甘肅省隴南市徽縣2024屆數(shù)學(xué)七年級(jí)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

甘肅省隴南市徽縣2024屆數(shù)學(xué)七年級(jí)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．下列命題的逆命題成立的是（）A．對(duì)頂角相等B．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等C．如果兩個(gè)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等D．兩直線平行，同位角相等2．下列調(diào)查：①調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力；②了解某班學(xué)生的體重情況；③調(diào)查春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)的收視率；④選出某校短跑最快的學(xué)生參加全市比賽.其中適宜抽樣調(diào)查的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④3．下列各數(shù)中的無理數(shù)是（）A．6.2? B．119 C．4．已知a＞2a，那么對(duì)于a的判斷正確的是（）A．是正數(shù) B．是負(fù)數(shù) C．是非正數(shù) D．是非負(fù)數(shù)5．下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形且只有一條對(duì)稱軸的是（）A． B．C． D．6．如圖所示，下列圖形都是由面積為1的正方形按一定的規(guī)律組成，其中，第（1）個(gè)圖形中面積為1的正方形有2個(gè)，第（2）個(gè)圖形中面積為1的正方形有5個(gè)，第（3）個(gè)圖形中面積為1的正方形有9個(gè)，……按此規(guī)律，則第50個(gè)圖形中面積為1的正方形的個(gè)數(shù)為（）A．1322 B．1323 C．1324 D．13257．下列標(biāo)志圖中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．8．代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥2 B．a(chǎn)>2 C．a(chǎn)≥-2 D．a(chǎn)≤29．下列各圖中，與是對(duì)頂角的是（）A． B． C． D．10．如圖，若，相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，則下列結(jié)論不正確的是()A．與互為余角 B．與互為余角C．與互為補(bǔ)角 D．與是對(duì)頂角二、填空題(本大題共有6小題，每小題3分，共18分)11．若方程有增根，則的值為____.12．如圖DE⊥AB，EF∥AC，∠A=35°，求∠DEF的度數(shù)．13．如圖，OP平分∠AOB，∠BCP＝40°，CP∥OA，PD⊥OA于點(diǎn)D，則∠OPD＝_____°．14．如圖所示，直線相交于點(diǎn)，且，則的度數(shù)是__________．15．寫出一個(gè)2到3之間的無理數(shù)______．16．如圖，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．三、解下列各題(本大題共8小題，共72分)17．（8分）(1)我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家趙爽，早在公元3世紀(jì)，就把一個(gè)矩形分成四個(gè)全等的直角三角形，用四個(gè)全等的直角三角形拼成丁一個(gè)大的正方形（如圖1），這個(gè)矩形稱為趙爽弦圖，驗(yàn)證了一個(gè)非常重要的結(jié)論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關(guān)系式a2＋b2＝c2，稱為勾股定理.證明：∵大正方形面積表示為S＝c2，，又可表示為S＝4×ab＋(b－a)2，∴4×ab＋(b－a)2＝c2.∴______________即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.(2)愛動(dòng)腦筋的小明把這四個(gè)全等的直角三角形拼成了另一個(gè)大的正方形(如圖2)，也能驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你幫助小明完成驗(yàn)證的過程.(3)如圖3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，請(qǐng)你添加適當(dāng)?shù)妮o助線，證明結(jié)論a2＋b2＝c2.18．（8分）如圖，，，交與點(diǎn)，且。求證：平分19．（8分）如圖，在正方形網(wǎng)格上有一個(gè)△ABC，作△ABC關(guān)于直線MN的對(duì)稱圖形（不寫作法）．20．（8分）如圖，已知△BAD≌△BCE，∠BAD＝∠BCE＝90°，∠ABD＝∠BEC＝30°，點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，過點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N．（1）如圖1，當(dāng)A、B、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，①求證：△MEN≌△MDA；②判斷AC與CN數(shù)量關(guān)系為_______，并說明理由.（2）將圖1中△BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過程中△CAN能否為等腰直角三角形？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角度；若不能，說明理由．21．（8分）如圖1，直線MN與直線AB、CD分別交于點(diǎn)E、F，∠1與∠2互補(bǔ)．(1)試判斷直線AB與直線CD的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，∠BEF與∠EFD的角平分線交于點(diǎn)P，EP與CD交于點(diǎn)G，點(diǎn)H是MN上一點(diǎn)，且GH⊥EG，求證：PF∥GH；(3)如圖3，在(2)的條件下，連接PH，K是GH上一點(diǎn)使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，問∠HPQ的大小是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，說明理由．22．（10分）爭(zhēng)創(chuàng)全國(guó)文明城市，從我做起，某學(xué)校在七年級(jí)開設(shè)了文明禮儀校本課程，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，學(xué)校隨機(jī)抽取30名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，成績(jī)?nèi)缦?單位：分)：788386869094979289868481818486889289868381818586899393898593，整理上面的數(shù)據(jù)得到頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖：成績(jī)(分)頻數(shù)5112回答下列問題：(1)以上30個(gè)數(shù)據(jù)中，中位數(shù)是_____；頻數(shù)分布表中____；_____；(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；(3)若成績(jī)不低于86分為優(yōu)秀，估計(jì)該校七年級(jí)300名學(xué)生中，達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的人數(shù)．23．（10分）如圖，在中，已知，，，試把下面運(yùn)用“疊合法”說明和全等的過程補(bǔ)充完整：說理過程：把放到上，使點(diǎn)A與點(diǎn)重合，因?yàn)椋钥梢允?，并使點(diǎn)C和在AB（）同一側(cè)，這時(shí)點(diǎn)A與重合，點(diǎn)B與重合，由于，因此，；由于，因此，；于是點(diǎn)C（射線AC與BC的交點(diǎn)）與點(diǎn)（射線與的交點(diǎn)）重合，這樣．24．（12分）春天到了，七（2）班組織同學(xué)到公園春游，張明、李華對(duì)著景區(qū)示意圖，如下描述牡丹園位置（圖中小正方形邊長(zhǎng)代表100m）張明：“牡丹園坐標(biāo)（300，300）”李華：“牡丹園在中心廣場(chǎng)東北方向約420m處”若他們二人所說的位置都正確．（1）在圖中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；（2）用坐標(biāo)描述其它景點(diǎn)位置．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【解題分析】

