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矩陣秩的求法階梯形矩陣的秩容易判斷,而任何矩陣中可經(jīng)過有限次初等行變換化為階梯形,因此可用初等變換來求矩陣的秩.定理矩陣經(jīng)初等變換后,其秩不變.證僅考察經(jīng)一次初等行變換的情形.設(shè)經(jīng)初等變換變?yōu)榍耶?dāng)對(duì)施以互換兩行或以某非零數(shù)乘某一行的變換時(shí),某個(gè)階子式的乘積,其中或其它非零數(shù).矩陣中任何階子式等于某一非零數(shù)與的因?yàn)榈娜魏坞A子式皆為零,階子式也都為零.因此的任何矩陣秩的求法階梯形矩陣的秩容易判斷,而任何矩陣中可經(jīng)過有限次初等行變換化為階梯形,因此可用初等變換來求矩陣的秩.定理矩陣經(jīng)初等變換后,其秩不變.證當(dāng)對(duì)施以第行乘后加至第行的變換時(shí),則它即等于的一個(gè)階子式;若含的第行但不含的第行時(shí),則第行又含第行,行或既含的第矩陣的任意一個(gè)階子式若它不含的矩陣秩的求法階梯形矩陣的秩容易判斷,而任何矩陣中可經(jīng)過有限次初等行變換化為階梯形,因此可用初等變換來求矩陣的秩.定理矩陣經(jīng)初等變換后,其秩不變.證若含的第行但不含的第行時(shí),則矩陣秩的求法階梯形矩陣的秩容易判斷,而任何矩陣中可經(jīng)過有限次初等行變換化為階梯形,因此可用初等變換來求矩陣的秩.定理矩陣經(jīng)初等變換后,其秩不變.證若含的第行但不含的第行時(shí),則由的任何階子式均為零,因此的任何階子式也為零.根據(jù)上述分析,時(shí),對(duì)施以一次初等行變換后得到即其中是中的兩個(gè)階子式.矩陣秩的求法階梯形矩陣的秩容易判斷,而任何矩陣中可經(jīng)過有限次初等行變換化為階梯形,因此可用初等變換來求矩陣的秩.定理矩陣經(jīng)初等變換后,其秩不變.證同理,也可經(jīng)過相應(yīng)的初等變換得故又有因此得到,顯然上述結(jié)論對(duì)初等列變換亦成立.根據(jù)上述結(jié)果,對(duì)施以一次初等變換所得矩陣的相同的結(jié)論.秩與的秩相同,易知對(duì)施以有限次初等變換有矩陣秩的求法階梯形矩陣的秩容易判斷,而任何矩陣中可經(jīng)過有限次初等行變換化為階梯形,因此可用初等變換來求矩陣的秩.定理矩陣經(jīng)初等變換后,其秩不變.初等變換求矩陣

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