則，令，得，令，得，令，得，所以，又，所以由的周期性可得：，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于利用賦值法與函數(shù)奇偶性的定義推得的奇偶性，再結(jié)合題設(shè)條件推得為周期函數(shù)，從而得解.三、填空題（木題共4小題，每小題5分，共20分．第16題第1空2分，第2空3分）13.設(shè)函數(shù)，則等于______．【答案】##6.5【解析】【分析】根據(jù)指對函數(shù)的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】根據(jù)函數(shù)可得，，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)在閉區(qū)間上的值域?yàn)?，則的最大值為________.【答案】3【解析】【分析】畫出函數(shù)圖像,分析要使函數(shù)在閉區(qū)間上的值域?yàn)?必有,,或,再根據(jù)求的最大值最好是正值,可得,,即的最大值為.【詳解】畫出函數(shù)的圖像可知,要使其在閉區(qū)間上的值域?yàn)?由于有且僅有,所以,而,所以有,或,又∵,的最大值為正值時,,∴,所以,當(dāng)取最小值時,,有最大值.又∵,∴的最大值為；故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和定義域與值域之間的關(guān)系,分析雙變量的最值時,可先確定正負(fù),再看是否有辦法將其中一值取到定值,以此消元.本題為中等題.15.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上恰有4個，使得，則ω的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可以得出，解出ω的取值范圍即可.【詳解】設(shè)因?yàn)榍遥?，函?shù)化為，又因?yàn)樵趨^(qū)間上恰有4個，使得，所以在區(qū)間上恰有4個，使得，即，解得或，其中.結(jié)合圖象可得，解得，故ω的取值范圍是.故答案為：16.已知向量滿足，則的最大值是______，最大值是______．【答案】①.3②.【解析】【分析】綜合應(yīng)用平面向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的知識即可解決.【詳解】設(shè)向量的夾角為，，因?yàn)?，所以，故的最大值?；同理，所以，則，因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所以，故最大值?故答案為：3；.四、解答題（本大題共6小題，共70分．其中17題10分，18—22題各12分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17.已知全集，集合，（1）當(dāng)時，求;（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求解出絕對值不等式、分式不等式的解集作為集合，然后根據(jù)集合的交集概念求解出的結(jié)果；（2）根據(jù)確定出之間的包含關(guān)系，由此列出不等式求解出的取值范圍.【詳解】（1）時，，解得或，所以或，因?yàn)?，所以，解得，所以，所以；?）由得或，又或由可知，所以，即，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：根據(jù)集合的交、并集運(yùn)算結(jié)果判斷集合間的關(guān)系：（1）若，則有；（2）若，則有.18.如圖，在直角坐標(biāo)系中，作射線，分別交單位圓于點(diǎn)，，且在第一象限，在第二象限，且．記．（1）若，求；（2）分別過，作軸的垂線，垂足依次為，，求梯形面積的取值范圍．【答案】18.；19.【解析】【分析】（1）先根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義得，，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及兩角和的余弦公式即可得答案；（2）根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出梯形相關(guān)量，再利用兩角和與差的正余弦公式以及輔助角公式得，通過角的范圍得答案.【小問1詳解】設(shè)銳角的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊為射線，則，點(diǎn)在第一象限，所以，又因?yàn)?，所?【小問2詳解】由（1）知，，，即，，，，，因?yàn)樵诘谝幌笙?，在第二象限，，所以角，，，，，?19.湯姆今年年初用16萬元購進(jìn)一輛汽車，每天下午跑滴滴出租車，經(jīng)估算，每年可有16萬元的總收入，已知使用x年()所需的各種費(fèi)用（維修、保險、耗油等）總計(jì)為萬元（今年為第一年）．（1）該出租車第幾年開始贏利（總收入超過總支出）？（2）該車若干年后有兩種處理方案：①當(dāng)贏利總額達(dá)到最大值時，以1萬元價格賣出；②當(dāng)年平均贏利達(dá)到最大值時，以10萬元賣出.試問哪一種方案較為合算？請說明理由．【答案】（1）從第二年開始盈利；（2）兩個方案盈利總數(shù)一樣，但是方案二時間短，比較合算.理由見解析.【解析】【分析】（1）由題意得列出不等式，解之可得結(jié)論；（2）分別求得方案①：，7年時間共贏利34萬，方案②：，4年時間共贏利34萬，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）由題意得，且，解得且，所以該出租車從第二年開始盈利；（2）方案①：，7年時間共贏利34萬，方案②：，4年時間共贏利34萬，兩個方案盈利總數(shù)一樣，但是方案二時間短，比較合算.20.函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，為圖象的最高點(diǎn)，、為圖象與軸的交點(diǎn)，且為正三角形.（1）求的值及函數(shù)的值域；（2）若，且，求的值.【答案】（2），函數(shù)的值域?yàn)?（2）.【解析】【分析】(1)將函數(shù)化簡整理，根據(jù)正三角形的高為，可求出，進(jìn)而可得其值域；(2)由得到，再由求出，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】(1)由已知可得，又正三角形的高為，則，所以函數(shù)的最小正周期，即，得，函數(shù)的值域?yàn)椋?2)因?yàn)?，?1)得，即，由，得，即＝，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟記正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.21.已知函數(shù)是偶函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，若函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)定義求參數(shù)值．（2）函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程有唯一實(shí)數(shù)解，且，令，又等價于方程只有一個正實(shí)根，且.，先討論；再討論；在時方程一正一負(fù)根．從而可得結(jié)論．【詳解】解：（1）是偶函數(shù)，，，.此式對于一切恒成立，（2）函數(shù)與的圖像有且只有一個公共點(diǎn)，等價于方程有唯一的實(shí)數(shù)解，等價于方程有唯一實(shí)數(shù)解，且，令，則此問題等價于方程只有一個正實(shí)根，且.當(dāng)，即時，則成立；當(dāng)，即時，①若，即或，當(dāng)