寫出各個(gè)命題的逆命題，然后判斷是否成立即可．【題目詳解】解：A、逆命題為相等的角為對(duì)頂角，不成立；B、逆命題為對(duì)應(yīng)角相等的三角形全等，不成立；C、逆命題為絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)相等，不成立；D、逆命題為同位角相等，兩直線平行，成立，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠正確的寫出各個(gè)命題的逆命題，難度不大．2、B【解題分析】

普查和抽樣調(diào)查的選擇．調(diào)查方式的選擇需要將普查的局限性和抽樣調(diào)查的必要性結(jié)合起來，具體問題具體分析，普查結(jié)果準(zhǔn)確，所以在要求精確、難度相對(duì)不大，實(shí)驗(yàn)無破壞性的情況下應(yīng)選擇普查方式，當(dāng)考查的對(duì)象很多或考查會(huì)給被調(diào)查對(duì)象帶來?yè)p傷破壞，以及考查經(jīng)費(fèi)和時(shí)間都非常有限時(shí)，普查就受到限制，這時(shí)就應(yīng)選擇抽樣調(diào)查．【題目詳解】①調(diào)查某批次的汽車的抗撞擊力，危險(xiǎn)性較大，而且破壞性較強(qiáng)，故應(yīng)抽樣調(diào)查；②了解某班學(xué)生的體重情況，涉及人數(shù)較少，適合全面調(diào)查；③調(diào)查春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)的收視率，涉及人數(shù)較多，不易全面調(diào)查，故應(yīng)抽樣調(diào)查；④選出某校短跑最快的學(xué)生參加全市比賽，涉及人數(shù)較少，適合全面調(diào)查，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了抽樣調(diào)查和全面調(diào)查，由普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時(shí)間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似．3、D【解題分析】

無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【題目詳解】A.6.2?B.119C.9=3是有理數(shù)，故不符合題意；D.π-3.14是無理數(shù).故選D.【題目點(diǎn)撥】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．4、B【解題分析】∵a>2a，∴a-2a>0，即a<0，∴a是負(fù)數(shù)；故選B.5、A【解題分析】

根據(jù)軸對(duì)稱圖形的意義判定圖形由幾條對(duì)稱軸即可解答【題目詳解】A是對(duì)稱圖形且只有一條對(duì)稱軸;B是對(duì)稱圖形,有兩條對(duì)稱軸;C不是對(duì)稱圖形D．是對(duì)稱圖形,有三條對(duì)稱軸故選A【題目點(diǎn)撥】此題考查軸對(duì)稱圖形，難度不大6、D【解題分析】

第（1）個(gè)圖形中面積為1的正方形有2個(gè)，第（2）個(gè)圖形中面積為1的圖象有2+3=5個(gè)，第（3）個(gè)圖形中面積為1的正方形有2+3+4=9個(gè)，…，按此規(guī)律，第n個(gè)圖形中面積為1的正方形有2+3+4+…+n+1=n(n+3)2【題目詳解】解：第（1）個(gè)圖形中面積為1的正方形有2個(gè)，

第（2）個(gè)圖形中面積為1的圖象有2+3=5個(gè)，

第（3）個(gè)圖形中面積為1的正方形有2+3+4=9個(gè)，

…，

按此規(guī)律，第n個(gè)圖形中面積為1的正方形有2+3+4+…+（n+1）=n(n+3)2個(gè)．

當(dāng)n=50時(shí)，n(n+3)2=50×532=1325，

即第50個(gè)圖形中面積為1的正方形的個(gè)數(shù)為1325，【題目點(diǎn)撥】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形與數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．7、B【解題分析】

根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義逐項(xiàng)識(shí)別即可，在平面內(nèi)，一個(gè)圖形經(jīng)過中心對(duì)稱能與原來的圖形重合，這個(gè)圖形叫做叫做中心對(duì)稱圖形；一個(gè)圖形的一部分，以某條直線為對(duì)稱軸，經(jīng)過軸對(duì)稱能與圖形的另一部分重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形.【題目詳解】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形；B、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形；C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形；D、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，熟練掌握軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵.8、A【解題分析】

根據(jù)根式有意義的條件，列出不等式求解即可.【題目詳解】解：要使代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義則必須即：故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查根式有意義的條件，這是重要的知識(shí)點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)熟練掌握.9、B【解題分析】

根據(jù)對(duì)頂角的定義進(jìn)行判斷．【題目詳解】解：根據(jù)對(duì)頂角的定義可知：A、C、D中，∠1與∠2的兩邊都不互為反向延長(zhǎng)線，所以不是對(duì)頂角，是對(duì)頂角的只有B．

故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查對(duì)頂角的定義，兩條直線相交后所得的只有一個(gè)公共頂點(diǎn)且兩邊互為反向延長(zhǎng)線，這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角．熟記對(duì)頂角的圖形是解題的關(guān)鍵．10、C【解題分析】

根據(jù)OE⊥AB可得∠EOB=90°，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠1=∠3，然后根據(jù)余角定義和補(bǔ)角定義進(jìn)行分析即可．【題目詳解】∵，∴∠EOB=90°，又∵∠EOB，∴90°，即與互為余角，故A選項(xiàng)正確；又∵（對(duì)頂角相等）,∴90°,即與互為余角，故B選項(xiàng)正確；∵與是直線AB、CD相交于點(diǎn)O而形成的對(duì)頂角，∴D選項(xiàng)正確.故選C.【題目點(diǎn)撥】主要考查了余角,關(guān)鍵是掌握余角：如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．二、填空題(本大題共有6小題，每小題3分，共18分)11、2【解題分析】

分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,由分式方程有增根,得到x+2=0,求出x的值代入整式方程即可求出m的值【題目詳解】去分母得:m-1-1=2x+4將x=-2代入得:m-2=-4+4解得:m=2故答案為:2【題目點(diǎn)撥】此題考查分式方程的增根，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵12、125°．【解題分析】

先根據(jù)DE⊥AB可知∠ADE=90°，再由三角形外角的性質(zhì)求出∠DGC的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【題目詳解】解：∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∵∠DGC是△ADG的外角，∠A=35°，∴∠DGC=∠A+∠ADG=35°+90°=125°，∵EF∥AC，∴∠DEF=∠DGC=125°．【題目點(diǎn)撥】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，同位角相等．13、70o【解題分析】∵CP∥OA，∴∠AOB=∠BCP=40°，∵OP平分∠AOB，∴∠AOP=12∠AOB=20°，∵PD⊥OA，∴∠OPD=90°?20°=70°，故答案為70.點(diǎn)睛：此題考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠AOB，根據(jù)角平分線的定義求出∠AOP，根據(jù)垂直的定義、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．14、125°【解題分析】

兩直線相交，對(duì)頂角相等，即∠AOD=∠BOC，已知∠AOD+∠BOC=100°，可求∠AOD；又∠AOD與∠AOC互為鄰補(bǔ)角，即∠AOD+∠AOC=180°，將∠AOD的度數(shù)代入，可求∠AOC．【題目詳解】∵∠AOD與∠BOC是對(duì)頂角，∴∠AOD=∠BOC，又∵∠AOD+∠BOC=110°，∴∠AOD=55°.∵∠AOD與∠AOC互為鄰補(bǔ)角，∴∠AOC=180°?∠AOD=180°?55°=125°.故答案為：125°【題目點(diǎn)撥】此題考查對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，解題關(guān)鍵在于兩直線相交，對(duì)頂角相等15、答案不唯一，如：【解題分析】無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，本題答案不唯一，只要在2到3之間的無理數(shù)都可，例如：.故答案為：（答案不唯一，符合要求即可）.16、360°【解題分析】

根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，可得：∠A＋∠B＋∠C和∠D＋∠E＋∠F即可解答.【題目詳解】解：∵△ABC中，∠A＋∠B＋∠C=180°，△DEF中，∠D＋∠E＋∠F＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形內(nèi)角和是180°.三、解下列各題(本大題共8小題，共72分)17、（1）；（2）答案見解析；（3）證明見解析.【解題分析】

（1）通過化簡(jiǎn)即可證得；（2）根據(jù)四個(gè)全等的直角三角形的面積＋陰影部分小正方形的面積＝大正方形的面積，代入數(shù)值，即可證明；（3）作輔助線，構(gòu)建矩形，根據(jù)矩形的面積可得結(jié)論．【題目詳解】解答：證明：（1）∵大正方形面積表示為S＝，又可表示為S＝4×，∴4×=．∴，∴，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．故答案為：；（2）證明：由圖得，大正方形面積＝×ab×4＋＝（a＋b）×（a＋b），整理得，，即；（3）如圖，過A作AF⊥AB，過E作EF⊥AF于F，交BC的延長(zhǎng)線于D，則四邊形ABDF是矩形，∵△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝CE＝c，∠ACE＝90°＝∠ACB＋∠ECD，∵∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，∵∠B＝∠D＝90°，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴CD＝AB＝b，DE＝BC＝a，S矩形ABDF＝b（a＋b）＝2×，∴．【題目點(diǎn)撥】本題考查了用數(shù)形結(jié)合來證明勾股定理，鍛煉了同學(xué)們的數(shù)形結(jié)合的思想方法．18、見解析【解題分析】

利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，證得，利用平行線的性質(zhì)結(jié)合已知，即可證得結(jié)論．【題目詳解】∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴平分．【題目點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：平行線的性質(zhì)有：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，反之亦然．19、見解析.【解題分析】

直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；【題目詳解】解：如圖所示：△A′B′C′即為所求．【題目點(diǎn)撥】此題考查作圖-軸對(duì)稱變換，解題關(guān)鍵在于掌握作圖法則.20、（1）①見解析，②AC=CN，見解析；（2）△BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過程中△CAN為等腰直角三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角度為60°或240°．【解題分析】

（1）①先判斷出BC=AD，EC=AB，再判斷出∠MEN=∠MDA，即可得出結(jié)論；②首先證明△MEN≌△MDA，得BC=EN；然后證明△ABC≌△CEN，得到AC=CN；（2）首先證明△MEN≌△MDA，得BC=EN；然后證明△ABC≌△CEN，得到AC=CN，再判斷出∠ACB=90°，進(jìn)而判斷出∠BAC=∠ACB，再由BA≠CB，得出點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，即可得出結(jié)論．【題目詳解】解：（1）①∵△BAD≌△BCE，∴BC=AD，EC=AB．∵EN∥AD，∴∠MEN=∠MDA．在△MEN與△MDA中，∴△MEN≌△MDA（ASA），②AC=CN，由①知，△MEN≌△MDA，∴EN=AD，∴EN=BC．在△ABC與△CEN中，∴△ABC≌△CEN（SAS），∴AC=CN．（2）與（1）同理，可證明△MEN≌△MDA，∴EN=BC．設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，則∠ABC=120°+α，∠DBE=360°-∠DBA-∠ABC-∠CBE=360°-30°-（120°+α）-60°=150°-α．∵BD=BE，，∵EN∥AD，∴∠MEN=∠MDA=∠ADB+∠BDE=，，∴∠ABC=∠CEN．在△ABC與△CEN中，，∴△ABC≌△CEN（SAS），∴AC=CN，∠BAC=∠NCE，∵△CAN能成為等腰直角三角形∴∠ACN=90°，∴∠ACB=∠NCE，∴∠BAC=∠ACB，∵AB≠CB，∴點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為60°．如下圖所示：即△BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過程中△CAN為等腰直角三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角度為60°或240°．【題目點(diǎn)撥】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出△ABC≌△CEN（SAS）是解本題的關(guān)鍵．21、（1）證明見解析；（1）證明見解析；（3）45°【解題分析】

（1）利用對(duì)頂角相等、等量代換可以推知同旁內(nèi)角∠AEF、∠CFE互補(bǔ)，所以易證AB∥CD；（1）利用（1）中平行線的性質(zhì)推知°；然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理證得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故結(jié)合已知條件GH⊥EG，易證PF∥GH；（3）利用三角形外角定理、三角形內(nèi)角和定理求得∠4=90°-∠3=90°-1∠1；然后由鄰補(bǔ)角的定義、角平分線的定義推知∠QPK=11∠EPK=45°+∠1；最后根據(jù)圖形中的角與角間的和差關(guān)系求得∠HPQ的大小不變，是定值45°．【題目詳解】（1）解：如圖1，∵∠1與∠1互補(bǔ)，

∴∠1+∠1=180°．

又∵∠1=∠AEF，∠1=∠CFE，

∴∠AEF+∠CFE=180°，

∴AB∥CD；（1）證明：如圖1，由（1）知，AB∥CD，

∴∠BEF+∠EFD=180°．

又∵∠BEF與∠EFD的角平分線交于點(diǎn)P，

∴∠FEP+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，

∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．

∵GH⊥EG，

∴PF∥GH；（3）解：∠HPQ的大小不發(fā)生變化，理由如下：

如圖3，∵∠1=∠1，

∴∠3=1∠1．

又∵GH⊥EG，

∴∠4=90°-∠3=90°-1∠1．

∴∠EPK=180°-∠4=90°+1∠1．

∵PQ平分∠EPK，

∴∠